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ŒUVRES

DE FERMAT.

I.1W. PARIS. - IMPUIMERIE GAUTHIER-YILLAHS ET Fil. S,

Quai flos Gran(is-.\iignstins, .m.

VARIA OPERA

MATHEMATICA

D PETRI DE FERMAT,

SENATORIS TOLOSANI.

Acceflerunt fele6l£e qusedam ejufdem Epiftola», vel
ad ipfum à plerifque dodifsimis viris Gallicè, Latine,
vel Italicè, de rébus ad Mathematicas difciplinas,
auc Phjficam pertinentibus fcripta?.

TOLOS iE,

Apud JOANNEM PECH, Comitiorum Fuxcnfium Typographum , juxta
Collegium PP. Societatis }ESU.

M. DC. LXXIX.

ŒUVRES

DE FERMAT

PLBLiiiics PAU r,i:s SOINS nii

MM. FÂLIL TANNEKY et CHARLES lIRMiV

sous LES AUSPICES

DU .V1IN1STKHI-: DE L'INSTRUCTION PUHJJOl R

TOME PREMIER.

ŒUVRES MATHÉMATIQUES DIVERSES. OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.

qi

PARIS,

(lAUTIIIKK-VILLVItS ET EILS, IMI'UIMEUUS-LIBIUIUES

Il II liUREAT DKS I. () N (; Il U D E S , DE [.'ÉCOLE 1> O E V I E C H N I Q II E

Uiiai des Graiifis-Aii.mislins. 55.

M DCCC KCI

TABLE DES MATIÈRES

DU l'KE-MlEK VOLUME (M.

AVEKTlSSliMENT .

PREMIERE PARITE.

l)liU\T>ES .MATHÉMATIQUES DIVERSES.

Lieux plans d 'Apollonius .

ApoUonii Pergœi liliri diKi de lncis |il<Miis restitiiti. Liber priniiis V H

Liber socundus N ^9

Contacts .iphe'riques- .
De contactibus spliiericis V > <

Fragments géométriques.

Solulio probleraaiis a Domino Pascal proposili I' 7<i

l'orismata duo I' 74

l'orismatum Euclideorum reiiovata doctrina el sub forma Isagoges recentiori-

bus Gcometris exhibita V 7(1

Proposilio D. de Fermai circa parabolcii V 84

Loci ad 1res liueas dcmonstratio M K7

LieiuK plans et solides.

Ad locos pianos et solides Isagoge \' <) i

Appendix ad Isagogen topicam, continens solulionem problematum solidonim
per locos V i oi

(') Les lettres majuscules place'es devant les renvois indit|uent que la pièce est tirée : V des yaria
Opéra, D du Diopliante de 1670, G des Lettres de Descartes, P des OEinres de Pascal, L du traité
(le Lalouvère sur la Cvoloïde, Jl de sources manuscrites.

VI TVIil.i: DKS M VTIKIIKS.

l'uses

l.ieii.r cil surface.
Isagoge ad locos ad siiporfii-ioiii, CiirissiiiKi Domino de Ciircin i M 1 1 i

Histcrttitinii tripartie .

De solutione pmblematiini pooinelricoi-um per oiirvas simplicissimas cl luii-
i-iiicpie iirobloiiKiliim sonori propi-ie (•oinciiioiiles, disserlntio Iripartita. . . . V iiS

Ma.rima et miiiinia.

I. .Mellii>diis ad (lis(]uiiTndaiii maximam el iiiiriimain \' i i'!

Do tangenlilnis liiicaniiii curvaniui V l'i i

II. Ceulriim gra\italis parabolici coiioidis, ex eadom mctliodo \' i30

III. .\d eamdeni metliodiini : l'olo mcâ melhodo elc \' i lo

IV. Molliodus do maxima et miiiima M 1 4;

V. .\d metlioduin do maxima ot miiiima appondix M iâ3

VI. .\d oamdem melliodnm : Dintrinain tan'j^cnlhim elc V 1 58

VII. l'roblema missuni ad Hc\oi-ondiim Patrein .Morsenniim lo" dio Nn\oiii-

biis 1642 .^1 itJr

VIII. .Viialysis ad refracliones. . .^ C 1 70

IK. SyiUliesis ad refractiones C 173

Mc'thodc d 'e'iiminatioii .

NoMis secundaruni el ultorioris nrdiiiis radioiim in Analylicis iisiis \' 181

Appendix ad siiperiorem metliodiim V 1 84

Problème d'Adrien Romain.

.\d .Xdriani Romani problonia. Viro cdarissimo Cliristiano lliiL;.çoiiio P. I". S. T. .\I iSçi

Questions de Cai'alicri .
.4(1 Bon. Cavalierii (]Ma'Slioncs rcsponsa .M i(j>

Propositions à Laloiivère.
KA Laloverara propositiones I. 199

Dissertation M. P. E. A. S.

De linearnm curvarum oiim linois redis comparatione, disscrtalio geomelriea. V ->, 1 1
.Vppendix ad disscrtalionom de linearnm cnrxarum cnm linois rectis com|iara-
lione V 23S

Méthodes de quadrature.

De aîquationiim localium li'ansmntalioMO el cinendalionc, iid iiiiillimod.mi cur-
vilincorum inler se vel cum rcetiiineis comparalioneni. cui anncelitur pro-
porlionis geometric;e in qnadrandis infinilis parabolis et li\ peibnjis usns. . . V v.Sj

De cissoide frasmcntum .M 285

TABLE DES MATIERES.

VII

DEUXIEME PARTIE.

OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE.

()bsci\'atione.i Do/ni/ii Pc/ri de Fermât I)

I. Ad definilionem VI Cl. Gasparis Bacheti Pori.sinatiiiu Libr. III. . . . » ■>\)\

II. ,\d qiifestiouem VIII Diophanti Alexandrin! Arilhmeticorum Lib. II. » »
ill. XA qiijESlion. X Lib. Il » u

IV. Ad quœstion. X Libr. III » 292

V. Ad quaestion. XI Libi'. III » »

VI. Ad qu.Tstion. XVII Libr. III » «

VII. Ad commenlarium in ipiirstion. XXII LIb. III » 9.93

VIII. Ad commentai iuin in cpKtstion. Il Libr. IV » 297

IX. Ad eumdem commenlarium » 298

X. Ad commcntarinm in qiiœslion. XI Lil)r. IV « Soo

XI. Ad quaestion. XII Libr. IV » «

XII. Ad commenlarium in eamdcm quœslionem « 3oi

XIII. Ad qmuslion. XVII Ldir. IV » »

XIV. AdquiESlion.XVlllLibr.lv..., » 3o2

XV. .4d qu;estion< XX Libr. IV « u

XVI. Ad quœslion. XXI Lilir. IV » 3o3

XVII. Ad quipstion. XXIII Libr. IV i. So.j

XVIII. Ad commenlarium in (purstion. X.\.\l Libr. IV » 3o)

.XIX. Ad quiPStion. X\.W Libr. IV » 3o(i

XX. Ad eommentarinm in qua'stion. .XLIV Libr. IV » »

XXI. Ad commenlarium in quaîstion. XLV Lilir. IV » 307

XXII. .\d qUiTStion. III Libr. V » 3o8

.\XIII. Ad qu;eslion. VIII Lilu-, V » 309

.XXIV. .Vd quirstion. L\ Lil>. V » 3i2

XXV. Ad commenlarium in quaestion. XII Lil)i'. V « "

XXVI. Ad eumdem commenlarium « 3i i

XXVII. Ad commenlarium in quaesliun. .XIV Liiir. V » 3i4

XXVIII. Ad (|u;eslion. XI.X Libr. V » 3i"i

XXIX. Ad quaBSlion. XXIV l.ibr. V » 3[S

XXX. Ad quaestion. XXV Lilir. \' » ■>2i

XXXI. Ad quœstion. XX.X Libr. V » 826

.XXXII Ad quœstion. XXXI Libr. V » 327

XXXIll. Ad quœstion. XXXU Libr. V « »

.X.KXIV. .\d commenlarium in qua'slion. 111 Libr. VI « »

XXXV. Ad quœstion. VI Lilir. VI » 329

XXXVI. Ad quœstion. VII Libr. V! » 33o

XXXVII. Ad quœstiones Vm cl IX Libr. VI » 33i

XXXVIII. Ad quœstiones X et XI Libr. VI » »

XXXIX. Ad quœstion. XIII Libr. VI » 332

.XL. .\d quœstion. XIV Libr. VI » 333

.XLI. Ad ([uœstiones XV et XVII Libr. VI » »

l'"EnMAT. — I. O

viii TABLE DliS MATIÈRES.

Porcs

\1.11. Ad quirslion. XI\ I.ilir. VI D 333

XI.IU. Ad oonimonlai'iiiin in iiuirslion. XXIV l.ibr. VI )> 334

XLIV. Ad oumdem comiiiiMilatiiim " 33(')

Aiippndix " 338

Xl.V. Ad imililoina XX commentaiii iii ullinuun (|u:eslioncm Ai'illimeli-

coriim Uioplianli » 3.|o

XI.VI. Ad ciiiiiiiK'iilarium in pi-oposilion. IX Dioplianti De mullangulis

nuMioriri » 34 1

XI. VU. \i\ proposition. XXVIl lîaclicli Ajipondicis do nnmeris polygonis

Lilir. 1! "

XLVIll. Ad projiosilion. XXXI liaclicti AppiMidicis Libr. II » 3l>.

APPENDICE.

I. Dédicace du Diophanto do idjo D 34-')

II. Préface du Diophanto do iGjo I) 347

III. Dédicace des Varia Opéra V 35o

Pièces de vers latins annexées à la dédicace :

1° Jiirea Pierio ctc V 352

2° Diiin Paderœ fontes ctc V 3 )3

3° Ode. Nuitc corda mulcens ctc V 354

IV. Préface des Varia Opéra V 355

V. Klogo de .Monsieur do Fermât, Conseiller au Parlement de Tolosc. Du

tournai des Sçavans, du Lundy 9 février i665 DV 35t)

VI. Ol)ser\ ation de Monsieur de Fermât sur Synosius DV 3(v2

VII. Lettre de P. Fermai à M. de Itancliin. — Observations sur Polyeu. .. DV 3ii()

VIII. Lettre de Samuel Fermât à Pellisson DV 373

IX. Lettre de P. Fermât à Boulliau (24 novembre i655). — Observations

sur Frontin ( Camusat ) 38o

X. Lettre do Ilnet aux Fermât. — Caen, 3 décembre i65g 51 380

XI. Lettre do P. Fermât à Huel. — Toulouse, 27 décembre 1659 -M 388

XII. « Cède Deo, seu Christus moricns », poésie de P. Fermai dédiée à

Balzac V 390

XIII. Notescriliipies deP. Fermai sur les IIarmoni([ues de Manuel Bryenne. M 194

Variantes cl notes critiques ii3

Errata i3i>

Table de concordance entre l'édition des CEuvres de Format de 1C79

et la présente édition 4^7

Planches : Portrait de Fermât cl fac-similé du litre des raria opcra. iv-v

Fac-similé de l'écriture de Fermai xix

FIN DE L\ T.VIlI.i; DKS .M.VTIlillliS DU TOIIE PREMIER.

AVERTISSEMENT.

I.

Bibliographie des travaux de Fermât avant les publications de son fils.

Lorsque, le 12 janvier i66.5, dans le cinf|uième mois de sa soi\anle-qua-
Irième année, Pierre de Fermai mourul à Castres, où l'avait appelé son ser-
vice de conseiller au parlement de Toulouse, il était tenu pour le plus grand
géomètre de l'Europe ('), mais ce n'était guère par la voie de l'imprimerie
que son nom s'était répandu dans le monde savant.

Lui-même n'avait d'ailleurs fait imprimer qu'une seule dissertation géo-
métrique, et encore avait-il gardé l'anonyme (*); cet opuscule parut en 1660,
comme annexe d'un volume publié à Toulouse, sur la cycloïde, par le Père
jésuite Lalouvère. Ce dernier faisait en même temps connaître, comme étant
dues à Fermât (mais publiées sans son aveu), diverses propositions intéres-
santes sin- lesquelles l'attention n'a jamais, que nous sachions, été appelée
depuis loi's (').

Dans l'éloge que Lalouvère fait à celte occasion de son illustre concitoyen,
il rappelle (*) diverses mentions de ses travaux insérées par Mersenne dans
les CogUata physico-mathemalica de i644, et il cite l'une de ces men-
tions énumérant un certain nombre de traités manuscrits envoyés par
Fermai à ses amis de Paris ('). Des autres, l'une (prœfal. ad Mechonica.
n" 4), sans désigner expressément Fermât, reproduisait la plus grande partie

( 1 ) Loilro do Pascal à Fermât, du 10 août iG(io ( n" 108 de la Correspoadanco de Fermai,
dont la publication suivra celle du présent volume ~).

(2) Fuir ci-après page 9.1 1, note i,ct page 199, note i.

(3) Voir ci-après pages 199 suiv.
(*) l'oir ci-après page 200, noie.

(') Ce texte de Personne (lequel lall partie d'un Magiii Galilœi et iio.firoriim Geoine-
irnrum Eh^iuin utile) est exactemenl le suhant :

« Taceo varios illos -i.^\ jnao'Tiv, de maximis el minimis, de langentibus, de locis planis.
solidis, et ad sphaeram pereruditos, quos clarissimus Senalor Tholosanus D. Fermatius liuc

X AVEHTISSKMENT.

irmio lollre transmise ;\ Cavalici-i par riiUerméiliairo ilo Mersomie ('); la
socoiulo (in ISdl/isticix. p. ôj) doiiiiail dos délails, lires de lellros aujourd'liui
perdues, sur les travaux de Kcimal ri'lalil's aux spirales ('-); la troisième
euliu ((■/( liin/y.ii. page 385) précédait les énoncés des propositions des Lici/j-
/i/(ins (T Ipo/lniiiiis. d'après la restitution du géomètre de Toulouse (■').

Dans ses Ouvrages antérieurs (depuis i636) ou postérieurs, Mersenne a
encore (ail d'autres emprunts à la Correspondance de Format; mais alors le
plus souveni il emploie des jiériphrases qui ne permellent pas loujoiu's de
distinguer sùremenl ce (|ui apparlicnl aux divers géomètres avec lesciuels il
élail en relation. On ne pourra donc ([ue rapprocher, des diverses lettres de
Fermât, certains extraits des œuvres de Mersenne concernant les mêmes su -
jeis(').

ad nos misil. » (l'- Mariiii Merseanl .Miiiimi C.ogitata pliysico-matheniatiea. In qiiibus lam
nalurse quàm arlis effectus admirandi cerlissimis demonstrationibus explicanlnr. Parisiis,
suniptibiis Anlonii Berticr, via lacobcâ. M.DC.XLIV. Cum privilegio Régis. — première
pagination, p. igî.)

(') Foir ci-après, page U)J, noie i.

{-) f'oir, dans le second volume, l'appendice au n" .'i de la Correspondance.

(5) UniversfB GeometriiC mixtseqne Malhematicie synopsis ot bini refraclioniim dcmon-
stralarnm tractatus. Studio et Opcr.'i l^". M. Mersenni M. Parisiis, apud Antonium Berticr.
via Iaeob;pâ, su!) signe Fortunœ. M.DC.XLIV. Cum privilegio Régis.

En analysant la collection de Pappus, Mersenne avait dcjà(p. 383) donné les énonces du
Traité des Contncls spliériquet du Fermai {ci-après, jiages 5-2 suiv.) :

n Sexdccim Problomatibus IracLaUim hune (do tactionibus) Vieta compreliendil in .\pol-
lonio Gallo, sed ciim in planis subsliteril, illum ad Spluerica Problomala Clarissimus l'or-
matius i5 Problematibus extcndit, quœ Vietœis subjungemus. »

Page 385, parlant des Porismes d'Euelide, Mersenne dit :

n lluius autem tractatus Restitulio Clarissimi Domini Fermatij postidat opcni, qui i se-
(juentcs de locis planis libres adeo Iceliciter rcdintegravit. »

Les énoncés des Licii.r plans- d'Apollonius {voir ci-après, pages 3 suiv.) suivent sur les
pages 386 à 388. Mersenne ajoute enfin :

(I Omitlo locos ad superficicm cuius Isagogem vir idem Cl. amicis comnuinem fecit, et
alla qua; utinam ab eo tandem inipelrcmus. »

('; En dehors des citations qui précèdent, Mersenne a nommé Fermai :

1° Page 9 de la première prél'ace do V Harmo/tie universelle contenant Ui théorie et la
pratique de la musique {voir n" i de la Correspondance de Fermai).

1° Dans la Secondé partie de l'Harmonie universelle, Paris, 103;, livre VIII, p. fii {voir
n" 2 de la Correspondance ).

3" Page ïi5 des Novaruni observationwn pliysicomathematicarum F. M<irini Mersenni
Minimi ( Tomus III. Quibus accessit Aristarcluis Samius de mundi syslemate. Parisiis.
sumptibus Antonii Berticr, via lacobaîâ sub signe Fortuaa'. M.DC.XLVII. Cum privilegio
Régis), dans le récit d'un voyage au midi de la France.

« Cùm autem vivos potiùs quàm mortuos («) quœrereni, unus abfuit Clarissimus Ferma -

("j Mcrfieiine parlait auparavant iJu tuniLieauv ipi'il a^ail \u^ a Toulouse,

AVERTISSEMENT. xi

La plus ancienne mention imprimée d'un opuscule manuscrit de Fernml
n'est, au reste, point due à Mersenne; elle concerne la Methodus ad disqui-
rendam maiimani et miniinain {ci-après, pages i33-i36), et doit être clier-
chée dans le Brouillon projet d'exemple d'une manière universelle du
S. G. D. L. louchant la pratique du trait à preuves pour la coupe des pierres
en l'Architecture, imprimé à Paris en août i64o.

« Puisqu'un reste de page et l'occasion y convient, afin qu'après ce Brouil-
» Ion il n'y ait plus en cecy d'abusez que ceux qui le voudront bien estre, on
» ne doit pas croire à tout esprit, n'y à toute apparence; à tout esprit, en
» croyant que tous ceux qui font en particulier une grande monstre de plu-
)) sieurs belles pensées en soient toujours les autheurs, on void escrite à la
» main une belle manière de trouver les touchantes aux courbes, ensuiltedes
» plus grands et plus petits, laquelle est avérée estre de monsieur de Fermai.
» très digne conseiller de parlement de Tboloze, et la première descouverle
» de la ligne c|u'engendre un point en la diamétrale d'un cercle roulant sur
» une droicte est de monsieur de Uoberval, très digne professeur royal aux
» niathémati(|ues {'). A toute apparence, etc. » {Œuvres de Desargues réu-
nies et analysées par M. Poudra, Paris, Leiber, 1864, tom. 1, pages 334-355.)

Cette même méthode de Fermât, sur laquelle l'attention avait d'ailleurs été
appelée par le bruit d'une polémique à ce sujet entre lui et Descartes, fut ex-
posée sous son nom par P. Hérigone en 1642 {voir ci-après, page 171, note i),
lequel mentionna également ses traités manuscrits des Lieux plans d'Apol-
lonius et de V Introduction aux lieux plans et solides.

En i646, la réputation du conseiller au parlement de Toulouse est assez éta-
blie pour (pi'un étranger, Fr. van Schoolen, le cite entre Descartes et Uober-
val au premier rang des géomètres ('-).

tius, Geomctranim Coryphaeus ; qiiem laïueii Biircligalam redux, ductore iiuegcrrimo, doc-
lisslmoquc senatore, Domino d'Espagnol, velut avulsura Bergeraco, triduo amplexus
sum (''). Vin seire quo loco? Ubi S. Emiiio Brito denatus est anno 767. Ubi coemeterium
templo salis amplo ex unico lapide conslructo incuinbit; ubi lalomus quisque excisos à
praedicli Domiui lapidicina, quovis die, 10 lapides parallelogrammos oxcindit. el quadrat.
quorum laliuido i, longitudo 2 pedum : cùmque cenlum lapides quadravil, 7 libras re-
cipil. »

(') L'accusalion d'indélicatesse que formule ici Desargues à mois couverts parait diri-
gée contre Bcaugrand, lequel l'avait attaqué dans une lettre imprimco du 20 juillet 1640
{OEuvrex de Dcsarguex, l. II, p. 378).

(2) Francisei à Schoolen Leydensis, de Organica Conicarum Sectionum in piano Des-

( " ) Ce passa^'o a filii reproduit jusqu'à co dernier mut parmi lus meiiliorià honorifiques de l'erujat irisvMTes pur son fils
en tèledcs Diopliante do 1670 ot des Varia de iG:ir.

XII VVEUTISSEMENT.

On verra ci-après (page 77, note ■?.) cri quels termes élogieux Hoiilliau par-
lait (le Fermai dans ses E.vercilaliones gt^ometricœ de 1657, à l'occasion de
son opuscule maïuiscrit sur les Porismes d'Euclide.

l-a inènie année, les réédileurs des Deipnosopinsles d' AtUénce, Jean-Antoine
llnguetan et Marc-\nloine llavaud à Lyon, inséraient, sous les initiales
1'. F. S. T., une remarcpie critique (') (|ui prouvait ([ue la sagacité du célèbre
géomèlre s'exerçait également avec fruit dans le domaine de l'érudition.

Mais ce lut l'année suivante que, pour la première fois, des lettres de Fermât
jiarurent sous son nom :

i" D'abord une série importante dans le Commeiciumepisloliciun de Qiiœs-
lionibtis qtiibusdcim Matliemalicis niiper hahitum inler lYobilissimos Viros :
D. Gulielmttm Vice comilein Hwolncker, Angliim: D. Kenclmiim Dicbv, itein
Equiteni Anglum; D. Fermatium, in supremn Tholosniiini Caria litdicein Pri-
mai ium: D. FniîMCLUM, Nobilein Parisimun : iina ciiin D. Joh. Wallis Geo-
inel. Prof. O.roiiii: D. Franc, a Schooten, Malli. Prof. Lugduni Batavoriun;
Âliisiiiic. (Kilidii .Ioiianmîs WALLIS, S. Th. D. in celcberrima Oxoniensi Aca-
ilcniia Geometriîe Professer Savilianus. — Oxonii, Excudebat A. Lichfield.
Acad. Typograph., Impensis Tho. Robinson. — M.DC.LVIII) — n°* 79, 80,
81, 82, 83, 8V, 80, 91, 96 de la Correspondance.

2° Une longue lettre adressée à Gassend dans le tome VI Peiri Gassendi
Opéra o/n/iia in 17 Tonios divisa. (Lugduni, sumptibus Laurentii Anisson et
Joan. Bapt. Devenet. JI.DC.LMIl) — n" 02 de la Correspondance.

En 1658 encore, dans Vllisloire de la Roulette (anonyme) {"-) et en janvier
1659, dans les Lettres de A. Deltonville, contenant quelques-unes de ses in-
ventions de Géométrie ('), le nom de Fermât apparaît avec ([uelques iiulica-

(■riptionc, Traclalus Goomolris, Oplicis, praîsortim vcrô Gnomonicis ot Mechanicis iililis.
(^ui subncxa est Appendix de Cubicarum jEquuliomim resolutione. Lugd. Batav. Ex ofli-
ciiià Elzoviriorum A" 1646. (Reproduit comma Livre IV des Exercitationes MaUicmaticœ
de 1657 : |iréface, page 3o2. )

« Aliarum aiitcni llneariiin curvaniin siiporioris goncris descriplioiies quod attinel, cas
in mcdiuni iittorre non fiiil noslri instiluii, cum maiiierimus inerito cximiis Viris; D. des
Cartes. D. de Fermât, Scnatori 'fliolosano, et D. Koborvallo, Mathcmatum in Academia
Parisiens! Uegio Professori, relinqiiore. Qui prœterea earum tangentes, quadraliones et
centra invenère, quihus Gcometriam mirifico ditare valcant, et (meo judicio) vix luccm
visura sont, nisi Pliiloinatlicmalicoruin prccibus clpersuasionibus ab iis in llcip. Literari;c
bonum exlorqueantiir. »

(') Voir ci-après, page 3-8, noie i.

(î) Œuvres de Pascal, 1779, t. V, p. U)5 ot 17:!. — Coir au n" 29 do la Correspon-
dance de Fermât, et ci-après, ))age aoa, note i .

C») OEuvres de Pascal, t. V, p. iii, dans la k'itro do Carcavi à Dellûn\ille : « On a

AVERTISSEMENT. xiii

lions sur ses travaux, de môme que dans le Traité des ordres numériques.
trouvé en 1662 imprimé dans les papiers de Pascal, sans qu'il eût encore été
publié (').

En 1664 enfin, Saporla insérait, dans sa traduction du Traité de la mesure
des eaux courantes de Caslelli, une Observation de Fermât sur un passage de
Synesius (-).

Telles furent, du vivant de Fermât, les rares publications auxquelles don-
nèrent lieu ses écrits et les mentions imprimées que nous avons pu trouver
de ses travaux. Après sa mort et avant les volumes édités par son fils, nous
n'avons à signaler que V Eloge de Monsieur de Fermât ('), inséré dans le
Journal des Savants du g février i6G5, et dû au moins à l'inspiration, sinon à
la pliuue de Carcavi, et, en 1667, la ]iniiiicali()n par (lierselier du dernier vo-
lume des Lettre» de M'' Descartes, le([nel contient une importante correspon-
dance entre Fermât, Merscnne et Descartes d'une part, Formai, Clerselier,
Uohaul et La Cbambre de l'autre (*).

)i bien envoyé celle des problèmes que vous aviez déclarés êlre les plus faciles, savoir :
» le ceulrc do gravité de la ligne courbe et la dimension des surfaces des solides, laquelle
I) Jl. A\'ren nous envoya dans ses lettres du 12 oclol)ro et iM. de Kermal aussi dans les
» siennes, où il donne une niétliodc fort belle et générale pour les dimensions des surfaces
» rondes. » — Ce travail do Fermât est perdu.

(') UEuvrea de Pascal, t. V, pages 6J-67. — l'oir au n" 12 do la Corrcspoudaneç de
Fermât.

(2) ^'b//- ci-aprcs, pages 3Ga suis, et n" 118 de la Correspondance de Format ipour la
dédicace de Saporta).

(3) Voir ci-aprcs [)agcs 3J<.) suiv.

(») N"' de la Correspondance de Fermât 22, 23, 2i, 23, 26, 27, 28, 32, 3i, 67, 86, 90,
93, 9i, 93, 97, 99, 112, 113, 111, 113. Voir également çi-aprcs les deux pièces p. 170 et
173. — Les Lettres de M. Descartes peuvent également donner lieu à nombre d'extraits
intéressant Fermât, ipioique tirés de lettres qui ne lui étaioul pas destinées.

Mv AVERTISSEMENT.

II.

Le Diophaiite de Samuel Fermât (1670).

En 1670, Saimiol l't'iiiial lit |i;uai'tre, à ses frais cl sans i)iivilL'ge, une édi-
liim in-l'dlii) de IHoplianlo sous le lilie :

DIOPHANTI I ALEXANDRINl | ARITHMETICORVM 1 LIBRI SEX,

ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS | LIRER VNVS.

CUM COMMENTA mis C. G. BACIIETI I . C.

et obse/('alio/til>i/s />. P. de FERMAT Senatoiis Tolosani.

Accessit Doclrin;e Aiialylictc inuenUim nouum, collectum
ex varijs eiusdcm 1). de Feioiat Epistolis {').

ToLOS^E, I Excudei)at Rernardls BOSli, è Regione Collegij Socielaiis lesu.

M. DU. i..\x.

Dans celle édition, le feuillet du litre est suivi de cinq autres non paginés
qui conliennenl :

Pages I à 3, inie dédicace à Colberl [voir ci -après Appendice . p. 34")
suiv.);

Pages 4 6l 5, une préface Lecloii Beneuolo (Apji.. p. 347 suiv.);

Pages 6 à 7, l'Ei.OGii de monsieur de Fermât, Co/isciller an Parlement de To-
loxe. Du Journal des Sravans. du Lundy 9 Fth-rier i665 {App.. p. 359 suiv.);

Page 7 (ligne 22) et page 8, Observation de monsieur de Fermât sur Syne-
siiis. rapportée à la fin de la Iraduclioii du liure de la mesure des eaux cou-
rantes, de Benedetto Castelli {App., p. 3G2 siiiv.);

Page 9, deux extraits de Lettres de Descartes à Fermai, tirées de l'édition
de Clerselier :

Lkttbe de MONsiEVR Descartes a moxsievr de Fermât, pag. 347, tom. 3 dos Let-
tres de Monsieur Descartes.

AvTRE Lettre de monsievr Descartes a monsievr de Fermât, pag. 34^. tom. 3
des Lettres de monsieur Descartes.

( Voir ces lettres dans le second volume do cotte édition, sous los n"= 32 et
3i de la Correspondance de Fermai)

( I) Au-dessous unevignellc signée Hnhtiidt jecit et rcpréscnlant Orphée, avec l'instrip-
tion : OBLOQVITVR NV.MI-UIS SliPTE.M DISCItIMIN.V VOCVM.

AVERTISSEMENT. xv

Page 10, trois extraits sous les titres :

P. Hérigone, tom. 6. Cursus Mathematici, p. 68. De Maximis et Minimis
(voir ci-après, p. 171, note i).

D. IsMAEL BvLLiALovs Exercitatione de Porismatibus (voir ci-après, p. 77,
note 2).

R. P. Marinvs Mersennvs ordinis minimorvm Reflectionum Physicomatheniati-
carum, pag. 2i5 (voir plus haut, page xi, noie a).

Après ces feuillets non numérotés, viennent trois paginations différentes :

La première contient d'abord, de i à 36, un Traité intitulé :

Doctrine ANALYTrc.E inventvm novvm, Collectum à fi. P. lacobo de Billy. S. I.

Sacerdote, ex varijs Epislolis quas ad eutn diversis tcmporibus misit D. P. de

Fermai Scnalor Tolosanus.

Une traduction de ce Traité sera publiée dans un volume de Complément
à la présente édition.

Suit, pages 87 à 64, d'après l'édition de Diophanle donnée par Rachet en
1631, le Traité :

Clavdm Gasparis Baciieti Sebvsiam in Diophantvm Porismatvm Liber Primvs
(p. 37). Liber Secundus (p. 44)- Liber terlius (p. 53).

La seconde pagination (i à 340 reproduit l'édition de Bachet, texte grec,
traduction latine et commentaires, pour les six livres des Arithmétiques de
Diophanle.

La troisième reproduit de même (jiages 1 à 18) l'édition de Bacbel poiu'
le livre Des nombres polygones de Diophanle et (pages 19 à 42) pour le
Traité :

Clavdh Gasparis Bacheti Sebvsiani Appendicis ad Librv.m de Nv.meris polygonis
Liber Primvs (p. 19). Liber Secv.ndvs (p. 29).

Au bas de la page 42 se trouve l'annotation suivante :

« Ne vacarent pagina* se(iuenles, placuil bas Epistolas adjicere varijs refer-
tas D. P. de Fermât in quesdam Grœcos authores obseruationibus, ciuarum
uonnull.'e ad Malhematicas pertinent disciplinas. »

Suivent les deux lettres :

P. 43 à 45 : ViRo cLARissiMO I). DE Ra.nchin P. Fermât S. P. D. (ci-après Ap-
pendice, p. 366 suiv.).

P. 46 à 48 : Vino D. de Pellisso.n S. Fermât S. P. D. (App.. p. 873 suiv.).
I — Fermât. f

XVI AVERTISSEMENT.

Comme reiM'oiluclioii de l'édiiiim de lîarliet, celle de Samuel Fermai est
passablement fautive; l'intérêt iinelh" otîre provient donc essentiellement des
annotations que Pierre Fermai avait inscrites sur les marges d'un exemplaire
aujourd'hui perdu du Oiopliante de l$acliet, aimotalions que son fds a repro-
duites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le titre : Observatio
D. P. F, la seconde seule sous celui : Observatio domini Pétri de Fermât.

t]e sont ces Obsen-ations sur Diophante ([ui constituent la seconde Partie
du présent volume. On leur a naturellement adjoint, sous des caractères dif-
férents, les textes auxquels elles se rai)portent spécialement.

III.

L'édition des Varia Opéra (1679)

Neuf ans plus lard, Samuel Fermât publiait des Œuvres de son père l'édi-
tion que nous désignons sous le nom de Varia, et dont le frontispice, ainsi
que le portrait de Fermai jilacé en regard, se trouve reproduit en tète du
présent Volume.

Celte édition a été réimprimée en 1861, par béliotypie, avec l'addition au
bas de la page de titre :

Novo invento usi iterum expresseruut R. Friedlaender et Filius,
Berolini, mdccclxi.

mais sans le portrait de Fermai.

La Table de concordance qui termine ce Volume donne le détail despiéces
contenues dans rédilion de 1679, avec les renvois à la présente, qui pourra
la remplacer absolument.

Samuel Fermât s'abstint volontairement de reproduire les lettres de son
père déjà publiées par Clerselier dans la Correspondance de Descartes. Il y
renvoie d'ailleurs par une note de la page i.lG :

« Ceux f|ui Dut le troisième Tome des Lettres de M. Descaries y ]iourioui
voir plus au long les objections de M. de Fermai contre la Dioptrique de
M. Descarlcs et divers écrits sur ce sujet depuis la |)age 167. jusques à la
page 3.Ô0. »

Il reproduisit, au contraire, la plupart des lettres à Digby que Wallis avait
déjà fait connaître; on ne conçoit doue guère pourquoi il a omis deux de ces
lellres el une troisième à Frenicle.

AVERTISSEMENT. xvii

Quant aux pièces inédiles qu'il publiait, il ne semble avoir eu, comme ori-
ginaux, qu'un nombre relativement restreint fie lettres adressées à Fermât.
Pour le reste, il n'a certainement possédé, en tbèse générale, que des copies
plus ou moins fautives, et qu'il u'oblinl d'ailleurs qu'à grand'peiiie.

Il est difficile de croire que Carcavi, après ce qu'il avait fait insérei' dans
l'Eloge de Fermât du Journal des Savants, ait refusé à son fils les copies des
pièces qu'il possédait, au moins de celles qui étaient détaillées dans l'Eloge
précilé. Il n'en est pas moins certain que, s'il n'opposa pas un refus absolu,
il ne donna pas copie de tous les opuscules qu'il avait entre les mains, et
qu'il ne voulut rien communiquer des nombi-euses lellrcs que Fermai lui
avait personnellement adressées.

Parmi les correspondants de Fermât (pii vivaient encore, lorsque son fils
s'occupa de réunir ses écrits, Roberval seul paraît avoir directement répondu
aux demandes de communication. Mais il cboisit avec soin, pour sa plus
grande gloire personnelle, ce qu'il envoya, et, loin de fournir des copies
fidèles, refondit complètement, par exemple, la lettre du i6 août i()36, autre-
fois écrite en son nom et en celui d'Etienne Pascal (').

La plus grande partie des autres lettres publiées par S. Fermât semble pro-
venir de copies réunies par l'érudit Tboinard (jui, d'après la corresi)ondance
de Samuel et de son ami Justel, montra un louable et rare empressement.

IV.

Les autographes de Fermât.

Après la publication dos Varia, les collectionneurs (lui conservaient des
pièces inédites de Fermât purent, comme Jacques Ozanam ou Auzout, en
user pour leur compte i)articulier; mais, à part deux exceptions, rien de nou-
veau ne fut imprimé jusqu'en iSSg.

En i734rCamusat publia dans le Tome premier de V Histoire critique des
Journaux par M. C"* , A Amsterdam, chez J. -F. Bernard, une lettre latine
de Fermât à Ismaël Bouillau (ci-après, Appendice, p. 38o et suiv.).

Lors de la préparation de l'édition des Œuvres de Biaise Pascal, 1779,

(') N" 8 de la Correspondaneo. — Un trait curieux de l'histoire des papiers de Roberval
est que, parmi les écrits de lui qui ont été insérés dans les anciens Mémoires de l'Aca-
démie des Sciences, figure sous son nom, tome VI (pages 241 à 246 de l'édition de 1730),
YAppendix ad Isagogen Topicam de Format, déjà publiée dans les Varia [ci-après,
p. io3 suiv.).

xvm AVEUTISSEMENT.

Bossul retrouva, dans les papiers conservés |)ar l;t famille de l'auteur des
Pensées, quelques autographes de Fermât qu'il comprit dans ce qu'il publia ( ').
Depuis, ces autographes ont été perdus ou dispersés dans des collections par-
liculièros, sauf liois, (pii se trouvent reliés dans un recueil des opuscules
mathématiques de Pascal, conservé à la Réserve des imprimés de la Biblio-
thèque Nationale, sons la cote V-848-3.

D'autres originaux de lettres écrites à Mersenne étaient, avant la Révolu-
lion, conservées dans le ïonie IV d'un recueil formé à la Bibliothèciue des
Minimes cl qu'Arbogast a pu utiliser, comme on le verra plus loin.

La Bibliothèque Nationale possède seulement, comme autographes de
Fermai ai)partenant au département des manuscrits :

1° Une lettre au Père de Billy (n" 102) dans le manuscrit fonds latin 8600,
f" i3. Pul)liée par Libri dans le Journal des Savants de septembre i83g,
d'après une co])ie d'Arbogast.

2° L'original de l'opuscule Doctrinam tanffentiuni (ci-après p. i58 et suiv.),
fonds français, nouv. ac([. n" 3280, f" 112-116. Imprimé dans les Varia d'après
une copie. — Même MS., i° 108-109, une lettre à Huet (ci-après, p. 386).

3° Trois lettres et un mémoire adressé au chancelier Séguier (n"" 04, 65,
06, 111) : fonds français n" 17388, f" 74; n" 17390, fMi3 à ii5; n» 17398, f"433.
Publiés, comme la lettre à Iluel, par M. Charles Henry (Recherches sur les
manuscrits de Pierre de Fermât, 1880, p. 63 à 72 et 77).

4° Dans le manuscrit fonds grec n° 2i60, les annotations sur Manuel Bryenne,
dont nous devons la découverte à M. Henri Omont et qui sont publiées ci-
après, pages 394 et suiv.

La Bibliothèque de l'Université de Leyde conserve dans la Collection Huy-
gens n" 30 deux, lettres autographes de Fermât au mathématicien hollandais.
En les publiant (/?ec/ie/T/(e.9, etc., p. 77 et suiv., 21 1 et suiv.), M. Charles Henry
a devancé la splendide édition des OEa^'res complètes de Christiaan Huygens,
publiées par la Société hollandaise des Sciences, ([ui contient d'ailleurs d'autres
matériaux à utiliser pour la Correspondance de Fermât (^).

(') Voir ci-après, pages 70 et ;4 et en outre les n" 69, 71, 73, 74, 100, 107 de la Cor-
respondance. — L'autographe du n" 71 a passé à la vente Fillon le 16 février 1877. Ceux
de la BibiioLlièque Nationale sont les originaux du n° 100 et des deux pièces imprimées
dans le présent Volume, pages 70 et -'\. Mais, ne les ayant découverls iiue loul récem-
ment, nous n'avons pu les utiliser que pour les Variantes à la fin du Volume.

(*) L'une de ces lettres, concernant le problème d'Adrien Romain, est insérée dans le
présent Volume, pages 189 suiv., l'autre est classée sous le n" 109 de la Correspondanco
de Fermât. Quant à la troisième lettre signée Fermai et puhliée par M. Ch. Henry (Re-
chercha, etc., p. 78-70; avec une pièce de vers en l'Iionneui- d'Iluygens, il a clé reconnu

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'\^^(^r 4^ii^^^ Af/^^^^^ '^ dc^ -? --^

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A-.--/' '. .-. ti K ■.

^rV'

AVERTISSEMENT. xix

Nous donnons ci-contre un fac-similé de la première page de l'écrit Doc-
Irinain tangentium etc. Il pourra servir au besoin à reconnaître l'écriture
de Fermât. S'il est difficile d'espérer actuellement la découverte de lettres
ou d'opuscules autographes, l'impossibilité n'en est nullement démontrée;
mais il est un autre ordre de recherches sur lequel nous appelons l'attention
des érudils.

Fermai, qui n'avait point de cahiers de notes et ne conservait [tas de ma-
nuscrits, inscrivait des remarques sur les marges des livres (|ui lui apparte-
naient, et il devait le faire, quelle que fût la nature de ses livres. Or il est
difficile de croire qu'il y ail eu destruction complète de tous les Ouvrages qui
ont fait partie de la bibliothèque d'un homme qui n'était pas seulemenl un
mathématicien de premier ordre, mais qui s'intéressait à toutes les ([uestions
scientifiques et qui était un Immaniste très distingué. Il semble donc (|ue
l'examen de l'écriture des notes inscrites sur les exemplaires des Ouvrages
du temps pourrait amener la constatation de leur passage entre les mains de
Fermai et conduire à des découvertes intéressantes {').

Il est à remarquer que les recherches faites dans ce sens à Toulouse n'ont
amené que la découverte, par Libri, à la Bibliothèque de la Ville, d'un exem-
plaire de la première édition du Dialogue de Galilée des Massiini Sistemi {-).
Sur le premier feuillet de garde est écrite (au-dessus d'une note de Carcavi :
<( Ce billet est de Monsieur de Fermai, Conseiller au Parlement, (|ui m'a fait
présent de ce livre ») la dédicace suivante :

« Peut-estre croirés-vous que pour me mettre en réputation elper purgar.
» comme on dit, la mala fania, je pretens m'eriger en donneur de livres.

par M. P. Taiinery qu'elle no pouvait avoir été écrite que par Samuel do Fermât; le savant
éditeur des Œuvres de Huygens, M. Bierens de Haan, a constaté sur raulographc la véiité
de nos conjoclures.

(') Rappelons à co sujet que des reehorches méthodiques de ce genre, instituées en
Italie, par les soins do AI. Favaro, ont abouti pour la publication des OEiwres de Galilée
à des résultats précieux. Si le défaut d'un point de départ, comme était le catalogue
de la bibliothèque de Galilée, retrouvé par le savant professeur de l'Université do Pacloue,
nous a empêchés d'entreprendre do pareilles recherches pour Fermât, nous n'en espé-
rons pas moins que notre appel sera entendu. Nous accueillerons avec reconnaissance
toutes les communications qui nous seraient faites à ce sujet et nous pourrons les publier
dans un volume complémentaire à la présente édition.

(2) Dialogo di Galileo Galilei, Linceo matematico sopraordinario dello studio di Pisa, o
fdosofo, e matematico primario del Serenissimo Gr. Duca di Toscana. Dove nei congressi
di quattro.giornate si discorre sopra i due Massimi sistemi del Mondo Tolemaico, e Coper-
nicano. Con privilegi. In Fiorenza, par Gio. Batista LaniJini. .mdcxkxm. Con Licenza de Su-

Bibl. de Toulouse -rr- nouv. classement; ancien n° 2217 ) .

XX AVERTISSEMENT.

» >'ous en croirés ce qu'il vous plaira, mais si c'esloit par hasard vostre
» pensoo, appreués dono. Monsieur, que vous n'avés pas touché au but. .le
» ne songe, eu vous offrant les l)ialoi;u('s ilalicus du Système de (îalilée, qu'à
» l'aire une action de justice et à vous rendre uiaistre de l'ouvrage d'un auteur
» qui ne i^asseroil, s'il vivoit, (|ue pour vostre disciple ('). Recevés donc ce
» présent comme vous estant deu, et ut; me considérés point en ce rencontre
» comme un adroit negoliateur, mais comme un bon juge qui rejette comme
B une tentation l'idée de vostre grande et fameuse bibliothèque et ne se sou-
» vient que de la passion (pi'il a d'estre tout à \^ous. »

y.

Le premier projet d'édition complète et les papiers de Libri.

A défaut des autographes de Fermât, ou possède diverses copies, plus ou
moins anciennes, de pièces ou de lettres soit déjà publiées, soit inédiles.

L'attention fut pour la première fois appelée sur ces copies, lorsque Libri,
dans un article du Journal des Sava/its de se|)tembre 1889, annonça r|u'il
venait d'acciuérir d'un libraire de Metz, par l'intermédiaire du capitaine d'ar-
lillerie (depuis général) Didion, un lot de manuscrits provenant de la biblio-
lhè(|ue de Français et ayant antérieurement appartenu à Arbogast. D'après
les détails qu'il donnait sur le contenu de ces manuscrits, en particulier sur
les matériaux inédits réunis et copiés par Arbogast, d'après ce qu'un article
subséquent {Journal des Savants, mai i84i) révéla sur les conditions défec-
tueuses dans lesquelles s'était faite l'édition de 1679, aucun assentiment ne
pouvait être refusé à l'idée de réunir, dans une publication d'ensemble, les
Œuvres déjà imprimées ou encoi-e inédites du grand géomètre de Toulouse.
N'illemain, alors Ministre de l'Instruction publique, prit l'initiative d'un
projet (le loi, présenté le ■iS avril i843, pour faire cette publication aii\ frais
fie l'Étal. Lorsque ce projet eut été consacré par le vote des deux Chambres,
Libri fut naturellement chargé, en 1844) de diriger la nouvelle édition, et ou
lui adjoignit un jeune mathématicien, Ues|)eyrous (mort, le 6 août i883,
professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse). La collaboration n'aboutit

(') Pour comprendre ce singulier éloge, il faut savoir que, quoique Carcavi n'ait rien
publié sur la matière, il n'en avait pas moins profondément spéculé sur les systèmes
astronomiques. Son action en faveur do la conception do Copernic, pour |)rudente qu'elle
ait été, fut certainement, très efficace dans le milieu scientificiuo où il vivait à Paris. Le
lansage de Fermât atteste, d'ailleurs, que les idées de son ami étaient indépendantes do
celles de Galilée.

AVERTISSEMENT. xxi

guère qu'à un résultat {Journal des Savants, novembre iS/jS), une mission
(Je Despeyrous pour recherches à Vienne, LiJjri ayant constamment refusé
de lui donner communication des pièces inédites qu'il avait entre les mains,
et prétextant d'un autre côté de nombreuses occupations comme motifs de
retards dans l'accomplissement de la lâche qu'il prétendait se réserver. Le
6 juin 1846, une lettre du Ministre de l'Instruction publique, alors Salvand.v,
le relevait de celte tâche; bientôt après commençait, sur les détournements
de livres et de manuscrits dont on le soupçonnait, la longue enquête secrète
qui devait aboutir, le 4 février iS/JS, au dépôt du rapport du .juge d'instruc-
tion Boucly.

Immédiatement après la révolution de i848, Libri quittait la France et
emportait dix-huit caisses de livres et manuscrits; les papiers (|ui purent être
saisis à son domicile échurent à la Bibliothèque Nationale, oii tous ceux qui
concernaient Fermât furent réunis dans le manuscrit fonds français, nouv.
acq., n" 3280; la publication projetée fut abandonnée et l'idée n'en devait pas
être reprise avant trente ans.

En 1879, à la suite d'études entreprises à Paris et d'enquêtes dans les prin-
cipales bibliothèques de l'Europe, M. Charles Henry publia dans le Bulletin
Boncompagni un travail que nous avons déjà eu l'occasion de citer d'après
le tirage à part :

Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermai, suivies de fragments iné-
dits de Bachet et de Malebranche, par Charles Henry. — Extrait du Bullet-
tino di bibliograjia e di storia délie scienze matematiche e fîsiche. Tome AU,
Luglio, Agosto, Settembre, Oltobre 1879. — Borne, imprimerie des Sciences
mathématiques et physiques, Via Lata, n" 3, 1880. — (216 pages gr. in-4".)

A la suite de cette publication, le prince Baldassare Boncompagni fit con-
naître, dans une lettre adressée, le 27 mai 1881, à M. Charles Henry, qu'il
avait acquis deux manuscrits renfermant les pièces inédiles énumérées par
Libri en 1889 et qu'il était disposé à les communiquer aux savants qui vou-
draient entreprendre une nouvelle édition des Œuvres de Fermai. Ces deux
manuscrits, ((ui seront minutieusement décrits plus loin, comme étant une
des bases essentielles de notre travail, furent dès lors reconnus comme ayant
effectivement été possédés par Libri et comme correspondant à ce qu'il avait
signalé de plus important dans son acquisition de Metz. Mais Libri n'ayant
jamais fait connaître exactement quelles pièces de Fermai il avait entre les
mains, ayant d'autre part inséré dans le Catalogue 0/ the Manuscripts at
Ashburnham-place des mentions qui pouvaient faire croire à l'existence, dans
le fonds cédé par lui au célèbre collectionneur anglais, de très nombreuses

xxii AVEUTISSEMENT.

pièces intéressant la luihlicatioii projetée à nouveau, il était essentiel de vé-
rifier ce qui en était.

Cette vérification ne put être faite avant rac([uisilion, par la Bibliothèque
Nationale, du fonds Libri de la collection Ashbiirnhani. Elle a en grande partie
déçu les espérances que l'on avait pu concevoir ('); on n'a retrouvé, sous le
n" 18i8 de Libri (-), qu'une seule chemise de pièces provenant de Fermât.
Le dépouillement de ces pièces, que, grâce à l'obligeance de M. Léopold
Delisle, nous avons pu faire dés le commencement de l'année 1888 et avant
le classement nouveau, nous a fait reconnaître :

i» Une seule pièce non connue d'ailleurs {voir ci-après, page 87, note i),
sur le lieu à trois lignes;

2° D'anciennes copies de VAd locos pianos et solidos isagoge, avec VAp-
pendix (page 91, note i) de la Mcthodus ad disquirendam maximam et
mi n imam {p'd^e i33) et du Noi-iis seciindaruni et uUerioris orrlinis radiciiiu
in analyticis usiis (page 181), opuscules déjà imprimés dans les Varia
Opéra ;

3» Une copie d'une lettre de Fermât à Carcavi, laquelle se trouve plus com-
plète dans le manuscrit de la Nationale, fonds latin 1 1 196, n" C8 de la Corres-
pondance. — (Publiée par M. Cb. Henry, Recherches, etc., pages igS à 190.)

Des anciennes copies, celle de Vlsagoge est d'ailleurs seule à offrir un
véritable intérêt.

YI.

Le manuscrit Arbogast-Boncompagni.

Parmi les autres sources manuscrites qui ont été utilisées pour cette édi-
tion, nous devons signaler, en premier lieu, les deux volumes très importants
appartenant au prince Baldassare Boncompagni, à Homo, lequel les a géné-
reusement mis à notre disposition.

Le premier de ces manuscrits, (]ue nous désignerons par la lettre A, est un
volume haut de 27''™, large de 2 !<■"■, 5, comportant une reliure italienne ré-
cente en basane blanche décorée de filets d'or, laquelle présente au dos un<'

(•) Notamment ion" t80."J du Cnialugue précité n'a pas été retrouvé: Lilirl no parait
pas l'avoir livrée lord Asliburnliam ; dans le n° 1860, mal£!:ré les indications du mémo
catalogue, rien de Fermai n'a été trouvé.

(') Ce numéro était représenté par trois portefeuilles où étaionL classées des feuilles
séparées. Les pièces sont aujourd'hui réparties entre les manuscrils : fonds latin, nouv.
acq. 2339, 23 iO, 2341; fonds français, nouv. acq. ,jl7.'i, Si7f>. (belles relatives ù Fermât se
trouvent dans le premier de ces cinq manuscrits.

AVERTISSEMENT. xxiii

vitole imprimée : Fermât. Opimcules et lettres. Outre deux l'cuiilots do i;anle
(en tète et à la fin), on compte, dans ce volume, 83 feuillets luimérolés au
erayon de i à 82 (le n° 5o manquant, et, deux feuillets étant numérotés :
12 bis ei i3 bis, ainsi que le mentionne, au reste, une annotation au crayon
sur le second feuillet de garde). Ce numérotage au crayon a été fait dans la
bibliothèque du prince Boncompagni.

Sur le feuillet i est écrit de la main de Libri :

Lettres de Fermât | par ordre \ comme dans la liste de de' (sic) Arbogast \
plus la lettre au père Billy et celle à Carcavi. \ Plus une copie de la lettre
imprimée {anonyme) de Frcnicle [corrigé de « Fermât «] à Dighy \ où il est
fait mention d'un \ autre écrit intprimé précédemment (1607) | par Frcnicle
[corrigé de « Fermât »].

Puis, de la même main, mais d'une écriture i)lus récente, de même que les
corrections inditiuées ci-dessus :

(Voyez Connu, cp. de Wallis.)

En haut de la page est la signature « F. Lepeile de Bois-Gallais », et sur
tous les feuillets suivants le visa correspondant : F. L. 15. G.; ce qui permet
d'établir que l'ensemble a été vendu, à Londres, par Libri en pièces déta-
chées. Le prince Boncompagni l'a acquis, déjà l'clié, du comte (îiacomo Man-
zoui, le 17 janvier 187G.

F" 2 commence (finit f" 5) de la main d'Arbogasi, qui remplit tout le reste
du volume, V Indication des opuscules mathématiques et lettres de Fermât i/ui
se trouvent en manuscrit dans le Ton}. IV des lettres écrites au P. Mer-
senne par des sa vans conservé à la llibliolhèijue des ci -devant ]linimes à
Paris {').

(M Nous reproduisons celle lislo, qui a clé déjà publiée, avec quelques incorrcclions,
par Libri dans le Jimriud des .Stivaius de soplembrc 1839. On remarquera c|u'elle com-
porle i-i numéros pour les opuscules el 20 pour les lellres, en dehors de quelques pièces
ne concernant pas Fermai.

« N° \. Le traité des conlacls splicriquos, en lalin, sans titre, 3i pages in-folio, 1res belle
écriture, peu serrée, et les figures faites eu grand. Celle copie («) ne diffère pas de l'opus-
cule imprimé dans les Opéra Varia en 1679. Il y a sur la première page : Ojnis D. de
Fcnriiit.

N" 2. I.sagojfc (id locos ad siiperficicin, en lalin, in-.'i". 17 pages; belle copie et très
lisible.

Cet opuscule, duquel Fermai faisait beaucoup de cas, n'a jamais clé imprime.

N° 3. Jd metlitidum de ma.rimd et mi/iinid appeiidi.r. Commence par ces mois : Quia
plcniniqne in progressa quœstlonuiri occurriait a.\j niniclria', etc., el finit par ceux-ci : et

C) 11 Celle lupie n u été torripé de k tel opuscule i>.

I. — Fermât. "

vxiv AVERTISSEMENT.

C'est ce que Lihii appelle la lisle dWihogast., el l'on trouve cffeclivemenl,
à la suite el par ordre, les ^o lettres de cette liste, toutes inédites, qui occu-
pent les feuillets 0 à .'i i du niatiuscrit,

ip.ue tangentes iiidigeant; 3 pag. in-folio; copie d'une main inconnue. Cet opuscule nu
pas (") été imprimé.

N° -i. Opuscule sur la métliode dos tangenlcs, commence par ces mots : Doctrimun tan-
"eittium anteccdit jamduduin habita metliodui de iiivenûone maximœ, etc., el finit par
ceux-ci : fiisius aliquando expUcabimus et dcinniislrabinmx ; 14 pag. in-folio, l)clle copie,
écriture pou serrée. Cet opuscule a été imprimé dans les Opcra Varia.

N" 3. ,/(/ mctlindiim de iiiaximd et minbnd appendix ; 4 pages \ in-4°, écriture do
Permal. C'est le mémo opuscule que n° ;i.

Suivent 10 pages in-folio, écriture de Mcrsonnc, très serrée, souvent difficile à lire. Ces
pages contiennent de suite (*), savoir :

N" 6. De maximis et minimix, par Format, commence par ces mots : Outre le papier
envoyé à R. et P., pour suppléer, etc.; i pag. in-folio, dont nous n'avons pu lire les trois
dernières lignes (inédit); il parait que c'est l'extrait d'une lettre à Mersenne.

N° 7. Méthode de<i maximis expliquée et eworée par M. F. à (<") M. des C, com-
mence par ces mots : La méthode générale pour trouver les tangentes, etc., el unit par
ceux-ci : aux cônes de même base et de même hauteur; 3 pag. in-folio (inédit).

N" 8. Extrait d'une lettre de M. Fermai. Commence par ces mots : N'importe de dire
iiu'd faut faire dcu.v opérations. Celle lettre, dont on trouve {'') plus bas le commence-
ment de l'original, roule sur la màlhode dos langoules, en réponse (<^) aux objections de
Descaries {f).

Le commencement de la lellre manque dans cet extrait, mais il y a {s) 2 lignes i de
plus à la fin ( '' ) que dans le fragment original, qui finissent par ces mots : Je crois qu'il
Y trouvera plus de facilite' qu'en la sienne, i pag. in-folio (inédit).

N° 9. Appendix ad Isagogem topicam continens solutiones problematum solidorum per
litcos, commence par ces mots : Patuit methodus, etc., et finit par ceux-ci : per rectas et
circidos expedire; 1 pag. in-folio (imprimé dans les Opéra Varia).

y." 10. Opuscule sur la mélhodo des tangentes, commence par ces mois : Doctrinam
tangentlum aniccedit, etc.; le môme que n° i, 2 pag. \ in-folio (imprimé).

N° 11. Des nombres des parties cdiquotes de F. Commence ainsi : Propos. (')• Tout
nombre impair non quarré est différent d'un quarré, etc., et finit par ces mots : sont beau-
coup éloignez l'un de l'autre ; | pug. in-folio (inodil) : remarquable par la mélhodo ((uis'y
trouve pour (J) trouver les nombres premiers. 11 parait (pie cotte pièce est l'exlrail d'une
lettre de Format à Mersenne ou à Frenicle.

N° 12. Pour les nombres premiers de M. Ferm. à Frcn., commence par ces mois : .Suit

" ) Le mol encore a élR rnj'ê après pus.
(*) Ce* mol» (le suite onl élé ajoulôs en interliKtie.
{') ATnnl " J/. /•'. à •. sont les mois rnyrs • l'ennui à ».
(<*) Après le mul tnnu't', csl écrit, puis raye, • le coin. ».
(*1 Après le myl réponse, est ccril. puis rayé, f à D. n.
(/l l.a phrase suiranle commence par les mots Ici manque, rayes.
ISl Le mot deiijr a été rayé «lorant le cliitlre.
(^) Le» muUrï in fin sont ajoutes en marge.

(') Ce mol Propos, atall d abord éle écril après « de F. .. Il y csl rayé.
(/( Ce mol pour est déjà écrll, puis rayé, après méthode.

AVEUTISSEMENÏ. xxv

La lettre à Billy annoncée par Liljri ne se trouve, au contraire, qu'à la fin
du volume (f" 82), copiée par Arbogast avec ce titre :

Lettre de Fermât au P. Billy. Se trom-e aux manuscrits de la Bibliothèque
Nationale à Paris, n° 8600; c'est la seule lettre de Fermât qui soit dans ce
recueil de lettres adressées au P. Billy.

F° 45-48 on trouve, au contraire, l'Extrait d'une lettre de Fermât à Car-

par exemple la prngreision dnuhle, etc., finit par ceux-ci : peine à me de'dire; ' pag. in-
fol. (inédit). Il parait que c'est l'extrait d'une loLtrc do Format à Frenicle.

On trouve présentement sur deux demi-feuilles séparées, pliées chacune in-4'', écriture
de Mersenne, serrée, souvent difficile à lire, savoir :

N° 13. Exposition détaillée et ('') démonstration de la méthode des mnxcmix ol miiiimi.v,
avec la manière dont l'Auteur y est parvenu. Cette ('') opuscule est sans litre. Son commen-
cement est : Dum syncriseo.i et aiiastroplies Vietœœ methodum expendercm, etc., il finit
par ces C) mots : sninma triiiin harum ('') rectnrum xU minima qiiantita.i ; 4 pages iii-4".
Cette pièce, une des plus importantes des œuvres de Format ( = ), n'a jamais été im-
primée.

N° 14. Ad methndam de minimà et mar'imd cippendix. C'est la même pièce que n°* 3 et
3. Elle est ici sur 3 pages in-4''.

Suivent les lettres originales do Fermât, savoir (toutes ces lettres sont inédites) (/) :

1" lettre à Mersenne, en latin, sans date, Kcivrc/ide prrlcr, quamvix id ngain id pm
DEdipo damimm (e) reftitiianij etc., 4 pages in-folio, écriture do Fermât.

i" lettre à Mersenne, Toloso, 26 avril i636; 2 pages in-folio, écriture de Format.

3" lettre ù Mersenne, Tolose, 25 décembre iGjo,- 5 pages in-4", écriture de Fermât.

■i" lettre à Mersenne, du i5 juin 1641; i ^ pages in-4°, écriture de Format.

S" lettre à Mersenne, Tolose, i3 janv. i643; 2 pages in-4°, écriture de Fermât.

G' lettre à Mersenne, Tolose, iG févr. iG43; a pages in-4°, écriture de Fermât.

"'■ lettre à Mersenne, Tolose, 7 avril 1643; 3 pages in-4°, écriture de Format.

H" lettre à Mersenne, Tolose, 10 aoOl iC38; 2 pages in-4''.

9" lettre à Copie de la lettre de M. Fermât, du 26 décembre i638. Commence

ainsi : 1° Pour les nombres, je peux trouver par ma méthode, etc., et finit par : de Ge'o-
me'irie qui vallent celle-ci; écriture de Mersenne, i \ page in-4''. Cette copie, ou cet ex-
trait de la lettre de Format faite par Mersenne, est écrite sur ce qui restait de blanc à la
lettre précédente. L'écriture est difficile ù lire.

10'' pièce ou lettre, sans inscription, commence par ces mots : Dudum est ex quo ad

(«) Le mot ta a été rayé après et.

i''i Arbogast OTait (fabord voulu éjrirL* Culte pièce. Les trois premières lettres du mot nièce se trouvent, en elTcl.
rayées après Cette, qui n'a pas été corrigé.

l^) Le mot ceur^ rayé. prcrèJe ces.

[ ■') Le mot hiiritm est déjà écrit, puis raye, avant trinm.

l'^l Les mots de fermât sont écrits en inlerii;îno a ta place îles mots dtt reciteit^ qui sont rayés.

{.t ) Les mots entre parenttièses ont été ajoutés après coup. Arbot:asl avait d'abord écrit u [imrlit) » après la notice de>
lettres 1 2, 3, a la lin pour la première, avant « écriture de Fermai . pour les Jeux autres. Il a raye ensuite ces mentions.

( ? J Lisez Davitnt.

vxvi AVKHÏISSF.MENT.

cari. — d'nprùs la copie de /ioiiillaiid. consen-ée dans les Manuscrits de
/ioiiittaiid. Lettres de différentes personnes /libliot/ièr/iie nationale.

La chemise de cette lettre avec le tilic Lettre à Carcavidc. \i\ main do Lihri
est aciuellemeiit le f" g'^ du inaiinsci'il de la Nationale : Fonds français n" 3280
nnui.-. acq. {voir plus iiaul, page xxi) que nous désignerons ])ar la lellre A,.

Enfin la copie par Arbogasl de la lettre imprimée de Frenicle man(|ue, de
même, dans le manuscrit A et occupe les folios 96-98 de A,.

Au folio 49 de A, qui est une chemise parlant le titre : Isagoge ad locos ad
superficicm , Libri a écrit au-dessous de cette mention :

Opuscules niathémalùjues de Fermât inédits. Ce sont les n"^ % 3, (i, 7, 11.
\i, 13 de la liste d'Ârbogast.

Le n" 10 est ajouté, au crayon Ijleu, à cette nomenclature.

Un trouve, en effet, dans leur ordre régulier, les opuscules en ((iicsiion sur
les f"* 5i à 81 du manuscrit dont le contenu se trouve ainsi épuise.

Il convient de remarquer que le n" 10 n'est nullement inédil. Lihri n'avait
pas eu primitivement l'intention de le com|)rendre dans le recueil devenu
aujourd'hui la jHopriété du ])rince Honcoinpagni; c'est même certainement

sindlitudincni paraboles, etc.; el Unit par ceux-ci : ex anima mr^nmiis ; 3i pages in-4°.
écriture clo Format (inédite). Il parait que c'est une réponse de Fermât à des questions
faites par (^avalicri, et qu'il a («) envoyé celle réponse à Merscnne, pour la faire parvenir
soit à Cavalieri, soit à Toricolli ('')'•

11. Fra.i;menl de (<") Icltrc à Morsonne; commence ainsi : J'avais déjà fait un mot
d'écrit pour m' expliquer, etc., iinil |)ar ces mots : kaheat minimain propartioneni, da-
tniur; 2 pages in-4°, sans date (c'est le commencemenl do la lellre dont le n° 8 est un ex-
trait: cet extrait, sans contenir le commencement, a 2| lignes de plus à la fin), écriture
de Fermât.

\i. Imvnirc cylindruni inaxiini aitihitih in data sphn'rd. Celte solution géométrique
est sans figure, sur -2 pages in-4", écriture do Fermai, elle ('') appartient à la lettre sui-
vante.

13" lettre à -Merscnne, du 10 nnv. 1042; i + page in-4'', écriture de Formai (<^\.

1 V lettre à Mersennc, Tolose, i sept. i(î43 ; 2 pages in-4°, écriture de Format.

I."). Fragment final d'une lettre à Mersenne, Tolose, li juillet i636; \\ ])ages in-i": écri-
ture de Fermai.

Ici se trouve sur 1 page in-î" une lotlre de Picot à Mersenne, sans date, qui contient

(**( l.p mot (i est en Inlerligne.

t*»! ArlMjza-t atait ojuuln la uicnlion : Écvitnrv de F., quil a rayi-e

(<=) i-e* oi'it» fragment tif sont ajoults en interligne.

c*» l-c mot piiroi'l est rayé après elle.

(') Litirl a ajouté en marge : ttt'er ra.

AVERTISSEMENT. xvvii

par niL'garde ([u'il l'a emporté à Londres en 1848, tandis qu'il laissait à l'aris
(les pièces qu'il aurait voulu, au contraire, conserver i)our ce recueil.

Des opuscules inédits de la liste d'Arbogast, les n°' G, 7, 11, \% (jui soni en
français, figureront dans la Correspondance de Fermât sous les n"* 2G, 31, .ï7,
'i-3. Les autres se trouvent dans le présent Volume.

Quant aux 20 lettres inédites, les n"'* 10 et 12 sont insérés ci-après, pages i;)')
et 167; ])our les autres, la correspondance sera la suivante avec notre» érli-
tion :

N"' de la liste d'Arbogast. i 2 3 j 3 G 7 8 ;> 1 1 1 3 i ; 1 ') iG 17 iS 19 20
N" de la Correspondance
de Fermât 12 i .'\'> 47 '2 55 5() 33 3G 3o ii Go G 5j .['' 2*^ '9 -^5

VIL

Le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni.

Nous désignerons par la leliri' H le second manuscrit i|Uo le prince Bon-
com])agni a bien voulu nous communiquer et qu'il a acquis tlans les mômes
conditions (juc le précédeiil.

la soliilioii (le Descaries touciiant le centre de percussion. Cette soluliou est imprimée dans
les lettres do Descaries.

I(i" lettre à Mersonno, sans date, commence ainsi : Je l'ous randi initie grâces , etc.;
>. pag. in -4°, (!'crituro de Fermai.

17" leltre à Mersenne, Tolosc, 2G mars 164 1; i -î- page in-4'', (icriture de Fermai (« 1.

IS" lettre à Mersenne, sans date, commence ainsi : J'ai appris par votre lettre que ma
réplique à M. Desciirtes, etc.; 2i pages in-4°, écriture de Fermai.

Ifl" lettre à Mersenne, sans date, commence par ces mots : Fous nî écrivez que In pro-
position de mes questions impossibles, etc.; 3 pag. in-4°, écriture de Fermât.

Ici se troine an nioinoire latin sur la métallurgie et la docimasie.

W leltre à Mersenne, 22 ocl. iG38; 9 pages in-4", écriture de Fermât; le commen-
cement, qui traite d'allairos parliculiôros, manque; importante (*).

Fin.

N'^. — A la suile dos lettres de Fermai se trouvent 168 pages in-4° de lettres de Le-
tenneur à Mersenne; elles roulent particulièrement sur les objections de Fabry et de Cazré

(") I.ihri a ajouk- en marine, puis rayt- : m'ec n" 4,

{''I ].c mol Cfllc se trouve écrit, puis raye, avant iinporlanit:

wMii \VEllTISSli:MENT.

• resl un N'olume haut tic ■.'.i)'''", large de 21'''",."), relié en peau de |)orc el
poi'lanl au dos l'inscription :

Copie I de lettres \ de \ Fermai \ de \ Descaries \ el Traduction \ d'un Dis-
cours I de I Galilée.

Sur le plal lie la couverture est au milieu le cliiffre 1, en haut, à gauche, le
chiffre 4. tes deux mêmes chiffres sont re|)roduits au milieu du premier
l'enillct (de garde).

Lorsque le Volume s'est trouvé entre nos mains, nous avons également
reconnu, sur le môme plat, quelques traces de lettres effacées. L'emploi du
tannin nous a permis de revivifier, eu haut, l'inscription « Au Citoyen

contre los démonslrations de Galilée sur la descente des graves; quelques observations sur
la dispute enlro Iloberval et Descartes. Lctenneur marque qu'il est allé voir de Beaune à
Hlois et que .tiipcrui privsciitifi famam; il fait le récit de l'entretien qu'il eut aven lui,
quoiqu'il fut très malade, cl qu'on lui eût coupé le pied, il communique à Merscnne le pro-
blème suivant qui venait de lui être proposé, cl dont il n'avail pu encore trouver la solu-
tion.
Un cercle étant donné comme BCD, ol une ligne FG dehors, tirer de ses extrémités F,

G deux lignes droites à la circonférence convoxe ou concave comme en !•' ou en ('., dont
l'angle soit coupé en deux parties égales par le diamètre.

Ces lettres contiennent peu de choses intéressantes; on peut en tirer ([uelques faits ou
ipielques anecdotes concernant l'histoire des sciences. On y voit, par exemple, que le jeune
Huygens avoit fait un écrit avant ou en 1G47 pour défendre et démontrer, a sa manière,
les propositions de Galilée sur la descente dos graves.

Toutes ces lettres sont de 1647 et 1648. >

Avant les lettres de Fermât, on trouve à la tète de {") ce volume une longue lettre de
Tho. Hobbes à Mersennc, du (*; 5 nov. iG-jo, en 56 pages in-folio. »

(A) Les mulit à ta tête fie gant une correcUon clu mol duiis.
|b| Le mot fin est sjoalé en Interligne.

AVERTISSEMENT. xxix

Mauduyi » d'une écriture passablement fine et, vers le milieu, la note sui-
vante :

N. B. 1 venlôsc

Ce volume faisoit

partie du paquet de

papiers trouvés chez

Vicq d'Azir, après sa

mort, et renvoyés à la

Bibliotlicque de la

ci-devant Académie

des Sciences comme

lui appartenant.

Celte note, qui est de la main facilement reconnaissable d'Arbogast, n'avail
pas été écrite directement sur la couverture, mais bien sur un carré de paiiior
collé dessus. Ce carré de papier a probablement été enlevé par Libri, entre
les mains duquel le Volume est passé, comme le prouvent surabondamment
les annotations qu'il y a inscrites en marge des lettres de Descaries.

Quoique ce Volume soit passé entre les mains d'Arbogast, il ne l'a pas uti-
lisé pour ses copies, comme le montre la collation des pièces identiques de
A et de B.

Ce dernier manuscrit comprend ii8 feuillets numérotés (au crayon), mais
c'est en réalité un recueil factice et nous n'avons à décrire que la partie (\u\
concerne Fermât et qui vient en tète.

Celte partie comprend trois cabiers, le premier de 8 feuillets, le deuxième
et le troisième de 12; les trois derniers feuillets sont entièrement blancs.

Le n" 2 inscrit au bas de la première page du premier cabier et la forme ilu
début, sans litre et tout au iiaul de la page, prouvent l'existence antérieure
d'un autre cahier précédent, qui est aujourd'hui perdu. Toutefois les traces
d'encre qui se sont produites, au moment de la reliure, sur le feuillet de
garde et le revers de la couverture, montrent que la perte a précédé la for-
mation du recueil factice.

L'écriture est du dix-septième siècle, serrée et peu lisible.

Voici le détail des pièces contenues dans ce manuscrit; les unes sont des
extraits de lettres déjà imprimées dans les Varia; d'autres sont des copies de
lettres figurant dans la liste d'Arbogast; quelques-unes enfin ne sont pas con-
nues d'ailleurs.

I. Y' 2'°. Exlraicl d'une lettre du un'"" no''"' iG36 ù M. de Roberval pour la quadrature

de la parabole ( Varia) = n° 13 de la Correspondance do Fermai.
"1. F° 2". Extraict d'autre lettre du mesme du 4 juin 1648 au H. P. M. = n° 63.
3. F" 2'°. Extraict d'autre lettre du xx"'° febvrier 1689 au R. P. M. = n° 37.

."t.

V

y-".

(i.

f"

f.>°.

7.

(,-«

S.
M.

V

v

III.

F

1 o'".

II.

yo

1-2^».

: WKUTISSEMENT.

P V». Exlraict d'iuitro Icllrc du i" avril iGld au li. 1'. iM. ( l'ii |iai'lio dans 1rs l'arta),
= n" 38.
.Vulic ielli-e au R. P. .M. {J'arin) = n" il).
Aiilro lotlre au mesmc = ii° 3).
-"•. Exlraict d'autre lettre du i8° octobre iG^o à M. F. ( f'tiria) = u" it.
Extraict d'autre lettre (Ft/rio) = n» 42.
Exlraict d'une lettre du ji niay i643 à M. I). F. = u° 38.
Copie de Ictlro du aa'"" octobre i()38 (•;>.()" letlrc de la liste d'Arbogast)= n'3S.
Epislola W" do Format ad U. 1'. Mersouuum (ArbogasI, i" letlre) = n° 12.

12. F° i4". (Arbogast, ili" lettre) = ii° 51.

13. F" i5". (Arbogast, 4° lettre) = n° -i".
U. F" i5>". (Arbogast, a" lettre) = n" 1.
I.'i. F" 17'". (Arbogast, 1 3' lettre) = n"3l.

Kl. F" 17". (Arbogast, r.'." lettre), ci-aprc.s; page 107.

17. F' 18". (.\rbogast, 10" lettre), ci-aprùs, i)age 19").

18. F" i9'\ (Arbogast, 3" lettre) = n" 43.

19. ViV. (Arbogast, 18" lettre) = u" 28.

20. F" 2-2'°. (Arbogast, 7'' lellre) = a" 56.

21. F° 22'"*. (Arbogast, iif \QilT<i en partie) = n" 5!).

22. F" 22'"-. (Arbogast, i4Meltro) = n" 60.

23. F" 23". (Arbogast, 6" lettre) = n" 53.

24. F' 24'°. (Arbogast, 17' lettre) = n" 46.
23. F°24-°. (Arbogast, 8° lettre) = n" 33.

26. F" 25". (Arbogast, c/ lettre) = n" 36.

27. F" 23™. (Arbogast, i5' lettre) = 11° 6.

28. F"2G". (Arbogast, TiMettre; = n° 30.

21». F°26". Lettre de M'' Fermât (à Frenicle) = n" 48.

30. F°28'°. Frenicle respond (lire d'une lettre imprimée dans les Faria) = n" 49.

31. F" 28'". Copie d'une lettre du père Mersennc et de la responce de M"' de S' Martin

con'"'' du Grand (Conseil.

32. F 29"'. Lettre de Mous' Pujos au père Mersenne.

(^es deux dci-nières pièces seront publiées dans le Volume de Conijilénu-ni.

VIII.

Les manuscrits de la Nationale, etc.

I^es autres manuscrits utilisés par nous, apiiaileiKuii à des hibliollièiiiics
publicpies et ayant déjà été étudiés par M. Charles Henry dans ses /Icc/icn/ii-s,
n'ont pas besoin d'une descriplion aussi complète que les précédents.

Nous n'avons d'ailleurs à nous étendre un peu longuement que sur le
n" 3280 fonds français nouv. acq., désigné par nous sous la lettre A, el
formé, comme nous l'avons dit, avec les pajjiers relatifs à Fermai qui ont été
saisis en i848 chez Lihri.

AVERTISSEMENT. xxxi

Nous avons déjà noté plus liant l'existence, dans ce manuscrit, de l'ori-
ginal : Docirinam tangentium etc., et de deux feuillets ayant fait partie du
recueil d'Arbogast; ce sont là des pièces que Libri a certainement laissées
par mégarde en France, tandis qu'il négligeait le reste de « l'énorme cabier »
qu'il a dit avoir acquis à Metz.

Ce reste occupe les feuillets 91 à 98 et 120 à 192 du manuscrit A,, où il est
facile de reconnaître l'écriture d'Arbogast. On peut y distinguer :

1° Divers brouillons des copies au net contenues dans le manuscrit A,
savoir la lettre n° 9 et les opuscules i3, 6, 7, 11, 12 de la liste d'Arbogast
(textes publiés par M. Ch. Henry, Recherches, 2= partie, n"* i5, 17, 18, 19,
21, 22);

2° Des copies ou extraits de quelques pièces déjà imprimées dans les
Varia ;

3° Des extraits (ou notes tirées) des Ouvrages de Descartes (en particulier
de ses Lettres), Fagnano, Mersenne, Wallis, Hérigone, Viète, Albert (iirard,
Euler, Lagrange;

4" Des essais de démonstrations sur diverses questions traitées par Format;

5° Des notes bibliograpbiques sur divers manuscrits de la Nationale ou sur
des Ouvrages mathématiques imprimés;

6° Une copie, tirée de l'un de ces manuscrits, de la Proposition de M. de
Roheri.-al qui sert à trouver les centres de gravité cm-oyée à M. Fermât te
1°'' avril 1645.

En somme, Arbogast ne semble pas, malgré ses recherches sérieusement
poursuivies, être arrivé à découvrir aucune autre pièce inédile de Fermai
que celles du manuscrit A.

En dehors de documents qui n'intéressent guère que l'histoire du projet de
publication sous le gouvernement de Louis-Philippe, le manuscrit A, contient
encore les copies faites à 'V^ienne par Despeyrous (f°^ 2.5 à 90) de la corres-
pondance entre Fermât et Clerselier, etc., d'après les minutes de ce dernier
et des copies faites par ou pour lui.

La Bibliothèque Nationale nous a encore fourni, abstraction faite des ori-
ginaux mentionnés plus haut, quelques copies anciennes éparses dans divers
manuscrits :

Fonds latin 7226 : {°'' 34 et suiv. Copies de lettres de Roberval à Fermât du
II octobre i636 et du 16 août i636, déjà imprimées dans les Varia, mais la
seconde avec un texte complètement refondu.

Fonds latin 11196 : f°* 46 à 53. Noinis sccundarum et ulterioris ordinis
I. — Fermât. c

xxxu AVERTISSEMENT.

radicuin in analylicis usas {ci-après, p. i8i) — f" 54. Lettre do Fermai à Car-
cavi {voir plus haut, sur les papiers du fonds Libri).

Fonds latin 1 1197 : f"^ 17 à io. Copie de la Icllrc n" 12 de la liste d'Arbogasl
{ci-après, p. 167) — f" 20*'. Extrait de la lettre de Fermai à Mersenne du
3 Juin i636 (la première lettre des Varia).

Fonds français aog^â. Cahier 17 : f" 65. Copie de la lettre de Fermai à
Pascal du iC) aoùl i654 (imprimée dans les OEuvres de Pascal) — f" 78.
Copie d'une lettre sans adresse ni nom d'auteur, mais que M. Ch. Henry a
reconnue comme écrite par Fermât à Carcavi et qu'il a publiée {Recherches.
pages 197 à 200, n° 76 de la Correspondance).

La Bibliothèque de l'Université de Leyde possède, dans le manuscrit
n° 997 Burmann Q.2'2, copie de deux lettres échangées entre Huet et Fermât
{ci-après, pages 386 et 388) publiées par M. Ch. Henry (') {Recherches.
pages 73-77).

Nous avons déjà signalé les autographes de Fermât que possède la même
bibliothèque dans la collection Huygens. La correspondance de Carcavi de
celte collection a été publiée par M. Ch. Henry soit dans ses Recherches
(pages 2i3 à 216), soit dans son Pierre de Carcavf [pages i4 à 4o du tirage à
part (-)]. Elle renferme d'importants extraits des lettres de Fermât à Carcavi;
l'un d'eux est publié ci-après, page 285, les autres formeront les n"" 77, 78,
101, 103, lOG, 110 de la Correspondance de Fermât.

IX.
Plan de la nouvelle édition.

Telles sont les sources imprimées et manuscrites qui ont été à notre dis-
position pour la préparation de la présente édition; il nous reste à exposer

( ' ) La lettre do Huel est cgalemeiU copiée dans le manuscrit de la Nationale, fonds
latin H433. Nous avons dit ([ne l'original do celle de Fermât subsiste dans notre manu-
scrit Al, f°' 108 et 109.

C*) Pierre de Carcavy, intermédiaire de Format, de Pascal et de Huygons, hibliotiiccaire
de Colberl et du Roi, dircclcur do FAcadcmie des Sciences, par M. Charles Henry. —
Extrait du Bullcttino di biblio^rafia e dl stnria délie .icienzc maleinaliciw c fisiche,
torrio XVII, maggio, giugno 1884. — Romo, imprimerie des Sciences Mathématiques et
Physiques, Via Lata n'S, 1884.

AVERTISSEMENT. xxxiii

le plan qui a été adopté par la Commission de publication (' ) et à expliquer
certaines dispositions particulières.

L'édition doit comprendre trois Volumes : le premier renfermant d'une
part les Œuvres matliénialirjues dii'erses, et de l'autre les Observations sur
Diopliante, les deux suivants seront consacrés à la Correspondance de Fermât
qui sera classée par ordre chronologique et contiendra aussi bien les lettres
qu'il a écrites que celles qu'il a reçues.

Tous les opuscules de Fermai étant en latin, un écrit de lui en français
appartient nécessairement à sa correspondance; mais il a rédigé dans la
langue savante même un certain nombre de lettres, plus soignées (|ue les
autres, plus exclusivement mathématiques ou qu'il pensait devoir être, plus
cjue les autres, copiées et communiquées. Comme d'autre part ses opuscules
affectent parfois la forme épistolaire, et qu'ils n'étaient pas destinés à une
autre publicité que ses lettres écrites en latin, comme aussi les fragments
isolés composés dans cette langue ont été au moins envoyés par lui avec ses
lettres, quand ils n'en ont point été simplement extraits, on peut parfois
hésiter pour classer une pièce lutine, soit dans les opuscules, soit dans la
correspondance.

Pour se mettre en gartie contre tout reproche d'arbitraire à cet égard, il eût
fallu pouvoir affecter le premier Volume à tous les écrits latins de Fermai;
mais cette solution n'était guère praticable, car il arrive à notre géomètre
de passer, dans la même lettre et parfois sur le même sujet, d'une langue à
l'autre. On serait également tombé dans le grave inconvénient de détruire
assez souvent l'unité d'un groupe de lettres et de rompre le fil chronologique
de la correspondance.

On a donc préféré se borner à conserver le cadre général des Varia Opéra,
en y rattachant tous les morceaux qui y ont paru trouver une place plus natu-
relle que dans la Correspondance, où ils auraient été isolés et la plupart à une
date incertaine.
L'ordre chronologique des opuscules ne pouvant d'ailleurs dans bien des

(•) La iniblicalion des Œuvres do Fermai a fait l'objet d'une proiiosiliou do loi présen-
tée le i6 février 1882; celle loi a été votée par la Chambre le i3 mai, par le Sénat
le 4 juillet, el promulguée le i3 juillet 1882. L'impression a été confiée à MM Gaulhier-
Villars et fils, imprimeurs-éditeurs, qui se sont chargés de ce travail moyennant une
souscription à 200 exemplaires.

La principale cause du retard apporté à la publication est due à l'espérance, aujourd'iiul
reconnue comme illusoire, do trouver des matériaux importants dans les manuscrits de
lord Ashburnham (fonds Libri), manuscrits dont il n'a pas été possible de prendre con-
naissance avant l'acquisition de ce fonds par la Bibliothèque Nationale.

xxxiv AVERTISSEMENT.

cas être rigoureusement établi, il fallait adopter un ordre méthodique. Celui
des l'aria, n'ayant aucune valeur réelle, ne pouvait servir de point de départ;
on s'est arrêté aux principes suivants :

Constiliior une série de groupes dont l'ordre représentât le développement
(les idées de Format, tel qu'il apparaît du moins si l'on prend dans chaque
çrroupc récrit le plus ancien et si l'on range cet ensemble par ordre de dates;

Adopter dans Tintérieur de chaque groupe le classement ciu-onologique
poiu- les opuscules les plus importants; rejeter à la fin du groupe les frag-
ments (généralement mal datés) et les ranger par ordre de questions.

On reconnaîtra facilement dans la Table des matières ci -avant les
groupes qui ont été ainsi formés et qui, au reste, étaient déjà tous repré-
sentés dans les l'aria Opéra; on peut les dénommer comme suit : i° Géo-
métrie à la manière des anciens; 2° Géométrie analytique (inventée et déve-
loppée indépendammenl de Descaries); 3° Méthodes des maxima et minima
et des tangentes (origine du calcul dilïérenliel); 4° Théorie des équations
(notamment une méthode d'élimination générale); 5° Quadratures (origine
du calcul intégral).

La langue dont s'est servi Fermai et la désuétude oij sont tombés, même
dans le latin que lisent encore les mathématiciens, un grand nombre des
termes techniques dont il se sert, ont paru rendre désirable une traduction
française; la Commission a jugé qu'il serait préférable de ne la publier (ju'à
part des Œuvres de Fermai dans un Volume spécial de Complément, où l'on
donnera également des traductions : d'une part, de VInvenliim novum rédigé
par le P. de Billy d'après les lettres que lui avait adressées Fermai et publié
dans le Diophante ^e 1670; de l'autre, an- Commercium epistolicum de Wallis;
aucun di; ces deux Ouvrages n'a, en effet, de titres suffisants pour figurer
dans les Œuvres mathématiques ou dans la Correspondance de Fermai, et
leur réimpression n'offre pas d'intérêt véritable; leur connaissance est cepen-
dant indispensable pour l'histoire scientifique de Fermai.

Le Co/«/>/e/Mert< comprendra encore, dans le même but historique, les nom-
breux extraits que l'on peut tirer, relativement au géomètre de Toulouse, des
lettres de Descartes et divers autres témoignages des contemporains, en par-
ticulier de Mersenne.

Enfin, la Commission a jugé que les éditeurs devaient limitei' leurs notes
au minimum indispensabh^ pour l'intelligence du texte (renvois compris) et
les renseignements bibHograi)hiques; mais elle a décidé la rédaction de trois
index : l'un des noms propres; le deuxième de la langue mathématique de
Fermât; le troisième des matières.

AVERTISSEMENT. xxxv

X.

Remarques pour la lecture du texte.

Le présent Volume ne contenant r|ue ries écrits latins, nous n'avons à parler
aujourd'hui que des règles qui ont été admises pour la constitution du texte
en cette langue.

L'édition des Varia est d'une singulière incorrection; les originaux font
défaut, à une seule exception près, qui permet d'ailleurs (voir page iSg
note 2) de constater que Fermât les écrivait assez précipitamment pour ne
pas éviter certains lapsus calarni; enfin les copies laissent également plus ou
moins à désirer.

Dans ces conditions, on a supposé que le texte de Fermât devait, avant
toutes choses, être correct, soit pour le sens, soit pour la langue, et partout
où il a paru corrompu, on s'est efforcé de le restituer eu se conformant le
plus possible au\ indications des sources et aux habitudes de l'auteur.
Diverses additions, soit de mots, soit de membres de phrase omis, ont paru
nécessaires; elles ont été faites entre crochets d'intercalation < >. Les cro-
chets [] indiquent, au contraire, les passages suspects d'interpolation, genre
de corruption auquel les copies n'ont pas échai)pé par suite des notes qui y
ont été ajoutées.

On n'a tenu aucun compte de la ponctuation des Varia, qui est aussi fléfec-
tueuse que possible, ni même de la division en alinéas que comporte cette
édition. Les sources manuscrites ont été seulement consultées sous ce rap-
port. On a cherché avant tout à rendre la lecture facile, en adoptant iiru!
ponctuation régulière et conforme à nos habitudes modernes, et en niulti-
pliant les alinéas.

Une autre innovation a été introduite dans le même but : la mise à la ligne
de tout ce qui est é(|uatioii ou peut être considéré comme tel. Il est à [leine
utile de dire que cette disposition typographique n'est pas en général indi-
quée par les sources; mais nous n'avons eu aucun scrupule à l'adopter, et
nous pensons qu'elle pourrait être utilement imitée en général dans les réé-
ditions des anciens auteurs mathématiques.

En ce qui concerne les notations et abréviations, nous avons cherché à
déterminer pour chaque opuscule le mode qui semblait avoir été le plus
généralement suivi par Fermât, et nous y avons conformé tout ce qui en dif-
férait. Il est à remarquer que, dans les anciennes copies et dans les Varia,

xxxvi AVEHTI s SEMENT.

on n'a altaché aucune importance à l'emploi de notations que Fermât, fidèle
aux errements de Viète, a généralement évitées; mais, d'autre jiart, on ne
doit nullement supposer qu'il ail suivi dans tous ses écrits régulièrement le
même système d'aluéviations. La règle que nous avons adoptée nous a paru
concilier ce qui était dû au l'espect des anciennes notations et à la l'acilité de
la lecture; car, pour celle-ci, il est en tout cas essentiel que l'on ne passe pas
brusquement d'un genre d'abréviation à un autre.

l*our l'orthographe latine, nous avons adopté celle qui est encore aujour-
d'hui la plus usuelle, malgré les dernières tentatives de réforme; tout d'abord
lujus avons distingué l'i et le y, Vi/ et le c comme le faisaient déjà les Elze-
virs ('), par exemple dans l'édition de Viète de 1646; puis, pour chaque mot
particulier, tout en ayant grand soin de restituer certaines formes que Fermât
paraît avoir alïeclionnées et que les copistes ont d'ordinaire négligées, nous
avons adopté l'orthographe la ])lus usuelle, et seulement pour les cas am-
bigus, nous avons cherché l'usage le plus fréquent dans les sources relatives
à chaque opuscule. Cependant, pour la facilité de la lecture, nous n'avons
pas hésité à substituer partout guani à ciiiii, qui semble pourtant bien avoir
été l'orthographe de Fermât.

En tout cas, pour que l'édition nouvelle put entièrement remplacer les
Varia dans toute recherche sur ce point, l'orthographe tie l'ancienne édition,
ainsi que celle des autres sources, a été notée scrupuleusement, en même
temps que les corrections, dans les variantes rejetées à la lin du \'olume. Ces
variantes contiennent également quelques notes critiques et remarques qui
complètent les annotations mises au bas des pages du texte.

L'accentuation a été indiquée partout où elle a paru utile pour faciliter la
lecture; on a suivi à cet égard le modèle donné par Friedrich Hultsch dans
sa traduction de Pappus.

Les pièces qui figurent dans l'Appendice ont été réimprimées sans aucun
changement, à part quelques corrections indiquées en notes.

M. PaulTannery s'est plus spécialement chargé de l'établissement du texte
et de la rédaction des notes de ce premier Volume : M. Charles Henry s'est
plus particulièrement occupé de recueillir et de collationner les documents.

Sans l'offre gracieuse du prince Bakiassare Boncomi)agni, sans sa singu-
lière complaisance pour nous, la présente édition n'aurait pu être entré-
es Le Diop/iii/iic et les f'aria de Samuel Fermai oiïrent à ccL égard des divergences
cl des irrégularités: mais en général la rJislincti<iii n'est pas faite dans le premier de ces
Ouvrages : elle l'est au contraire dans le second.

AVERTISSEMENT. xxxvii

prise; le monde savant lui en doit une reconnaissance dont nous ne pouvons
être ici que les trop faibles interpi'ètes; nous devons aussi un tribul de remer-
ciements à nombre de personnes cpii ont bien voulu nous prêter leur concours
et nous fournir divers renseignements; nous avons tout particulièrement à
nommer M. Léopold Delisle, administrateur de la Bibliolhèf|uc Nationale, (|ui
a facilité nos recherches avec tant de bienveillance; M. Henri Omoni, biblio-
thécaire au département des manuscrits du môme établissement, à rpii nous
devons, entre autres choses, la découverte d'une pièce inédite, imprimée dans
l'Appendice; M. Bierens de Haan, M. Antonio Favaro c|ui dirigent respecti-
vement, l'un à Leyde, l'autre à Padoue, les rééditions des Œuvres de Huygens
et de (ialilée et qui nous ont assuré leur précieux concours pour des collations
que nous ne pouvons faire nous-mêmes; enfin M. de la Ville de Mirmonl, de
la Faculté de Bordeaux, qui a bien voulu rechercher pour nous la provenance
de quelques citations classirpies faites par Fermai sans nom d'auteur.

ŒUVRES MATHÉMATIQUES DIVERSES.

Fermai . — [.

APOLLONII PERGiEI
LIBRI DUO DE LOCIS PLANIS RESTITUTI.

< LIBER PRIMUS. >

Loci plani qmd sint, notiini est satis superque : hac de l'e scripsisse
libres duos Apolloniiini testatur PappusT'), eorumque propositiones
singulas initio libri septinii Iradit, verbis lamen aut obscuris aut sane
interpreti minus perspectis (^grsecuni enim codiceni (-) videre non
licuil). Hanc scientiam, totius, ut videtur, Geometria? pulcberrimani,
ab oblivione vindicamus et Apolionium de locis plants dissercnteni
Apolloniis Gallis, Batavis et lllyricis (/') audacter opponimus, certam

( I; Pappi Aloxandrini nialliemnticfc collecliones a Federico Commamliiio Urbinate in lali-
num conversfe et commcnlariis illustrata;. — Pisauri, apud Hicronymum Coiicordiam,
MDLXXXViii. — (D'autres tirages à Venise (ipud Franciscwn de Francisci.t Senen.tcnt, i58(),
et à Pesaro, 1602.)

C'est à cette traduction de Commandin que Fermât a emprunté textuellement les énon-
cés (ci-après entre guillemets) clos propositions cpi'il a cherché à restituer, fuir, dans les
variantes, la correspondance établie sous la rubrique C'a.

(2) Le texte grec de la préface du Livre VII de Pappus a été édité pour la première fois,
en 1706, par Halley {Apollonii Pergœi de sectionc ral'wiiis lihri duo ex Arabico MSUi
latine versi, etc., Oxford). Mais pour apprécier la valeur de la divination de Fermât, il faut
recourir à l'édition complète ; Pappi Alexandrini Collcctioins quœ .mper.vii/it e libris mnim
scriptix cdidit latina intcrpretationc et commentariix inxtruxit Fridericus WvvKcu. Berlin,
Weidmann, 187G-1877-1878 (Vol. H, pages 662-669 pour le texte des propositions, et
pages 852 à 865 pour les lemmes relatifs aux Lieux plans d'Apollonius).

(') Francisci Vietœ ^po/fo«H<.r Gallus seu exsuscitata Apollonii Pergœi -sp'i s-a-jôiv Geo-

i (EIVHES DE KEIUI VT. - I' PARTIE.

geiviilos tiduciam non alibi pra'clarius quam lioc in oporo, Goometria'
niirai'ula t'iucero. Quod ul statim talearis, hic oxordior.
Propositiones lihi'i prinii Iko snnt :

Propositki I.

« Si tiiKC lincœ aganttir, rcl <i/> ii/io dalo paiicto, rel a <luobus, et vcl

» in reclam lineam, t^el parallelœ, rel datitm continentes angulum, rel

» inter se datam proportionem hahe.ntes. vel datum comprehendenles spa-

» linni : continuât au/cm terminus ii/iiiis locum planum positione datum.

» et alterius terminus locum planum positione datum continget, interdum

» quidem ejusdem generis, interdum vero dii'ersum, et interdum simili ter

» positum ad rectam lineam, interdum contrario modo. »

Har propositin in propositioncs octo diviili commode potest, et
quanis ex lis in multiplices casus : obscuritatem interpreti pra^buisse
videtur interpunctionum defectus; imo et Pappus ipse hoc loco propter
nimiam brevitatem videtur non vacavisse obscuritate. Singula, dum
secamus in octanles, ita revelamus :

I. PuoposiTio. — Si a data puncto in rectam lineam duœ linea'
agantur, datam habentes proportionem, et terminus unius contingat
locum <^ planum > positione datum ( hoc est : aut rectam, aut circum-
ferentiam circuli positione datam), alterius terminus continget rectam
aut circuli circumferenliam positione datam.

Esto datum punctum A {fig- i ), per quod agantur in dii'ectum
rectaî AB, AF, in proportione data, et sit, verbi gratia, punctum lî in

metria. — Ad V. C. Adrianum Romanum Bolgam. — Paris, Leclerc, 1600. — (Reproduit
pages 325-346 de l'édition des Œuvres de Vièle par Scliooten. Leydo, EIzévirs, 1646. )

Wilelirordi Snellii R(odolplii) F(ilio) : T.if\ Wyou «TtoTofAY); zaï Ttîp't yi.jp^Vjj i-oTO[j.i^;
resuseitata Goometria. Leyde, Plantin, 1607. — .Ipollouaix BaUn'us scu exsuscitala .4pollonii
Pergaîi -:p\ o^oip'.ia^vr,; zvp-^ Geomctria. Leydo, Dorp. lOoS.

Marini Ghctalili, Patritii Raguson.si.s : .Ipolldiiiit.i rcdkivu.i scu restituta Apollouii Per-
gaei inciinalionurn Geometria. — Suppienientum .'ipollomi Galli seu e.xsuscitata Apollonii
Pergœi tactionum Geometriae pars reliqua. — Venise, 1607.

On peut ajouter le SupjdcmcnUim Apollonii redivii'i i)ublié par .Vlcxandcr Anderson à
Paris, en 1612.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 5

recta linea HCBD posilione data : Aio punctum F egse quoqiie ad rectam
positione cbtam.

A puncto A demissà in rectam HD perpendiculari AC, dabitur
punctum C. Producatur CA ad E, et fiat ratio CA ad AE sequalis datse;
dabitur igi tur recta AE et punctum E. Per punctum E, parallela recta» HD

Fis. I.

H

C

B

D

A

/

/^

F/

E

G

ducatur GEF; dabitur positione, et in ea erit punctum F, quia omnes
rectse per datum punctum parallelas sécantes in eamdem rationem
dividuntur. Patet crgo quamcumque rectam, per punctum A trans-
euntem et datis positione parallelis terminatam, in datam secari pro-
port ionem.

Esto deinde datum punctum B (Jig. 2) et circulus positione ICN,

Fis. 2.

cujus centrum A. Jungatur BA, in puncto I circumferentiam secans, et

producatur IB ad BE, ut sit ratio IB ad BE «qualis datse. Continuetur

in F, et fiât

AI ad EF ut IB ad BE,

et centro F, intervallo FE, describatur circumferentia circuli EDZ,
(|uani patet, ex constructione, positione dari : Aio rectas omnes, per
punctum datum B transeuntes et utrimque circumferentiis datorum
positione circulorum terminatas, in datam secari rationem.
Ductà enim, verbi gratia, CBD, jungantur CA, DF; est

ut IB ad BE, ita AI ad EF;

6 ŒUVRES DE FERMAT. — I'« PARTIE.

ei-go

ut lola RA :k1 RK, ila AI sive AC ad EF sive FD;

et sunt aH|ualcs anguli ABC, FBI) ad verticcm. Patot itaquo triangula
esso similia. alque iiloo

ul CR ail RI), ita RA ad RF, hoc est in ratione data.

Quuin igiliir a dalo [Hincto B diicantur iii directuin diuv rocfa', BC,
BD, vorbi gratia, in data ratione, quarum BC tangit circumferentiam
positione datam, tanget quoquc BD aliam circumferentiam positione
datani.

Si producantur rect» donec ad concavas circulorum circumferentias
pertingant, idem eveniet.

Monemus porro nos minima qusequc iii demonstrationibus non
docere, quum statim pateant, imo et casus diversos non pcrseqiii,
(imini ex adductis minimo possint negotio derivari.

2. Propositio. — Si a dalo puiicto diicanlur in directum diicv reckc.
datum continenles spatium, contingal aiUem lerminus iiriius locum plamim
positione <C dalum > ( ' ), tanget pariter et terminas alterias.

Esto datum punctum A (fg- 3 ), data primum recta BC positione, in
quam dcmittatur perpendicularis AC; dabitur ergo et punctum C. Pro-
ducaUir, et fiât spatio dato a;quale rectangulum CAE. Super diametro
AE descripto circule ADE, aie rectas omnes, per punctum A ductas et
iHinc rectà, bine circumferentiâ circuli (quem patet dari positione)
terminatas, ita ad punctum A secari ut rectangulum sub partibus
aequetur spatio dato.

Nam sit, verbi gratia, recta DAB. Junctâ DE, quuni sit angulus ADE
in semicirculo rectus, et anguli BAC, DAE ad verticcm «quales, erunt

P; Le mol datum a été restitué ici et ailleurs, partout où il a paru improbable que
Format l'ait consciemment sous-entendu. Mais il faut observer que Pappus dit souvent
seulement î^ïiei et Commundin positione, pour signifier donné de position; Fermât avait
donc pu prendre la même llabilu(il^

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 7

trianguhi DAE, ACB similia, atquo ideo rectangulum BAD rectan-
gulo CAE (lato œquale.

Quum igitur perpunctum Aducanturduserectae AB, AD in directuni,
et terminus unius, nempe AB, tangat rectam BC positione datam,
tangetet terminus alterius locum planum, hoc est circulum ADE, posi-
tione datum.

Sed detur punctum V {fig. 4) et circulas BIGH positione, (ujus

centrum E. Jungatur EV et producatur in B; dabitur V^B. Producatur
in F, ut sit rectangulum BVF a'quale date, cui etiani aequetur rectan-
gulum GVX. Super diamètre XF, circulas describatur XKF, (|uem

8 ŒUVRES DE FERMAT. — 1- l'ARTIE.

quidom dari positione palet : Aio reclus, pcr punctum V transeuntes et
diiolnis circulis termiiiatas, ita secari in V ut rectanguliim siib seg-
menlis dato aH]iiale efïioiaiit.

Ducatur enini, verbi gratia, AVKI : aio rectangulum AVK «quari
dato.

Siiiiialur (('iitrum circuli niinoris 0; recta autcm AVKI seceteumdeni
circiiliiiii in |{ : jungantur rectœ RO, AE. Posuiinus rectangulum GVX
a-quari BVF; erit ergo

GV ad M5 iit F\ ad VX,

et componendo, et sumendo antecedentium dimidia, et per conver-
sionem rationis,

ut EB sive EA ad EV, ila OX sive OR ad OV.

Kl liabent duo Iriangula OVR, VEA communem angulum EVA; erunl
ergo similia, et

ut AV ad RV, ita AE ad RO, sive EB ad OX, < et > VE ad VO.

Quum ergo

ut EB ad OX, ita VE ad VO,

ergo

ut EB ad OX, ila rtdiqua VB ad reliquam VX,

atque ideo

ut AV ad RV, ita BV ad XV.

Similiter probabimus

ut GV ad VF, ita IV ad KV;

erit igitur vicissim

ut GV ad VI, ila FV ad VK.

Ut autem

FV ad VK, ila VR ad VX

(quia rectangula KVR, FVX in circulo sunt tequalia), et

ut \'R ad \ X, ila probavimus esse VA ad VB;

ei'it igitur

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

ut F\' ad \'K, ex una parle, ita \"A ad \ B.

Rpctangulum igitur KYA rectangulo FVB dato sequale.
E\ aliavero parte erit

ut r.V ad IV, ila VR ad VX,

atqiie ideo rectangulum IVR rectangulo GYX dato squale.

Qimm igitur pcr punctum V ducantur dua^ lineîe in directuiii AV
et VK, comprehendentes spatium datum, et terminus unius, nempeVA,
contingat circulum positione datum, tanget et terminus alterius loeum
planum, hoc est eirculum XKF, positione datum.

3. Pkopositio. — Si a dato <^puncto'^ ducantur duœ lineœ. datum
continentes angulum et datam proportionem habentes, contingat autern
terminus unius locum planum positione <^datum^, continget et terminus
alterius.

Esto primo datnm punctum H (fig. t) et recta linea AF positione,

in quant demissa perpendicularis HB dabitur. Fiat angulo dato ;e(|ualis
angulus BHE et sit BH ad HE in ratione data; dabitur recta HE posi-
tione, et punctum E. A puncto E ad rectam HÉ excitata perpendicu-
laris inllnita DEG dabitur positione. Sumatur quodiibet punctum in
recta AF, ut C, et junctà HC, fiât angulo dato sequalis CHI : Aio rectam
HC ad HI esse in ratione data.

Nam, quum sint sequales anguli BHE, CHI, dempto communi CHE,

Fermât. — I. 2

10

(i: IVliKS DE FER M \T.

I- PARTIE.

tTiiiil ;iH|ii;ilos BH(', EH!; ci siiiit anguli ad B et E recti : sunl igilur
siinilia (riansula HBC, HEI et

ot VIClSSlIll

m lin 0(1 ne, lia IIK ad III,
m lllî ad IIE, iia HC ad HI

liahct ralioiioni flatain.

Quum igitiii', a dato piiiicto H, diicta" fiierint dua' lincse IIC, 111, in
dato angulo Clll et in data ratioiie, et altéra, nempe HC, ad punctum C
coiitingat rectam positione < datam >, continget et terminus allerius
lociim plaïuim, nempe rectam DG, qiiam dari positione probatum est.

Sed tangatnr circulus : esto pnnctiini A (^/ig. G), datus circulus

Fi^'. 6.

positione lE, eu jus centrum F. Jungatur FA secans cireulum in 1, et
Hat angulus < lAD > anjualis dato, et ratio lA < ad > AD data;
dal)itur AD positione, et punctum D. Produeatur et liât

m I\ ad AD, ita IF ad DC.

Centro C descripto circulo DB, quem palet dari positione, sumatur
quodvis punctum in priore circulo, ut E, et junctâ EA, fiât angulo dato
a;qualis EAB, et sit punctum B in secundo circulo : Aie esse AE ad BA
in ratione data.

Junganliir FE, BC. Probabinius, ut supra, œqualcsangulos FAE, CAB

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. Il

et similitudinem triangulorum FAE, CAB; iisdem rationilnis, (juibus
jani in priore propositioiie ejusque secunda figura usi suinus, arguemus,
eritque

AF ad EA ut AC ad AB,

et vicissim

lit AF ad AC, hoc est ut AI ad AD, ita AE ad AB.

Dabitur ergo ratio AE ad AB, et patet tum sensus, tum consequentia
propositionis.

4. Propositio. — Si a dalo pu/irlo (litcanliir ducv liiiccv. datiiin ron-
luwntes angulum et daluin comprehendenles spatiiim, coiilingal aiilciii
tcnmiitis anitis lociim plaiium positionr dalurn. r<)rilini;r/ cl icrmiims
altcruis.

Sit datum piinctum G (fig. 7), recta positione data AC, in quani

A B

ducatur perpendicularis GB; esto angulusdatusBGE, et spati uni datum
sub BG in GE. Super GE describatur seniicirculus GEF, et sumpto in
recta positione data quovis puncto, ut D, junctàque DG. tîat angnio
dato sequalis DGF : Aio rcctanguluni siib DG in GF œquari dato.

Jungatur FE. ProbaI)imus, ut in propositione précédente, a'quali-
tatem angulorum BGD, EGF. Sed recti ad B et F sunt fequales; non
latebit igitur triangulorum BGD, EGF similitudo, neque rectangu-
loruni BG in GE, et GD in GF a^qualitas, neque veritas propositionis.

Si igitur, etc.

Sed sit datum punctuni A {fig. 8), et circuUis positione HGE.

12

(EU VUES DE FRllMVT. ~ 1' PAUTIE.

Diifalui", per ipsiiis i,'cnlriim, AEH secans circiimtercntiam in punctis
E, H. Sil angulus datus IIAB, ot spatium datiim roctangiiliim siil) HA
in AI, vel -<sul)> EA in A13. Super recta IB deseripto seniiciiTulo ( ' ),
queni quidem palet dari positione, satisfiet quiiestioni : nani dnclà GFA,

Fiff. S.

V('ri)i gratia, et facto angulo GADC, dato a'quali, aio rectanguliun (ÎAD.
vel FAC, «quai'i dato.

Nam quum rectangula HAI, EAB lequentur, erit

ut HA ad AE, ila AB ad AL

Ex propositionis verô superioris ratiocinio patet œqualitas angu-
loruni HAG, BAC et ex priore propositione facile dcducctur esse

m HA ad GA. ila BA ad AC.

Sed

ergo

ul HA ad (iA, ila FA ad AE;
ul FA ad AE, ila 1}A ad AC,

rectanguliiinque FAC rectangulo BAE dato est squale.
Deinde est

m IJA ad AC, ila AU ad AI,

rectanguiumque GAD rectangulo HAI dato icquale. Constat itaque ex
onini parle propositum.
Si igitur, etc.

(') f'oir plus loin page i8, ligne 7 en remontant : « Observaniliuii aulein. etc. »

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 13

Hoc in casu siimpsinius punctum A extra circuluni positione datuni,
in secundo verô casu secundœ propositionis, intra circulum posuera-
nius.

Quatuor propositiones praecedenles punctum ununi datum assu-
munt, sequentes duo.

5 . Propositio. — Si a duobuspunctis datis duœ lineœ parallelcp aganlur.
rationem habentes dalam, contingat autem terminus unius locum planuni
positione datum. continget et terminus alterius.

Sunto < data > duo puncta A et H (fig- 9), l'ecta positione CBDK,
in quani demittatur pcrpendicularis AB, oui parallela ducatur HE, et

Fig. 9-

sit ratio AB ad HE data. Dabitur punctum E, per quod ductà FEG per-
pendiculari ad HE et rectœ positione datœ parallela, aio omnes paral-
lelas, a punctisA, H ductas et rectis CD, FG positione datis terminatas,
esse in proportione data AB ad HE.

Erunt enim anguli BAD, EHG aîquales, et recti ad B et E; similia
ergo triangula BAD, EHG, et reliqua facilia.

Quum igitur a datis duobus punctis A et H ductœ fuerint parallela'
AD, HG, in ratione data, quarum AD est ad datam rectam positione,
erit et HG ad rectam positione datam, ideoque ad locum planum.

In hac figura {^fig- 10) sint data puncta A et Z, et circulus positione
BC, cujus centrum E. Jungatur AE, occurrens circulo in B, et liuic
parallela ducatur ZN, fiatquc ratio AB ad ZN sequalis dat*. Produ-
catur ZN in I, et fiât ratio BE ad NI sequalis etiam dal«. Centro I, inter-
vallo IN, descriptus circulus dabitur positione et quaeslioni satisfaciet.

\k

ŒL VUi:S DE rEUMAT

I' PARTIE.

Nam, ductis parallelis AC, ZD, circulis ad puncta G, D occurrcn-
tibus, ei'it ralio AC ad ZD ;x>qiialis daine; esse eiiiin angulos BAC, NZJ)

Fi». 10.

squales, jani primus hiijus propositionis casus evicit; reliquiiiii pr»-
slal)it socundum < tertia^ > propositionis epitagma.

<). Propositio. — Si a ditohns pimctis dalis duœ parallckv aganltir.
dalnin comprehcndcnlcs spatiuni, conlingat autem terminus iiniiis locum
planiim positioiie datum, contingel et terminus alterius.

Siiit data duo punctaA et H ifig. ii), recta positione CE, in quani
< dcmittatur > perpendicularis AB, cui parallela diicatur HG, et

Fis

C B

D E

rectangulo dato sit ?cqualc rectangulum sub AB < in > ( ' ) HG ; dabi-
tur recta HG, super qua descriptus semicirculus (-) HFG quaestioncni
perficiet.

('> La loculion abrégée « sub AB, ilG « se Irome déjà chez Vièlc.
('; f^oir la Note do la |)ygc \j,.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 13

Ductis enim ubicumque parallelis AD, HF, et junctà GF, patebit
(lemonstrationes superiores rétractant! trianguloruni BAD, GHF simili-
tiulo, ideoque rectangulum siib AD in HF jequale dato sub BA in HG
concludetur.

Quum igitur a duobus punetis, etc.

In secundo casu, sint data puncta A et B {fig. 12 ), et circulus posi-
tionelFGH, per cujus centrum transeat AIH, cui parallela diicatur BC.

Fig. 12.

et sit rectangulum sub AI < in > BC aequale dato, eidemque sequale
rectangulum sub AH in BO. Super recta OC descriptus semicirculus
prœstat propositum.

Nam, ductis parallelis AFG, BED, erunt anguli HAG, CBD œquales,
et rectangulum sub AG in BE œquale dato, eidemque rectangulum sub
AF in BD; nec absimilis est ei, quae in secundo epitagmate proposi-
tionis quartae prodita est, demonstratio.

7. Propositio. — Si duœ lineœ aganlur a dalis duobus punetis, daturn
continentes anguluni et dalatn habentes proportionem, eontingat autein
terminus unius locuni planuni positione daluni, eonlinget et terminus alte-
rius.

Sunto < data >> duo puncta A et B (^g- i3), recta positione IGH.

16

ŒUVRES DE EEini VT.

I- PARTIE.

Super BA doscribatiir porlio ciinili ALB, capiciis aiiguliiin ;equalem
(lato. A piinoto A (hicaliir in reclam lll porpoiuliciilaris AG, qiia pro-
ilik-ta (lonoc oii'i'iinilï'rciitia' ofcufral in L, pi'oducatiir LBK, et tial AG
ad BK in ratione data. Pcrpendicularis ad BE agatur FEDC, et suniafnr
quodliltet punetiun in poi'tionis circumferentia, ut K, a quo ducaiilni'
pcr puncta A et B recta? KAH, KBD, occurrentcs redis IH, FC in punctis
H et 1) : Aio Ail ad BD esse in ratione data AG ad BE.

Fig. i3.

Qnum enim hoc ita se habeat, erunt triangula AGFI, BED similia,
ideoque anguli GAH, EBD, eisque ad verticem KAL, KBL .-equales ;
quod quidem ita se liabet quum"èidem circuli portioni insistant, et pro-
clivis est ab analysi ad synthesin régressas.

Quum igitur a datis duobus punctis A et B ductse fuerint dua^ rectse
AH, BD, datum continentes angulum HKD < datamque habentes pro-
portionem >, et terminus ipsius AH contingat rectam IH positione
datani, eontinget et terminus BD rectam FC, quani dari positione evieit
constructio.

Sed sint data puncta A, B ( fig. i4). circulus positione HF. Super
recta AB descrii)atur portio circuli AK.B, capiens angulum dato a-qua-
lem. Centrum circuli HF estoG. Jungalur AHG, producatur donec por-
tioni occurrat in K, et ducatur KBE, et sit ratio AH ad BE data. Pro-
ducatur BE in I), donec HG ad DE sit pariter in ratione data. Centro D
descriptus circulus dabitur positione, et dabit solutionem ([ua^s-
tionis.

Ductis quippe lAF, IBC, erunt anguli ad A et B a-quales, et reliquum

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

17

propositi non est laboriosum; statimque patetAFad BC esse iii ratione
data, imo et ad circumferentias concavas productas idem pnestare.
Quum igitur, etc.

Fia

i/,.

8. Propositio. — Si a cliiobus punctis datis ducantar <lu(v Uma-. daluni
continentes anguliim et dation cornprehendentes spatiuni. ronting((t diilcni
terminus unius locum planiim pqsitione datum, continget et terminus alle-
rius.

Sint data duo puncta A etB {fig. i5), recta positione GI. Super AB
describatur portio circuli capiens angulum datum. Ducta perpendicu-

FiK. .5.

laris AH in GI continuefur in Y, et juncta FB producatur in (1, sitque
spatium datum AH in BC. Super recta BC descriptus circulus Cacief
quod proponitur.

OEurrcs île Fcnnat, — (.

ts

ŒUVRES OE FEIIM\T,

I" PARTIE.

Krit (|iii|)|U'. suiiipto (iiiovis [uiiiclo in porlione K, et junctis EAI,
EBD, roclaiigiiluni sub AI < in > BD ;equale dato; nec diirort ab ex-
positis aliis oasibus demonstratio.

St'd siiit data dtio piiiuia A, 15 (//,;'. iCi), datas positioiic circulus
IKL, ot super AB doscripla portio circuli capicns angulum dato a'qua-
lem. Diicatur pei" centriim recta ANI et producatur in G; junctaque

FiL'. i(i.

GB producatur, el fiât roctangulum sub AI in BC aequale dato, eidem-
que aHjuale roctangulum sub AN in BD. Super CD descriptus seniicir-
culus satisfaciet proposito. • ■

Hoc est : sunipto quolibet puncto ut H, et reliquis ut supra con-
strucfis, ut in figura, erit rectangulum sub AK in BF ;equale dato,
eidemque rectangulum sub AL in BE; nec est diversa demonstratio a
praecedentibus.

Gonstal itaque propositum, eaque ratione prior Apollonii seu Pappi
propositio redditur manifesta.

Observandum autem casus quos in semicirculis tantum expressimus
in circulis integris locum liabere, sed et casus multipliées ex varia
datorum positione oriri, quos otiosiores ex prascedentibus facili opéra
et proclivi ratiocinio deducent.

Subjicit Pappus : Locum plauum <|iiem secunda ex rectis contingit,
ifi/m/iim esse ejusdcrn ^eneris, intrrdum vero (livcrsiiin. Hoc patet, quia
iii prima propositione, verbi gratia.est ejusdem genei'is : nam, si prior

LIEUX PLANS DAPOLLOMUS. 19

sit ad rectam, est quoque ad rectani posterior, si ad circuluni, simi-
liter ad circulum; in secundie vero priore parte et aliis quibusdam
casibus, est diversi generis.

Addit deinde aliquando sirniliter poni ad rectamlineam. interdum ro/i-
irarlf) modo. Quo loco verba « ad rectamlineam » (' ), qiur niillum seii-
sum admittunt, censeo delenda, et ita locum interpretor, ii( aliquando
secundus locus priori contrario modo ponatur : verbi gratia, si prior
sit ad ('onvexum circuli, secundus ad concavum, etc.. cujus rei
excmpla priores propositiones suppeditabunt.

Propositio il

« Si rectœ lineœ positione data' ii/iiis ter-minus datas sit, et alter eircum-
» ferentiam concavam positione dalam continget. »

Hœc verba si ita legantur, falsa est propositio (-); reponendum igitur
loco, verbi gratia, » positione data- » — magnitudine datœ ; — eritque
sensus ut, data circuli diametro et centro, extremitas diameiri sil ad cir-
culum positione dalum. Cujus rei vcritas quum per se pateat, cur diutius
bic immoremur?

Propositio III.

« Si a duobus punctis datis inflectantur rectœ lincœ datum angulum
n continentes, commune ipsorum punctum continget circum ferentiam
» conca\'am positione datam. »

Ha?c propositio per se patet : dari enini, super recta linea duo puncta
jungente, portionem circuli capientcm angulum datum. docuit Euclides
in Elementis.

Propositio IV.

« Si trianguli spatii. magnitudine dati, hasis positione et magnitudine
» data sit, vertex ipsius rectam lineam positione datam continget >>, paral-

(') Les mots du lextc grec ::p6; tJjv sùOiîav (lliiltscli. p. 6G4,1. •") i peuvent être conservés
avec l'explication donnée par Fermât.

('^) Fermât a deviné le texte grec (Hultsch, p. 6(5 i, 1. lo). Cotte proposition et les deux
suivantes ne sont pas d'Apollonius; Pappus les donne comme ajoutées par Cliarmandre.

20 (KIVHES DE FKUMAT. - I" RVUTIK.

lohini nonipo l)asi (lat;o. ciijus inventiono ex I Elerncnlontm facile
(lothiros oiiiiiia.

l'iiOPOSITIO \.

c( S/ lectœ lineœ, magnitudine data' cl raipiatn positioni dalrr av/iii-
» distantis. unus terminus conlingat rcclain lineam positione dalain.
» ('/ (ditis Icniiimis rcclani /i/ica/» posllioiic dalain continget. »

l)al;v' lei'liv liiiovo DE ( //". 17) inagnitiidiiic et l'octa* AC, positione
data», ajquidistantis unus terminus, ut D, contingat rectani AF posi-

FiR. I-;.

lione datam. Si per punctum E duxeris BEG ipsi AF parallelam, con-
stabit propositum.

Ei'unt (fuippe recta? omnes, intcr lias duas parallelas intercepta^ e(
recta- AC, positione dat;«, sequidistantes, inter se œquales : quod ipsa
constructio manifestât.

Si igitur alter terminus cujuslibet sit ad rcctam AF, crit alius ad BG.
ut vult propositio, quam etiam licet porrigere levi negotio ad cir-
cules.

Sit enim data AB (fig- 18) positione, cui aequidistet recta NO ma-
gnitudine data, cujus punctum N sit ad circumferentiam circuli CNM
positione dati : Aio punctum 0 esse ad circT.ilum positione datum.

Esto E ccntrum circuli CNM, cl ducta diametcr, ipsi NO parallela,
continuetur in F, donec recta CF aîquetur NO data? : dabitur recta CF
positione et magnitudine. Producatur, et fiai FH aequalis CD. Super FH
descriptus circulus pra^stabit propositum.

Erit quippe punctum 0 ad ipsius circumferentiam. Quum enini

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

21

punctum 0 sit ad circumferentiam circuli FOP, crunt rectae CN, FO
tequales et parallelae, quum «quales et parallelas CF, NO conjungant.
Erunt igitur anguli NCD, OFH sequales; quod quidem ita se habel,

Fi^'. .s.

quuni rcct* CD, FH sint ioquales, et a rectis NM, OP a'qualiter
distent.

Potcrit igitur propositio Pappi universalius ita concipi :

Si rectœ Hneœ, magniludinc dalcf el cuipiam posilione datai œquidislan-
tis, iirius terminus contingal lociiin planurn positione datuin, et alias ter-
minas locum planum positione dalam contmget.

Propositio VI.

« Si a pancto qaodam ad positione datas duas rectas lineas parallelas ,
)) vel inter se convenientes ducanlur rectœ lineœ in dato angalo, vel datam
» hahentes proportionem vel qaarum una simul cum ea, ad quam altéra
» proportionem hahet dalam, data faerit, continget punctam reclam
» lineam posilione datam. »

Hujiis propositionis diue siint partes, quarum/rior hœc est.

Sint duœ rectae positione datœ AE, AF {fig. 19), in puncto A con-
currentes, et a puncto C demittantur rectse CB, CD, in datis angulis
CBA, CDA, et sint rectae BC, CD in data proportione : Aio punctum C
esse adrectam lineam positione datam.

Jungantur AC, BD. In quadrangulo ABCD dantur très anguli ABC,
ADC, BAD : datur igitur angulus BCD. Datur etiam ratio BC ad CD ex
hypothesi : ergo datur specie triangulum BDC et anguli CBD, CDB.

■11 Œl VRES DE FEIÎMVT. - I" PAUTIE.

nelitiui igitui" ABD, ADH daiiliir, idoO(iut' spccio ti'ianguliiiii AIÎD :
(latur igitur ratio AB ad BD. Sod ex demonstratis daliir l'atio BD ad BC
( (iiniiii probatiim sit triangiilum BDC spccic darij : ergo datiir ratio AB

Fig. irj.

ad BC. Datui" autem BA positione, et puiictum A : datur igitur posi-
tione recta A(], et in ea sumpto (|uovis puncto et al) eo demissis, in
datis angulis, redis in rectas datas, probabitur semper demissas esse
in data proportione.

Aller casus est si rectse data) sint parallelœ : Sint rectse CA, (^B
( /iff. 20), in datis angulis CAD, CBF, in proportione data. Angulus CNB

Fi". 20.

A

[ D

F ■n/ B

E

/X

M

datur; est enim sequalis. proj)tcr parallehis, dato CAD. Datur igitur
speeie trianguhim CNB et ratio CN ad CB; datur autem ex bypothesi
j-atio (]B ad CA : ergo l'alio CN ad CA data est, ideoque probatur (aeile
punctum C esse in recta data ])osilione.

Cuiisiniftio. — l'er punctum quodvis, ut B, trajiciatur perpendicu-

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 23

laris IBM : dabitur IB. Fiat

ut AN ad NC, ita IB ad BM.

Pcr punctum M ducta duabus datis parallela satisfaciet qusestioni,
nec est operosa demonstratio.

Si igitur a puncto quodam ad positionc datas duas rectas lineas, pa-
rallelas vel inter se convcniontes, ducantur rectae lineae < in > datis
angulis, habeiites datani proportioneni, continget punctum rectam
linaam positione datam.

Secunda pars ita se habet :

Dentui' rectae AC, AG (Jig- 21 ), in puncto A concurrentes. Ponatur

Fip;. 21.

AN super rectam A(] in dalo anguio (LVN. Fiat AN sequalis datse, et
ipsi AC parallela ducaturNG. Angulus alius datus sit ROG. Per priniam
partem hujus ducatur recta GE, in qua sumpto quovis puncto, ut E,
rectae ED, EF, ipsis RO, AN parallelse, sint in ratione data : dabitur GE
positione, ex superius demonstratis. Producatur FE in B : dabitur FB
magnifudine; est enim œqualis data? AN, propter parallelas.

Quodcumque igitur punctum sumpseris in recta GE, ut E, a quo in
rectas AC, AG demiseris rectas ED, EB in angulis datis, recta BE una
cum EF, ad quam ED babet rationem datam, data erit : quod vult
propositio (').

Si igitur a puncto quodam ad positione < datas >• duas rectas lineas,
inter se convenientes, ducantur rectœ linese in datis angulis, quarum

(') Fermât omet ici le cas du |iai-;illclisriie des droites données AC, AG.

:>'. ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.

una simili ciiin oa, ;ul quam allera lial)et proporlionem dalam, data
fuerit, continget punctum rectam lineam positionc datam.

Propositio mi.

« S/ si/i( qitotcumque rectœ lineœ positione dalœ, atqiie ad ipsas a qito-
» dam piincto ducanliir rcctœ Uneœ in dalis angidis. sit aulem quod data
» linea et ditcta continctur, unà ciim contentu data linea et altéra diicla,
» a'quale et quod data et alla ducta et reliquis ( ' ) conlincliir. pitnctitm
» rectam lineam positione datam continget. »

Hac propositio est ampliatio prœcedentis et quod de duabus lineis
est siiperiiis dcmonstratum in prima parte propositionis VI, hic in
quotcnniquc lociim liabere proponitur.

Exponantur très rectse positione datai et triangulum constituentes
AB, BC, CA (fig- 22). Est invenicnda recta, EK verbi gratia, in qua
sumendo quodiibet punctum, ut iM, et ab eo ducendo rectas MR, MO,
Ml in angniis datis MRA, MOB, MIA, summa duarum OM et MI sit
ad MH in ratione data.

Vcv primam parteni propositionis prsecedentis inveniatur recta in
qua sumendo quodiibet punctum et ab eo ducendo rectas ad rectas AB,

(^ ) Ces deux mots et reli//iiis de la \ersioii do Commaiidin sont incompréhensibles;
lluitsch traduit le grec /.al kTjv Xoittwv o(j.o;(.); (p. 666, 1. 5j par et sic in ceteris, ce qui con-
corde assez avec la divination de Fermât. Mais le sens probable est plus vague ef ne per-
met guère de préciser à quel point s'étaient arrêtées les recherches d'Apollonius.

La irénéralisatlon véritable de la proposition VI est évidemment que le lieu du point est
une droite toutes les fois ([u'il y a une relation linéaire (juclcDuque entre les dislances (obli-
(jucs) de ce point à des droites données en nombre quelconque. On peut donner ce sens à
la proposition VII du texte de l'appus; mais, à entendre ce texte littéralement, il semble que,
d'une part, dans cette relation linéaire, il ne supposait pas de terme constant; que, de
l'autre, il égalait la somme de doux des termes à la somme de tous les autres. Fermât a
bien fait la iireniière hypothèse; mais, au lieu de la seconde, il a sui)posé un terme égal à
la somme de tous les autres.

Dans V.ld locos plaiiiK et sididos Is-figoj^c, Fermât remarque la possibilité de généra-
liser la proposition de Pappus, telle qu'il l'a restituée; cette généralisation doit, sans
doute, corres[)ondre à l'hypothèse qui égale la somme d'un nombre quelconque de termes
à la somme de tous les autres, mais toujours en ne supposant pas de ternie constant.

Puis, au même endroit, Format égale, au contraire, à un terme constant la .somme de
tous les termes variables ; mais il ne parait pas avoir con(;u la relation linéaire sous sa forme
la plus générale.

LIEU\ PLANS D'APOLLONIUS.

25

HC, duct» sint in ratioiu' data : dabitui" positione recta qii.Tsita. Puiic-
tum igitur, in qiio concurrot cum AC, dabitur : esto E, a quo ducan-
tiiiEV, ED ipsis MO, MR parailelie; ergo ex constructioiio VE ad ED
habebit rationeni datani. Eadcni methodo, suniptis AB, ACrectis, iiivo-
iiiatiir punctum K, a quo ductœ KL, KZ in dalis angnlis, ipsis ncmpe
.VfR, MI parallela', sinl in l'atione data. Erit igitur siniiliterKZ ad KL in

ralione data. Jnngatur EK : quodcumque punctum in ea sumpseris
pr;pstabit propositum.

Sumatui' M, verbi gratia, ex jam constructis. Fiat MF parallela BA,
et Mil parallela B(]. Probanduni est summam duarum OM, Ml esse ad
MR ut VE ad ED, in ratione nempe data.

Fiat adbuc KG parallela BA. Ponatur verum esse quod intendinius
probare : ergo vicissim erit

ul MR ad El), ita siimma duarum MI, MO ad EV,

et, dividendo, erit

ut dilTorentia MU et DE ad DE,

ila différent ia qua duie OM, MI superant EV ad EV.

Quum autem MF sit parallela BA, EF erit differentia roctaruni MR
et DE, et quum MH sit parallela BC, EH erit differentia rectarum VE,
MO, ideoque differentia rectarum IM et EH aiquabitur excessui quo
tluœ MO, MI superant rectam VE. Ex demonstratis igitur erit

EF ad DE ni differentia rectarum IM, EH ad EV,

l'EllMAT. — l. 4

2G ŒL\UES DE FEllMAT. - 1' rARTIE.

et vicissini

EF orit ad ditïorcnlinm roclariim IM, EU ut ED ad E\ ■

Erit igitur. converlendo,

diflerentia rectarum IM, EH ad EF in ratione data EV ad EU.

Ex coiistriiL'tione auteni, expositis tribus EH, EF, MI, est

VE ad Eli ul KE ad EM;

est otiaiii

KZ ad Ml in cadcm ratione KE ad EM;

est etiam, quum KG sit parallela BA,

GE ad EF in cadeni ratione KE ad EM.

Igitur très recta- VE, KZ, EG sunt in ratione tiium HE, MI, EF : est
ieitur

uldiffeienlia duarnni EV, KZ ad EG, ila differentia duarum MI, EH ad EF.

Sed probavimus differentiam duarum MI, EH ad EF habere rationem
datam EV ad ED : igitur difTerentia duarum EV, KZ ad EG babobit ra-
tionem datam EV ad ED, elvicissim

differentia duarum EV, KZ ad EV eril ul EG ad ED,

et, componendo,

KZ eril ad EV ut GD ad ED.

Sed ( propter paralielas KG, BA) KL œquatur DG : igitur vicissim erit

ul KZ ad KL, ita EV ad ED,

ffuod ([tiidcm ita se babere jam ex ipsa constructione innotuerat.

Constat itaque veritas pulcberrima; propositionis, nec est dit'ticilis
aut absimilis ad ulteriores casus et quotlibet lineas porrigenda con-
structio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructionis in
duabus lineis, expedietur problema in tribus lineis : beneficio con-
structionis ifi tribus lineis, expedietur problema in (]uatuor lineis :

LIEUX PLANS DAPOLLOMUS. 27

benelicio consLructioiiis in quatLior, expedietur prohlenia in ([uin(]ue :
et simili omnino ac uniformi in inlinitum methodo.

PhOPOSITIO \'IH ET LLT131A.

« Si ab aliquo puncto ad positione datas parallelas diicanlar reclœ lineœ
» in datis angulis, cjita' ad puncta in ipsis data abscindant rectas lineas,
» rel proportionem hahentes, vel spatium continentes datitm, vel ita ut
» species ab ipsis diictis, rel excessus specierum œqualis sit spatio dato.
» piinctum continget positione datas rectas lineas. »

Hujiis propositionis, si vera esset, quatuor essent partes, sed eam/w
ratione data veram duntaxat ( ' ) deprehendimus. Valeant igitur reliqua
de spatio contento sub duabus, et de summa aut difTerentia quadrato-
rum ab ipsis, et tanquam commentitia aut hue aliunde translata reji-
ciantur.

Proponatur itaque sic emendatum theorema :

Si ab aliquo puncto ad positione datas parallelas ducantur rectœ linea-
in datis angulis, quœ ad puncta in ipsis data abscindant rectas lineas pro-
portionem habentes datant, pu/ictum continget positione da/arn rectum
lineam.

Constructio sic procedet : Sint data- parallela? AB, GC (fig- 23),
puncta in ipsis data A et F, anguUis unus ex datis BAH, alter GFH.
Quum puncta A et F dentur, et anguli ad ipsa, dabuntur rectœ AH,
FH positione, ideoque punctuni concursus H; dabitur etiam punc-

( ' ) La traduction de Commandin était tro)! peu intelligible jiour que Fermât ait [ui re-
connaître le véritable sens du texte de Pappus ( Ilultsch, p. 666, 1. 7 à i3); il lui aurait fallu
entendre les mots vel spatium cuiitliiciites datum, vel ita ut species ab ipsis ductis, vel
excessus specierum œqualis sit spatio dato comme se rapportant non pas aux rectas lineas,
c'est-à-dire aux abscisses AB, lîF, mais bien aux rectœ lineœ IB, lE.

Avec l'interprétation do Fermât, pour les trois hypothèses où l'on suppose constant ; soit

AB X EF, soit AB + EF , soit EF — AB ,"le lieu du point I est évidemment une conique

(hyperbole ou ellipse), ainsi que, du reste. Fermât l'a indiqué dans {' .4d locos pianos et

snlidos Isagoge.

o o ,

Avec le sens qu'il faut donner au texte de Pappus, que IB x lE. ou IB ^ lE , ou Ib — lE

soit constant, le lieu est évidemment une parallèle aux droites données AB, GC.

•28

ŒUVRES DE FERMAT.

I" PARTIE.

lum (i. iii (|iio AH sociit parallolani (iC. Recla (iF iii |)unclo l) ila seco-
tiir iil Gl) ad 1)1" sil iii lalione ihUa : dabiturpunctum D. JiingaturDH;
dabitur igitiir itositioiic DU : Ain rectani DU pra'slare ])roposituni,
hoc est : siim|)t(> in ea quolibet piiiido, ut I, ol ai) co duclis 115. IK iu
angulis datis. abscissani AB ad daluru punctuni A ad abscissani EF ad
dalum punctum F osse iu ratioiie data GD ad DF.

Fis. 2 3.

Secet BI parallelam GF in C. Erit ex constructione IB paiallela HA,
quum fuerit demissa iu angulo date, hoc est, ipsi HAB pequali. Erit
oliam lE parallcla HF : GC igitar, propter parallelas, sequatur AB. Pro-

banduni superest-

ij( GC ad EF, ila GD ad DF,
et vicissim

ul GC ad GD, ila EF ad DF.

Hoc auteni pcrspicuum est :

ut cniiu III ad IID, ila GC ad GD,
ut eadeni HI ad IID, ita EF ad FD.

et

Esse igitur GC ad EF iu ralionc data fit pcrspicuuui.

Sunt plures casus tarn istius quain pnecedentium proposiliouuui :
quos invcnirc etaddere quum si t facile, cur iu liis diutius immoremur?

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

29

LIBER SECUNDUS^''

Propositio I (-).

« si a clalis punclis reclœ lineœ inflectantur, cl suit qiicc ah ipsisfiitnl
» dalo spatio differentla, punctum positione datas rectas lineas ro/i-
» tingel. »

Sint data duo puncta A et B (Jig. 24), et sit datum quodlibet spa-
tiiim quadrato AB minus. Dividatur AB in C, ita ut quadratum AC qua-

ratuni CB superet dato spatio, et-educatur perpendicuiaris intinita Ct],

(') II semble que Fermai ail composé ce second Livre avant le premier, et même assez,
longtemps avant (voir Lettre à Hobcival, du 20 avril 163;). C'est ce (jui pont expliquer
pourquoi, dans rédilion des Varia, on trouve, avant Liber II, un titre spécial : Jpolliniii
Pergaei propositioiies- de loci.i plnnis restitiitœ.

Et en effet, pour l'intelligence du texte obscur oii Pappus résume l'objet du Traité
d'Apollonius, Fermai devait naturellement clierclier ;i s'aider des Icmmes, an nombre de
linit (propositions 119 à 1:26 de la version, par Commandin, du Livre VII), donnes comme
relatifs aux Lieu.i- plans ; of cos lemmes concernent exclusivement le second Livre d'Apol-
lonius.

(-) Aux indications que portent les lemmes do Pappus, on reconnaît que le résumé (pi'il
donne ne suit pas exactcmenl l'ordre d'Apollonius; ainsi celle proposition I devait faire
partie du second lieu du Livre II. .Mais Fermât ne s'est aucunement jiroposé de restituer
dans sa forme l'œuvre du géomètre de Porge, et, en cela, le but de sa divination diffère
de l'objet des travaux plus récents, comme celui de Robert Simson (Glascow, t7^'9).

30 ŒUVRKS l)K l'KHMAï. - I- PARTIE.

in qiia siiniatiir quodlibet piiiiclum D, et jiinganUir 1)A, BD : Aiu qiia-
(Iraliini AD siiperarc quadratuni l)lî dato.

Oiiod quidem palet, quuni quadratum AD eodeni superel ([uadra-
liiiii Dli, (iiio (juadratum AC superat quadratum CB(' ).

Si spaliuin (latuni si( majus quadrato AB, punctum C extra lineam AH
cadet.

Ad liane propositionem pertinere possunt duse sequentes (- ) :

Si/i/ data quatuor piincla A, 15, C, D ( //i,''. 20 ) /// recta linca, et sil AB
œqualis CD. Sumatur aliud (jaudcumquc punctuni. ut N, cl junganlui

Fis. 25.

quatuor rectœ NA, NB, NC, ND : Aio duo quadrala AN, ND superare duo
quadrata BN, NC rectangulo sub AB in BD bis.

Nam ducatur perpendicularis NI, et primùm punctum I extra rec-
tani lineani AD cadat. Patet igitur excessum quadratorum AN, ND su-
per duo quadrata BN, NC, propter omnibus commune quadratum NI,
esse id quo duo quadrata AI, ID superant duo quadrata BI, CI. Sed
([uadrata duo AI, DI, per /i"'" II, a'([uantur ([uadrato DI bis, (|ua-
dralo AD, et rectangulo ADI bis; quadrata vero Bl, Cl, pereamdom
|)iopositionem, anjuanlur quadrato DI bis, quadratis BD, CD, et rec-
tangulis sub BD in DI i)is, et CD in DI bis, sive, loco horum duorum

(•) C'est l'objcl du second lemmc de Pappus (prop. 120 de Commandin).

(') Dans IV/rf locoi jjlonos- et solidus I.sagoye. Formai Hidicpic la généralisalion des six
premières proi)Ositions du Livre II de Locis planis, puur un nombre quelconque do points
donnés choisis sans aucune condition.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 31

rectangiiloruni, uni rectangulo AD in DI bis, propterea quod AB est
«qualis CD : excessus igitur quadratorum AI, ID supor BI, CI est idem
qui AD quadrati supor quadrata BD, CD sive AB. Sed, pcr 4"" proposi-
tioneni II, quadratum AD duo quadrata AB, BD superat rectangulo
sub AB in BD bis. Constat ergo propositum.

Reliquos easus non adjungo neque in bac propositione neque in se-
quentibus, nam, licet sit facile, esset tsediosum.

Si a tribus punctis in recta linea constitutis injlectantur rectœ, et sint
duo quadrata tertio majora spatiodato, punctum positionc datam circuin-
ferentiam continget.

Sint data tria puncta A, B, C {Jig. 26) in recta linea, et datum quod-

libet spatium rectangulo ABC bis majus. ?'iat AI œqualis BC, et spa-
tium datum sit a'quale rectangulo ABC bis ot (juadrato IV. Centro I,
intervallo IV, circulus VNO describatur in cujus circumferentia punc-
tum quodlibet sumatur, ut N, junganturque NA, NB, NC ad data
puncta : Aio duo quadrata AN, NC quadratum NB dato spatio su-
per arc.

Nam jungatur IN : ergo ex superiore propositione patet duo qua-
drata AN, NC aequari duobus quadratis IN, BN et rectangulo ABC bis;
ergo duo (juadrata AN, NC superant quadratum NB quadrato IN et
rectangulo ABC bis, et constat propositum.

Propositio il

« Si a duobus punctis inflectantur recta', et sint in proportione data.
M punctum continget vel rectam lineam vel circumferentiam. »

32

ŒUVRES DE FERMAT.- I- IVVHTli:.

Sint dala duo piinela A et (', (//),'■. 27), el sit priiiuiiii dalo ratio
ioqiialitatis. Dividatur AC bif'ariam in R, cl oxcitotur porpcndiciila-
ris RD. Patel ([iiodcunH|iie puiu-tuiii in ipsa siiniatiir, iit I), fore rectas
Al), Dt: ivqualos.

Sedsit data ratio inœqualitatis, et sint duo data punctay\, B(Jïg-. 28 ),
ratio ut R ad S. Fiat

Ml R quad. ad S quacl., ila AN ad NU.

Intel" AN, NE sumatur média NO, cujus inteivallo describatur cinn-
lus OVZ, et in ipsius circumferentia sumatur quodcumquo puncdini,
ut V, jungantur(|ue VA, VB : Aio esse in data rationc R ad S.

Fie. 38.

Nani. jiinctà VN, ipsi VA pai'allela sit RI :

ut AN ad NO sive NV, < ila NV > ad NB,

etsuntcirca eumdeniangulum ANV; similia igitur duo liiangula ANV,
BVN, et angulus VAB angulo BVI sequalis. Sed et AVR, VBI, propler
parallclas, a-quales sunt; ergo similia triangula AVR, VBI, et est

AVadVB ulVBadRl,

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 33

et

ut VB ad BU < iia NV ad NB, el AN ad NV.

Est igitur

m VB quad. ad BI (|iiad. >, id est AN ad NB ('),
id esl B qaad. ad S quad., ila A\' (|iiad. ail \\i (|uad.

Est ergo

\V ad \n ut R ad S,

et patet propositum.

PllOPOSITlO III.

« Si sit positione data recta linea, et in ipsa ddluiu piuutiim. a (/iio
» ducat ur qiiœdam linea terminala. a termino aiiteni ipsius ducat iir et ad
» positionein {-), et sit epiod fit a ducta cequale ci. qiiod a data, et ah-
» scissa. vel et ad punctum daturn. rel ad alteruin datnni in linea data
» positione, terminus ipsius positione datamcircuinferentiam continget. »

Sit data recta AB (/?i;-. 29) positione, et in ipsa datnni punetnin A.
Oportel invenire cifculi cii'cumferentiani in qiia snmendo ([tiodiihet

punctum, ut E, et demittcndo perpendicularein El, quadratum AE sit
aequale rectangulo sub data qualibet recta et AI (per qnam dehenius
intelligere in liac propositiono abscissam ad datuin punctum ).

Sit recta data AB. Super AB describatur seinicireulus; patet, ex
constructione, AB in AI îvquari quadrato AE.

Sed alius casus est diffîcilior qnando vidclicet recta abscintlitur ad
aliud pnnctuni quain A, ut in lioc cxempio.

(') C'est la rccipro([ue qui est di5montr6e dans lo premier lemme de Pappus (prop. li'.t).
concernant le premier lieu d'Apollonius.

('^) Fermai a deviné le sens de ces mots inintelligibles : il faudrait « ducauir pcrpnidicii-
lovis (ul positione datom ».

Fermât. — I. -i

3V

ŒUVFxES DK FERMAT.- !■■ PARTIE.

Sint data diio punota A, B {Jig. 3o), et prœtorea punctum E in
cadeni ircta linca: roda vcro data sit AB. Oportct invenire circuli cir-
(•luiit'oreiitiain, ut PIO, in qua sumendo quodlibct punctum, ut I, et
dcniillondo perpendieularem IR, quadratuni Al suquctur rcctangulo
sul) rorla AB data et recta ER.

Rectangulum BAEad rcclam BA applicetur excedens figura quadrata
et facial latitudineni AP, cui fiât «qualis BO. Super PO descriptus se-
niicirculus priestabit propositum.

Fis. J".

Nam quadratum AI sequatur quadrato AR et quadrato RI ; quadra-
fuu) vcro RI œquatur rectangulo PRO, et rectangulum PRO rcctangulis
ARB, OAP hoc est BPA hoc cstBAE, ut mox demonstrabitur : quadratum
ergo AI aequatur quadrato AR, rectangulo ARB, et rectangulo BAE. Sive
quadratum AI aequatur rectangulo BAR (nam huic rectangulo aequantur
quadratum AR et rectangulum ARB) et rectangulo BAE; et adhuc ha^c
duo rectangula faciunt unum rectangulum sub BA in ER, quod proinde
quadrato AI est sequale.

Probanduni superest rectangulum PRO duobus rectangulis ARB
et PBO sequale esse. — Nam, ducendo intcr se partes, rectangulum
PRO est aequale singulis rcctangulis PA in RB, PA in BO (hoc est BO
quadrato), AR in RB, AR in BO (id est PA in AR). Sed duo, PA in AR
et PA in RB, aequantur PA in AB, sive AB in BO; una cum BO qua-
drato, a-quantur AOB hoc est PBO; ergo rectangulum ARB, una cum
rectangulo PBO, Jfacit rectangulum PRO. Quod erat demonstrandum.

Divcrsos casus non prosequor, sed ex jam dictis facillimuni erit :
videtur tamen alius luijus propositionis casus non omittendus, quando
videlicet punctum E ultra A ut superius non invenitur.

Sint data duo puncta A et E {Jîg- 3i), et recta data AB, et sit inve-

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

35

nienda circuli circiinifereiUia, ut NOR, ita ut, sumendo quodlibet in
ipsa punctum, ut 0, etdemittendo 01 perpendicularem, quadratum A()
sit œquale rectangulo sub BA in El.

Fis. 3i.

Rectanguluni BAEad rectam BA applicetur deticiens figura qnadrata
in R, et ipsi ÀR tiat jequalis BN. Super RN descriptus semicirculus
prsestabit propositum.

Demonstratio vero non est absimilis ei quam in priore casu atlu-

limus.

Propositio IV.

« Si a duobiis punctis datis rectœ lineœ injleclantur, et sil qiiod ah iiiia
" cfficitur co, quod ah altéra, dato majiis quam in proportione, ptincltim
» positione datam circumferentiam continget. »

Sint duo puncta A et B {fig. Sa), ratio data AI ad BI, spatiuni da-
tuni BAN ('). Inter NI et IB média sit IZ (-), cujus intervalio descri-

FiL'. 32.

batur circulus ZVR, in quo sumatur quodlibet punctum, ut \ , et jnn-
gantur VA, VB : Aio quadratum AV quadrato VB majus esse quam in
proportione data, lA ad BI, spatio dato BAN.

( ') Le troisième lemme de Pappus (prop. 121 i. relatif au second lieu, a pour effet de
démontrer que AN doit être plus petit que AI.

(-) Les lemnies 5 cl 6 de Pappus (prop. 123 et 12i) onl pour objet de prouver cpic le
point Z et son symétrique par rapport au centre I appartiennent au lieu clierelié.

:\G (F.LVHKS \)\l FEIîMAT. 1' l'AUTlE.

N;im fuil ipsi a-qiKih' rcctaiiguluin VAO, cl junganlui' OB, NV, VI, cl
i|)si A^ parallola HF. Probaiidum est rectangulum AVO ad quadiatuni
VBesseut AladlB.

Kst

m M ;i.l IZ iil osl VI, ila VI ;ul IB,

f( sunt eirca ciiiiulcm anguluni; orgo duo Iriaiigiila NIV, VBI siiiit
siniilia, cl angiilus VNB angulo BVF aîqualis. Sed angulus VNB aii-
gulo VOB est seqiialis in eadom sectione, quuni quatuor puncta N, B,
V, 0 sint in circulo, proptcr a^qualia rectangula BAN, YAO; ergo an-
gulus VOB angulo BVF est sequalis. Sed et angulus OVB angulo VBF.
proptor parallclas; ergo duo triangula OBV, BVF sunt similia, et

MiOVadBV, ilaVBaclBF.

Addatur uliini(|ue conununis ralio AV ad VB; ergo ratio composita
ex AV ad VB et ex VB ad BF, hoc est ratio AV ad BF, id est AI ad IB,
erit eadem rationi < composita' ex > AV ad VB et OV ad VB, hoc est
rectanguli AVO ad quadratum VB. Quod dcmonstrare oporlehat.

Videtur Pappus omisisse hoc loco propositionem huic similem (|uh'
ila se hahet :

.sV a cluobiis punctis dates rectœ lincœ inflectanlur, et sil quod cih iina
cfficilur Ci), quod ah altéra, dalo minus quam in proportione, punctum
positioiw datant circumfercntiani continget.

Sint data duo puncta A et B (fig- 33), ratio AN ad NB, spatium BAT.

Fis. 33.

B m

Inter T.\, .NB este média NL, cujus intervallo describatur circuli cir-

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 37

LLimferentia LYZ, in qua sumpto quolibet puncto V, janganUir YA,
YB : Aio quadratum YA, una cum rectangulo BAT dato, ad quadratuni
YB esse ut AN ad NB.

Nam fiat YAR sequale BAT, et jungantur TY, RB, YN, et ipsi AY
parallela BV. Propter BAT, YAR œqualia rectangula, prohabitiii' aii-
gulus YTB angulo YRB œqualis, et reliqua ut in superiore demonstra-
tione.

Piioposino V.

« Si a quotcumqitc datis punclis ad punclum unum infleclanlur recUc
1) lineœ, et sinl species, qucc ah omnibus Ji uni. dato spatio œqitalcs, punc-
» tum continget positionc dalam circumferentiam. »

Sint data duo primuni puncta A, B {fig.'il^), qua^ per rectam AB con-
JLingantur. Bifariam scindatur in E; centro E, intervalle quocumqne.

ut El, circulus describalur, ut ION : Dico, quodcumquo punetuni in
ipsius circumferentia sunipseris, ut 0, evenire ut quadrata AO, OB
simul quadratorum lE, AE sint dupla (').

Nam, junctàrectâ EO, in ipsam, BV, AZ perpendiculares demittantur.
In triangulo AEO quadratum AO œquatur quadratis AE, EO et rectan-
gulo OEZ bis; in triangulo OEB quadrata OE, EB œquantur quadrato
OB, et rectangulo OEV bis sive OEZ bis (quum EV sit œqualis EZ.
propter œquales AE, EB) : ergo, jungendo aqualia ?equalibus, quadrata
AO, OB et rectangulum OEZ bis œquantur quadratis AE, EB (sive qua-

( ') C'est lo quatrième lemmc de Pappus i prop. !22 j, sur le troisième lieu d'Apollimius:
la démonstration de P^crmat est différente.

38 (K IVRES DE FEHMAT. - I" l'AIlTIE.

Hrato KA bis), et quadrato EO bis (id est quadrato lE bis), una cum
iTclangulo OEZ bis. Aufeiatur utrinuiue OEZ bis; supererit vcriini
qiioil assercbamus, et constat proposituni in primo casu.

Sinl data tria puncta B, D, E {fig. 3j) in recta linea, et sit recta Bl)
rectâ DE major; diirerpntiac inler BD et DE sit tertia pars CD. Centro C,

Fipr. 3,).

intervallo (juociinKjue, ut CA, describatur semicirculus AMF : Aio
quodcum(|iie punctum in ipsius circumferentia siimpseris, ut M, cam-
dem semper fore summam trium (juadratorum MB, MD, ME.

Nam jungantur MB, MC, MD, ME; ipsi vcro CD liât «qualis EN, et
jungatur MN. Quum BD superet DE tripla CD sive tripla EN, ergo DN,
una cum dnpla CD, œquabitur BD; et CN, una cum CD, gequabiturBD.
Auferatur ulrimque CD; ergo CN sequabitur BC. Quum CD sit sequalis
EN, per secundam bujus Libelli propositionem ('), idem erit semper
excessus quadratorum C3I, MN super duo quadrata DM, ME. Sed CM
quadratum est semper idem : ergo duo quadiata DM, ME semper vel
(juadralo MN a'(|ualia erunt vel in idem excédent vel in idem déficient.
Addatur ulrimque quadratum MB : ergo tria quadrata MB, MD, ME
duobus ([uadratis BM, MN vel semper œqualia crunt vci in idem excé-
dent vel in idem déficient. Sed BM, MN quadrata idem semper confiant
spatium, ex superiori propositione, propter «qualitatem rectarum BC,
CN : ergo quadrata BM, DM, EM idem semper spatium conficiunt.
Quod erat demonstrandum.

(') Fermai désigne ainsi sa proposition ((>. io, fig. 3.5). fiorame s'il avait fait un numO-
rotage en duliors de celui des propositions de Pappus.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 39

Demonstratio generalis ejusdem propositionis. — Exponantur primo
tluo puncta A et E {fig. 36), jungatui* AE et bifariam dividatiir in C;
planum datum sitZ, quod necessario débet esse non minus quadratis
duobus AC, CE, ut patet.

Si sit aîquale illis duobus quadratis, punctum C tantum proposito
satisfaciet, nec erit aliud punctum a quo junctarum ad puncta A, E
quadrata simul sumpta a^jucntur Z piano.

Si sit niajus duobus quadratis AC, CE, excessùs dimidium avjuetur
quadrato CB. Centro C, intervallo CB, descriptus circulus satisfaciet
proposito. Quod, tanquam a Pappo (') demonstratum et ab aliis et
proclive nimis, omittemus, ne in facilibus diutius immoremur.

Lemma ad generalem metiiodum. — Exponantur in i", 2" et 3" figura
quotlibet puncta data A, B, C, E {fig. 37), et pro numéro punctorum

Fig. 37.
A 1^ ^ P I x-figura.

y^ Jigura.

D B C

\ 1 :i" figura.

sumatur rectarum, puncto A et reliquis datis terminatarum, pars con-
ditionaria AD, quadrans nempe in boc exemplo. Sit igitur AD pars
quarta rectarum AB, AC, AE; puncti D diversa est positio prout va-
riant casus : Aio rectas, pimctis datis et puncto D a parle puncti A termi-

( ' ) Voir la note de la page Sy.

VO ŒUVHF.S ni£ lEUMVT. - !■ PARTIE.

/tal(ts. a'qiinri redis, /m/irlis (htlis et pitnclo I) a parle piuirli K lernii-
iialis :

In i-^ nompo tigura, roctani KI)aH|uari rcctis Al), BD, CD;

In 2' tigiira, lootas ED, CD ;ç{|iiari rcctis lîD, AD;

Kt in 3» figura, reclasED, CD. BD a-quari < icctse > AD.

In ')■' figura, ex hypothesi, quater AD sequalur rectis AB, AC, AE.
Denialnr ulrimquc AD ter : remanebil illinc AD semcl ; sed auferre AD
tt'i' al) ipsis AB, AC, AE, idem est atque auferre AD seniel ai) unaqua-
(|ue ipsarum AB, AC, AE, quo peracto remanelnint istine BD, Cl), ED
a'quaies AD. Quod erat demonstrandum.

Si dar'entur quinque puncta, AD quinquies esset eonferenda cum
quatuor rectis, punctisdalis et puncto A terminalis : denique unifbrmi
jirocederetur in infinitum methodo.

lu r' figura, AD quater sequatur rectis AB, AC, AE. Auferatur utrim-
(|ue AD ter et addatur BD; renianebunt AD, BD sequales ED, CD.

In !•■' figura, AD quater œquatur rectis AB, AC, AE. Addatur utrim-
(|ue BD, CD et dematur AD ter; renianebunt recta> AD, BD, CD a-qua-
les recta* DE.

Nec dissimilis est in quotlibet in infinitum punctis metbodus, idem-
que concludetur quacuniquc ratione varient casus.

Lemma ALTERi'M. — Expouatur in r' figura coustructio prsecedens, et
sumatur in eadem recta punctum ^(Jig. 38), utcunique : Aio cjiiadrata

FiR. :«.

A

B C

D

E

N

A

B

r)

C

E

n

A

D C

C

E

1" figura.

^'^ figura.

■\\Pgma.

reclarum, ptmrlis dalls et piiiielo N Icrminalaruin . stiperare cjuadrala
reclarum, punctis c/atis et pii/ieto I) terminalarum, quadralo DN toties

LIEUX PLANS DAPOLLONIUS. 41

snmpto quoi sunt puncta data, quater nenipe in hoc exemplo : — 2^ et
3'' figura varios casus repraîsentant.

In r^ figura, quadrata AN, BN, CNsuperant quadrata AD.BD, CD, si
unumquodque unicuique conféras, quadrato DN ter et rectangulis AD
in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis; quadrata igitur AN, BN, CN
sequantur quadratis AD, BD, CD, quadrato DN ter, et rectangulis AD in
DN bis, DB in DN bis, et CD in DN bis : illud auteni patet ex genesi
quadrati a binoniia radiée affirmata cffeeti ('). Ex alia autem parte,
quadratuni EN sequatur quadratis ED, ND, minus ED in DN bis, illud-
que patet ex genesi quadrati a binomia radiée negata effecti. Ergo
quadrata quatuor AN, BN, CN, EN œquantur quadratis quatuor AD,
BD, CD, ED, quadrato DN quater, rectangulis AD in DN bis, BD in DN
bis, CD in DN bis, minus ED in DN bis. Si igitur probaverimus rectan-
gula negata sequivalere affirmatis, manebit veritas propositionis stabi-
lita : nempe quadrata AN, BN, CN, EN superare quadrata AD, BD, CD,
ED quadrato DN quater.

Probandum igitur rectangulum ED in DN bis .Tqiiari rectangulis AD
in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis, et, omnibus ad DN < bis >
applicatis, rectam ED œquari rectis AD, BD, CD. Quod quidem ita se
habere, superius lenima demonstravit.

Varios casus non moramur. — Si sint quinque puncta, quadrata,
punctis datis et puncto N terminata, superabunt quadrata, punctis
datis et puncto D terminata, quintuple quadrati DN : nec differt a tra-
dito casu ulterior demonstratio.

Inde patet summam quadratorum, puncto D terminatorum, esse mi-
nimam.

Dum tibi loquimur, scrupulosam nimis casuum observationem non
adjungimus; conclusio secundi lemmatis semper eo deducetur, ut pro-
bentur rectangula omnia ex una parte affirmata œquari negatis ex al-
téra, ideoque res ad primum lemma deducetur.

Propositio prima generalis. — Exponatur superior figura, et sint data

(') ViÈTiî, Ad logifiica/n s-peciofiim notce priorcf. [trop. XI (éd. Schoolcn, p. 1G-18).
Fermât. — I. 0

îtO

12 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE,

quatuor puucta iii recta AE : A, B, C, E. Esto AD quarta pars (coiidi-
tionaria uonipc) roctaruni AB, i\.C, AE, et sit datuui Z planuni. l'ropo-
m'iur i/nenire circulum in qito sumendo qnodlibet puncliun cl ah co jun-
^eiulo rectas ad punctadata, (fiiadrata junclaru/n siniul sumpla œquentiii
spatio dato.

Z plaiimn dehet esse niajus quatuor quadratis AD, BD, CD, ED, lit
lociiin liaix'al propositio, ex superius demonstratis.

.Equetur igitur quatuor illis quadratis et prseterea quadruple qua-
drati D.N. Ccntro D, iiitervallo DN, descriplus circulus prsestabit pro-
posituin.

Nam sunialur primo punctuni N ex utravis parte {Jig. 'i{)). Demon-
stratum est secundo lenimate quadrata AN, BN, CN, EN tequari qua-

A N B

dratis AD, BD, CD, ED et praHerea quadrato DN quater. At quadrata

AD, BD, CD,ED, una cum quadrato DN quater, aequantur Z piano; ergo

quadrata quatuor AN, BN, CN, EN sequantur Z piano, hoc est spatio

dato. Quod erat demonstrandum.

Excitetur deinde perpendicularis DM et jungantur AM, B3I, CM, EM :

Aio quatuor illa quadrata a>quari spatio dato Z piano.

Nam

(liiadratum AM ;ff|ii;iUir qiiadiiUo AI) el quatlralo DM,

quadralum DM ?P(|u;iliii' qiiailnito BD et quadrato DM,

qiiadiatimi CM ie(]ualiir f|iia(lralo CD et f|iiailralo DM,

quadralum EM ;r(|iialiii' (jnadralo ED el (juadialo DM;

ergo quatuor quadrata AM, BM, CM, EM anjuantur quadratis quatuor
AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DM(sive DN) quater. Al quadrata
AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DN quater, aîquanturZ piano seu
spatio dato; ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EM œquantur spatio
dato. Quod erat demonstrandum.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 43

Sed sumntur ubicumquc |niiictiim ]M {fig. 4°), a quo deniittatiir
perpendicularis MO. — Similiter probabitur quadrata AM, BM, CM, EM
a^quari <]qiiadrato OM quatci', iiiia cum >> quadratis AO, BO, C(),
EO quœ, ex secundo lemmate, œquantiir quadratis AD, BD, CD, ED et
prseterea quadrato OD quater. Ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EM
;eqnantnr quadratis AD, BD, CD, ED, una cuni quadrato OD quater et

pneterea quadrato 0^1 quater. Sed quadratum OD quater, una cuni
(juadrato Oil quater, a'quatur quadrato DM quater, sive quadrato DN
(juater : suut enim DM, DN ex centro aequales inter se. Igitur qua-
drata AM, B31, CM, EM aequautur quadratis AD, BD, CD, ED, una cuni
quadrato DN quater, ideoque spatio dato Z piano sunt sequalia. Quod
crat demonstrandum.

Si eompleantur circuli, eadem demonstratio in aliis semicirculis
locum babebit et ad quotlibet puncta eadem facilitate et argumenla-
tione exteiidetur; semper enim toties sumentur quadrata DM, DN, DO,
quot erunt puucta, iiec fallel ratiocinatio.

Inde sequitur corollarium cujus usus in sequenti propositione.

Exponantur quotlibet puncta data, verbi gratia, tria A, B, E {fig. k\)
et inveniendus circulus -^sit^ NM, in quo sumcndo quodlibct pune-

A N

tum, ut M, et jungendo rectas AM, BM, EM, quadrati AM duplum
(verbi gratia), una cum quadratis BM, EM, ajquetur spatio dato.

U ŒUVRES DE FERMAT.- I" PARTIE.

I{o casu sumciula esl ad conslniclioiiem recta AD pars qiiarta recta-
ruin AB. AE, quia hoc casu puncUim A gerit vicem duorum punclo-
runi. et idem est ac si diceiclur : datis puiiclis quatuor A, A, 13, E,
invonire circulum NM, in quo sumendo quodlibet punctum, ul M,
quadrata quatuor AM, AM, BM, EM «quentur spatio dato.

Idem est intelligendum in alio quovis puncto et alia qualihcl ratione
multiplici. — Xaui proponatur quadratum AM ( /ig. /ja), una cuui(|ua-

A K B D

drato BM bis et quadrato EM, œquari spatio dato, sunienda est AD
(|uarta pars rectarum AB bis et AE.

Quod advertisse et monuisse fuit necesse, nec indiget res niajori e\-
plicalione.

Propositio ALTERA. — Expouautur quotlibet puncta data in recta AE
(fig. 43), quatuor, verbi gralia, A, B, C, E, et punctum Q eœtra rectam

AE. Quseritur circulus, ut MI, in quo sumendo quodlibet punctum,
ut I, (juadrata AI, BI. Cl, El, Ql œquentur spatio dato.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 45

Demittatur in lectam AE perpendicularis QR, et rectarum AR, AB,
AC, AE sumatur pars conditionaria (quintans ncrnpe in hac specie in
qua dantur quinque puncta) AD, et excitata perpendiculari DO, demit-
tatur in ipsain perpendicularis QO. Recta; QR sumatur pars conditio-
naria (quintans nempe) RF sive DN, et sit spatium datum œquale
quinque quadratis AD, RD, BD, CD, ED et prseterea Z piano. Z pla-
num œquetur < quadrato >• DN quater (pro numéro nempe puncto-
rum in recta AE datorum), quadrato NO, et prseterea quadrato NM (')
quinquies (pro numéro omnium punctorum datorum) : Aio circulum
centro N, intervallo NM, descriptum prtestarc propositum.

Sumatur in eo (juodlibet punctum, ut I, et junctis AI, BI, CI, El, Ql,
ducatur VIX parallela AE, et lY parallela OD. Patet quadratum DI
quater, unacum quadrato 01, œquari Z piano, ex corollario prœceden-
tis propositionis : punctum enim D gerit vicem quatuor punctorum.
Quum igitur DN sit quintans OD, patet quadratum DI quater, una cum
quadrato 01, sequari quadrato DN quater, quadrato ON, et quintuplo
quadrati NM. Sed, per constructionem, quadratum DN quater, una
cum quadrato ON et quintuplo quadrati NM, œquatur Z piano; ergo
quadratum DI quater, una cum quadrato 01, œquatur Z piano.

Sed quadratum DI quater sequatur quadrato DX quater et quadrato
XI quater, et quadratum 01 sequatur quadrato OX et quadrato XI; ergo
Z planum sequatur quadrato DX (sive lY) quater, quadrato XO (sive
VQ) semel, et quadrato XI quinquies. Addantur ulrimque quadrata
quinque AD, RD, BD, CD, ED, fiet inde : spatium datum, hsec enim
quinque quadrata cum Z piano, ex hypolhesi, sequantur spatio dato ;
inde vero : quinque quadratis AI, BI, CI, El, QI, quœ proinde tcqua-
buntur spatio dato.

Hoc ut constet, ex secundo lemmate, quadrata AD, RD, BD, CD, ED,
una cum quadrato DY quinquies, sequabuntur quadratis AY, RY,
BY, CY, EY. Igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita quadrato lY
quater, YQ semel, et DY quinquies, sequabuntur quadratis AY, RY,

(') Les lemmes 7 et 8 de Pappus (prop. 123 et 126) peuvent Être rapportés à la déler-
rainalion du point M.

'i6 Œ[ VRKS DK FERMAT.— I" l'AIlTlE.

BY, ('.Y, E\, iiiia ciim lY qiiater c( YQ semel. Singiilis qiiadratis AY,
BY. CY. KY aiUladir quadiatum lY, tient quadrata AI, BI, (^I, El iiMiua-
lia quailratis AY, BY, CY, EY et praHerca qiiadralo lY (|uater; igitiir
qiiadiata AD, RD, BD, CD, ED, addila (juadrato lY ciiiater, VQ semel,
et DY (|uinquies, a*([nabuntiir qiiadratis AI, BI, CI, JE et praUerca (jua-
drato RY cl (|iiadrato YQ semel. Sed quadratum RY sive YI, una ciini
quadrato QY, aNjuatui' quadrato QI; igitur quadrata AR, RD, BD, CD,
•<ED>-, addita (|iiadrato lY quater, YQ semel, et DY ([uinquies, aequa-
huiitur (iiiadratis AI, BI, CI, El et QI.

At prohatum est quadrata illa omnia œquari spatio dato; ergo qua-
drata quinque AI, BI, CI, El et QI lequantur spatio dato. Quod eral
demonstrandum.

Inde facillime deducitur spatium daluni jequari quadratis AN, BX,
CN, EN, QN et quintuplo quadrati NM, quod tanquam facile pra'ter-
iiiittinius.

///il) cl ad (juodlihcl panda producelur arlificium eadem ralione.

Si eniui denturduo punctaQetL [fig. 44) extra lineam, perfecta con-

Fi"

p

L

e

/

/

0

\

\

V

\//

X

k: \

\

\

4.,

C 11

structionc, utvides, sumetur AD sextansrectarum AR, AS, AB, AC, AE;
rcctarum QR et LS sextans DN sumetur. Spatium datum fiet aîquale

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 4.7

quadratis AD, RD, SD, BD, CD, ED, ot pra^érea quadrato DN quater,
NO semel, NP semel, ot NM sexies; et reliqua perficientur eadem ra-
tione, semperque punctum D vicem geret omnium punctorum in lecta
AE datorum, et |)uncta P, 0 vicem gèrent datorum punctorum Q et L:
et caetera in infinitum uniformi metliodo conserventur, et demonstra-
buntur.

Sed quoniam multipliées casus oriuntur ex diversa rectse assumpta',
duo vel plura puncta contingentis, positione, dum puncta reliqua
diversas ex parte qualibet recta» assignatse sortiuntur positiones, licet
unicuique casui sua competant compendia, placet in artis spécimen
generalius ostendere et co usinière .

Dentur (juotlibet puncta A, B, C, D, E, F {fig. 45), sive in eadem
recta, sive in diversis. Sumatur in eodem [)iano recta quanis SR, ita

ut omnia puncta data sint ex una parte rectœ SR. Demissis perpendi-
cnlaribus AG, BH, CI, DK, EM, FN, sumatur rectarum GH, GI, GK.
GM et GN pars conditionaria < GL >, scxtans nempe in hoc casu. Ex-
citetur perpendicularis LO, a quo resecetur LO pars conditionaria,
sextans nempe, rectarum AG, BH, CI, KD, EM, FN, et sit spatium dalum
aequale quadratis AO, BO, CO, DO, EO, FO et sextuple quadrafi OP;
circulus centro 0, intervallo OP, descriptus satisfaciet propositioni. —
Nec difïicilis est inventio oi qui superiores noverit.

48

ŒUVRES DE FERMAT.

I' PARTIE.

Propositio VI.

« 5/ a duohus piinctis datis injïeclanlar reclœ li/ieœ ; a puncto aiitern ad
» posi/ione ductam lincam abscissa a recta linca posilione data ad datum
» punctum. et sinl species ah injîexis œquales ci, qtiod a data, et abscissa
» continetur. punctum ad injlexionem positionc datam circumferentican

» continget. »

Descripsi propositionem quemadmoiliim rcperitui' apiul Pappuin ex
vi'i'sione Federici Commaiulini, sed vel in textu grœco vel in interpi'o-
tatione mondum esse non dnbito : sensuni propositionis exponam (').

Sinl duo puncta A et B (fig. 46). Oportet invenire circumferentiam,

Kig. /16.

Ut NOB, in qua sumendo quodlibet punctum, ut 0, et jungcndo rectas
OA, OB, et demittcndo perpendicularem 01, rectanguluni sub recta
data in AI a'quetur duobus quadratis AO, OB. ,

Sit primum AB recta data, qui casus satis est facilis.

Suniatur ipsius AB dimidium BN, superque BN semicirculus des-
cribalur : Aio satisfacere proposito : hoc est, si sumatur, verbi gratia,
punctum 0, rectanguluni BAI duobus quadratis AO, OB «quale esse.

Nam AO quadratum ajquatur Al quadrato et 10 quadrato. Si a rec-
tangulo BAI auferatur quadratum AI et quadratum 10 sive rectangu-
luni < sub > BI in IN, superest rectanguluni sub BI in AN sive in NB,

C) La version de Commaiidin est inintellii,'ible; lo sens du texte de Pappus parait ûlre
le suivant, plus général (pie celui adopté ici par Format :

Soient donnés deux points A et B, une longueur a. une droite OX et un point 0 sur
cette droite, enfin une direction telle que OY, à laquelle soit parallèle MP passant par un
point P de OX, le lieu du point M sera un cercle si

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

19

tjuud probaudum est esse «quale quadrato BO, et patet ex eonsduc-
tione ita se liabere.

Secundus casus est quando recta data major est rectà AB, cujus coii-
structioiiem dabimus, modo recta data sit miiior duplâ AB.

Siiit data duo puncta A et B i^fig. 47). et recta AI, duplà AB minor
ex hypothesi. Oportet facere quod proponitur.

Fi"' !i- '

Recta AB bifariam secetur in N, et fiât NE ipsius BI dimidia, (juod ex
constructione licet. Rectangulum IBN ad rectam BE applicelur exce-
dens figura quadrala, et faciat latitudinem rectam EV, cui fiât a^qualis
recta BZ, et super VZ describatur semicirculus VLZ : Aio satisfacerc
proposito.

Nam, junctis LA, LB et demissa perpendiculari LO, cujus pi'imus
casus sit inter E et B, patet, ex demonstratis adpropositionem III Apol-
lonii ( ' ), rectangulum EOB, uua cum rectaugulo VEZ sive NBI, sequari
quadrato OL. Addatur utrimque quadratum OB : rectangulum EBO,
una cum NBI, a?quabitur quadrato LO et quadrato OB. Duplicetur :
rectangulum p]BO bis, una cum rectangulo NBI bis sive solo ABI, œqua-
buntur quadratis LO, OB, bis. -< Addatur utrimque reclauguluin sub
NE in OB bis : rcctangula EBO bis et NE in OB bis >, sive AB in BO
semel, una cum AB in BI, œquabuntur quadratis LO, OB, bis, una cum
rectangulo sub NE in OB bis sive IBO semel, ex constructione. Utrimque
auferatur quadratum OB : supererit AOB, una cum ABI, aequale qua-
drato LO bis, quadrato OB semel, et rectangulo IBO. Utrimque IB in BO
auferatur, nempe illinc ex rectangulo ABI : supererit AO in OB, una
cum AO in BI, sive solum rectangulum lOA .Tquale quadrato LO bis et
quadrato OB semel. Addatur utrimque quadratum AO : erit rectan-

(') Dans le présent livre, p. 34.

Fermât. — I, 7

oO Œ[ V1U:S DE FERMAT.- !■ l'AUTlE.

fïulum lAO qiiadratis AO, OH, iiiia cum LO qiiadrato his, joqualc, ici est
lUiolms tantiuii (luadratis AL et LB. Quod cral l'acieiidum.
Casus alios pia'toimilto.

PuorosiTio VII.

(( S/ /// rirculo positionc dato sil datitm punctum, perqiie ipsum agalur
» quœdam recta linea, et in ipsa j)uncliint e.vtrci sitmaliir; sit aittcni qtiixl
» /// it linea ducta iisque ad punrtitni inira dcitiini œcpiah' ei quod a Iota
» cl extra surnpla, vel soli, vel iina cum co quod duabus, quœ intra cir-
» ciditni. portionihus continelur : />unrlurn extra sumptum positionc datam
» reetam lineant continget. »

Hsec propositio duas liaboL partes, quai'um prior est apud ipsum
Pappuni ('), propos. 159 libri VII, secunda pei" additionem œqiialiiim
ex priore derivari facile potest : Pappi igitur dcmonstiationem tantum
adducemus.

<c Sit circulus circa diametrum AB (fig. 48), et AB producatur,

Fig. 4«-

» sitque ad quamlibet reetam lineam DE perpendicularis. Rectangulo
» autem AFB aequale ponatur quadratum ex FG : Dico, si quodcumque
» siiinaliii' punctum, ut E, atque ab eo ad punctum G recta linea
» ducta producatur ad H, rectangulum etiam HEK quadrato ex EG
» sequab' esse. »

(') Celle proposilion do Pappus est le 33'' icmme sui- les Porismei d'Eiiclido. Fermât ia
reproduit lextuoilemont d'après Coinmaiidin, mais en y intercalant le commentaire de ce
dernier [alinéa mis entre crochets | et sauf nno simplilicalion apportée par kii à ce com-
menlaire [ texte en italique] : voir les variantes.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 51

» Jungantur AE, BL. Erit angulus ad L reclus; scd et reclus qui
)) ad F; rectangulum igitur AEL est aequale et rectangulo AFB et qua-
» drato ex FE. »

I « Quoniam enim angulus ALB reclus est wqualis recto AFE, siin/
» quatuor piincla L, B, F, E in circu/o ac propterea rectangulum FAB
» œquale rectangulo EAL. Quadratuni autem ex AE est sequale duobus
» quadratis ex AF, FE; sed quadrato ex AE «qualia sunt utraque rec-
» tangula AEL, EAL, et similiter quadrato ex AF îequalia utraque
» rectangula AFB, FAB; ergo rectangula AEL, EAL sequalia sunt rec-
» tangulis AFB, FAB, et quadrato ex FE. Quorum rectangulum FAB
» est sequale rectangulo EAL : reliquum igitur rectangulum AEL rec-
» tangulo AFB et quadrato ex FE sequale erit. »]

« Rectangulum autem AEL œquale est rectangulo HEK, et rectau- *
>i gulum AFB quadrato ex FG : ergo rectangulum HEK quadratis ex EF,
» FG, hoc est quadrato ex EG, est œquale. »

PrOPOSITIO VIII ET LLTUIA.

« Et si hoc quidern punctum contingal positione dalain rectam lineani.
» circulus autem non ponalur, quœ sunt ad utrasqùc partes dati puncti,
» contingent positione eamdem datant circumferentiam. »

Hsc propositio est conversa prœcedentis et ex ea facile elici potesl
hujus demonstratio, si contraria via utamur.

Determinationes et casus non adjungimus, quia ex coustructione et
demonstratione satis patent.

DE CONTACTIBIIS SPII ERICIS.

Apolloiiii Pergivi doctriiiam -ipl è-na'^wv resliluit cleganlcr Apollo-
nius Galliis aut sub illius nominis larva Franciscus ille Vieta Foiife-
nseonsisi'), ciijiis mira? in JMathemalicis luciibratioiies Vctcri Geome-
Iria- leliccs praestitero siippetias. Veriini qui materiam hanc contactuum,
qu* hactenus substitit in planis, ulterius promoverit et ad sphœrica
|)i'obbMnala cvclicrc sit atisiis, adhuc, (|iiO(i sciani, cx.stitit ncmo; prse-
flara tamen inde problemata deduci et ad elegantem sublimioruni pio-
blematuni constructionem facillimc derivari patebit statim. Quaîrenda
ilaque spba>ra qiix per (Uita pnncta Iranscat aul spba^ras et data plana
contingat. Quindecim probleniatis totum negotium absolvetur.

Problema 1.
Datis quatuor punclis, sphœrarn i/neriirc f/iicv per data transeal.

Dentur quatuor puncta N, 0, M, F {fig- 49). P^'" fH'* spha?ra descri-
benda est.

Sumptis ad libitum tribus N, 0, M, circa triangulum NOM, quod in
uno esse piano constat ex Elementis, describatur circulas NAOM, quem
et magniludine et positione dari perspicuum est. Esse autem circulum
N.VOM in superficie inveniendœ sphaerae patet ex eo quod, si splia'ra
piano secetur, sectionem dat circulum; at per tria puncta N, M, 0
unicus tantum circulus describi potest quem jam construximus : quum
iiritur Iria puncta N, 0. M sinl in superficie spbœrse qu3esita\ ergo

(') Voir [ilus liaiil, page J. note 3.

CONTACTS SPHÉRIQUES. 53

planum trianguli NOM sphseram qusesitani secat secundum circiilum
NAOM, qucm ideo in superficie spliaerae esse concludimus.

Sit ipsius centrum C, a quo ad planum circuli excitetur perpendieu-
laris CEB; patet in recta CB esse centrum sphœrse qusesita^ A puncto F
in rectam CB demittatur perpendicularis FB, quam et positione et
magnitudine dari perspicuum est. A puncto C ducatur ACD ipsi FB

parallela; erit igityr angulus BCA rectus. Sed et recta BC est perpen-
dicularis ad planum circuli; ergo recta ACD est in piano circuli, et
tlatur positione; dantur ilaque puncta A, D, in quibus cum circulo
concurrit.

Ponatur jam factum esse, et centrum inveniendse sphœra^ esse E,
quod quideni in recta CB reperiri jam diximus ex Theodosio ( - ).
Junctœrectse FE, AE, ED erunt œquales, quuni tria puncta, nenipe F ex
hvpothesi et A et Des demonstratis, sint in superficie sphserica. At très
rectse FE, AE, ED sunt in eodem piano : quum enim rectœ FB, ACD
sint parallela", erunt in eodem piano; sed et recta CB, ideoque très FE,

( ' I On a conservé, pour les figures de ce Traité, qui représentent des constructions
dans l'espace, le mode de tracés suivi dans l'édition des Caria, quelque différentes ijuc
soient à cet égard les habitudes modernes.

( ■- ) Tlieodosii TripoliliT Sphicricoruni Libri très, nusquam antehac graece excusi. lidem
latine redditi per Joannem Penam, Reginm Mathcmaticum. — Ad illuslrissimum principem
Carolum Lotharingum cardinalem. — Paris, André Wechel, i558. — (Fermai cite ici le
corollaire de I, 2. )

5V ŒiVRES i)i: ri:i{M\T. - i- pautu:.

AK, DK. Si ii;itur cire;! tria piincta data A, F, D tlcscriijatur circulus,
ejiis l'enti'uin K ciit in recta (]B, ac proiiide et spluora^ (jua^sila^ ceiitruni
et splia'ra ipsa non latebunt.

Proble.ma II.

Datis Irihiis pimctis cl piano, invenire sphœraiii (juw pcr data piincla
transeat cl planum datum contingat.

Denlur tria puncta N, O, M {fig- 5o), per quœ circulus descriptus
MEOX: crit ad superficiem sphsericam qusesitam, ex jam demonstratis,
cl in cxcitata ad planum circuli recta IBA invenietur centruin spliaM'a-

quam quwrimus. Concurrat recta IBA cum piano date in puncto A;
dabitur igitur punctum A positione. A centro circuli MEON demittatur
perpcndicularis in planum datum ID; dabitur igitur punctum D.ideoque
et recta AD positione et magnitudine, et pariter rectae ID et lA. Dabitur
igitur planum trianguli ADI positione; datur autem et planum circuli
MON positione : ergo commuais illorum planorum sectio V\\\ dabitur
positione, ideoque dabuntur puncta E et F in circulo.

Sit factum et centrum sphsera; quœsitse punctum B. Jungantur recta-
BE, BF, et recta; ID parallela ducaturBC. Quum friangulum ADI et recta
EIFsint ineodcm piano, ergo recta; EB, BF, BC erunt in eodem piano;

CONTACTS SPHÉRIQUES. 53

sed recta ID est perpendicularis ad planiim datum : ergo recta Bd, ipsi
parallela, est etiam perpendicularis ad planum datum. Quum igitur
sphsera describenda planum AD datum contingerc debeat, ergo ab
ipsius centro demissa in planum perpendicularis B(^ dabit punctum
contactus C; rectse igitur BC, BE, BF erunt sequales et probatuni est
eas esse in eodem piano positione dato, in quo et recta AD.

Eo itaque deducta est quffstio ut, datis duobus punctis E et F et
recta AD in eodem piano, qua'ratur circulus qui per data duo puncla
transeat et rectam datam contingat : cui problemati satisfecit Apollo-
nius Gallus ( ' ); dabitur igitur centrum sphœrse B et omuia constabunt.

Problejia III.

Datis tribus punctis et sp/iœra, invenire sphœram qua- per data puncla
transeat et sphœram datam contingat.

Dentur tria puncta M, N, 0 {Jig. 5i), et spbœra IG; datur cir-

culus MON in sphœra qusesita. Ad planum circuli erecta perpendicu-
laris FCB, ut supra, continebit centrum spba?ra? quani quserimus. A
centro I sphaerse datse demittatur in rectam FB perpendicularis IB, qu*

(' ) Probl. Il (ViÈTE, édition Schooten, page SaG).

of. ŒUVHES l)K FERMAT. - l l'AHTlE.

(laltilur positiono ot miii;iiiUKlii)t'. A oen(ro F ipsi parallola diicaliir El),
(|ua> oi'it ex jam denionslralis in piano circiili; et tlahimliir piincta E
et I).

Sit factuni et ccntiuni spliaM'se quœsitse C : ergo rectœ IC, (]E, CD
enint in eodem piano, quoil et datum est, quuni dentiir piincta I, E, l).
C.onlactiis auteni diiaiiim sphœrarum est in recta ipsarum centra oon-
nectente : ergo tanget sphsera qua3sita spliseram datam in puncto G;
recta igitur IC superabitrectas CE, CD radio IG. Centro I, intervallo radii
splia'rici dati, describatur circulus in piano date rectarum IC, CE, ED;
Iraiisibit igitur per punctum G, et circulus ille positione et magnitu-
dine dabitur; sed et puncta E et D in eodem piano.

Eo itaque deducta est qusestio ut ex Apollonio Gallo ( ' ) qua-ratur

nietbodus qua, datis duobus punctis et circulo in eodem piano, inve-

nialur circulus (|ui per data duo puncta transeat et circuluni (iatiitu

contintrat.

Problema IV.

Dafis quatuor planis, i/ncnirc spha-ram qua' data quatuor plana ron-
lingat.

Dentur quatuor plana AH, AB, BC, HG {Jîg. 01), qua^ a splia>ra qu;e-
sita contingi oporleat.

Fig. 52.

Sint duo plana AF, FU (fig. 53) qua^ ab cadeni splia-ra contingan-
lur. Bisecelur ipsorum inclinatio per planuni BFHC; patel centruni

P) l'rol)!. VIII ('ViKri;. ('diiion Sclioolen. p. Î33).

CONTACTS SPIIÉRIQUES. 57

sphterae qute duo plana AF, FD contingit, esse in piano bisecante, ul
videatur inutile in re tam proclivi diutius immorari. Si plana AF, FD
essent parallela, sphaera? centrum esset in piano ipsisparallelo et inter-
vallum ipsorum bisecante.

Hoc posito, propter plana CB, BA (Jîg- oa) positione data, < est
centrum splia^ra? qua^sita^ ad planum positione datum, >> quod neiape
datoium CB, BA planorum inclinationem datam bisecat. Sed, propter
duo plana BA, AH, est idem centrum sphœrse qusesitse ad aliud planum
positione datum; ergo communis sectio duorum planorum positione
datorum, quorum alterum inclinationem planorum CB, BA, alteruni
inclinationem planorum BA, AH bisecat, dabit rectam positione datam,
in qua inveniendœ sphaerae centrum erit. Sit illa recta FE; sed, propter
duo plana AH, HG, est etiam centrum spbgera^ qufesita^ ad aliud planum
positione datum, cujus concursus cum recta FE positione data dabit
punctum D, quod patet esse sphaerae quaesita? centrum; et reliqua con-
stabunf.

l'iionLEllA \.

Datis tribus planîs et pinicto. invenire sphœram r/uœper-piinrti//n (Jatiiin
trauseat et plana data rontingat.

Sint data tria plana AB, BC, CD {fig. 54) et punctum H : qua?renda
spbai'ra qua\ data tria plana cnntingens, transeat per punctum H.

Sit factuni : tria plana data, ex prsecedentis propositionis ratiocinio.
dabunt rectam positione datam, qua> sedes erit centri spba'rici qua^siti.

Fermât. — I. S

38 (KrVUES HE FERMAT. - 1- PARTIE.

Sil illa CiK, in qiiam a [niiiclo clato H (Icniitlalur perix'ndicularis Hl,
(|ua' et positionc cl iiiagniludino dabitur. Prodiicatiir ad F, iil sil IF
;i'(|ualis IH: dal)iliir [iiimliiiu F.

Quiim auli'iii splia-ra' (iiuositiv centruni sit in recta GE, ad ([iiaiii
diiria fsl |i('r|ii'ndiciilaris HF bifariam secta in I, ciijus uniun ox
fxtiTinis H est ad superlieiem spha?i'icam ex hypollicsi, erit et altciius
exIrcMuini F ctiani ad splia'ricam superficiem. Imo et circulus, cenlro 1.

iiitcrvallo IH descriptus in piano recto ad rectani GE, erit ad superfi-
cies sphaîrae; datur autem ille circulus positione et niagnitudine. Dato
antem circulo spha^-ico positione et niagnitudine et aliquo piano ut AB,
datur, ex facili propositionis secund* liujus eonsectario, spha^ra ad
cujus superficiem sit circulus datus et qu;e planum datum contingal;
deducta est itaque qua;stio ad secundam liujus, nec reliqua latebunt.

Problema \l.

bâtis tribus p/anis et sp/iœra, i/wenire sphœram (pav (httarn sphœram el
plana data cnntinp;at.

Dcnlur tria plana El), DR, BC {/ig. 55) et spiiaM'a R.Al. Construenda
est splia-ra qua^ datani splueram et tria pariter plana contingat.

Sitfactum el spluera ERCA satisfaciat proposito, spba'ram nempe in
puncto R el plana in punctis E, A, (> contingens. Spba'ra^ ERt^A cen-
truni sit (); jnnctai RO, VX), AO, (]0 erunt œquales. Sed et recta OR
transibit per data; spba;ra' centrum M, et rectae EO, OA, 0(] erunt per-
pendiculares ad plana data DE, DB, Btl. Fiant recta' OM «qualcs rectae

CONTACTS SPHÉRIQUES. 59

OV, OG, 01, et per puncta Y, G, I intelligantur duci plana VP, GH.
IN. (latis ED, DB, BC parallela.

Qiuim recta OR a?qualis sit OE, et ablata OM ablata; OV, eiit reli-
qua RM reliquae VE œqualis; datur autem magnitudine RM, qiuini sit
radius sphaerw data?: datur igitur et VE magnitudine. Oiiiini aufein OE
sit perpendiculai'is ad planum DE, erit etiani perpendicularis ad pla-
num PV, piano DEparallelum ; recta igitur VE erit intervallum plano-
rnm DE et PV. Sed datur VE magnitudine ex demonstratis; ergo datur
planorum DE, PV intervallum. Sunt autem parallela li;ec duo plana

A

G

h\

/

V

__-il— •

et datur DE positione ex hypothesi; datur igitur et PV positione. Simi-
liter probabitur plana GH, IN dari positione, et rectas OV, OG, Ol arl
ipsa esse perpendiculares et aîquales rectseOM. Splnera igitur, centro O,
intervalle OM descripta, plana PV, GH, IN positione data contingit.
Datur autem punctum M, quum sit centrum sphaera* datse.

Eo itaque deducta est quœstio ut, datis tribus planis V\ , GH, IN et
puncto M, invcniatur spbsera quse per datum punctum M transeat et
data plana PV, GH, IN contingat : hoc est, deducitur quœstio ad prte-
cedentem.

Nec absimili in sequentibus artificio, quum nulla in datis puncta
reperientur, sed spbaera' tantum aut plana, in loeum unius ex sph;eris
punctum datum substituetur.

60

(Kl VHF.S 1>K FEr,M\T. - !• IHRTIE.

l'ilOBLIiMA \ II.

lUitis (luohiis punctis cl dttohus phnis, imcnirc spluvram qmv pcr dala
piinrhi Ininseal cl plana data ronfi/i^aL

Dontur duo plana A13, \iC[/ïg-. jG), et duo puncta H, M. Qui^renda
splia'ra (|ua' per puncta H et IM transeat et plana AB, BC eontingat.

Jungatur recta H.M et bisecetur in I; punctuni I dabilur. Per punc-
tum I trajiciatur planum ad rectani ILM rectum. Quum sphaM"ica super-
ficies puncta H, M conlineat, certuni est centruni sphœrae esse in piano
ad rectani H>[ norniali et per punctuni I transeunte. Datur autem Jioc
planum positione, quum recta H>[ et punctuni I sint data positione;
ergo centruni splia?ra\ propter puncta H et M, est ad planum datum.

Sed et propter plana AB, BC, ut jam superius demonstravinius, est
ad aliud planum datum : ergo est ad rectam positione datani. Sit illa
(tE, in quam demissa ah uno ex punctis datis M recta MF <^ perpendi-
cularis >■ dahitiir positione et niagnitudine; et continuai;! in D. ut
sitFD aequalis ME, erit punctuni D datum et, ex superius demonstra-
tis, eritetiam ad sphaericam superficieni. Dantur itaque tria puncta H,
y\, 1), per qua' sphaîra qua'sita transit; datur etiam planum AB, quod
al) eadeni spliaM-a contingi débet : deducta est itaque qua\stio ad pro-
ble

ma secundiim liuiiis.

Priusquam progrediamur ulterius, praemittenda lemmata quaedam facil-
lima.

CONTACTS SniÉRIQUES. 61

Lemma I. — Sit circulus BCD {fig. 57), extra quem sumpto quoli-
bet puncto E, trajiciatur per centrum recta EDOB. Ducatiir ([lueli-
het EGA; patet cxElementis rectangulum AEG œqiiari rectangiiloBED.

Sit jam splia?ra circa centrum 0, cujus maxinius circulus sit ACDB;
si ab eodem puncto E per quodlibet punctum superficiel spbaerica* tra-
jiciatur recta EGA, donec spbaM'se ex altéra parte occurrat, rectangu-
lum AEG erit similiter squale rectangulo BED.

Si enini intelligatur circa rectam immobilem BDE converti et circu-
lus et recta EGA simul, non immutabuntui" rectai EC et EA, (luum
puncta G et A circules describant ad axem rectos, nec idcirco rectan-
gulum AEG; erit itaque in quocumque piano ai'quale rectangulo BED.

Lemma H. — Sint duo circuli in eodem piano ADE, HLO [fig- 58).
Per centra ipsorum trajiciatur recta AGMP, et fiat

ut radius AC ad radium IIM, ila recla CP ad rectam MP,

et a puncto P ducatur ad libitum recta POLED, ambos circules secans
in punctis 0, L, E, D. Demonstravit Apollonius Gallus (') rectangula
APQ, GPH esse sequalia, et ipsorum cuilibet sequari rectangula DPO,
EPL.

In sphsericis idem quoque verum esse sequentium probleniatum

( ' ) ViÈTE (édition Scliooten, pages 3'54-3'35. lenunes I et II) démontre seulement, de
fait, que APQ = DPO et GPÎI = EPL. Mais l'égalité APQ = GPH se déduit aisément de
,,, ,,, AC CP

(i-2 ŒUVRES DE EEUMAÏ. - 1" PARTIE.

iiitcirst; patot auteni ex eo quod, si circa axem AP immobileni tani
circuli duo quam recla POl.KD eodcni lempore oonvertantiir, non im-
niutabnntur ro( ta' PO, PL, VE, PD, propter allatani in superioii leni-

mate rationcm, ncc idciiro rectangula; et in quocuniquo piano côn-
stahit propositum.

Lkmma III. — Sint dua' spha?r3e data? YN, XM (y?^. 09), per qnaruni
centra trajiciatur recta RYNXMV, et fiat

ut radius ^'N ad radium XM, ila recla Y\ ail rectam VX.

A puncto V ducatur in quolibet piano recta VTS, et sit rectanguhun

Fig. 59.

SVT a'quale rectangulo RVM. Si describatur splia-ra quœvis qua* per
punctaT, S transeat et unam ex duabus datis contingat, alteratn (|Uo-
que continget.

Sit enini splia^ra OTS, per [»uncta T et S descripta et sphajram MX

CONTACTS SPHÉRIQUES. 63

m puncto 0 contiiigens, aio sphan-am YN etiam a sphaM'a OTS contac-
tam iri.

Producatur recta VO, donec sphœrœ OTS occurrat in Q : rectangu-
lum igitur QYO, ex primo lemmate, est aequale SVT. Sed rectangulum
SVT, exconstructione, estaequale rectangulo RYMcui, ex secundo lem-
mate, est sequale rectangulum suh YO et rectà per puncta Y et 0 ad
superficiem sphsericam sphaeraj YN productà : ergo punctum Q est ad
superficiem sphaenc YN; commune igitur est et superficiei sphîer?e YN
et superflciei sphaira' OTS.

Aio lias duas sphseras in puncto eodem Q se contingere. Ducatur
enim a puncto Y quselibet recta in quolibet piano < per quodlibet
punctum > sphseraî OTS, et sit, verbi gratia, YZ, quae productà secet
spba;ras très in punctis Z, D, H, K, P, B. Rectangulum ZYB in sphwra
OTS, per primum et secundum lemma, est sequale DYP rectangulo,
spbaerisduabusXMet YN terminato. Sed DY est major rectà VZ; (|uum
enim spbaera OTS tangat exterius spba;ram XSl in puncto 0, recta
secans spbseram OTS prius ipsi occurret quam spba^rje XM. Quum
ergo probatum sit rectangulum DYP œquari rectangulo ZYB, et recta
ZV sit minor rectà DV, ergo recta PY erit minor rectà BY; punctum
igitur B extra spha'ram YN cadet.

Simili ratiocinio concludetur omnia puncta spbaM'œ. ambientis exte-
rius cadere, prteter punctum Q. Tangit igitur sphsera OTS spbœram YN ;
quod erat demonstrandum.

Nec absimilis autdifficilior in contactibus interioribus et in omnibus
casibus demonstratio.

Lemma IV. — Sit planum AC {//'g. 6o) et spbœra DGF, cujus cen-
truni 0. Per centrum 0 ducatur FODB perpendicularis ad planum, et a
puncto F ducatur recta (jua'vis ad planum, spbœram secans in G et
planum in A. Aio rectangulum AFG sequari rectangulo BFD.

Nam secentur spbaîra et planum datuni per planum trianguli ABF,
et fiât circulus GFD in spbœra, in piano autem recta ABC. Quum recta
FB sit perpendicularis ad planum AC, erit etiam perpendicularis ad

6V ŒIVHES DE FERMAT.- 1" PARUE.

rectam AC. Hahcmiis igiliir circulum DGF et reclaiii A(". in eodem
l)lano,ol rectam FDB. per eeiilruni eirculi transeuntem, ad Ad pei'pen-
(lieularem. .lungatur (jD; anguli ad G et ad B sunt recti : ergo quadri-
laterum ABDG est in cireulo, ideoque rcctaiigulum AFG squale est
reetaugulo 1$F1). Qnod efiani in (|uavis alia sphœra' sectione simililei-
demonstrahitur.

Lkmma y. — Sil planum ABD [fig. Gi) et spliœra EGF, cujiis een-
truMi (). Per centrum 0 trajiciatur recta FOEC perpendieularis ad pla-
num, et in quovis alio piano ducatur recta FGHI, sitque reetangulum
IFH îçquale reetangulo CFE. Si per puncta I, H describatur sphaera quse
planum A(- eontingat, eadem spha;ra tanget sphœram EGF.

inleiligatur constrni sphaera IHB, qua\ perpniicla 1 el 11 li'ansiens,
tangat planum AC in puncto B : Aio spha;ram EGF conlingi a splia;ra
IHB.

Jimgatur recta FB et reetangulo CFE fîat aequale reetangulum BFN;
punctum N, per pra-cedenlem, erit ad superficiem sphatMio EG?'.

i

CONTACTS SPHÉRIQUES. 65

Sed et recta 11 gii lu m CFE, ex constructione, est seqnalo rcctangiilo
IFH; rectangula igitur IFH, BFN siint œqualia, ideoque punctum N est
etiam ad superficiem splifeia» IBH.

Pi'obandum jam sphaîram EGF a spluera II3H in puiicto N condiigi :
(liiod (iiiideni facile est. A puncto euini F, per quodlibet pumtuin
sphserae EGF, ducatiir recta FR, quœ spliaeram IBH in M et P et planiiin
AC in K secet. Rectangiiluni KFR, ex prjecedente lemmate, sequatiir
rectangiilo CFE, oui ex constructione a'(|uatur reclangulum IFH, ideo-
que PFM. Rectangula igitur KFR et PFM sunt sequalia; sed recta KF
est major rectà FP, quia sphœra IBHtangit planum AC in B : ergo recta
FR est minor rectà F.M. Punctum igitur R est extra spliaM-ani IBH.

Idem de quocumque alio ])uncto, in quovis piano, spha'rae EGF, ex
u(i'a(iue puncti N parte, probabitur; manifestuni itaque spluerain EGF
a sphsera IBH in puncto N contingi.

Hœc lemmata, licet sint l'acilia, pulclierrima tamcn sunt. (criiiim
prtesertim et quintum : in tertio quippe infinit;c sunt spba'ra^ qua- per
puncta T et S transeuntes sphaM'am XiM contingunl, sed omnes il la' in
infinitum tangent quoque ex demonstratis spliaM'ain YN ; in ([iiinln au-
tem lemmate intinifa» sunt spluera* qua\ per puncta I et H transeuntes,
planum AC contingunt, sed omnes illa' paritcr in intinilum splnerani
EGF ex demonstratis contingent. His suppnsilis, i'cli(|iui proldemala
lacile exsequemur.

PliOBLDMV VIII.

Ikilis (luobiis punclis. piano cl spliœra, iinc/iire spha-iatn (jn(v jtir ilitict
panda transcat et spitœram ac planam datum continuât.

SU datum planum ABC [fig. G2), spliara DFE et puncta H, M. Per
centrum spbara data 0 in planum AB(] datum demittatur perpendicu-
larisEODB; jnngatnr HE, el rectangulo BED tiat aquale rectangulum
HECJ ; dabilur itaque pnnclum G.

Datis tribus punctis H, G et M et piano ABC, quaratur spba^ra, per
secundum problema hujus, qua per data tria puncta transeat e( |)la-
nnm ABC datum contiugat.

Fkrmat. — I. O

OG

(Kl" VU ES l)K F EU MAT.- I" l'MîTIE.

Splun-i illa salislarict proposilo : Iraiisil (|ni|(|i(' pcrdata tlim |)iini-la
Il t't .M. cl |)latuiiu AIJC taiigit ex ooustriiclionc; sed cl spliicrani DFK
eoiitiiii;il, c\ (|iiiiito hMiinialt'. Nain (|miiii rcclaniiiiliiin Hl'](! a'(|ucltii'

V\ST. (i!

rcclaiii;iil(i BK!), oiiiiiis splia-ia (|ii;f , pcr data duo II cl (i piimla liaii-
siciis, plaïuini AIJC (aiigit, spluoraiii quoqiic DEF coiilini;it.

Problema 1\.

I)a/is (Iiiohus punclis et duubus sphcciis, iiivenlir sphaTuin (jnw pcr dalti
(liio piinria t muscat et spluvras datas roiitin'^al.

Fifî. 03.

Siiildalic diia' spha'ra' AB, DE [fig. Gi) el piiiicla dala II cl M. Fr'a-

CONTACTS SPHERIQUES. 67

jiciiilur l't'cla AF per centra spliaM'aniin datariiiii, cl

iil radius AH ;ul lailiimi DE, ila fiai recla BF ad FE;

(labitur puiictiini F. Fiat rectangiilo NFA iPfjuale rectangiiliini HF(i;
daltitur piinctum G.

Jain datis tribus M, G, H piinctis et s[ilKora l).\, qiia'i'alur spluora
<|iia' per data tria puncta transeat et sphaerani DN datain continuai, ciii
pi'ohlemali satisfaciettertium probleina hiijus : continget quoque sphfc-
laiii •< AB >■ ex tertio lemmate, ideoquc proposito satisfaciet.

PuOBI.KMA \.

Data piincto, duubus pkinis et spha'ra, i/n'enire sphœram (piœ pn'r datiitn
pinicliim Iranseal et sphœram cic dala duo plana cuntingal.

Sint duo plana AB, BU {/ig. 64), sphîpra EGF, punelnin H. Per pnnc-
tiini 0, centruni sphaera" data?, in quodlibel ex planis demittaliir perpen-
dicularis CEOF, et rectangulo CFE fiât aequale rectanguliini HFI.

Fig. 61.

Datis duobus punctis H et I et diiobus planis AB, BD, «{nseratur, per
septimum problema bujus, sphœra quae per data duo puncta transeat
et duo plana data contingat : continget quoque ex quinto lemmate
splia>ram, et proposito satisfaciet.

68 ŒlINI{i:S J)K l'KHMAT. - !■ l'VHTIE.

PUOBLEMA \1.

Dato ptiricfo. piano et diiahiis sphœris. itnenirc spJuvram quce per daliini
pitncliirn Iranantl cl plditiim cir sp/iœ/ds ditas (hilas roittingat.

ntHluoetiir slatim (|utPstio simili priccedenlibiis raliocinio ad pio-
hlenia VIII, Dalis dtiohus punrtis. piano et splnvra. idque beneficio lem-
iiialis V. Qiiod si liheat uti leminate III, deduccdir qiiœstio pariterad
idt'iii proliloMia. alio iiicdio et alia constriictione.

l'ilOBLE.MA \il.

Dalo puncio ri /rihas sphœris. invenire spliwrani qiia' pcr datum punc-
luin Iranseal cl splucras dalas conlingal.

Huic qiioque figuram non assignamus : statim quippe, henefirio Icm-
matis 111, deducetur quœstio ad problema IX, Dails danbas j>anciis cl
ditahiis spha'ris cic.

Problema XIII.

Dalis (hiobas plaiiis et duabns sp/iœris. invenire sp/iw/rini <///«> dala plana
cl splucras ronlingal.

Sit lacdiiii. Si crgo spliaM-ic* siiperficiei inventae imaginemur aliaiii
fijusdeni ceiilri supcrficiein parallelani, qiue a quœsila dislct per ra-
diiitii tiiinoi'is ex sphseris, tanget haec nova superficies sphaerica plana
<|ua> a datis distaimnt per intervallum cjusdem radii minoris ex sphse-
ris; tanget quoque sphseram cujus radius dislabit a radio majoris
spliaMfe datîc per idem radii minoris intervallum, (|u?cque erit majori
splia-no concentrica. Dahitur ergo; dahuntur et duo [)lana datis paral-
lela et per radium minoris c\ spha'ris ab ipsis dislantia. Transihit et
ha'e nova superficies sphserica per ceiitrum minoris ex splia^is datis,
(|uo(l (piidciii datum est; paii igilur (|iio usi jam sumus in ]>roblemate VI
artificio, deducetur qua'stio ad problema X, Dato pundo. duobus planis
fl splucra, invenire elc.

CONTACTS SPHÉRIQUES. 69

Problema \IV.

Datis tribus sphœris et piano, iiivcnire sphœram quœ sphœras et plaimin
datitin coiUingat.

Simili (]Lia usi sumus via in prœcedente et sexto probleniate, dedu-
cetur qusestio ad problema XI, Data puncto, piano, et duahus sp/ui'-
ris ete.

Problema XV.

/)alis quatuor sphœris, invenire sphœram qiue datas contingal.

Sit factum : et, qua usus est inetliodo«Apolloiiius Gallus (') ul pi'(»-
l)k'iMa de tribus cireulis ad problema de puncto et duobus cireiilis
deduceret, eadem et simili praecedentibus famosum hoc et uobile |)r(p-
blema ad XII, Bâtis tribus sphœris et puncto, deducemus.

Constabit ex omni parte propositum, et illustre accedet Apollonio
Gallo complementum. Casus varios, determinationes, et minuta ne-
gleximus, ne in immensum excresceret sphaericus de contactibus trac-
tatus.

(' ) Probl. X (ViÈTE, édition Scliootcn. p. 356).

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES.

SOIXTIO PRORLEMATIS A DOMINO PASCAL PROPOSITI '".

l'roposuil [Joiniiius Pascal lioc prohlonia : Iktio Iriaiiguli aiigulo ad
rer/i'cem et ratione qitam hahet perpendicidum ad differenliam lalerum.
imenire speciein Irianguli.

Kxponaliir rt'cla qii.Tvis data AC (Jig. 05), super (jiiani ])or(i() cir-

Fis. (iâ.

ciili AIFC capax angiili dati (lescrihatur. Eo qua'stionem deduximus
ut, data basi AC, angulo vcrticis AIC, et ratione qiiam hahet |)erpen(li-
culum ad difi'erentiani lateruni, qiiseratur triangiiliim.

Ponatur jam factum esse et triaiigulum qu;esitiun esse Ait]. Deniil-
tatur perpendiculum IB et, diviso arcu AFC bifariain in F, jungaiitiir

(') Celle pièce cl la suivante oiU été publiées par Bossiit, l'éditeur des OEnvrcr de
Pascal, 1779 (l. IV, p. 449-154), avec la note suivante : On <i troin'é, parmi les papiers
de Pascal, ces deu.r pori.ime.i et le problème suii.'aiit, écrits de lu inuin de Fermât ; on
crnil que le lecteur les verni ici m'ec d'nntnnt pins de phiitir ipi'il< ii'm'oicnt pus e/ieori'
e'te' imprime't.

Nous avons inlorverti l'ordre des deux pièces, pour rapproi-iier lus deux purismes du
Traité de l'"ermal sur ce sujet. Il est certain, au reste, que l'auteur du lu-oblèino est
ftticnnc Pascal C le- père).

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 71

AF, FC (' ) et, juncta IF, demittanlur in rcctas A[, IC perpendiculares
CO, FK. Deinde centro F, intervallo AF, describatur cii'culus AHGEG,
cui rectse CI, IF continuatae occurrant in punctis G, H, E; deniquo
jungatiir GA.

Angulus AFG ad ceiilruni diipliis est anguli AGC ad circumforen-
tiam; sed angulus AIC aequatur angulo AFG in eadem portione : igitur
angulus Aie duplus est anguli AGG. Sed angulus AIG sequatur duobus
angulis AGG, lAG : igitur anguli IGA, lAG sunt aequales, ideoquc
recta; lA, IG. Sed, quum a centro F in rectam GC cadat perpendicu-
laris FK, icquales sunt GK, KG, ideoque Kl est dimidia difFerentia inter
rectas Cl, IG, lioc est inter rectas CI, lA.

Data est auteni ratio perpendiculi IB ad dilferentiam lateruni CI, lA :
ergo datur ratio lîl ad IK et, singulis in rectam AG ductis, data est
ratio rectanguli sub AG in BI ad rectangulum sub AG in IK. Sed rec-
tangulum sub AC in BI sequatur rectangulo sub Al in GO; est enini
ulrnnique dupluni triangnii AIC : ergo ratio rectanguli sub Al in O)
ad reetanguluu) sub AC in IK data est.

Datur auteni e\ bypolbesi angulus AIC et rectus est COI ex construc-
tione : ergo datur specie trianguluin (]0I; ratio igitur CO ad CI data
est, ideoquc rectanguli sub Al in GO ad rectangulum sub Al in K^
ratio datur. Sed probavimus rationem rectanguli sub Al in CO ad rec-
tangulum sub A(] in IK dari : ergo datur ratio rectanguli AIC ad rec-
tangulum sub AC in IK.

,lam in Iriangulo AFG datur angulus AFG ex hypotbesi : ergo an-
gulus FAC datnr, cui ;oi|ualis GIF idcirco dabitur. Est auteni rectus
angulus FKI : ergo trianguluni FIK datur specie, ideoque rectae Kl
ad IF ratio data est, ideoquc rectanguli < sub >■ AC in IK ad rectan-
gulum sub AC in IF datur ratio. Probatum est autem dari rationem rec-
tanguli AI in l(] ad rectangulum AG in IK : ergo datur ratio rectan-
guli Al iii IC ad rectangulum AC in IF. Est autem rectangulum GIG
sequale rectangulo CIA, quia recta> Iti, lA sunt aequales, et rectan-

(') Dans les deux figures données par Bossut, les Usines auxiliaires AF, FC soni effec-
livomenl tracées; on les a suinirimées, pour rendre moins eompliipiées liis fig. 6J et (iG.

7i2 (KINIIES DE FERMAT.- 1" l'AKTlE.

liiilo CIG *quatiir rccl;iiii;iilum HIE : (M'go latio rpctani^iili \UE ad roc-

taiiiiiiliiin sub AC in IF ilala ost.

Sit data ratio ED ad AC; qiiuin igitur AC sil data, dabitur El), (|iia'
ponatiir recta? HE in dircctum ut in figura prima. Rectangulum igitur
IllK ad rectangulum AC in IK est in ratione data ED ad AC; sed, ut DR
ad AC, ita DE in IF ad AC in IF : igitui', ni rectangulum HIE est ad rec-
tangulum AC in IF, ita reetangnlum DE in IF ad rectangulum AC in
IF : rectangulum igitur DE in IF «quatui' rectangulo HIE.

l'nibatum est triangulnm AFC dari specie; sed datur basis AC niagni-
liidiiie : ergo datur AF, ideoque dupla ipsius EH datur.

E(|ualibus rectangulis DE in IF et HIE addatur rectangulum sub DE
in 111 : fiet rectangulum sub DE in FH ivquale rectaugulo DIH. Datur
autem rectangulum sub DE in FH, quia utraque reclarum DE, FH
datur : datur igitur rectangulum DIH et ad datam magnitudinem DH
applicatur deficicns figura (juadrata; ergo recta IH datur, ideoque
it'li()ua IF. Datur autem punctum F positione : ergo datur et punclum I
et totum triangulnm AIC.

Non est difficilis ab analysi ad syntbesin regressus; sed, ut omue
dubium toUatnr, probatur facillime triangulnm ([ua'situm esse simile
invento AI(^ in secunda tigura (/ig- (J6) : triangulnm autem AIC ex

N^ï

ulravis parte puncti F verticem babere potest in a-quali a puncto F
ntrimque distantia; erit enim idem specie et magnitudine, et positio
variabit.

Si enim Iriangulum qusesitum non est simile invento, manente eadein

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 73

basi, ejiis vertex vel ibit iatei' puncla F et I, vel intor puiicta I et A; ex
utravis parte nihil interest, nani de parte FC idem secundum triaii-
i;ulum Aie pari demonstratione conehidit.

Sit priimim vertex iiitei' A et I et triangulum qinesitum ponatui', si
fieri potest, simile triangulo AMC. .Imigatur FM et demittatur perpen-
dicularis FP. Erit ratio perpendiculi MN ad MP data ex liypothesi,
ideoque œqualis rationi IB ad IK ([iiain prohaviiiuis datae sequalem :
quod est absurdum.

Quuni enim in triangulo FMP angiilus ad M tequatur angulo ad I
trianguli IFK, erunt siniiiia triangula FIK, FMP. Sed FM est major FI :
ergo MP est major IK. Est autem MN minor IH : non igitnr eadeni
potest esse ratio MN ad MP quœ IB ad IK.

Si piinclum iM sit inter I et F, probabitnr augeri perpendiculum
et minui differentiam hiterum, idque eadem argumentatione, ideoque
variare proporlionem. Si punctum M sit in portioneFC, utemur secundo
triangulo AIC et erit eadeni demonstratio, ut inutile sitdintius in his
casibus immorari.

(Constat igitur triangulum qua'situm invenloAIC esse simile, etpatet
proposito esse satisfactum.

Proponitur, si placef, tam Domino Pascal quam Domino Robervai,
solvendum boc problema :

Ad daliun punclwn in Itclice Baliani (' ) irnenire langentem.

Qusenam autem sit luijusmodi hélix novit Dominus Robf.rval.

Hujus problematis a nobis soluti" solutionem a viris eruditissimis
exspectamus aut, si maluerint. ipsis imperticmur, imo et generalem de
linearum curvarum contactibus metbodum.

Sed ne a prœsenti materia triangulari vacuis manibus discessisse
videamur, proponi possunt ba? qusestiones :

Data basi, angulo verticis, et aggregato perpendiculi cl differcnlia-
laterum, invenii-e triangulum. *

(') KoirVà Lettre de Fermai à Alersoniie, du 3 juin i636.

Fermât. — I. lO

-\ (KlVnUS DE FERMAT. - I" PARTIE.

/)ata Ixisi . angii/u verdcis. cl dij/'crrntid pcrpciidicaU cl diffcicnluv
lalcnun, i/ncru'rc Iriangulum.

Data basi. arigulo vctiicis. cl reclan giilo siib diffcrcnlia lalcrum in pcr-
pendiculam. iinenirc Iriangulum ;

Data basi. angulo rcrticis. cl suiniuci quadralorum perpcndiculi cl diffc-
rcnlia' lalcritni. i/nc/iirc Iriangulum;

et imiltîv similes, quariim enodationes facilius inventuros viros doc-
tissimos existimo, quain de contactu helicis Baliani proposituni pro-
hlema aut theorema.

Sod observandum in quaîstioiiildis de triangulis, quoties prohlema
poterit solvi per plana, non recurrcnduni ad solida. Quod qonm norint
viri doctissimi, supervacuum fortasse subit addidisse.

PORISMATA DUO (' ).

PoRisM.v I. — Datis posilione duabus /'cc/iV ABE, YBC (fig- 67 ) scse in
jHincIo B secantibus. dalis cliam punclis A cl D in rccla ABE, (puvritnlur

duo piincla, exempli gralia, 0 cl N, a quibus si ad (piudlibcl rccUv YB(>

( '; Celle pièce, conservée, comme la |)rccc(iento, dans des papiers do Pascal aiijoui-d'luii
perdus, est un premier essai de l'upusculo suivant, où l'on retrouvera les deux iiiOmes
propositions, comme Porlsina priimun cl l'orisina /iKuiliiiii.

rUAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 75

punctiim, 11/ H, recla OHN iiijleclatur, reclam ABD in punclis I et \ secans,
reclan gulum sub AI in DV œquelur spalio dalo, videlicet reclangulo siib
AB in BD.

Ita procedit porismatica Euclidis constructio et generalissiniam pro-
blematis solutionem reprgescntabit.

Suinatur punctum qiiofJvis 0. Jungatur recta AO secans rcctam YBC
in puncto P. A puncto 0 ducatur recta OQ ipsi ABD parallela et rectœ
YBC occurrens in Q. Ducatur etiam infinita PNM eideni ABD parallela,
et Juncta QD secet rectam PNM in puncto N. Aio duo puncta 0 et N
adimplere propositum.

Sunipto quippe ubilibet in recta YBC puncto H, et ductis rectis OH,
NH rectœ ABD occurrentibus in punctis I et V, rectangulum sub AI
in DV in quibusiibet oninino casibus (très tantum triplex (') figura
repraesentat) rectangulo < sub > rVB in BD œquale erit.

PoRisM.v II. — Dalo circula ABDC {Jig- G8), cujiis diameler AC, cen-
Iriim M, quœruntiir duo puncta, ut E et N, a quitus si ad quodvis circuin-
ferentiœ punctum, ut D, injlcctatur recta EDN, diamctrum in punctis Q
et H secans, summa quadratorum QD et DH ad triangulum QDH habeat
rationem dalam, idcntque in qualibet injlciione generaliler et perpctuo
conlingal.

A centre M excitetur ad dianietruni perpendicularis MB. Fiat ratio
data eadem quœ quadrupla' recta; BV ad rectam VM. A puncto V exci-

(') Bossiit a roproduil, on effet, trois figures dont nous ne donnons ci-dessus que la
première; les deux autres eu diffèrent en ce que le point arbitraire H est pris, dans la
seconde, entre P et B: dans la troisième, entre P et Q.

7G ŒIVRE^ DF. lERMVT. - 1- PVRÏIE.

ItMiir VI"! ;i(l diamoli'iim porpoiidiciilaris cl ipsi VB ;o |iialis. Sumplà
roelà MO ipsi MA aN]nali, tiat ON ivqualis c\ |)ai'allela rcot:^ \E : Dico
puncta qiiivsita csso puiiota E ot N.

Siimpto quippo qiKnis in circumferentia puiulo, iil D, et juiictis El),
ND roctis diamclnim in punctis Q et H secaulihus, siimnia quadra-
tornm QD et DH ad triaiii;iilum 01)11 (m'iI, in (juocumque casii, in
rationi' data, lioc osl in lalionc (|uadi'npla; BV ad rectani YM.

Non solnm proponitiir inquirenda istiiis porismatis demonstratio,
scd vidcanl etiam subtiliores matliematici an duo alia puncta praHer E
cl N possini pi'obleniati proposito satisfacere, et utrum sokitiones
(|n?pstionis sicut in primo porismatc suppctant infinitœ. Si nihil res-
pondeant, Geomctriae in liac parte laboranti non dedignabiniur opi-
tnlai'i.

PORISMATi::\I EUCLIDEORUM

RENOVAT.V DOCTRINA ET Sl'IS FORMA ISAGOCKS UECKXTIOHIRUS GEOMETRIS EXIIIBITA.

Enunieravit Pappus initio libri seplimi libros velernni Geometrai'um
ad Toirov àvaXuôtxEvov pertinentes : qui omnes quum tomporis injuria
pericrint. cxceptis unico Datorum Euclidis libello cl quatuor prioribus
Conicorum Apollonii, elaborandum ncotericis Geometris maxime fuit
ni danitiiim operum, quae tentavit « edax abolere vetustas », aliquan-
tisper resarcirenl. Et primo quich^îi subtilissimus ille, née unquam
satis laudatus Franciscus Vieta Apollonii Ilipl iv.a'^My libros unico,
quem Apollonium Gallum inscripsit, libello féliciter reslitnil; cujus
exemplo se ad eamdeni provinciam Marinus Gbetaldus et Wilebrordns
Snellius accingere non dubitarunt, nec defuit proposito eventus : libros
enim Apollonii Aoy^^'j à-o-:oixf,ç, Xcopîou y.r.o-.oiJ.ffi, Aicofi(7[A£vr,ç Tout.'?;;
et Nt'JTECJv, illorum beMeficio vix amplius desideramus. Sequebantur
Loci plani, Loci solidi, et Loci ad superficiem. At buic (|no(|ue parti

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 77

lion ignoti noniinis Geonietr» (') succurrerunt, eorunique opéra, ma-

nuscripta licet et adhuc inedita, latere non potuerunt.

Sed supererat tandem intentala ac velut desperata Porismatum Eu-

clideorum doctrina. Eam quanivis « opus artificlosissimuni ac pcrutile

adresolutionem obscuriorum problematuni » Pappusasserat, nec supc-

l'ioris noc recentioris ani Geometrai vel de nomine cognoverunt, aut

quid esset solummodo siint suspicati. Nobis tamen in tantis tenebris

dudum cfecufiontil)iis, et qiia ratione in bac materia Geometriœ opilii-

iaremiir elaborantibiis, tandem

se clara videndam
Obtulit el piira pcr noetcm in luce refulsit;

nec debuit inventi novantiqai spécimen posteris invideri. Postqiiam
enim Suevicum sidus ('-) omnibus disciplinis iihixit, frustra scien-
tiarum arcana tanquam mysteria qusedam abscondemus : nibii quippe
impervium perspicacissimo incomparabilisReginœ ingenio, necfiiscen-
semus occultarc doctrinam quam vel unico duntaxatant inspirantisaut
mandantis nota, quandocumquc libuerit, detectam iri vix possumus
dubitare. Ul autem clarius se prodat lotiim Porismatum negotium.

(') Fermât fait ici allusion à ses propres travaux, Apollonu Pergaei libri duo de loci.i
plaids rextiluti, Ad locox pianos et solidos I.iagoge, f.tagoge ad locos ad .mpcrjîcieni. Quant
à ceux des gi'omètres antérieurs qu'il mentionne, voir plus haut, page 3, note 3.

(2) La date do cet opuscule semble indicpico par ce qu'en dit BouUiau {Ixiiiaclla Bul-
lialdi Exercilationes geoinetricœ très : 1 circa demoiislrationes per iiiscriptas et clrcutn-
scriptas figuras ; II circn conicarum sectionum quasdam propositiones ; IH de porismali-
Ims. — Aitroiiomiœ Pldlolaicœ fuitdameiita, etc. — Parisiis, apud Sebastianum Cramoisv
Régis et Regin:c arcliilypographum et Gabrielcm Cramoisv, via Jacobsea, sub Ciconiis.
-MDCLVII. Cum privilegio Régis), au début de son Essai sur les Porismes.

Voici le passage qui en a été reproduit dans les l'aria, douzième page non numérotée ;

« Hanc de porismatibus scriptiunculam data milii occasione composui, quuni aitte bieii-
iiiuin vir illustrissimus ac amplissimus Dominus do Fermât, in suprema Curia Tolosana
Senator inlegerrimus et in judiciis cxercendis pcritissiraus, rerum matliemalicarum doc-
tissimus, propositiones (piasdam sublilissimas et porismata, quœ tani tlieorematice quam
problemalice proponi possunt, ad amicos suos luic misissct. Ex l'appi unius monumentis
et r.olleclionibus iMaiiiematicis porismatum natnram et usum diseerc possumus, quum ex
vcteribus qui hanc tteometriœ pariem attigerunt, praeter Ipsum nullus supersit. Illius
tamen sententia legénti statim obvia non est, textusque corruptione et applicationis po-
rismatum defectu obscurior procul dubio evadit. Inicrea, dum tanto viro sua odere libuerit,
nostra. qualiaoumque tandem sint, publici juris facere placuit, ut alios ad eorumdem

"8 Œl VUES DE FERMAT.- l- l'AUTIE.

celebriores quasdam proposilionos porisniaticas selcginuis, casque
Goomch'is ci consiilorandas et cxainiiiaiidas confidcnler exliibennis,
ul inox qiiid sit Poi'isma et cui maxime inserviat usui innotescat.

PORISMA rniML'M.

Sint diia" roctîeON.OC {fig. 69), qujeangulum constituant in puncto
0 ot sint ipsse positione datse; dcntur et puncta A et B. A punctis B et

A ducantur rectaj BE, AF ipsi OC parallelge ot oceurrenles rectœ NO
productse in punctis E of F; jungatur recta AE, qua; rectœ CO productœ
occurral in D; jungatur itidem recta FB, quœ eidem recta^ CO occurrat

invesligationem impelloremus, ipsumque amplissimum Domiiium do Fermât ad sua edenda,
utinam et ad alla sublimis inlelleclus sui sjprjuiata cum omnibus communicanda, excita-
remus. Is cnim est quem omnes Europœ Mathematici suspiciunl; quem a subtilissimis
aetatis noslrae Georaetris. Bonaventura Cavaliero Bononia? et Evangclista Toricello Floren-
li;c. summis laiidibiis in cœlum ferri, ejusqiie inventa mirabilia pi'a?dic.ari auribus meis
audivi; (|uem cliam viruni. lani eximiis \irtiitibus claruni, multaque criiditionc ornatum
ao in rébus matliematicis oculatissimuni, toto pectorc veneror ac colo. «

L'opuscule de Fermât sur les Porismos n'aurait donc pas été connu à Paris avant 1654.
La dédicace à la reino Christine de Suède est d'ailleurs expliquée par le passage suivant
d'une lettre du ïj septembre i65i, adressée à Nicolas Ileinsius par Bernard Médon,
conseiller au présidial de Toulouse et ami do Fermât (Syllngcf cpislolamin a viris illu.t
tribus scriplaruin tnmi iiiiinqiic, collecli cl digesti pcr Pciruin Biirmaiiiiiim. Leyde, 1727,
t. V, p. 61 3, 1. 24) :

« Salutat te amplissimus Fermât, a quo circa mathematicas seientias, quas melius quam
quisquam morlalium possidet, nil exlor(|ueri unquam poterit, nisi Ucginarum prœstantis-
sima Chrislina velit aliquando post liujus ;cvi litoralorum omnium vota, [lost Francia>
(>ancellarii |)reees, sua etiam jussa adjutigcro, quibus, ut puto, non êurdus cssct. Si tua
cura posset id fieri, faceres toti Europii' rom porgratissimam. Vale iterum et, quod facis,
me constanler ama. «

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 79

in C; et ad quodvis punctum rectse ON, ut V, verbi giatia, intlcLtantiii-
rectse AV, BV, ita ut recta AV occurrat rectae OC in puncto S, rocta
autem BV eidem OC occurrat in puncto R. Rcctangulum sub CR in DS
sequale semper erit rectangub» sub CO in OD, ideoque spatio dato.

PORISJIA SECUNDUM.

Exponatur parabole qusevis NAB {fig- 70). cujus diamotri quitîiibel
sint BEO. Sumantur in curva duo qusevis puncta A et N, a quibus iii-

flectantur ad aliud quodvis curvae punctum, ut D, roclae ADN, quio in
diametris puncta E, 0, G, Q signent. In cadem diarnetro abscindentur
semppr duœ rectœ quse eamdem servabuntrationeni : cril ncmpc nt OB
ad BE, ita QB ad GB, idque in infinitum.

PORISMA TERTIUM.

Esto circulus cujus diamcter recta AD {fig. 71 ), cui paralicla u(-

Fig. 71. .

cumque ducatur NM, circulo in punctis N et M occurrens, et sint data
puncta N et M. Inflectatur utcumque recta NBM, quae secet diamotrum

80 ŒUVRES I)K FEiniAT. ^ 1 PAI{Tli:.

in puiiclis 0 et V. Aie datani csso rationem roclanguli sub AO in DV ad
rorlaiiguhim sub AV in DO : ideoque, si inflcctatnr NCM secans dianie-
triini in punclis U,S, crit scniper ut rectangulum sub AO in DVad roc-
tangulum sub AV in DO, ita rectangulum sub AR in DS ad rectangu-
lum sub AS in DR.

Nec difficile est propositionem ad ellipses, byperbolas et oppositas
sectioncs extendere.

PORISMA giARTUM.

Exponatur circulus ICH (fig. 72), cujus diameter IDII data, cen-

tiuni D, radius ad diametrum normalis CD. Sumantur in diametro pro-

diictà puncta R et A data, et sint recifc AI, RM a^quales.

Fiat

lit 1)1 iul lA, ila 1)L ad LI,

e( sit recta DR tequalis DL; dabunlur puncla R et L. Jungalur recta
(^A, coi ;e(|ualis ponatur AF ad diametrum perpendicularis, eidemque
liai RG a'qualis cl parallela. Infleclatur quan'is recla ad eirculum a
|iiiM(tis F et G, ut FKG, qu;e diametrum secet in punclis M et N. Aio

FRAGMENTS GEOMETRIQUES. 81

summam duonim quadratoruin RiM, LN a'quari seiiiper eidem spatio
dato.

lisdem positis, in secundo casu, jnngatur recta CL, cui sequalis pona-
tur LP ad diametrum perpendicularis, eidemque seqoalis et parallela
fiat RZ. Si a dnobiis punctis Z etP inflectatur quœlilietad circumferen-
tiam recta, ut PVZ, secans diametrum in punctis K et T, quadra-
torum AT et BK aggregatum œquabitur semper alteri spatio dato.

PORISMA Qi;iN'TUM.

Esto circulus RAC {fig- yS), cujus diameterRDC data, cenlrum D.
radius DA ad diametrum normalis. Sumantur utcumque puncta Z et 15
data in diametro a centre D a'quidistantia, et, junctà AZ, liât tvqualis

ZM ad diametrum perpendicularis, eidemque œqualis et parallela du-
catur BO. Inflectatur qua^vis ad circumferentiam recta MHO qua^ dia-
metrum in punctis E et N secet. Erit semper ratio quadratorum EH,
HN sinuil sumptorum ad triangulum EHN data, eadem nempe qua;
rectse AZ ad quartam partem rectse ZD.

Ex adductis porismatibus (quorum propositiones elegantissimas et
pulcherrimas esse quis diffiteatur?) baud difiiculter indaganda se
prodit ipsa porismatum natura. Enunciari nempe posse, secundum
Pappum, vel ut theoremata vel ut problemata statim patet; nos sane
ut theoremata enunciavimus, sed nibil vetat quominus in problemata
transfbrmentur.

l'EHMAT. — I. II

/^(447

82 ŒLVKES l»i: FKUMAT. - 1 <• PAHTIK.

lixempli causa, sic qiiiiiluin porisina concipi polest : Dato circulo
RAC cujus (/ia/neler RC, (/uœrantiir duo puncfa, ni M et 0, a quibiis si
i/iflccfatiirf/tmxis ad circiunferentiam recta ut MIIO, facial scmpcr ralio-
itcni (fuadralorum ah ahscissis EH, HN arf triangulum EHN dalain. Nec
lali't ex siiprailicto theoremate constructio : si eiiim ponatur l'crta AZ
esse ad (|uar(am partem ZD iii ralioiie data, omiiia coiistabunt, cà-
dciiKpic latioiie in reliquis et omnibus omniiio porismatil)Us (lieore-
mala in problemata facile transibunf.

Quod auteni innuit Pappus ex sentenlia juniorum geometrarum po-
risina deticerc bypotbesi a locali tlieoreinate ('), id sane totam poris-
MKitis naturam specitîce révélât, neque alio fere auxilio quam eo
(liiixl hœc verba subministrarunt, luijusce abdita niatcrise penctra-
vinius.

Quuni locuni investigamus, lineani reclam an( ciuvain inqniiinuis
n(d)is tantisper ignotam, doncc locum ipsum inveniend* lineae designa-
verimus; sed qunm ex supposito loco dato et cognito aliuni locum
venamur, novus iste locus porisnia vocatur ab Euclide : qua ratione
iocos ipsos porismatum unam speciem et esse et vocai'i verissime
Pappus subjunxit.

Exemplo unico detînitionem nostram aslruemus in figura quinli po-
rismatis : Data rectâ RC, si quaeratur curva quselibet, ut RAC, cujus ea
sit proprietas ut a quolibet ipsius puncto, ut A, demissa perpendicu-

(') C'esl-i'i-(Jii'o que, d'après cette déCnilioii, lo porismo serait un théorème énoii(;ant
la propriété d'un lieu, sans (lue la dôterniination complète de co lieu soit donnée dans
l'énonce. Cette détermination reste donc à trouver, on môme temps que la propriété est
à démontrer.

Au temps d'Euclide, le nom de porisnie parait avoir été employé pour désigner spécia-
lement les propositions où \\ s'agissait de tnnu'er-, tandis que, dans les théorèmes, il s'a-
gissait de dcinonirer, dans les problèmes do cnnstriiirc. Euclide a appliqué ce terme de
purisme à un ensemble de propositions relatives à la matière devinée par Michel Chasles.
dans sa célèbre restitution ( Les trois livres de Pnrismes d' Euclide, etc. Paris, Mallet-Ba-
chelier, i86o), mais il ne voulait probablement pas spécialiser particulièrement le sens de
l'expression.

L'intention (pic lui prête Fermai un |)0u plus bas est donc improbable, et elle restreint
trop le sens général du mol porisme, sans d'ailleurs désigner en aucune fa^on la nature
réelle des propositions traitées par Euclide.

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 83

lai'is AD faciat quadratum AD œqiiale rectangulo RDC, invenieimis oiir-
vain RAC esse circiili circiimferentiam. Sed si ex dato jam loco illo
aliuin investigemus, problema, verbi gratia, porismatis quiiiti, noviis
istê lociis et infiniti alii qiios periti sagacitas analystse reprseseiilaltit et
ex jam cognito eliciet, porisma dicetiir.

Quumautem, ut jam diximus, porismata ipsi sint loci, orrorciii laliiii
Pappi interpretis ex grœco textu emendabimus eo loco ubi poris/mtlii/n
upus perutile ait ad resolutionem obscuriorum problemaliim ac conun ge-
iierum quœhaucl comprehcndunl earn qiiœ multiludinem prœhet naliiram :
quœ ultima verba qiium nullum fere sensum admittant, ad ipsiim au-
torem icciirreiulum ciijus voiba in manuscriptis codicibus ila se ba-
Ijêiit : 7:op(CT[xaTa irj-\ r.oXkoïç àOpoi(7p.a cptXoT£)(_v6TaTOv tiç "zr^'^ àvâX'ja'.v
Twv èaSpt9îc7T£pwvTtpo6ÀV]pL7.Tcov xal Twv ysvwv à-£pÎArj— TGV Tf,? o6atM:

Ait x^xlXM' porismata conferre ad analysin obscuriorum proldvtnaluin
et generuin, boc est problematum generalium ; ex dictis eiiim apparol
porismatiim propositiones essegeneralissimas. Deindesubjungit : quuni
nalura multitudinein quœ vix potcst ani/no comprehendi subininislrcl ; (|u i-
biis verbis infinitas illas et miraculo proximas ejusdem pioblematis
iiidicat solutioncs.

Huic autem vel tbeorematum vel problematum inventioni non dccst
peculiaris a puiiore Analvsi derivanda metbodus, cujus ope non solnm
quinque prœcedentia porismata sed pleraque alia et invenimus et con-
struximus et demonstravimus, et si haec paucula, quae isagogica tantum
et accuratioris operis prodroma emittimus, doctis arrideanl, très totos

(') Voici comment Cliaslos (p. i4) traduit ce texte, assez obscur et mal assuré :

« Les Porismes. . . collection ingénieuse d'une foule de choses qui servent à la solution
des problèmes les plus difficiles et que la nature fournit avec une inépuisable variété. »

Dans cette traduction, les mots d'une foule devraient être supprimés. Après sen'ent, il
faudrait ajouter à beaucoup (par opposition à /o«.v). Enfin, après difficiles-, il faudrait dire ;
et ipioique la nature les jouridsse avec une inépuisable variété, en liant a\ec ce qui suit :
il n'a rien été' ajoute' à cet Ouvrage d'Eucllde.

Telle est du moins l'opinion de Heiberg. Le savant éditeur de Pappus, Ilultsch (p. O48,
t. 18 à 21), regarderait, au contraire, comme interpolés les mots à beaucoup et ceux qui
suivent la phrase grecque citée par Fermât.

8i

IK 11 Vil ES DE EERMAT. — 1" PARTIE.

Porisiiialiuu lihi'os ali(]ii;m<lo restidirmus, itno et Hiiclidom ipsiim
promovcltiimis et porismata in coni sectionihus et aliis quibusciuaquo
eiirvis iiiirahilia saiie et liactenus igiiota detegenius (').

PHOPOSITK) D. DE FERMAT CIRCA PARABOLEN {').

Proposui prr chila (jtKitunr jnincta paraholen describere. Duplex est
casas, utrique lemnia sequeiis praMiiittendum.

Sit parabole iii i" tîg. ECBAD (fig. 74). cujus diameter AF detur
positione; dcntiir etiam duo puncta B et C, per quœ transit parabole;

(lentiir denique anguli applicataruni ad diamotruni AF. Aio parabolcn
positione dari.

Applicentur ordiiialini BN et CM; a puncto dato B in AF positione

( ') Foir, sur cel opuscule, lo jugemeut do Chasies (p. 3, 4, 22). 11 est certain que l'es-
sai de Fermât doit être considéré comme tout autre chose que comme une tentative de
restitution des Porismes d'Euclide, soit dans la forme des énoncés, encore incertaine
aujourd'hui, soit pour le fond du sujet traité. Il faut y voir plutôt une indication de ques-
lions offrant quelque analogie avec celles abordées par Euelide.

Chasies n'a cpi'un seul porisme, CXXVI (p. 23o), qui se rapporte à l'un do ceux do
Fermât, le troisième. Comme il le fait romanpier d'ailleurs, le second porisme de Fermât,
où figure une parabole, est étranger à l'ordre d'idées d'Euclide, lequel se borne aux droites
cl aux cercles. Enfin, avec le troisième, il n'y a guère que le premier que l'on pourrait
considérer comme rentrant dans un des vingt-neuf genres énumérés par Pappus.

Au lieu donc, comme l'a fait Chasies, do chercher ici, en s'aidant deslemmes de Pappus,
à retrouver des propositions rentrant dans ces vingt-neuf genres. Fermât a voulu plutôt.
dans ce spécimen, montrer que ces genres pouvaient être multipliés indéfiniment.

l^) Celte pièce est insérée dans les Varia au milieu de lettres d'octobre i636.

FRAGMENTS GEOMETRIQUES. 85

(latain ducitiir BN in dato angulo (positum quippe est dari aiigulum
applicatarum) : ergo datur puiictuni N; similitor datiir punctum 'M et
rcctse BN, CM positione et magnitudine. Ex natiira paraboles est

ut qiiadratuiii CM ad f[ua(liMtuin RN, ila MA. ad NA,

si ponas A esse verticem paraboles sive extremum diametri ; ergo datur

ratio MA ad NA, et dividendo datur ratio MN ad NA. Datur autem

recta MN, quia duo puncta M, N dantur; datur igitur NA et puno-

tum A. Si fiât

ut AN data ad NB datam, ita NB ad Z,

dabitur Z rectum paraboles latus. Dato igitur vertice A, Z recto latere,
AF diametro positione, angulo applicatarum, datur positione parabole,
ex 02, I Apollonii.

Hoc supposito, facillime construitur primus casus in 2" fig. (Jtg. 75),
in (jua dentur ([uatuor puncta D, B, G, F, quae si jungas per rectas BC,
CF, FD, DB, vel neutra oppositarum erit aUeri parallela, vol, ut in boc
casu, erit BC, verbi gratia, parallela DF.

Bifariam utraque dividatur in punctis 1 et E et sit factuni : ergo
juncta lE erit diamcter paraboles, qiium anjuidistantes bifariam divi-
dat. Dantur autem puncta I et E : ergo lE positione datur et angu-
lus DEI. Quum igitur diameter lE positione delur, dentur etiani
angulus applicatarum et duo puncta B et D per quiv transit parabole,
dabitur positione parabole DBACF.

In secundo casu major est difficultas, quum neutra rectarum duo ex
punctis datis conjungentium alteri est œquidistans. In 3" fig. sint data

86 ŒU\UES ni: FEUMAT. - 1"^ PARTIE.

quatuor puncla X, N. D. R {fig- 7O), quai per recfas XH, RD, DN,
NX coiijuugantur, et ncutra oppositarum sit alteri aH|uidistans.

Ponatur jani l'actum esse, et descriptam parabolen XANDBR [uopo-
sito satisfaciontem. Concurrant productse XN, RD, in puiicto Y ol.
Iiir;ii'i:un divisis X\, RD in punctis M et C, ducantur ad ipsas dia-
nietii MA, ('.B, oceurrentes parabol;v in punctis A et B, a quibus recta?
lAS, SBipsisXV, YR ducantur teqiiidistantes et concurrant in puncto S.
Jnncta AB bifariani (Iivi(hilur in P et jungatur SP.

Fig. 76.

His ita constructis, patet, quuni pcr verticem diametri MA ducatur
lAS .Tquidistans applicalse XN, rectani lAS tangere parabolen in A;
prol)abitur similiter rectam SB tangere camdem parabolen in B : ergo,
per 17, III ApoUonii crit

ut rcclangulutn \VN ad reclaiigulum RVI),
ita qiiadraluin AS ad (|ua(lralum SB.

Daturaulem ratio rectanguli XYN ad rectanguluin RVD, quuin denlur
quatuor puncta X, N, D, R : ergo datur ratio quadrati AS ad qua-
dratum SB, ideoque rectae AS ad rectam SB. Datur autem angulus ASB,
quia propter parallelas aujuatur angulo XYR date : ergo in trian-
gulo ASB datur angulus ad verticem S et ratio laterum AS, SB, ideoque

FRAGMENTS GEOMETRIQUES. 87

triangulum ASB datur specic; igitur datur anguliis SAB et ratio SA
ad AB. Qiuim autem AP sit dimidia AB, datur etiani ratio SA ad AP :
in triangulo igitur SAP datur angulus ad A, et ratio laterum SA, AP;
datur igitur specie et angulus PSA datur.

FIoc posito, quum recta SP rectam AB puncta contactuum conjun-
genteni bifariam dividat, erit diameter paraboles, ex 29, II Apollonii;
in parabola autem omncs dianietri sunt interse sequidistantes : ergo
diameter iMA rect* SP œquidistabit, ideoque angulus L\M œquabitur
angulo ASP. Probavimus autem dari angulum ASP : ergo dabitur
angulus lAM et ipsi alternus propter parallelas N.AIA. Datur autem
punctum M, quia rectam NX positione et magnitudine datam bifariam
dividit : ergo datur diameter MA positione; datur etiam angulus appli-
catarum AMN, et danturduo puncta N et D per quse transit parabole :
datur igitur parabole positione ex lemmate, et est facilis ab analysi ad
synthesim regressus.

Patet autem duas parabolas in hoc secundo casu propositum adim-
plere : concurrent enim rectse DN et XR, quas posuimus non esse pa-
rallelas; hoc casu eàdeni argumentatione nova construetur parabole
proposito satisfaciens.

< LOCI AD TRES LINEAS DEMONSTRATIO > (').

Exponantur très recta' positione datae triangulum constituentes : A.\J.
MB, BA {fig. 77), et sit quodvis punctum 0 a quo ad rectas datas du-
cantur rectse OE, 01, OD in angulis OEM, OIM, ODB datis. Sit autem

(') Ce morceau inédit est publié d'après une copie du xvii'^ siècle, classée dans la che-
mise « Fermât » du portefeuille 1848 I de la colleclion Asliburnliam. Cette copie, sur une
feuille double, sans titre, porte à la fin, d'une autre écriture du temps, la mention : Pour
Mitiis'' Carcavi rue Michel Lccnnte au milieu, et, en haut, de la main de Libri, l'attribu-
tion à Fermai. Cette attribution est corroborée par la Lettre de Fermât à Roborval, du
20 avril 1637, d'après laquelle le titre a été composé.

La question traitée est énoncée dans Pappus (éd. Hultsch), page 678, lignes i5 et sui-
vantes.

88 ŒUVni:S l)K FETUIAT. - I" PVHTIK.

latio rootangiili KOI) ad (HiailraUiiii 01 data : Aio piiiictuni O esse ad
imain ox coiii S('ctioiiil)iis.

Dividatiir .MB Iiilariain in Q et, jimctà AQ, ducantui' por piinclum O
rectae FOC, ON ipsis MB, MA parallcla».

Fig. 77.

M

/

y-'

'—^ ^î

\r, •

^1

t

\

^--\

K

I I N

e

B

Tria triangula OEF, ODC, OIN sunt spccie data : nam ex l)ypothesi
dantur anguli OEF, ODC, OIN; datur etiam EFO quia, propter paral-
lelas, dato AMB est sequalis; datur et OCD quia ;i^qualis da(o MBA;
denique datur ONI, quum detur ONB ipsi AMB propter parallelas
wqualis. Datur igitur ratio OE ad OF; datur item ratio OD ad OC :
ergo ratio rectanguli EOD ad rectangulum FOC datur. Datur autem, ox
livpotliesi, ratio rectanguli EOD ad quadratum 01 : ergo ratio rectan-
guli FOC ad quadratum 01 datur. Datur autem latio quadrati 01 ad
([uadratum ON, propter datum specie triangulum OIN : ergo ratio rec-
tanguli FOC ad quadratum ON, sive FM ipsi sequale, datur.

Si secetur AQ in U ita ut, ductà UR parallelà MB, quadratum UR ad
(juadratum RM sit in ratione data rectanguli FOC ad quadratum FM
(hoc autem est facile, quum angulus MRU detur), et per punctuni U
describatur, circa diametrum AQ, coni sectio qiiam rectae MA, AB in
punctis M, B contingant (id autem est facillimum et ex -< vario > (')
puncti U situ erit aut parabole aut liypeilxile aut ellipsis : superflua,
prseserlim tibi , non addimus) : Aio coni sectionem sic descripta
per punctum 0 tiansire.

m

('; Le mol varia a été restitué ù la place d'une lacune de cini| lettres environ dans le
manuscrit.

F R A (i M E N T S V,É() M É T H 1 Q U E S . 89

Nani transeat ex alla parte per puiictiim P. Tanget recta IJK seetio-
neni, quiini sit parallela ordinatie MB; quum igitiir scctio transeat per
punctum 0, erit

rectaiigulum 1*F0 ad quadratum FM ut quadratum UU ad (|iiaflratuni UM,

ex décima sexta propositione III Apollonii. Ut autem

quadralmii LU ad quadratum HM, ita est rectana;ulum FOC ad quadraluni FM,

ex constructione : rectangiilum igitur PFU rectaiigulu FOC a'qiiale erit,
ideoque recta FO rectae PC.

Quod quidem ita se hal)et : nam, (jiiuiii AQ dividat iiiCariam MB,
erit recta FX rectse XC aequalis; propter sectionem vero, recta ()X est
squalis XP : reliqua igitur FO reliquat PC sequatur.

Nec est difticilis al) analysi ad synthesini, per demonstrationeni
diicentem ad impossihiie, régressas.

Fermât. —

AD LOCOS PLANOS ET SOLIDOS

ISAGOGE ''.

De locis quamplurima scripsisse veteres, liaud dubiuni : testis Pa|)-
pus iiiitio Libri septimi (-), (jiii Apollonium de locis planis, Arist.Tiim
de solidis scripsisse asseverat. Sed aut falliniur, aut non proclivis satis
ipsis fuit locorum investigatio; illud auguramiir ex eo quod locos
qiiamplui'imos non satis generaliter expresserunt, ut infra patol)it.

Scientiam igitur hanc propria? et poculiari analysi subjicimus. ni
deinceps generalis ad locos via pateat.

Quoties in ultima anjualitate duse quantitates ignolai reperiiintur.
fit locus loco et terminus alterius ex illis describit lineain rectani aul
curvam. Linea recta unioa et simplex est, curv* infinita> : circulus,
parabole, byperbole, ellipsis, etc.

Quoties quantitatis ignotae terminus localis describit lineam rec-
tani aut circulum, fit locus planus; at quando describit parabolen.
liyperbolen vel ellipsin, fit locus solidus; si alias cnrvas, dicitur locus

(') Le texte do cet important Traité est très défiguré dans l'édition des Vciria Opcm
de 1679, en particulier par l'adoption de la notation cartésienne des exposants. L'Isfigoge,
qui renferme les éléments de la Géométrie analytique moderne, et notamment une dis-
cussion de l'équation générale du second degré à deux inconnues, a cependant été rédi-
gée et même, d'après l'arlicle du Journal des Sai,'aiitii du 9 février 1663, communiquée par
Fermât avant l'apparilion de la Géométrie de Descartes. D'un autre côté, il esl aisé de
se convaincre que Fermât est toujours resté fidèle aux errements de Viète et n'a jamais
fait usage dans ses écrits de la notation des exposants, sauf pour des cas exceptionnels,
comme lorsqu'il faisait allusion aux travaux de Descartes.

L'existence, dans le portefeuille 1848 I de la collection Ashhurnham. d'une ancienne
copie de Vltagoge a permis de rétablir en toute sûreté la notation employée par Fermât et
d'éliminer certaines additions faites à son texte sur le manuscrit qui avait servi pour l'é-
dition des l'aria.

( - } Pappus, éd. Hultsch, page 636, lignes 22 et 23.

92 (i:ii\IU-;S DE l'EUMAT. - l" l'AItTlE.

linoaris. De hoc niliil adjnni^eimis, (|uia facillimo i'\ plaiioriim et soli-
•loruiii invesligalioiu' liiiearis loci eogiiitio (lerival)itui', medianlibiis
lediiclionibus.

Commode autem institui possunt lequationes, si duas (jiiantitates
ignotas ad datiim angulum constituamus (qiiem ut plurimiiin rectum
sumemus), et alteriusex illis positione dal;e terminus uiius sit datus;
nuHJI) neutra quantitalum ignotarum quadratum praîtergrediatur, iocns
l'i'il plaïuis aut solidus, ut ex dicendis clarum fiet.

Rf.cta data positione sit NZM {/ig- 78), cujus punctum datum N; NZ

jequeturquantitati ignotae.l, et ad angulum datum NZI elevata recta ZI
sit jequalis alteri quantitati ignotse E.

Dm A ivquelur IJlnE:

punetuui I erit ad lincain lectam positione datam.

Kril enim

ut Jj ad D, ila A ad E.

Ergo ratio .1 ad E data est, et datur aiiguius ad Z, triangulum igitur
XIZ specic, et angulus INZ; datur autem punctum N et recta NZ posi-
tione : ergo dabitur NI positione, et est facilis compositio.

Ad banc a;(|ualitalem reducentur omnes, quarum homogenea partim
sunt (hita, partim ignotis A et E admixla, vel in datas ductis vel sim-

pliciter sumptis.

Zpl. — D iii A icquelur JJ in E.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 93

Fiat

Din/l œquale ZpL;

erit

ut B ad D, ita /? — .1 ad E.

Fiat MN œqualis /{ : dahitur punctum M, ideoque MZ œquabitiii'
R — A. Dahitur ergo ratio I\IZ ad ZI; sed datur angulus ad Z, ergo
trianguliim IZM specie, et coiicludetur rectam MI junctam dari posi-
tiono, ideoque punctum I erit ad rectam positione datam. Idemque
nulle negotio concludctur in ([ualibet anjualitate cujus homogenea
qusedam afficientur ab A vel E.

Et est simplex bœc et prima locorum a;qualitas, cujus beneticio
invenientur loci omnes ad lineam rectam : verbi gratia, septima pro-
positio Libri I Apollonii de locis planis ('), quaî generalius jam poterit
enuntiari et construi.

Huic œqualitati subest pulcherrima propositio sequens, (|uam nos
illius ope deteximus :

Si sinl quotcumque rectœ lineœ positione datœ atquead ipsas a quodarn
punclo ducantur rectœ in datis angidis, sit aiitcin (piod siib diiclis et datis
efjicitur dato spatio œquale, punctum rectam lineam positione datam ron-
tinget .

Infinitas omittimus, qua^ Apollonianis merito possent opponi.

Secundus hujusmodi aequalitatum gradus est, quando

A\nE œq. Zpt.,

quo casu punctum I est ad hyperholen.

Fiat NR ( /7ij-. 79) parallela ZI; sumatur in NZ quodlibet punctum,
ut 31. a quo ducaturMO parallela ZI; et fiât rectangulum NMO tequale
Zpl.

Per punctum 0, circa asymptotos NR, NM, describatur hyperbole :

(') Voir plus haut, page 24, note i.

9i ŒUVRES DR I Eli MAT.- l'^'^ PARTIE.

(labitur positionc et transibit pcr punctuni I, quum ponatur l'pcfangu-
Inin .{ in /•;. sivo N7J. ;vquale NMO.

Fis- 7!)-

Ad hanc ;ec|ualitatem reducentur omnes quarum homogenea partim
sunt data, vol ab .1 aut E aut A in E afïecta.

Ponatur

Dpi. ^ AinE ;pq. /? in .1 4- S in E.

Igitur, ex aitis pr^ceptis,

A' in A -i- S in E ~ A in E aequabilur Dpi.
Effîniratiir rectangulum abs duobus bileribus. in qun boniogenea
n\nA+SinE~ AinE

reperiantiir : erunt duo hUera

A -S el /{~E

et rectangulum sub ipsis sequabitur H in .4 -hS'inE — Ain E — li in .S.

Si igitur a Dpi. abstuleris //in, S, rectangulum sub A — S in H — E
sequabitur Dp/. — R\nS.

Fiat NO (Jfg. 8o) sequaiis 5, et ND, parallela ZI, fiât ;equalis H; per
punctum D ducatur DP parallela NM, < per punctum () > OV paral-
lela ND, etZI producatur in P.

Quum NO sequetur S, et NZ, A, ergo A — S ajquabitur OZ sive VP:
similiter, quum ND, sive ZP, a;quetur //, et ZI, E, ergo H - E a-qua-

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 95

bitur PI : rectangulum igitursub YP in PI sequatur ihto Dpi. — fi in S.
Ergo punctum I erit ad hyperbolen, ciijus asymptoti PV, VO.

Fiff. So.

Rectangulo enim Dpi. — fi'in S ïecjuetiir, sumpto quovis puncto X et
ductâ parallelà XY, rectangulum VXY, et per punctuni Y, circa asym-
ptotes PV, VO, hyperbole describatur : per punctuni I transibit, nec
est difficilis in quibuslibet casibus analysis aut constructio.

Sequens œqualitatum localium gradus est, quuni Aq. vel a^qua-
tui" Eq., vel est in ratione data ad Eq., vel etiam Aq. -+- A in E est ad
Eq. in data ratione; denique hic casus omnes iequationes compre-
hendit intra metam quadratorum, quarum homogenea omnia vel a qua-
drato A, vel a quadi'ato E, vel a rectangulo A in E afficiuntur.

His omnibus casibus punctuni I est ad lineam reclam, cujus rei
demonstratio facillima.

Sit NZquad. + NZ in ZI ad ZI quad. in ratione data {fig- 8i ).

l'-iff. 8i.

Ducatur qusevis parallelà OR; quadratum NO -i- NO in OR erit ad OR
quadratum in eadcm ratione, ut est facillimum demonstrare. Punctuni
igitur I erit ad rectam positione < datam >.

[Sumatur enim quodvis punctuni, ut 0, et fiât data ratio quadrati

90 (KIVRES DE KKIOI \T. - 1- l'AHTIl-:.

NO -t- No in OU ail OR ([iiiulratum. Jiiiicta NU daliitur positione et
satisfiiciet proposilo ] {' ), i{loiii(|iu' contingct in (iuii)uslibet a'cjiia-
tionibus. qnaruni omnia homogenca a potestatibiis ignotai'iim vel rec-
tangulo sul) ipsis alliciciitur, iil inulile sit singulos casus scrupulosius
pei'currere.

Si potestatibus ignotarum vel l'ectangulis sub ipsis admisceantur

bomogenea, partim omiiino data, partim sub data recta in alterain

ignotarum, diffîcilior evadet constructio : singulos casus constrninnis

bi'cvitei' et denionstramus.

Si

A(/. œquatur DinE,

punctuni I est ?ià parabole n.

Fiat NP parallela ZI (/ig.S2), et circa diametrum NP describatur

Fiï. 82

parabole, eujus rectum latus recta D data, et applicatse sint paral-
lelse NZ : punctum 1 erit ad parabolen banc positione datam.

Ex constructione rectangulum sub D in NP anjuabitur quadrato PI,
hoc est, rectangulum sub Z>in IZ œquabitur quadrato NZ, ideoque :

JJ'mE œquabitur Ai/.

Ad liane aequationem facillime reducentur omnes in quibus /le/, mis-
cetur homogeneis sub datis in E, aut Eq. homogeneis sub datis in .4,

( ' ) La démonstration mise entre crocliels est suspecte à divers titres; si elle n'a pas été
interpolée, on ne peut guère la considérer que comme un reste d'une première rédaction
de Fermât.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 97

idemque continget, licet homogenea oinnino data œqualioiiiljus niis-

ceantur.

Sit

Eq. œquale Dm A.

Iii pryecedenti figura, vertice N, circa diametrum NZ, describatur

parabole, cujus rectum latus sit D, et applicatse rectse NP parallelœ :

praestabit propositum, ut patet.

Ponatur

Bq. — Aq. seq. D\\\E.

Ergo

Bq.~ DmE fequabilur Aq.
Applicetur Bq. ad D et sit a>quale D in /?. Ergo

D\nR—D\\\E fequabilur (7.,
D'n\{R — E) ipquabilur Aq.

ideoque

Ideoque lisec aequatio rcducetur ad pr;ecedentezii : recta (iui|)pe K — E
succedet ipsi E.

Fiat quippe {fig. 83) NM parallcla ZI et aequalis /?, et per puiictuin M
ducatur MO parallela NZ : datur puncfuni M, et recta MO positione. In

Fiff. 83.

hac constructione, 01 a^quatur R — E : ergo B in 01 seqiiatur NZ quad.,

sive MO quad. Vertice M, circa diametrum MN, descripta parabole, cujus

rectum latus Z», et applicatte ipsi NZ parallelae, praestabit propositum,

ut patet ex constructione.

Si

Bq.+ {<]. req. D'\nE,

D\nE — Bq. ffiquabilui" Aq.,

Fl;llMAT. — I. l3

98 ŒUVRES DE FERM \T. - 1- PARTIE.

etc. ut supra. Simililer oinnes tçquationes ah E et Aq. affectae con-
sl ruent ni'.

Sed Aq. iniscetur ssepe Eq. et homogeneis omnino datis.
B)]. — i(j. a^quelur Eq. :

puucluin 1 est ad circuhun positione datum, quando angulus NZI est
reclus.

Fiat NM (fig- 84) sequalis B; circulas ceiitro N, intervallo NM, des-
ciiptus prsstabit propositum, hoc est : quodcumque punctum sump-

Fig. 84.

^

\

£

\

^

^ -L

M

seris iii ipsius circumferentia, ul 1, quadratum ZI sequahitur qua-

drato NM (sive^iy.) — quadrato NZ (sive.417.), ut patot.

Ad hanc sequationem reducentur omnes affecta^ ah Aq. et Eq., et ah

.1 vel E in datas ductis, modo angulus NZI sit rectus, etprœterea coef-

ficientes Aq. gequentur coefficientihus Eq.

Sit

lifj.— D\\\ A\i\% — Aq. aequale /Tçr.-f- /?in £"1)13.

Addatur utrimque /?c/., ut E -\- l\ succédât E : tict

fiq.-^ Bq.— D'\\\ \\)\^ — Aq. .-equalc Eq.+ Bq.^ B\nE\i\i.

Ipsis f\q. et liq. addatur Dq., ut 1) + A succédât ipsi .4, et sumnia
quadratorum /?y., //y., et Uq. aequetur Pq. Ergo

Pq. — Dq. —D\n A bis — Aq. œqualiiliir Ih/. + Bq.— 1) in.l bis — Aq.\

nam ex constructione

Pq. — Dq. ^qualur Bq. + Bq.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 99

Si igitur loco ipsius A -h I) sumpseris .4 et loco E -\- R sumpseris E,

fiet

Pq.— Aq. œqiiale Eq.,

et reducetur sequatio ad prsecedentem.

Simili ratiocinatione similes œquaf iones reducentur, et liac via omnos
propositiones secundi Libri Apollonii De locis planis (') construximus,
et sex priores in quihuslibet punctis habere iocum demonstraviimis :
quod sane mirabiie est et ab Apollonio fortasse ignorabatur.

Sei)

Bq.~ Aq. ad Eq. habeat rationem clatani,

punctum I e rit ad ellipsin.

Fiat MN œqualis B, et per verticem M, diametrum NM, centrum N,
describatur ellipsis, cujiis applicatse sint rectse ZI parallelse et qna-
drata applicataruni ad rectangulum sub segmentis diamelri babenni
rationem datam : punctum I erit ad luijusmodi ellipsin. Etenim qua-
dratum NM — quadrato NZ tequatur rectangulo sub •diameti'i seg-
mentis.

Ad hanc reducentur similes in quibus Aq. ex una parte opponetur
Eq. sub contraria affectionis nota et sub coef'ficientibus diversis. Nani
si coefticientes sint e^edem et angulus sit rectus, locus erit ad cir-
culum, ut jam diximus; licet igitur coefticientes sint esedeni, modo
angulus non sit rectus, locus erit ad ellipsin, et, licet immisceanlur
sequationibus homogenea sub datis et .-1 vel E, fiet reductio eo quod
jam usurpavimus artificio.

Si

Aq.^Bq. est ad Eq. in data ratione,

punctum 1 est ad hyperbole n.

Fiat NO {fig- 85) parallela ZI; data ratio sit eadem quœ Bq. ad qua-
dratum NR : dabitur ergo punctum R. Circa diametrum RO, per ver-

Cj f'i>ir plus haut, pages 29 el 3o, noie 2.

100 ŒUVRES DE FERMAT. - 1' PARTIE.

tii'cm U, coiiti'iim N, cles('ril)alur liypoi'l)ol(!, ciijus applicatsc sint paral-
lela> NZ, ot rcclangiiUim siih toto diametro et RO uiià cum 1\0 qua-
drato ad (luadraliim 01 sil in data ratione, NR quadrali ad liq. Ergo,
componendo, rootanguliini siih MOR (posilà MN sequali NR) uiià eu m
quadrato NR erit ad quadratum 01 unà cuin Bq. in ratione data, NR
quadrati ad Bq. Sed rectangulum MOR, unà cnm NR <|aadrato, aîqua-

tur NO quadrato, sive ZI cjuadrato, sive Eq.; et quadratum 01 unà
cum Bq. sequatur quadrato NZ (sive Aq.) unà cum Bq. : ergo est

ut Eq. ad Bfj.+ .lq., ita NRquad. ad Bq.

et, convertendo,

Bq.-hAq. estât! /i^. in ralioiie data.

Punctum igitur I est ad hyperbolen positione datam.

Kodem quo jam usi sumus artificio, ad hanc sequalitateni reducentur
omnes quse al) Aq. elEq. afficiuntur unà cum datis, sive simpliciter,
sive misceantur ipsis liomogenea sub .4 vel E in datas, modo Aq.
liabeat eamdcm ex altéra parte affectionis notam, quam Eq. Nam, si
siiil divers;c, propositio concludetur pcr circulos vel ellipses.

DniicuxiMA omnium tcqualilatum est quando ita miscentur Aq. et

Eq. u( nihilominus bomogenea quœdam ab .4 in E afficiantur unà cum

datis, etc.

Bf/.— if/.h\s ajquetnr l\nEh\s + E(j.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 101

Addatur utrimquc Aq., ut .4 + E sit latus alterius ex homogeneis :

ergo

B(]. — Aq. œquabitiir Aq.-^ Eq -+- A in E Ijis.

Pro ,4 + ^ sumatur E, si placet, et ex prœcedentibus circulus MI
i^fig. 86) prsestet propositum, hoc est :

MN quad. (sive Bq.) — NZ quad. (sive Aq.)
œquetur quadrato ZI (sive quadrato abs A h- £").

Fiat VI sequalis NZ, sive A : ergo ZVœquatur E. In hac aiitem qiisestione
piinctum V, sive extremum rectse E, tantum inquirimus : vidcnduni
ergo et demonstranduni ad quam lineam sit punctum V.

Fijï. 86.

Fiat MR parallela ZI et sequalis MN, et jungatur NR, ad quam pro-

ducta IZ iucidat ad punctum 0. Quum MN sequetur MR, ergo NZ

sequabitur ZO; sed NZ aequatur YI : ergo tota YO toti ZI est œqualis,

ideoque

quadralum MN — quadrato NZ œquaUir qiiadialo VO.

Datur autem triangulum N.MR specie : ergo quadrati NM ad qua-
dratum NR datur ratio, ideoque et quadrati NZ ad quadratum NO
dabitur ratio. Ratio igitur

quadrati MN — quadrato NZ ad quadralum NR — quadrato NO

10-2 (Kl VURS DE FERMAT.— l" PARTIE.

dalur; probaviiiuis auloiii

qiindraluin 0\';vqtiari (iiiadralo !MN — qnaclralo NZ :

orgo ratio quadrati NR — NO quadrato ad quadratum OVdatur. Dantur
aultMii puiicta N et R, et angulus NOZ : ergo punctum V, ex superius
demonslratis, est ad cllipsin.

Non absimili metliodo ad siiporiores casus reduceiitiir roliqui, iii
(jiiilnis liomogenea sub .1 in E homogeneis partini datis, partim sub
.{(/. aul AV/. iinmisccbuntur, aut etiam sub A et E in datas diictis,
ciijiis roi disquisitio facillima : scmper enim bcneficio trianguli specie
noti consiruetur qua;stio.

Breviter igitur et dilucide complexi siimus quidquid de iocis planis
et solidis inexplicatum veteres reliquere, constabitque deinceps ad
quem locum pertinebunt casus omnes propositionis ultimse Libri I
Apollonii de Iocis planis ('), et omnia oninino ad banc materiam spec-
tantia nullo negolio detegentur.

Sei) LUiET coronidis loco pulcherrimam banc propositionem adjun-
gere, cujus facilitas statim innotescet.

Si, posilioiw datis f/uotcumr/ue lineis, ah uno et eodem puncto ad sin-
gulas ducantur reclœ in datis angulis, et sint species ah omnihus diictis
dalo spntio œquales, vunctiiin contingit positione datiim soliditm lociini.

Unico exempbj fit via ad practicen : Datis duobus punctis N, M
(Jig.8-]), inveniendus h)cus a quo si jungas reclas IN, IM, quadrata
rectarum IN, KM ad triangulum INM datam babeant rationein.

Recta NM ajquctur B, et recta ZI, ad angulos rectos, dicatur E ter-
minus; NZ dicatur .1 : ergo, ex artis prseceptis,

Ar/.h'ts. -+- lifj. — Dm A bis -i- £"7. bis ad rectanguluni Z> in E

liabebil ralioiieni datam et, resolvendo bypostases ex jam tradilis pra'-
ceptis, ita proceiiet conslructio :

(') f'oir plus liant, p. ■>.■;. la noie sur le sons qu'il iauL aUribuor à celte pioposilion
d'Apollonius.

LIEUX PLANS ET SOLIDES.

103

NM bifariam secetur in Z; a puncto Z excitetur perpendiculaiis ZY,
et Hat data ratio eadem quœ ZV quadruplœ ad NM; dcscripto seniicir-
ciiio VOZ super VZ (') applicetur ZO œqualis ipsi ZM, et jiinctà VO,
centre Y, intervallo YO, describatur circulas OIR, in quo sumatur

quodiiliet punclum, ut 11, et jungantur rectai RN, RM : Aio qua-
drata RN, RM ad triangulum RNM esse in data ratione.

Hsec inventio, si libros duos de locis planis a nobis dudum restitutos
praecessisset, elcgantiores sane evasissent localium tiieorematiim con-
structiones : nec tanien praecocis licet et immaturi partùs nos adbuc
pœnitet, et informes ingenii fœtus postcris non invidere scientiae
ipsius quadamtenus interest, cujus opéra primo rudia et simplicia
novis inventis et roborantur et augescunt. Imo et studiosoruni interest
latentes ingenii progressas et arteni sese ipsam promoventem penitus
haberc perspectam.

APPENDIX AD ISAGOGEN TOPICAM,

CONTIXENS SOLUTIONEM PROBLEMATl'M SOLIDORUM PEU LOCOS.

Patuit methodus qua linese locales deteguntur : inquirendum restât
qua ratione problematum solidorum solutio possit ex supradictis ele-

(' ) Construisez : ZO. cequalis ipsi Z.M. applicelur semicirculo VOZ, descriplo super VZ.
Fermât veul dire que, dans le demi-cercle VOZ, il faut inscrire une corde ZO égale
àZM.

lOi (KUVRES DE FERMAT. - 1"^ PARTIE.

gaiitissime derivari. Hoc ii( fiai, coarctaiula illa qiiantitatiim ignotaruni
exlra limites suos evagandi licentia; infiiiila onim siiiil puncta quibus
(jiiœstioni propositiv satisfit in locis.

Commodissinic igiliir per diias tïiqualitates locales quseslio determi-
natiir : sécant qiiippe se invicom duse lineaa locales positione datse, et
purictuni seclionis, positione datum, qusestionem ex infinilo ad teinii-
nos pra?scriptos adigit.

Exemplis breviler et dilucide res cxplicatur. Proponatur

Ac.-\- J> in il/. ai^quaii Zpl.xnD.

(>ommode utraque jequalitatis pars potest aîqiiari solido B in A in /:,
ut per divisioiieni istius sulidi, iilinc per ,1, liinc per B, res deducatur
ad locos.

Quum igitur

Ac + BmAq. ?equcliir BmAmE,

ergo

Arj.-^B'u\A sequabiUii- B'mE,

et erit, ut palet ex nostra méthode, extremitas ipsiiis E ad parabolen
positione datam.
Deinde quum

ergo

Zpl. in /> tequetur />' iii I in E,
Zpl. squabilur A'mE,

et erit, ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad hyperbolen positione
datam.

Sed jam probavimus esse ad parabolen positione datam : ergo dabi-
lur positione, et est facilis ab analysi ad synthesin regressus.

Nec dissimilis est methodus in omnibus a^quationibus cubicis : con-
stitutis enim ex una parte solidis omnibus ab ^ alTectis, ex altéra so-
lido omnino dalo vel etiam cum solidis ab .1 vel Aq. aflbctis, poterit
lingi aequalitas superiori similis.

Proponatur exemplum in anjuationibus quadratoquadraticis :

i'I'l-- lis. in ) + Zfj. in 1'/. ;e(|iielnr I^Pl'-

Ergo

LIEUX PLANS ET SOLIDES. lOo

Aqrj. ^quabitiir D pp. — Bs. in A — Zc/.'in A q.

.'Equentur h»c duo liomogciiea Zq. in Eq.

Quum igitur

Aqq. terjueliir Zq.'mEq.,

ergo, per subdivisionem qiiadraticam,

Aq. aequabitiir ZmE,

et erit extremitas E ad parabolen positione datani.
Deinde, quum

Dpp. — /?.?. in I — Zçr. in .-11/. sequetur Zq.'mEq.,

omnibus ])erZq. dlvisis,

£>pp. — Bs. in A

Zq.

— Aq. œquabitur Eq..

et erit, ex nostra metbodo, extremitas E ad circuUim positione datum.
Sed est et ad parabolen positione datani : ergo datur.

Non dissimili metbodo solventur quftstiones omnes quadratoqua-
dralicœ : expurgabuntur enim, metbodo Vietœ (Cap. \. De ernenda-
tione) ('), ab affectione sub cubo et, quadratoquadrato ignoto ab iina
parte, reliquis bomogeneis ab altéra constitutis, per parabolen, cinii-
lum vel byperbolen solvetur qusestio.

Proponatur ad exemplum invenlio duarum medianim in eonliiuia f>ro-
porlione.

Sint du;v rectœ, B major, D minor, inter quas dutT médite proportio-
nales sunt inveniendje. Fiet

Ac. aequalis Bq.mD.

si major mediarum ponatur .4.

(ï) Fo(> page i32 de l'édition de Scliootcn.il s'agit de la méthode aujourd'hui vulgaire.
Fermât. — I. 14

\m ŒUVIIKS DE KF.UMAT. - 1" l'MSTlE.

lùliu'iitiir siiigula hoinoiioiioa // in À "m /s : illiiic tict
Aq. aN|ii;ile /»' in A-",

. I in A" ;vqiiiilo />' in J>,

istino

ii|('()(|iit' (|iia'slio |)or iiyperbolos et pai'aholcs iiitorscclioiiciu pt'iti-
ciotiir.

Kxponalur ciiiin rocta quanis positione data OVN ij/'g'. H8), in qua
dotiir puiicluni 0. Sint rectie datœ li et D, intcr ()iias dua' médian pro-

Kig. 88.

[tortionales inveniendai : ponatur recta OV aNjuari .1, et recta VM, ipsi
(>V ad rcclos angnlos, œquari E.
Kx priori œqualitate, qua

iq. aequalui' /? in /i",

constat pei" punctiim 0 tanquani verticein describendani parabolen,
cujus rectum latus sil /}, diameter ipsi VM parallela, et applicata* ipsi
()V <[ parallelœ >>; transibit igitur ha>c parabole per pnncfuni M.
Ex secunda a'qualitatc, qua

/; in /> ;i'i|n:iUii' ( in E,

suniatur punctuni ubi libet in recta OV, ut N, a quo oxcitelur perpen-
dicularis NZ, et fiai rcctangulum ONZ aequale rectangulo />' in /). Exci-
tctur eliam pcrpendicularis OR. CJrca asymptotes UO, OV describenda
hyperbole per punctum Z, ex nostra methodo locali, ibiiiitur posilione
et transibit per punclnm M.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 107

Sed parabole etiani quam supra descripsimus dabitur positione et
per idem punclum M transit : datur igitur punctuni M positione, a quo
si demittatur perpendicularis MV, dabitur punctum V, et recta OY,
major duarum continue preportionalium quas quaerimus.

Inventœ igitur sunt dua3 modise per intersectioneni paraboles et
hyperboles.

Si ad quadratoquadrata lubeat qusestionem extendcrc, omnia du-

cantur in A :

-irjq. œquabilui' />'/. in /> in (.

yEquentur singuia homogenea, juxta superiorem metbodum, liij. iii
Eq.; fient duœ a;qualitates, nempe

Aq. œq. B \n E el DinA iv(\. Eq.,

quae singulse dabunt parabolen positione datam. Fiet igitur constructio
mesolabii per intersectionem duarum parabolarum hoc casu.

Prior constructio et posterior sunt apud Eutociuni in Arcbime-
dem ('), et huic metliodo facile redduntur obnoxia>.

Abeant igitur climacticœ illœ parapleroses Viefieaî (-), quibus aiqua-
tiones quadratoquadraticas reducit ad quadraticas per médium cubi-
carum abs radice plana. Pari cnim elegantia, facililate et brevitate
solvuntur, ut jam patuit, perinde quadratoquadratiese accubicse quœs-
tiones, nec possunt, opinor, elegantius.

Ut pateat elegantia bujus methodi, en constructionem omnium pro-

hlematum cuhicorum et quadratoquadraticornm per parabolen et circii-

liim .

Ponatur

Aqq. — Z.S. in.l œqiiari Dpp.;

ergo

Aqq. sequaijitur Zs.\n A -^- Dpp.

( ' ) Commentaire sur le Traite ilc lu sphère cl du cylindre, II, ■?., dans les CËuvres d'An-
ciiimède; édition Torclli, page 142; édition Heiberg, vol. III. |)ages 93-99. Ces deu.\ con-
structions sont attribuées par Eutocius à Ménechme, l'inventeur présumé des coniques.

(2) De emeiidationc œquatioimm. Cap. VI, pages 140 et suivantes de l'édition de
Schooten. Il s'agit de la solution algébrique des équations du quatrième degré.

108 (EUVIIES 1)K FERMAT.- I" PVRTIE.

Fingaliir (iiiadrntiim ahs .le/. — liq. aul alio (|iiovis (|iia(lralo : ticl qua-

d la tu m

Aqq.+ lUjq.— B(i iil I «/. liis.

AtlilaiiUir ad supplenaMiluni siiigulis iciiiialilalis partions

Hijq.— />(/. in iq. I)is :

fiot

Aqq.-\r tiqq.— Bq.'ni 1 7. bis a'quale

liiiq.— liq. iii If/. l)is -(- Z.S-. in 1 -+- Bpp.

Sit

Bq.\)\f- a^(|ualo AV/.,

et singiilis honiogcneis, sive partibus sequalitatis, œqucliir ^q. in /fy. :
fiot illine, per suhdivisionem quadraticani,

1 q. — U<i ;v'(|iiale N\w E,

ideoque punctum extremuin /î" erit ad parabolen, ox nostra mothodo ;

i'«tiiii' tlet

Hqq. , Zs. in A Dpp. , „

-^ 1'/. 4- — ï7 1 — ir— sequale Eq.,

\q. ' i\q. i\q.

ideoque, ex nostra methodo, punctum extrcmum E erit ad ciioulum.

Descriptionc igitur paraboles et circuli solvitur quœstio.

Ha3C mcthodus facillime ad omnes casus tam cubicos quam quadrato-
quadraticos extenditur. Curanduni eiiini tanluni ut ex una parte sit
Aqcj., ex altéra quselibet homogenea, modo non afficiantur ab Ac. ; at,
per cxpurgationeni VietîPam, omnes œquationes quadratoquadraticie
ab alTcctione sub cubo libenuitur : ergo eadem erit in omnibus mc-
thodus.

Quum autem anjuationes cubicae liberentur ab aiïectione sub qua-
diato per melhodum Vietnam ('), homogeneis omnibus in .1 ductis,
liet a;qualio quadr.iloquadratica cujus nuUum ex homogeneis afficietur
sub cubo, ideoque solvetur per superiorem methodum.

Id solum in secunda aequalitate curanduni est ut Aq. ex una parte,

C ) De eitic/i({fiitoiicti'iiiiriiioiiiiiii,C.v\t. I, pages iSdcI suivantes (le l'édition île Sciiootcn.

LIEUX PLANS ET SOLIDES. 109

ex altéra Eq., sub contraria affectionis nota reperiantiir, quod est
semper facilliimini.

Sil eiiim in alio casu, ut omnia percurramus,

Aqq. sequale Zpl.m Aq. — Zs.'xnD.

Fingatur quodvis quadratum abs Aq. — quovis quadrato dato, ut
Bq., fiet

Aqq. + Bqq. — Bq. in Aq. liis.

Adjiciatur utrique œqualitatis parti, ad supplementum,

Bqq. — Bq. in Aq. bis
fiet

{qq. -H Bqq.— Bq. \n Aq. bis a?quale Bqq. — Bq. in Aq. bïs-h Zpt. in Aq. — Zs.\i\ I).

Ut igitur commoda fiat divisio, in secunda œqualitate sumenda dif-
ferentia inter Bq.bis et Zpl., quaî sit, verbi gratia, .V^., et utraque
*qualitatis pars sequanda Nq. \\\Eq., ut iliinc fiat

Aq.— Bq. a^quale N\nE,
isfinc,

Bqq. Zs. m D ■ r-

• Â^~ ^•~ Nq. =^^1"''*^ ^'?-

Advertendum deinde Bq.bis debere prœstare Z piano, alioquin Aq.
non afficeretur signo defectus et pro circulo invenirenius byperbolen.
Cui proniptuni remedium : Bq. enim ad libitum sumimus, ideoque
ipsius duplum majus Zplano nullius est negotii suniere. Constat
autem, ex metbodo locali, circulum creari semper ex sequalitale, in
cuj us parte altéra quadratum unum ignotum afficitur signo +, in al-
téra aliud quadratHm ignotum signo — .

Si sumas ad hoc exemplum inventionem duarum mediarum, erit

Ac. œqualis Bq. in D,

et

Aqq. sequale Bq. in Din A.

110 ŒUVHKS l»K IKKMAT. I' PAIlTli:.

Ailjiciiitiir iili'iin(]iic A'yc/. — AV/. in .le/, his :

tfJ'/.-h /it/'l- — />'/• in !'/• I)i-* ;vquahiliii' /'"'/'/• -*- />'/• in /^in ( - f>'/. in (7. his.

Sil

flij. bis squale AV/.,

ot singula» aH|iialitatis partes tequcnlur Vc/. in lu/. : fiot illinc

.1 (/. — /il/. iequale jX in h\

ideoquo cxtirnuini /:' erit ad parabolon; istinc tiot

/iq.\ -+- />5 in . I — .1 f/. leqnalo Ei/.,

ideoque extronunii /: erit ad eirculum.

Qui li;ec adverterit, frustra quaestionem mesolahii, (risectionis angii-
laris et similes, fcntahit dcdiicerc ex planis, hoc est, per rectas et cir-
ciilos expedirp.

LIEUX EN SURFACE. Ul

ISAGOGE

AD LOCOS AI) SUPERFICIEM,

Carissimo Domino de CARCAVI (').

hagogen ad locos pianos et solides perficit tradenda tÔttcov iipôç i~i-
oâv£iav ÈTTiOEi^iç. Hanc vetcres indicarunt tantum, sed neque genera-
libus prseceptis docueriint, ncque aliquo saltem nobili oxemplo aduni-
hrai'iint, nisi in iis forsitan sepulta:' jamdiu Geomctr'ue monumentis
(leliteant, in quibus lot prau-lara veterum inventa cum blattis et tinois
coUuctantui' dudum aut omnino evanuerunt.

Generalem tamen buic materiœ melbodum non defuturam l)r('vis-
sima dissertatio patefaciet : pluribus enim singulas, quas summatini
tradidimus hue usque in Geometricis, inventiones aliquando, si sii|t-
petetotium, illustrabimus.

Quaî igitur in lineis topicis symptomata qusesivimus et demonstra-
vimus, eadeni in superficiebus planis, sphsericis, conieis, eylindricis
et conoideon aut sphijeroideôn quorumlibet inquirere nihil vetat, si
pi'œmittantur lemmata singulorum hujusmodi locorum constitutiva ('-).

(') Cet opuscule, jusqu'à présent inédit, et qui contient le premier essai connu sur la
liiéorio générale des surfaces du second degré, est publié d'après une copie d'Arbogast,
faite elle-même de seconde main.

{-) Fermât, dont le point do départ est le Livre d'Archimède De cnnoldibus et spliœmi-
dibu/t,& bien reconnu la nécessité do généraliser la notion de la surface cylindrique, ainsi
que celles des cono'ides ( parabolo'idcs elliptiques et hyperbolo'i'des à deux nappes) et sphé-
roïdes (ellipso'i'des) d'Archimède, qui n'avait traité que des surfaces de révolution; mais il
n'a pas soupçonné l'existence du paraboloïde hyperbolique ni de l'hyperboloïde à une
nappe. Son erreur apparaît au lemme 5.

112 ŒUVRES DE FERMAT. — P'' PARTIE.

Proponatur orgo pro locis ad supcrficiem planam lemma scquons :

1. Si superficies (HKcpiam planis quollibct in infutitum secetur, cl com-
nuinis sectio omriiiirn in injinilum secantium planonim <^ et dictœ sitper-
ficiei'^ si/ linea rec/ii. superficies primitm posila eril pkinum.

Pro locis ad superficiem spluericam :

2. 5/ superficies quapiam planis quotlibel in injinitum secelur, et corn-
munis sectio planorum omnium secantium et dictœ superficiei sil circulus.
superficies il/a erit sp/iœra.

Pro locis ad supcrficiem splucroidis :

3. Si superficies quœpiam planis quotlibel in infinilum secelur, et com-
munis sectio omnium secantium planorum et dictœ superficiei sil quan-
doque circulus, qaandoque ellipsis, cl ni/iil prœterea, superficies illa eril
sphœrois.

Pro locis ad conoides parabolicos aut hyperbolicos :

4. Si superficies quœpiam planis quotlibel in infinilum secetur, et com-
munes sectiones (ut supra) sint quandoque circulus, quandoque ellipsis.
quandoque parabole aut liyperbole, et nihil prœterea, superficies primum
posila eril conois parabolicus aut hyperbolicus.

Pro locis ad conicas superficies :

."). Si superficies quœpiam planis quotlibel in infinilum secelur, et com-
munes sectiones si/il quandoque lineœ reclœ, quandoque circuli, quan-
doque ellipses, quandoque parabolœ aut hyperbolœ, et nihd prœterea,
superficies vrimum posila eril conus.

l'id locis ad superficiem cylindricam :

6. Si superficies quœpiam planis quotlibel in infinilum secelur, et com-
munes sectiones sint quandoque lineœ reclœ, quandoque circuli, quandoque
ellipses, et nihil prœterea, superficies primum posila eril cylindrus.

Quia tamen saepissime occurrunt loci in quibus sectiones sunt linese
rectae, parabolœ aut byperbolse et nihil prseterea (quod ipsa statim quses-

LIEUX EN SURFACE. 113

(ionisaiialysis indicabit), conveniens <[ est > et necessariaoninino huic
disputationi nova cyltndrorurn constitutio, in qitibus bases inter se paral-
lelœ suit parabolœ aut hyperbolœ, et latera, bases hujusmodi connectentia,
sint lineœ recta', intcr se parallelœ, ut accidit in cylindris communibus.
Ita oiiim tiet ut luiUa omnino cylindrorum bujusniodi per planuin
sectio det circules aut ellipses, eruntque aut scaleni aut recti ad
imitationem communium, prouf analysis topica propositae qutestionis
oxposcet.

Hos autem cylindres problemata ipsa topica necessarios innuunt :
quod addenduui, ne videatur otiosa hujusmodi a-/ r, ij^a-roç expositio et
invenlio.

Imo et priusquam ulterius pergas, non omnino satisfacit huic operi
Ai'chimedea sphseroideôn et conoideôn constructio (' ) : scalenos enim.
période ac rectos, qusestiones ipsse reprsesentabunt.

Ex praîmissis scquuntur pulcherrimi primo ad superficiem sphœricatn
loci :

Si a quotciimque pimctis datis in quibiislibet planis ad punctum un uni
injîeclantiir rcctcv, et sint quadrata quœ ah omnibus /it/nt data spatio
œqualia, punctum ad injlexionem erit ad superficiem sphœricam sive
sphccram posilione datant. — Sphaeram cnim vocarc possumus, ad imi-
tationem Euclidis et veterum Geometrarum qui x-JxXov non ipsius cir-
culi 10 èaj^aoov, sed circumferentiam ipsam appellarunt : superficiem
sane hujusmodi punctum quampiam describet.

Exponatur quodvis planum positione datum et in illo, juxta prtP-
ceptalocorum planorum et solidorum alias tradita, quseratur locus ad
quem a punctis datis inflexarum quadrata œquentur spatio dato.

Hoc autem est facile : sit factum et locus in piano exposilo sit
curva NIP {fig- 89). In illud planum, a punctis A, E, G datis ex liypo-
ihesi, demittanlur normales AB, EF, GU. Quum igitur planum hoc sit
positione datum, dabuntur in illud a punctis A, E, G datis demissa*

(') ï'oir la note 2 de la page m el la Préface du Traité d'Arcliimèdo Des cnnoîdes- et
spliéroïdes (éd. Torelli, pages 2^7 à aJij: éd. Heiberg, vol. I, pages 274 et suiv.).

Fermât. — I. '''

m ŒUVUES DE FRllMAT. ~ I-= PARTIE.

normales AB, EF, CD; dabiiiUiir cl puncta B, F, D in quibus dictse
normales piano exposito occurrunt. Sumatur in quœsita linea locali
MP quodvis punctiim, ut I, et jungantur i'ecta3 AI, BI, El, IF, CI, Dl.
Qiuim igitur a punctis datis A, C, E ad punctum I linese localis per-
linganl voc\:v AI, El, CI, eanun (jiiadrala comprehendunt spatium
(la t uni. Si igitur ab eis quadratis auf'cras normal ium AB, EF, CD qua-
diata, ([u;v jam probavimus data esse, supcrerunt quadrata BI, FI, DI,

quorum summa proinde data est. Dantur etiam in exposito piano
puncta B, F, D, ut similiter probatum est. Quum itaque a punctis B,
F, D, datis in eodem piano, inflectantur rectaî ad locum in codem
etiam piano, et sint quadrata inflexarum, ut BI, FI, DI, fequalia spatio
dato, patcbit, ex Apolloniano (') pridem restituto theoremate, locum
NIP esse circulum positione datum, similisque omnino analysis in
quovis alio piano exposito locum babebit.

Quum igitur plana omnia exposita dent circulos locales in infinitum,
ergo superficies primum quaîsita, ex vi secundi lemmatis, erit spha?ra.

Quum enim superficiem localem proposito satisfacientem quaeramus,
quid vetat imaginari superficiem quœsitam piano exposito sectam? At
sectio circulas esse duntaxat potest; quum enim circulas, ut jam de-
monstravimus, satisfaciat loco cui etiam saperficies intégra satisfacere
débet, patet circulum in dicta superficie locali necessario collocandum.
Constat igitur superficiem localem in specie proposita, dum planis
sccatur, darc infinitos circulos ac proinde esse spbivram.

('; Foir plus haut ./pol/iwii de loccv pla/iiv Liljr. Il, prop. V, page iy.

LIEUX EN SURFACE. 115

Eàdem ratione demonstrabuntiir et sequentes loci :

Si a quotcumque punctis in uno vel diversis planis ad punctum iinam
inflectantur rectœ, et quadrata, qiiœ ab aliquibus inflexarum fiunt , ad
quadrata qitœ a reliquis, sint vel in data ratione vel in data differentia
vel dato majora aut minora quam in ratione, punctum ad inflexionem
erit ad sphœram positione dalam.

Non dissimili artiticio pulcherrima in infinitum superficiel sphaeric*
symptomata detegentur.

Si sinl quotlibet plana positione data, et a puncto quodam in data
plana demittantur rectœ in angulis datis, quarum quadrata omnia simul
sumpta œquentur spalio dalo, punctum erit ad superjiciem sphœroidis posi-
tione dati.

Fiat analysis et exponatiir, ut docet metliodus, planum quodlihet
positione datum, in quo (juxta prœcepta locorum planorum et soli-
dorum quse in uno duntaxat piano olim expendebamus) quteratur
linea localis a cujus puncto quolibet in plana data demissarum in
angulis datis quadrata œquentur spatio dato.

Facillima statim evadet constructio : quum cnim planum exposituni
detur positione non secus ac plana data, ergo et communes plani expo-
siti et datorum sectiones similiter dantur. Commodani igitur in analy-
ticis denominationem accipiunt rectœ a quovis puncto plani expositi
in plana data demissa^ Harum quadrata si jungas et œques spatio dato,
exhibcbit analysis in piano cxposito circulos tantum aut ellipses lo-
cales, neque in quovis alio piano positione dato alium methodus locum
poterit exhibere, ut ipse analyseos progressus indicabit.

Patet itaque, ex tertio lemmate, locum quœsitum, quum circulos det
tîintum aut ellipses, esse sphaeroiden.

Si quadratorum hujusmodi pars quœvis assignata ad reliquam sit ui
data differentia vel in data ratione v<el dato major aut minor quam in
ratione, fient superficies aut sphœroidis aut conoidis aut conicœ aut cylin-
dricœ etc., prout positio datorum planorum expostulabit, idque statim
solerti analyseos filo deprebcndetur.

m; ŒUVRES DE FERMAT.- 1" PARTIE.

Vorbi gratia, si shu in data rationc, tient siiperlicics, iiL pluriiniim,
conoideon; si vero communes sectiones planoruni datorum ad unum
lunutiim concurrant, fient superficies mcrc conic;v; et, si sectiones
planorum datorum sint inter se parallelie, fient superficies merc cylin-
di'iciv, iioc est, vel nostruruni vel coinmunium cylindrorum.
• Usus omnia statim patefaciet : generalia quippe summatim tradenda
snnt, nec frequentibus nimis exemplis methodi perspicuitas obruenda.

Ultimum piano locali destinavimus exemplum, quod primam fortasse
sedem debuerat occupare.

Si sint quollibet plana posilione data, cl a piincto (juavis in dicla plana
demiltantur reclœ in datis angulis, cl sil rcclariim omnium demissarum
sitmma œqualis rcctœ datœ, pitncliim eril ad planiim posilione datum.

Secentur quippe, ex superioi-i mctiiodo, plana data a piano quolibet
posilione dato, et in eo, juxta melbodum locorum planorum jam tra-
ditam, quseratur locus propositioni satisfaciens. Erit ille linea recta,
ut constabil ex analysi, et in quibuscumque per plana sectionibus
i<!em continget. Patet igitur, ex primo lemmate, locum quœsitum esse
superficiem planam.

Si hujusmodi rectariun pars r/aavis assignata ad reliquam sil in dala
differentia vel ratione, vel dalâ major quain in rationc. jninclum erit simi-
liter ad superficiem planam posilione datam.

Imo et in superioribus quœstionibus, si plana essent inter se paral-
lela, superficies localis esset plana, quod vix erat ut admoneremus.

CoRO.NUHS loco addere libel et liuic eliain a[)tare operi insigne illud,
de loco ad ires <[ et > quatuor lineas Apollouii ('), £Tii-/£Îp/][j.a.

(')Pappi Alexandrini Collectionis (jiku supersuiU (éd. Iliiltscli, Berlin, 1870-1^78),
Livre VII, pages 674-681.

l'appus (p. 6-8, 1. i)à ■>.■)) définit le lien ;i irois on qnatre lifrnes, à propos d'nn passage
de la Préface des r'o«/ry«ec d'Apollonins, cpi'il reprodnit et (pi'il discnlp. K\\ reslo, l'inven-
lion du problème est anlérionre au géomètre de Pergn et doit remonter au moins à Aristéc
l'ancien, qui en avait probablement abordé l'analyse dans ses Livres perdus Dcf lieux

LIEUX EN SURFACE. 117

Si si/H /ria plana positione data, et a piincto Tpiodam in dicta plana
demiltantur reclœ in datis angulis, et sit quod fil a duabiis ditctis rectan-
gidtim ad qiiadratumrcliquœ in rationedata, pitnctum erit lelad planiim
l'cl ad sphœram vel ad sphœroiden vel ad conoidcs /r/ etiam ad superfi-
cies cn/ncam aut cylindricam {x'eterem aut novam\ proul plana data
positionem sorlita fuerinl.

Nec absimilis in quatuor planis inventio, ut cuilibcl oinium.

Casus, determinationes, infinita probleniata localia seii iiiavis theo-
l'emata, quœ brevitatis causa omisimus, lemmatum praemissorum de-
monstrationes, et reliqua qua? diligentius forsati fucrant explicanda,
sedulus et accuratus Geometra, cui ha-c vcneriut in manus, facillime
siipplebit, neque latebit deinceps arduse, ut videbatur, materiae pro-

clivis intelligentia.

Tolosœ, 6 januarii i6i3.

snliclcx; Apollonius reprochait à Euclitlc de n'avoir, dans ses C(>/iiqitc\\ donné qu'une syn-
thèse incomplète.

La question était redevenue célèbre depuis rap|)arilion do la Gcoinétrie de Descartes,
où elle joue un rôle capital; voir notamment pages 3)4 cl suivantes do l'édition originale
( Discours do la Métiuxtc pour bien conduire sa raison et clicrclwr la vérité dans les
sciences. Plus ta Dioplriqiie, les Météores et la Géométrie cjui sont des essais de cette mé-
thode. A Leyde, do l'imprimerie de Jan Maire, CIO lOC XXXVH. Avec privilège); pages ai
à îS do l'édition de Paris, Hermann, i886. Mais Fermât avait lui-même abordé dès long-
temps ce problème : voir plus haut, pages 87 à 89.

IIS ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.

DE SOLUTIONE

PROBLEMATUM GEOMETRICORUM

PER CURVAS SIMPLICISSIMAS

ET IMCUIQIE PROBLEMATUM GENERI PROPRIE COWEMENTES,

DISSERTATIO TRIPARTITA.

PARS I.

Ut constet Cartesium in Geometricis etiam lioniiiiem esse, quuil
paradoxum merito forsan quis dixcrit, videant subtiliores Cartesiani
an mcndum contineat linearum curvarum in certas classes autgradus
Cai'tesiana distributio, et an prohabilior ctcommodior secundum veras
Analysées Géométrie» leges debeat assignari. Quod sine dispendio
famai tanti et tam celebris viri exsecuturos nos censemus, quuni Car-
tesii et Cartesianorum omnium intersit veritatem, cujus fautores se
non immerito jactant acerrimos, licet ipsorum placitis aliqiiantispei-
adversetur, omnibus aut (si générale hoc uimis) Geometris saltom
et Analystis fieri manifestam.

l'roblematum geometricorum in certas classes distributio, non soUim

veteribus, sed et recentioribus necessaria visa est Analystis. Propona-

tur videlicet

A + D œquari B,

aut

A quaclratuni -H B in A iequari Z piano.

Hse duse aiquationes quarum prier radicem aut latus ignotum suis ter-

DISSERTATION TRIPARTIE. 119

minis nonexcedit, posterior autem lateris ignoti secundani potestatem
sive quadratum continet, primum et simplicius problematum gemis
constituunt. Ea vero sunt problemata quae plana Geometris dici con-
sueverunt.

Secundum problematum genus illud est in quo quantitas igiiota
ad tertiam vel ad quartam potestatem, hoc est ad cubum vel ad qiia-
dratoquadratum, pertingit. Ratio autem oui" duse potestates proximie,
licet divers! gradus sint, unum tamen taiitum constituant proble-
matum genus, hœc est, quod sequationes quadraticte reducuntur ad
simplices aut latérales facili, qu* et veteribus et novis cognita est,
methodo, ideoque par regulam et circinum nullo negotio resolvuntur.
^Equaliones autem quarti gradus sive quadratoquadraticœ reducuntur
ad œquationes tertii gradus sive cubicas beneficio novœ, quam Vieta
et Cartesius prodiderunt, methodi. Huic enim operi Vieta subtilem
illam et sibi peculiarem climacticam paraplerosin destinavit, ut apud
eum videre est cap. 6 libelli De emendatione œquationum, nec absiniili
in pari casu usus est artiticio Cartesius ('), licet aliis verbis iliud
enunciet.

Similiter quoque cubocubicam aequationem ad quadratocubicam
sive sequationem sexti gradus ad aequationem quinti deprimet, licet
aliquanto difficilius, Vietwus aut Cartesianus Analysta (-). Ex eo
autem quod in praedictis casibus, in quibus una tanlum ignota quan-
titas iuvenitur, sequationes graduum parium ad œquationes graduum
imparium proxime minorum deprimuntur, idem omnino contingere in
sequationibus in quibus duœ ignotas quantitates reperiuntur confiden-
ter pronunciavit Cartesius pagina 323 Geometri» linguâ gallicà ab
ipso conscriptœ (').

(') ViÈTE, édition Sclloolen, pages i4oet suivantes. — Descartes {Gc'oméirie), édi-
tion de i637, pages 383 et suivantes; édition de i886 (Paris, Hermann), pages 65 et sui-
tantes.

(2) Cette assertion est singulière : Fermai a-t-il cru, d'après le passage de DescaTtes
rapporté dans la note qui suit, que son rival possédait le secret d'une pareille réduction?

(^) Descartes {Géométrie, édition de iGSj, p. 323) : « Au reste, je mets les lignes
courbes qui font monter cette équation jusqu'au quarré de quarré, au même genre que

1:20 ŒUVRES 1>E FEU M AT. - I" l'AUTIE.

lliijusmodi vcro suiit a'([ii;Uioi)es oiniies liiioarutn ciirvariim consti-
tiiliviv : in his ciiim non sohini pr.Tilicta rediietio vel doprcssio non
siiccedet, ut Cartesius afiirniabat, sed oam omnino impossibilem Ana-
lysla' experiontur. Proponatur, vorhi gratia, aninalio paraboles ()na-
dralO(jnadratic;o consliUiliva, in (|ua

A qiiailratoquadratum a^qualui' Zsolidoin E;

(|na rationc anjuatio lia'c quarti gradns dcprimetur ad tertiuni? qno
utentur remedio climacticaj parapleroseos artifices?

Quantitatibus autem ignotis characteres vocalium juxta Yietam assi-
gnamus : ba^c cnini levia et prorsus arbitraria cur immutarit Carte-
sius ('), non video.

Ut autem pateat disquisitionem liane aut animadversioneni non esse
otiosani et inutilem, suppetit metbodus universalis qua problemata
qua?cumque ad certuni curvarum gradum reducimus.

Proponatur namque problema in quo quantitas ignota ad tertiam
vel ad quartam potestateni ascendat, illud per sectiones conicas qua'
sunl secundi gradus expediemus; sed si aîquatio ad quintam vel ad
sextam potestatem ascendat, tune solutionem per curvas tertii gradus
possumus exhibere; si sequatio ad septimam vel ad octavam potesta-
tem ascendat, solutionem per curvas quarti gradus exliibebimus, et
sic uniformi in infinitum methodo. Unde evidens fit non bicdc nomine
tantum, sed do re agitari qusestionem.

Proponatur in exemplum

Actib. cul). + Bpt.so/. in A sequari T^soLsoL,
auf, si velis,

Krjii. cub. -i- Byj/. pi. in A sequari Z/j/. sol.;

celles qui ne la fonl monter quo jusqu'au cube; et celles dont l'équotiou moiUe au quarrô
de cube, au même genre quo celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi dos autres :
dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes lus dilTicultés qui
vont au quarré de quarré, et au sursolide toutes celles qui vont au quarré do cube; de
faoon qu'on ne doit pas les estimer plus composées. » (Page ao de l'édition de 188G.)

(') On sait quo Descarlcs fut le premier à désigner les inconnues par les dernières
lettres de l'alphabet; c'est également à lui quo remonte l'emploi, en Algèbre, dans les Ou-
vrages imprimés, des minuscules italiques.

DISSERTATION TRIPARTIE. 121

in utroque hoc casu problema solvemus por curvas tertii gradus seu
cubicas, quod et fecit Cartesius ('). Scd si proponatur

Aqii. ctib.cab. -\- Bpl.pl. sol. in A iequari Z.pl.sol.sol.,

aut

Aqu. 'ju. cul). -j-B sol. sol. in A œquari Jjpl. pi. sol.,

tune problema solvemus per curvas quarti gradus seu quadratoquadra-
ticas, quod nec fecit nec fieri posse existimavit Cartesius (-), quum in
hoc casu ad curvas quinti vel sexti gradus necessario recurrendum
crediderit. Puriorem certe Geometriam ofTendit qui ad soiutionem
cujusvis prol)lematis curvas compositas nimis et graduum elatiorum
assumit, omissis propriis et simplicioriblis, quum jam saepe et a
Pappo ('*) et a recentioribus determinatum sit non levé in Geomctria
peccatum esse quando problema ex improprio solvitur génère. Quod
ne accidat, corrigendus est Cartesius et singula problemata suis, hoc
est propriis et naturalibus, sedibus restitucnda.

Sed et pag. 322 (') idem Cartesius diserte asserit curvas ex intersec-
tiono regulœ et alterius aut rectœ aut curvse oriundas esse semper ela-

( •) Géométrie de Dc.wartcf, édilion do iGSj, pages 4o3 et suivantes; édition de 1886,
pages 80 cl suivantes.

('^) Géométrie de Descartes, édilion de i(>37, page 389 : « Si la quantité inconnue a trois
ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq
ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres. « (Page 71 do l'édition do
1886.)

Le reproche spécial adressé ici à Doscartcs par Fermai n'est certainement pas fondé :
Descartes a bien eu le tort de considérer comme d'un seul gemie n les courbes de degré
■in — I et a«; mais, pour résoudre un problème de degré in — i ou in, il ne demandait
que des courbes de degré n. Voir page 3o8 de l'édition de la Géométrie de 1637, page 10
de l'édition de 1886. Fermai a été induit en erreur en croyant retrouver partout dans le
langage de Descartes les conséquences de l'idée erronée qu'il se proposait de relever.

(^) Pappus, Livre IV, 59; édition Ilultsch, page 270, lignes 2701 suivantes.

(') Édilion de 1886, page 20 : « Mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier
genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira par son moyen une
du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à
l'infini. »

Descartes suppose que le plan CNKL se meut parallèloment à lui-mèmo, le point L par-
courant la droite fixe AB. La courbe décrite est le lieu de l'intersection de la droite GL,
déterminée par le point fixe G et lo point mobile L, avec une courbe CK donnée sur le
plan mobile. Si l'on suppose que les x soient parallèles à AB, les y à AG, que l'équation
de la courbe donnée, en prenant L pour origine des axes, soit F(x,_>-) = o ; si enfin l'on

Fermât. — L , 1 6

12-2

ŒUVRES DE FEUMVT. - 1" PARTIE.

tioris gradiis aul generis, (luain est recta aiiL ciirva in figura pag. 32i
(y?"-. 90), ex qua derivantur. Intelligatiir, si placet, in locuni ipsius
rcct.'O C.NK, in dicta figni'a pag. 32i, substitui parabolen cubicani cujiis
vei'tcxsit luinctuni K ot axis indefinitus KLBA, ot cœlcra construantur

l'ig. yo.

ad nientem Cartcsii. Palet œqualionem dictas parabolaî cubicse consti-
liitivam esse sequentem

A cub. ex una parte, cl B quad. in E ex altéra.

Experiei'C autcni statini curvam EC ex hujusmodi positione provenien-
teni ad a;quationem tantum quadratoquadraticam ascendere : orgo
curva quadratoquadratica est elatioris gradus aut generis quam curva
cubica, secundum prsedictam Cartesii defînitionem, quum tamen con-
Irariiim pag. 323 (') expresse idem Cartesius definierit, curvam ncmpe

pose AG = «, il csl aisé de voir que réquation do l;i courbe décrite sera, on prenant A
pour origine.

y

"—y

Or, l'asserlion de Descartes revient à dire que, si l'équation de la courbe donnée est du
degré 7.11—1 ou 7.11, l'équation de la décrite sera du degré in-^\ ou 711 -+- 2. Il est singu-
lier que, au lieu de relever ce lapsus évident, Fermât se soit au contraire attaché à mon-
trer que, dans tel cas particulier, le degré de la courbe décrite pouvait être encore moins
élevé que celui indicjué par Dcscarlcs.
( '; fuir la note 3 delà page 119.

DISSERTATION TRIPARTIE. 123

quadratoquadraticam et curvam cubicam esse unius et ejusdem gradus
aut generis.

Methodum auteni nostram qua omnia in infinituni problemata, ea
noinpe quorum sequationes tertiam et quartam potestatem continent,
ad secundum curvarum graduni : quae quintam et sextam potestatem,
ad tertium : qu» septimam et octavam, ad quartum rcducimus, et eo
in infinitum ordine, exhibere non differemus quotiescumquo id volue-
rintquibus piaculum videtur errores quoscumque vcl etiani Cartesianos
in prsejudicium veritatis dissimulare.

Nec movcat prolilcmata quae ad secundam potestatem ascendant et
quse ejusdem cum problematîsprimi gradus sint speciei et pbina dicun-
tur, oirculis, boc est curvis secundi gradus, indigere; suuni enim et
proprium huic objectioni rcsponsum non décrit, quum mctbodum nos-
tram generalem omnia omnino problemata per curvas convenientes
absolventem profercmns.

DISSERTATIONIS
PARS II.

Ut datse publiée fidei satisfiat, metbodum generalem ad solvenda
qusecumque problemata per curvas proprias et convenientes exbibemus.
Prsedictum est jam in prima Dissertationis parte problemata duorum
graduum inter se proximorum, tertii verbi gratia et quart), quinti et
sexti, septimi etoctavi, noni et decimi, etc., unicum tantum curvarum
gradum respicere : problemata ncmpe quœ ad tertiam vel quartam
potestatem ascendiint, solvi per curvas secundi gradus; ea vero qu*
ad quintam vel ad sextam potestatem ascendant, solvi per curvas tertii
gradus; etc. in infinitum.

Modus autem operandi talis est : Data quœvis sequatio, in qua unica
tantum reperitur ignota quantitas, reducatur primo ad gradum elatio-
rem sive parem ; deinde ab adfectione sub latere omnino liberetur.
Quo peracto remanebit seqaatio inter quantitatem cognitam vel liomo-
geneum datum ex una parte, et aliquod bomogeneum incognitum.

12V ŒUVRES DE FERMU. — I™ PARTIE.

oiijus singula mcmbra a quadralo laleris incogniti adficieiitiir, ex
altéra. Homogeneum istiul incognitum anjuctur qiiadrato cujiis latus
eftîiigendum eo artifuio ut. iii a'quationc ipsius quadrati cum lionio-
genco incognito, elatiorcs quantum fieri potcrit lateris ignoti gradus
evanescant. Cavenduni eliaiii ut singula lateris quadratici sic eftingendi
liomogenea a radicc vel latere ignoto adliciantur, et ultimum tandem
ex illis a secunda etiam radicc incognita adficiatur. Oricnlur tandem
lieneficio divisionis simplicis ex una parte, et extractionis lateris qua-
drati ex altéra, dua^ aquationes linearum curvarum problcniati dato
convenienlium constitutiva% et earum intersectio solutioncm proble-
matis exliibebit, eâ qua dudum usi sumus in solutione problematum
per locos mcthodo.

Exemplum proponatur, si placet,

Xcub. cuit, -h B in \'/ii. cub. + 'Lpl. in Xr/ti. qu.

-\-{)sol.\i\Kcub. + 'Mpl. pl.h\ Xqu. Bcquari ^ sol. sol. :

problemata quippe omnia quse ad ([uintam vel ad sextam potestatem
ascendunt ad banc formam reduci possunt. Nihil enim hoc aliud est
quam vel quintam potestatem ad sextam eveherc vel eam deinde ab
ultima adfectionc sul) A vel latere liberare, quœ omnia et Viela f) et
Cartesius (-) abunde docuerunt.

Effingatur itaque quadratum a latere

Xcub. ■+- B in A in E
et aequetur priori primum illius squationis parti. Fiet itaque

\cub. c II b. -h li \n A q II . fj t/ . \n ¥^ bis + Bqii. in \qti. in Hqit.
jequale Xcub. cub. -t- R in A qu. cub. + Z/>/. in Xqu. qu.
-+- Dsol. in Xcub. -h Mpl. pi. in Xqu.

et, deleto utrimque Acuh.cuù. et reli({uis pcr Aqit. divisis, qiiod ex

(') ViÈTE, De emendationc œ(iuali<>iium, oap. I (6(1. Schoolcn, p. iSa).

(') Descartes, Géométrie, page 383 do l'édition de iGSj, page Gj do l'édition do i886.

DISSERTATION TRIPARTIE. 123

cautione adjecta methodo seniper liberum est, remanebit sequatio inter

Bin \cub.-\-Zpl. m A qii. -h D sol. in A -h Mpl.pL o\ iina parle,

et

B in Aqi/. in E bis + H'jii. in E qu. ex altéra.

Hœc autem aequatio, utpatet, dat cuivam tertii gradus.

Quia autem, ut constituatur duplicata sequalitas et commode ad
solutionem problematis deveniatur, ajquandum etiam est quadratum
a laterc Araft. -f- B in AinE posteriori prioris œquationis parti, hoc
est l^sol.soL, ergo, per extractionem lateris quadrati, latus quadrati-
cum 'NsoLsoL, quod facile datur et dicatur, si placet, NW., œquabitur

A cul?, -h B in A in E,

quod est latus quadrati priori aequationis primum data; parti aequalis.
Habcmus igitur banc secundam aequationem

inter N50/. et A cm6. + B in A inE,

qua; dabit paritcr curvam tertii gradus. Quis deinde non videt inter-
sectionem duarum curvarum jam inventarum dare valorem ipsius A,
hoc est problematis propositi solutionem?

Si problema ad septimam vel ad octavam potestatem ascendat, sta-
tuetur primo sub forma octavae potestatis, deinde ab adfectione sub
latere omnino liberabitur. Hoc peracto, esto itaque, post legitimam ex
jam praescripta methodo reductionem,

Atjti.cub.cub. + B in Aqu.qu.cab.-^Y) pi. in Acub.cub.
-f- ^sol. in Aqu. ciib. -4- M pi. pi. in A qit. qu.
-i- Gpl. sol. \n Acub. -hRsol. sol. in Aqu. sequale 7jpl.sol.sol.

Effingetur quadratum cuilibet istius œquationis parti œquandum a

latere

A qu. qu. -t- B I in A cub. 4- B pi. in A in E.

Secundum autem hujus lateris quadratici homogeneum eo artificio
effinxiinus ut duae elatiores lateris vel radicis A potestates in sequatione
omnino evanescant, quod perfacile est. Quadratum igitur illius lateris

I2G ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.

si ;o([iies priori anjuationis propositîo parti, tloletis communihus ot
roli(niis per \qii. divisis, orictur œquatid ciirviT" quarli gradus consti-
liitiva ('\ una pailo.

Dcinde, post extractioiiem lalcris quadrati ex altéra aM|iiationis pi'i-
inum propositse parte, lalus Z/;/. W. .v«/., (juod Vp/.pl. dieere licet,

a'quabilur

A gii. </ii. -h R j iii A cid). + 1)/)/. iii A in E;

htCC vero sequatio dabit etiam aliam (jiiarti gradus curvam, et liarum
duaruni curvarum interseelio dahit valorem A, lioe est prohlcinatis
propositi solutioneni.

Notandum porro iii prolilematîs qua; ad nonam aul decimani potes-
tatem ascendiint, ita effingcndum latus quadrati ut in eo sint quatuor
ad minus liomogenea quorum bénéficie evanescant très elatiores laleris
ignoti gradus; in problematîs autem quœ ad undecimam aut duodeci-
mam potestatem ascendunt, latus effîngendi quadrati constare debere
quinque ad minus homogeneis, ita formandis ut eorum beneficio qua-
tuor elatiores lateris ignoti gradus evanescant. Perpétua autem cl facil-
linia metliodo, banc lateris quadrati effingendi formam per solam et
simplieem divisionem vel applicationem, ut verbis geometricis et in re
pure geometrica utamur, cxpediri Analysta; experiendo deprebendent,
et cbaracterum + et — variatio nullum methodo prsejudicium est alla-
tiira.

Quum autem problemata quse ad secundam potestatem ascendunt per
extractionem lateris quadrati reducantur ad primam, ut notum est, per
lineas primi gradus, hoc est rectas, expedicnliir, et vana evadet quam
in prioreDissertationis istius parte metueramus objectio, quum extrac-
tionem radicis quadraticse tanquam notam et obviam in quolibet pro-
blcmatum génère ex nostra nie.tliodo usurpandam supposuerimus.

Non latebit igitur deinceps accurata et simplicissima problematum
geometricorum per locos proprios a curvis varia', prout expedit, spe-
ciei oriundos, resolutio et constructio. Variare auleni curvas salvo
semper et retento naturali problematis génère, liberum erit Analystis,
et semper problemata octavi aut septimi gradus per curvas quarti.

DISSERTATION TRIPARTIE. 127

problemata decimi aut noni per curvas quinti, problemata duodeciiui
et undecimi per curvas sexti et sic uiiiformi iii intinitum methodo ex-
pedientur; ({uuin contra per Cartesium problemata octavi aut septimi
gradus curvis quinti aut sexti indigeant, problemata decimi aut noni
curvis septimi aut octavi, problemata duodecimi aut undecimi curvis
noni aut decimi et sic in infinitum. Quod quam longe a simplicitate et
veritate geometrica absit, videant ipsi Cartesiani, aut, si ita visum
fuerit, contradicant.

Veritatem enim tantum inquirimus et, si in scriptis tanti viri alicubi
delitescat, eam libenti statim animo et amplectemur et agnoscemus.
Tailla me sane, ut verbis alienis utar, luijus portentosissimi ingenii in-
cessit admiratio, ut pluris faciam Cartesium errantem quam multos
xaTopOoOvTxç.

DISSERTATIONIS

PARS III.

Ilaec ad generalem doctrinam fortasse suffîciant : quœ enim proble-
mata Cartesius per gradus curvarum elatiores déterminât expedicnda,
ea nos generali metbodo ad curvarum gradum duplo minorem féliciter
depressimus. Quod ita tamon intelligi debere pronunciamus, ut id sal-
tem auxilium omncs omnino quœstiones admittant : majus quippe intî-
niti casus spéciales non récusant. Juvat itaque ulterius exspatiari et
Analysin Cai'tesianam non solum ad termines duplo minores, scd ad
quadruplo, sextuplo, decuplo, centuplo, etc. in infinitum aliquando
minores deprimere, ut tanto magis error Cartesianus detegatur et pro-
prium statim ab Analysi remedium consequatur : potestates autem per
numéros ipsarum exponentes designare in gradibus elatioribus, dein-
ceps commodius erit.

Proponatur invenire sex continue proportionales inler duas datas.

Sint duœ datœ B et D; prima inveniendarum ponalur A : fiet

œqualio inter A' et B'^D.

I-IS ŒUVRES DK FEIIMVT. - 1" PARTIE.

ll;vc wqualio sccuiuluin Carlesiuni per ciirvas quinli laiiUim aut
scxti gradus solvi potcst. Nos cam pcr curvas quart! gradiis in secunda
luijusDisscrtatioiiis parte, sicut reliquas otiain cjusdem nalurîe, gene-
raliter rcsolvimus. Sed nihil vetat quoininus cani per curvas tortii gra-
(his resolvamus.

.'Equcntur quippe singuli aequationis termini liomogeneo sequcnti
A'E^D : ai(|uabitur ex una parte A' et, divisis omnibus por A', ma-
nebit aequatio interE-D et A' qu« dat, ut patet, curvam tertii gradus.
|{x altéra vero parte A'E^D aîquabitur B''D, et, omnibus per D divisis
et reliquis sul)quadratice depressis, manebit anjuatio inter A-E et B^
qua3 dabitetiam curvam tertii gradus. Harum autem duarum curvarum
intcrsectio dabit valorem A, hoc est problematis propositi per curvas
tertii gradus solutionem.

Sed proponatur inter duas datas ùivenire duodccim médias proportio-

^nales continue,

œquatio eril inter A" cl B'-]);

eam autem Cartesius tantum per curvas undecimi aut duodecimi gra-
dus solvi posse existimavit. Nos gencraliter, ut similes quasvis ejus-
dem gradus, eam in secunda bujus Dissertationis parte per curvas sep-
timi gradus solvi posse docuimus. Sed ulterius inquirenti occurrit
slatim elegans pcr curvas quinti gradus solutio, imo et datur per
curvas quarti, ut infra videre est.

.^quentur primum singula hujus a^quationis membra bomogeneo
A'E*D, ex una parte nempc A'\ et ex altéra B'-'D. In prima, omnibus
per A' divisis, fiet œquatio inter A' et E^D quse dat curvam quinti gra-
dus, ut patet. In secunda, omnibus per D divisis et per quartam potes-
tatem sive quadratoquadratum depressis, remanebit a;quatio inter A'E
cl B', quaî dat cuivam tertii gradus. Per duas itaque curvas quarum
una est quinti gradus, altéra tertii, problema propositum expedimus.

Sed idem cliam problema facilius, hoc est per curvas quarti gradus,
construere possumus : sequentur singula œquationis membra A"E^D.
Fiet illinc, post divisionem per A", A' aîquale E^'D, quae œquatio dat
curvam quarti gradus; istinc vero, omnibus per D divisis et deinde per

DISSERTATION TRIPARTIE. 129

tertiam potestatem sivc cubum depressis, fiet sequatio inter A^E et B*
quse dabit etiam curvani quarti gradus. Problema itaque per duas
quarti gradus curvas facillime construimus.

Qui bac exempla viderit, non poterit dubitare quin inventio triginta
mediarum continue proport ionalium per curvas septimi, imo et per
curvas sexti possit expediri. yEquatio

nempc inler A" et B'^D

commun! termino A^'E'D aequabitur, unde problema per curvas sep-
timi gradus expedietur; aut communi termino A-^E"'D aequabitur,
unde manabit solutio per curvas sexti gradus.

Sic inventio 72 mediarum solvetur per curvas noni gradus, et patet
ex pra'missis posse assignari rationem, inter gradum problematis et
gradum curvarum illud solventis, omni data ratione majorem. Quod
quum viderint Cartesiani, non dubito quin necessifati et admonitionis
ot emendationis nostra' subscribant.

Advertendum autem immutandam sœpe esse ipsam a'quationis for-
niam, ut commodam per partes aliquotas divisioncm homogenea ipsa
recipiant, quod semel monuisse sufficiet.

Proponatur videlicet inventio decem mediarum et sit

œquatio inter A" et B"'U.

Ducatur quodlibet ex homogeneis in rectam datam, verbi gratia Z, ut

sit

œquatio inter A"Z et B'»DZ;

ita enim ad numerum 12 pervenictur cujus ope facillima per partes
aliquotas evadet reductio aut depressio. jE^uetur videlicet quodlibet
ex homogeneis A* E' : illinc orietur

lequatio inter A^Z et E*,

quœ dat curvam quarti gradus; istinc vero, beneficio extractionis lateris
quadratoquadratici, inter A-E et latus quad'ratoquadraticum homogenei
dati B"'DZ, quod, si placet, sit N solidum, qua^ a?quatio dat curvani

Ferm.vt. — I. I ~

130 (i: l VHKS l)i: KKHMVT. 1" l'VUTIE.

tortii lirailus. attiiio i(a iiivoniciitur deccm modia' pcr duas curvas ijua-
l'uni altéra est qiiarti, altcia vero tertii gradus : qiiod per leveni illaiii
prioris a'quationis imimitationem facillime sumus exsecuti.

.Nec moror iiifmila alla (iiiie Analystis ars ipsa ahunde suppodilabit
conipondia; hoc tantum adjungo oa omnia qiue superius diximus non
soluni lociini liahcre, ([uuni potestas ignota nullum aliud siib gradibus
inierioribus adfectuni Lonliiicl homogenoum, sed etiani si aliqiia ex
bomogenois a gradibus potestati proximioribus adficianlar : nt, si

A'»+NA'2-hMA"-^H\"' aMiuetur B'^1),

soinlio biijiis (|ua'sti()nis pei'inde facilis reddetur, communi adsumpto
a-qualionis homogcneo quo supra usi sumus, nempe A"E''D, ac si in-
venienda; duodecim media^ intoi' duas datas proponerentur. Simili
autem in a'quationibus ab aItioril)us gradibus adfectis utemur arti-
ticio.

Notandum tamen, in sequationibus in quibus una tantum reperitur
iiinota quantitas ex una parte, exponentem potestatis illius pura>
debcre esse numeruni primum ut ab eo gradus illius problematis dcsi-
gnetur. Si enim exponons illc sit numerus compositus, problenia ad
gradus iiunicroruin qm eum nietiuntur statini devolvetur.

Quajrantur, exempli gratia, octo media^ continue proportionales

iiiter duas datas, fiet

ii-quatio inler A' et B'I),

quo casu, quum numerus (j sit compositus, a numéro 3 bis mensura-
tus, inferetur problema esse tertii gradus : quod quidem ita se habet.
Si enim inter duas datas reperiantur dua; média?, et rursus inter pri-
mam et secundam, secundam et tertiam, tertiam et quartam reperian-
tur similiter dua; mediic, fient octo mediœ inter duas primum propo-
sitas lineas.

Si quaM-anlur quatuordecim média; inter duas datas, sequatio, qua*
est inter A'* et B'''D, indicabit problema devolvi ad alia duo proble-
mata, quorum unum est tertii gradus, alterum quinti.

Inde apparet exponentem para; potestatis dcberc esse numerum

DISSERTATION TRIPARTIE. 131

primum ut vero gradum problematis exprimât ot designel. Quuni
auteni numéros a binario quadralicu in se duc/os et uni/aie aiiclos esse
semper numéros primos (') apud me constet et jamdiidiim Analystis
illiiis theorematis veritas fuerit signiiicata, nempe esse primos 3, "ï.
17, 207, 65537, ^tc- '" infinitum, niiUo negotio inde derivabitiir me-
thodus cujus hent^ic'xo prohlema construemus eujus grac/us ad gradum
ewvarum ipsius solutioni insenienfium rationem hcdteat data cpiavis ma-
jorem.

Proponatur namque inter duas datas invenire 256 médias eontiiuie
proportionales : fiet

iequalio iiiler A-»" et R"'D,

et singuli termini iequalnintiir seqiienti A-"'"E"''D, et mox qinestio per
curvas 17' gradus expedietur.

Si qusrantur médise 65 536, qusestio per curvas 207' gradus solve-
tur, et sic in intinitum gradus majoris numeri deprimetur ad gradum
numeri proxime minoris. Inter duos autem proximos rationem in inti-
nitum augeri quis non videt?

An vero errasse Cartesium ulterius Cartesiani dissimulabunt? ego
sane è-Éyco et quid statuendum liac de re sit soUicitus et lacitus ex-
specto.

(') C'est la célèbre proposition, ([ue i-"— i est un nombre premier, dont Euler a re-
connu la fausseté pour n = 5, c'est-à-diro pour le nombre qui suit immédiaiemeiil le der-
nier donné par l-'ermat.

METHODUS

DISQIIRE^DAM MAXIMAM ET MINIMAM ".

Omnis de inventione maxirnse et minimœ doctrina duabus positioni-
bus in notis innititur et hac unica prseceptione :

Statuatur quilibet quaîstionis terminus esse A (sive planum, sive
solidiim aut longitudo, prout proposito satisfieri par est) et, inventa
maximà aut minimà in tcrminis sub ^1, gradu < aut gradibus >-, ut
libot, involutis, ponatur rursus idem qui prius terminus esse A -h E,
iterumque inveniatur maxima aut minima in terminis sub A et E gra-
dibus, ut libet, coefficientibus. Adtequentur, ut loquitur Diopban-
tus (-), duo bomogenea maximae aut minimae ?equalia et, demptis
communibus (quo peracto, bomogenea omnia ex parte alterutra ab E
vel ipsius gradibus afficiuntur), appliccntur omnia ad £" vel ad elatio-
rem ipsius gradum, donec aliquod ex bomogeneis, ex parte utravis,

( ') Cet écrit, envoyé, par l'intermédiaire de Mersenne, à Descartes, qui le reçut vers le
10 janvier i6i8, devint dès iors, entre Fermai et l'auteur de la Géométrie, le princii)al
thème de la polémique déjà ouverte à propos de la Dtoplrique.

Le second alinéa se retrouve intégralement vers la fin de l'écrit IV suivant. Les additions
entre crochets — aut gradibus (ligne 3 do l'alinéa); sub (page i34, ligne 2 ) — sont emprun-
tées à cette seconde rédaction et ne doivent pas avoir figuré dans la première. Les seules
autres divergences correspondent au\ leçons suivantes du texte postérieur : page i34,
lignes I, 2, 3 « Elisis. . Iiomogciicis i/wolutis, relii/aa » — ligne 4 • " if'""' ultiinœ ».

('-) Diophante emploie (V, 14 et 17), dans un but spécial et pour désigner une égalité
approximative, les termes de -apisô-cr); et de r.i^'.im, que Xylander et Bachel ont traduits
par adœqualitas et adœquale.

t3i (Kl'VUKS I)K FEUM AT. 1' l'VHTIK.

alTectione sub E oinnino liherotur. Kliilandii' ilcindo iilrimqiie lionio-
ijenca sub K aut << sub > ipsius gradibus quomodolibct invokila, et
roliqua a^quciitur, aut, si ex uiia parte tiibil superest, .Tqucntur sane,
(|Uod eodem recidit, negala afiirnialis. Uesolutio ultiin;p islius a'quali-
tatis dabit valorem .1, quà cognitâ, inaxiina aut niinima ex rcpotitis
prioris rcsolutionis vestigiis innotescet.

Exemplum subjicimus : Sil recta AC (Jîg- 91) il» dividi-nda in \\ ni
rectans:ulum AEC ,v// maximum.

Recta AC dicatur B. Ponatur pars altéra ipsius B esse A : crgo reliqua
erit B — A, et rectaugulum sub segmenlis erit B'\nA~^A(/., quod
débet inveniri niaxinuini. Ponatur rursus pars altéra ipsius B esse
A-h E : ergo reliqua erit B — A — E, et rectaugulum sub segmentis erit

B in A — Aq. -h Bin E — A in E bis — Er/.,

quod débet ada^quari superiori rectangulo

BinA -^ A(].
Demptis communibus,

B\nE adaequabilur 1 in /s'bis -t- £'5'.,

et, (uimiiius per E divisis,

// adœquabitui- . ( bis + E.

Klidalur E,

B .-equabitur A bis.

Igitur B i)irariani est dividenda ad solutionem propositi; nec polest
generalior dari metbodus.

DE ÏANGENTIBL'S MNEARUM CUnVARUM.

Ad supcriorem metbodum inventionem tangentium ad data puncta
in linois quibuscumque curvis reducimus.

MAXIMA ET MINIMA. 135

Sit data, verbi gratia, parabole BDN {Jig- 92), cujus vertex D, dia-
nu'ter DC, et punctum in ea datum B, ad qiiod ducenda est recta BE
taiigens parabolen et in puncto E cum diametro concurrens.

Fig. 93.

Ergo, sumendo quodiilyet punrtum in recta BE, et ah eo ducendo or-
dinatam 01, a puncto anteni B ordinatam BC, major erit proportio

CD ad DI f|uam quadrati BC ad quadratum ()F.

quia punctum 0 est extra parabolen ; sed, propter similitudinem trian-
gulorum,

ut BC quadralum ad 01 (|uadraluin, ila CE quadratum ad lE quadratum :

major igitur erit proportio

CL) ad Dl quam quadrati CE ad iiuadralum lE.

Quuni autem punctum B dctur, datur applicata BC, ergo punctum C:

datur etiam (]D : sit igitur CD a'qualis D dat». Ponatur CE esso A :

ponatur CI esse E.

Ergo

D Aii D — E habebil majorcm proportionem

quam Aq. ad Aq. h- Eq. — ,1 in /?bis.

Et, ducendo inter se médias et extremas,

DmAq.-Jr D'mEq. — Dm A in/i bis majus erit ([uam DmAq. — Aq. inE.

Ad;equentur igitur juxta superiorem methodum : demptis itaquc com-
munibus,

D in Eq. — D in A in E bis ad»quai)itur — iq. in E,

136 ŒUVHES DE FERMAT. - 1" PARTIE.

aiit. quod uli'iii est.

/> in /•?</. — Ir/. iii /T ada'qiiabiliir /) in I in /? bis.
Omnia dividantur per IC : ergo

/>in /i -H Atj. adœquabitui' /' in ( bis.

Elidatur D in E : ergo

Ac/. aMiuabiliir /> in. Ibis,

ideoque

A sequabilnr />b\s.

Krgo CE probavimus duplani ipsius CD, quod quidem ita se habet.

Nec unquam fallit methodus; imo ad plerasque qusestiones pulcher-
rimas potest extendi; ejus enim beneficio centra gravitatis ( ') in tigii-
ris lincis curvis et rectis comprehcnsis et in solidis invenimus, et
mulla alia, de quibus fortasse aliàs, si otium suppetat.

De quadraturis spatiorum sub lineis curvis et rectis contentorum.
imo et de proportionibus solidorum ab eis ortorum ad conos ejusdeni
basis et altitudinis, fuse jam cum Domino de Roberval egimus (-).

II.

CENTRUM GRAVITATIS TARABOLICI CONOIDIS,

EX EADEM METHODO (').

Esto parai)olicus concis CBAV (^g- 93), cujus axis lA, basis circu-
lus circa diametrum CIV. Quaîritur centrum gravitatis perpétua et con-

(') f'oir ci-après sous le numéro II.

(ï) f^oir les lettres do Fermai à Roberval des 22 septembre. 4 novembre et iR dé-
cembre i636.

(') Cet écrit paraît être celui que Fermât adressa, pour Roberval, à Merscniie, avec sa
lettre du -.io avril if)38. Mersonnc on envoya l'énoncé à Doscartes. lo i'' mai suivant, sans
prendre soin de supprimer les derniers mois, malsrré l'allusion directe qu'ils renfer-
maient.

MAXIMA ET MINIMA.

137

staiiti, qiia maxiinam et miiiiinam et tangentes linearum curvariim in-
vestigavimus, methodo, ut novis exemplis et novo usu, eoque illustri,
paleat falli eos qui fallere methodum existiiuant.

l't posset parari analysis, axis lA dicatur/V; ponatur eentrum gravi-
tatis esse 0, et rectam AO ignotam dici A; sceetur axis lA quovis
piano, ut BN, et ponatur IN esse E : ergo NA erit 1} — E.

Constal in liac figura et similibus (parabolis aut parabolicis) centra

gravitatuni, in porlionibus abscissis per parallelas basi, in cadem pro-

portione dividere axes(quod, in parabole ab Arebimede ('} demonstra-

tuni, porrigitur non dissiniili ratioeinio ad parabolas omnes et parabo-

iicos conoides, ut patet) : ergo eentrum gravitatis porlionis cujus

axis NA, baseos semidianietcr BN, ita dividet AN in puncto, verbi gra-

tia, E,

ul ratio NA ad AE sil eadeiii ratioiii lA ad AO.

Erit igilur, in notis,

ut fi ad 1, ita fi — E ad portioiiem a\is AE,

qu;r idcirco tequabitur

Bin —AinE
Ti '

et ipsa OE, quœ est intcrvalUmi inicr duo centra gravitatis, te([ua-

bidir

i in E
B

Ponatur portionis reliquat CBRV eentrum gravitatis esse M, quod

(') Arciiimède, De rvijiiipi)/ic/crfii/liùn.t, 11, prop. vu.
Fermât. — I. 18

138 ŒUVRES DE FEHMAT. - 1" l'VlîTlE.

necessario débet esse iiitor puncta N et 1, inti'a ticçuram, per pctitio-
nem 9 Archimedis De œqiiiponderanùbus ('), qiiiiin tigura CBKV sit in
easdein partes eava. Sed

ut porlio CHHV ad porlioiicm H VH, ila est EO ad OM,

()uiuii 0 sit centriim gravitatis toliiis tigui'ie CAV, et puncta E et M
siiit ceiiti'a gravitatis paitinni; porlio aiitem CAV ad portionem BAR
est, in nostro conoide Archiniedeo (-), ut quadratuni lA ad quadratum
NA, lioc est, in notis,

ut Bq. ad liq. -(- E(i. — n in E bis :

ergo, dividende,

porlio CBRV est ad portionem BAR

lU /> iii A'bis — AVy. ad Ihj. -\- Eq. ~ B'm E h\s.

Demonstravimus autem

ut porlio CBB\' ad porlionern BAB, ila esse OE ad OM :

erit igitur in notis

1 in E

lit li in E bis — Eq. ad Bq. -\- Eq. — B'\n E bis, ita OE sive " — 7- — ad OM,

quifi proinde tequabitur

Bq. in A \n E -i- A in Ec. — B in . J in Eq. bis
Bq. in £" bis — B in Eq.

Quum auteni punctum M, ex demonstratis, sit inter puncta N et 1,
ergo recta OM erit minor rectâ 01; recta auteni 01 in notis est li — A :

('; " I'i:tit. IX. Cujuscumque figurœ si f'ueril ambilus in casdcm partes caviis, centrum
1) gravilali» fii;ura; inlus esse u, page i58 de l'édilion Arcuimkdis Upcra qiin- cxtniit, /t<ivi\-
demonstralioiiibus coniinciitarusqiie Ulustratd pcr Da\idcm Ki\aUuni a Fkirantia Ca'no-
manum etc. — Parisiis, apiid Claudium MorL'lliiiii , via Jacobaja , ad insigne Fonlis-
M. DC. XV.

(') ÀRCHniÈOi;, T)c conoldilms et xpluvroulibiis, prop. xxvi.

MAXIMA ET MINIMA. 139

(leducta est igiliir quteslio ad methodum et adœquanda

B(j. \n Ain E -h Ain Ec — BinAln En. his

B — A cum — ^ = — , — =-î-^ 5-^ — ^

Brj. m £^ bis — B m Eq.

et, omnibus ductis in dcnominatorem et abs E divisis, adœquabuntur

Bc. bis — Bq. in A bis — Bq. in E + B in A in E

et

Bq. in - 1 -h A in Eq. — B in A in E bis.

Qnandoqiiidem nihil est utrimque commune, elidantur homogenea
omnia abs E afFocta. et a-quentur reliqua : fiot

Bc. bis — //'/. in .1 bis œquaUs Bq. in A,

ideoque

A 1er a^quabiluf ZJbis.

Erit igitur

lA ad AO ut 3 ad 2

et

AO ad 01 ut 2 ad i.

Quod erat inveniendum (' ).

Non dissimili motbodo in ([uil)uslibct parabolis in iniinilumet para-
bolicis eonoidibus inveniuutur centra gravitatum. Quemadmodum
autem, \orl)i gratia, i/i iioslro cunoide parabolico circa apphcatam axi
conversa indaganda sint centra gravitatis, non vacat in priesens indi-
care : sufticit aperuisse me in boc nostro conoide centrum gravitatis
dividerc axem in portiones quae servant proportionem 1 1 ad 5 ('^).

(') Ces relations étaient connues, d'après Arciiimède, De ils quœ vcluaitur in nqiid,
Livre II, prop. 2 el suivantes. Elles étaient d'ailleurs démontrées dans la proposition 29 de
l'Ouvrage : Federici Commaiidini Urbiiiatis liber de centni grm'itatis solidorum. Cumpri-
i'ilegio in anno.i X. Bononiœ ex ojjicina Alexandri Benacil. M. D. LXV, publié en même
temps que la reslitulion, parCommandin, du Traité précité d'Archimède, où elles sont seu-
lement supposées.

(2) Ce rapport avait déjà été indiqué à Roberval dans la lettre de Fermât du 4 no-
vembre iG36.

HO ŒUVRES J)K FERMAT.- 1" PARTIE.

111.

AI) EAMDEBI METIlOnilM.

Volo meà methodo .vcrore lineam X(\ (//'g'. f)'\) <i<i/a/ii ad piinctiuii 13,
ita itl solidum con/criti/m suh qiiadralo AB et linea ]}(] sil maximum om-
nium soliilorum eodem modo descriptorum secando lineam AC. in

quovis alio piincto.

Fis- n'i-

A B. C

Ponamus in notis algobraicis lineam AC vocari //, et lineam AB in-
cognitam .1: BC^ erit B — A : oportet igitni' soiidnm Aq.'xnB — Ac.
satisfacere quœstioni.

Sumamus iterum, loco A, A -\- E : solidum, quod fiel ex qnadrato
A -H E et ex B — E — A, erit

/l in (y. + /l in /u/. -h II in . ( in E l)is
— .-le. — .1 in El/, ter — . (y. in E ter — Ec.

1(1 comparo primo .solido

II/, in /)' — Ac,

lanquam essent aequalia, licet rêvera œqualia non sint, et liujusmodi
comparationem vocavi adœqualitatem , ut loquitur Diophantus (sic
enim interpretari possumgraecam vocem -aptcrÔT-/]; (') qua illeu(itur).
Deinde e duobus solidis dcmo quod iis est commune, scilicet

Bill i'/.-^ Ac;
quo peracto, nihil ex una parte superest, et superest ex alia

B in E'/. -+- B in I in E Ijis — - 1 in E//. ter — iq. in E 1er — Ec.
Omiparanda snnt ergo liomogenea notata signo + cum iis qua? notan-
( ' ) /'oir la note ■?. de la page iJ3.

MAXIMA ET MIMMA. lil

tiu" signo —, et iterare comparationem [adsequalitatem] (') oportot

intcr

B in E'i. H- B in A in E bis ex una parle,

et A \n Eq. 1er -t- Aq. in E ter + Ec. ex altéra.
Totum divi lamus per E : comparatio [adsequalitasj frit intor
/?in £" -i- /; in 1 l)is et ( in £" 1er -i- ,4-/. 1er + £"</.

Hac divisione peracta, si omnia Iiomogonea dividi possunt per A',
iteranda erit divisio per E, donec l'eperiatur aliquod ex honiogeneis
quod hujusmodi dtvisionem non admittat, id est, ut Vieta?is (-) verbis
utar, quod non afficiatur ab E. Sed quia, in exemple proposito, com-
pei'inuis divisionem iterari non posse, hic standum est.

Deinde utrimquc deleo honiogenea quse afficiuntur ab E : superest

ex una parte 7>'in-lijis, et ex alla -l'/.ter,

inter qtise non aniplius facere oportet, ut antea, coinparationes tictas

et adsequalitates, sed veram œquationeni. Dividanius totum per A :

era;o

^ bis erit ieqiialis lier,
et

B erit ad .1 ut 3 ad i.

Redeamus ad nostram quœstionem et dividamus AC in puncto B

ita ut

AC sit ad AB ut 3 ad a :

dico solidnm quadrati AB in BC esse maximum omnium quae describi
possunt in eadem linea AC, in qualibet alia sectione.

(' ) Lo tcxlc véritablo est douteux : Fermai n'a dû écrire que J'un des deux mots, voin-
paratiuncni ou adœqualitatcm, qu'il employait comme synonymes; l'autre serait une glose
du copiste ou du possesseur de l'original. Même remarque pour compnratio et adœqiadi-
tas, quatre lignes plus bas.

(-) En réalité, Format étend singulièrement ici le sens donné au mol nffectw ])ar Vièto
{voir notamment In Artcm Analytlceii Ixagoge, cap. 111, 9, p. 3 de l'édition de Sclioolen).
Viète en effet entend par là la présence, à la suite de la potestai (puissance de l'inconnue,
sans coefficient), de termes de degré moins élevé. Ainsi, pour lui, x'^ serait une poicstas
pura (si xSa); tout polynôme entier en x (ayant l'unité pour coefficient du terme de
degré le plus élevé) et s'annulant a\ec x, uno pote.flat nffccla.

)i-2 ŒUVllES 1)K FERMAT.— 1" PARTIE.

Il patoat liiijus inethodi cprliludo, desumam oxemplum e libro Apol-
loiiii De (Ictcrminatn seclione,(\\i\, ut rolert Pajipiis uiilio scplimi lihi'i,
(liftieilos doterniinationos lial)ebat('); eteaiii (jua' sequilurdifficillimaiu
esse existimo, quam ul iiivenlaiii siipponit Pappiis septimo libro, nec
t'uiiii illaiii vorani esse demonstrat, sed, ul veram supponens, alias inde
consequeutias dediicit. Hoc loco Pappus vocat miniinam proportionem
rjLovy.yôv xal iAiy.^Tov, minimam et singularem, ideo scilicet quia, si
propouatur qua'slio circa magnitudines datas, duobus seuiper locis
satisfit qua'stioni, sed, iu miuimo aut maximo terniino, unicus est qui
satisfaciat locus : idcirco Pappus vocat minimam et singularem, id est
uuicam, proportionem omnium qua? proponi possunt minimam. Com-
mandinus hoc loco dubitat quid per [xovayoç intelligat Pappus, et veri-
tatem quam modo explicui ignoravit (^). Sed ecce propositionem :

.SV/ reclii data O.AIID (yfig. 9")), et in ea cjualaor puncta 0, M, I, I)
data. Dii'idenda est portio MI in puncto N ita ut rectanguli OND sit ad
rectangidum JMNI proportio Tninor ijuani proportio cujuslihcl rectanguli
paris OND ad quodvis aliud par MNI.

Fig. 95.
0 M| , \, D

Supponamus in notis iineam OM datam vocari B, lineam DM datam
Z, et Ml datam G; fingamus nunc MN, quod quserimus, vocari A : ei'go
rectangnlum OND in notis erit

h in Z — B\x\À^Z in .1 — Aq.,

(') Pappus, éd. Conimatidiii, fui. ru) recto, ligne i^; éd. tlultsch, pago (3(1, ligne 3.

(') Pappis, éd. Coinmandin ( cf. éd. Ilnltscdi, pagejJS, ligne i), prop. 61 :

Fol. 196 recto : « i.emm. XXI. Tribu.s datis redis lineis AB BC CD, si fiât ul reclangu-
» lum ABD ad rectangnlum A(jD, ita quadratum ex BE ad quadralum ex EC, singularis
i> |)roporlio. cl minima est roclanguli AED ad rectangnlum BEC. »

Fol. 19G verso A : « com.mi;ntaiiii;s. Grœcwt codex 0 [j-ovcc/o; Xoyo; za'i sJ-x/igto; îrjxiv
1) ô -o3 i-o a30 -fo; to j-o pif- ijuihu.i verbi.i quid si'^nifîcelur, iinidc^iic pcr nioiutchos,
» et epilagnia in /lis Icmrnatibitu iiitclliget, salix percipi non potcst, cuni ApoUonii lihrix
11 rareamux, in qtio.i ea cnnscripla siint. »

Les lettres A, B, E, C, D de Commandin correspondent respectivement aux lettres 0, M,
N, 1, D de Fermât.

MAXIMA ET MINIMA. U3

et rectangulum MNI

Gin A — Afj.

Oportet igitur proportionem

B'inZ — /y in .'1 -t- Zin A — Aq. ad G in .1 — Acj.

esse minimam omnium quse fieri possuiit qualibet alia divisione
linea» MI.

Sumamus itcrum, loco A, A -h E, et habcbimus proportionem

Ji\n Z — TimA — B m E + Z m A -\- Z \n E — Atj. — Eq. — A in fi'bis
ad G \n A + G \n E — Aq. — Eq. — A in E bis,

quam primœ comparare per adaîqualitatem oportebit, id est : multipli-
care prinium terminiim per quartum ex iina parte, et secunduni per
tertium ex alia, et simul haec duo producta comparare.
Productum

BinZ — i? in .1 + Zin .1 — Aq., qui prior est terminus,
per

G in .1 -i- Gin E — Aq. — Eq. — A in E bis, qui est ullimus terminus,

facil

/>' in Zin G in A — G in B in Aq. -+- G in Zin Aq. — G in Ac.
-+- B in Z in G in E — B in -1 in G in Zï" + Zin A in G in £" — Aq. in G in /•-'

— B in Zin.-i'/.4- B in Ac. — ZinAc. -h Aqq.

— B in Zin Eq. + B in .1 in Eq. — Zin A in Eq. -h Aq. in Eq.

— B in Zin 1 in £'bis -(- B in Aq. in E bis — Zin Aq.inEhis -+- Ac. in A'bis.

Productum auteni

Gin.-Jl — Aq., secundi lermini,
per

BinZ— B in A— BinE + Zin A-\-Z in E—Aq. — Eq. - A inZfbis,

lerlium lerminum,

m ŒLNUES DK F EU MAT.- 1' l'AHIIi:.

la fit

/.' in /f in ^? in ( — ''/ in />' in ly. — <7in/>'in i \\\ 1-^ + G in Z \t\ (y.
~<iinZin lin/-.' — (V in te. — ^»' in I in AV/. — ^.'in ly. iu A' iiis

— /} in /fin ly. -t- /> in le. H- 7^ in Ar/. in /ï — Zin le.

— Zin (</. in /i' + ifjrj. + (7. in /fy. + te. in /j bis.

(^Diiipai'û lia'c duo pi'oilucla poi' ail;e(]iialitatein ; tlomannis (iiiod
ipsis coniimiiu' est, et residiini dividanuis por E : siipererit,

c'\ nna parte, />' in Zin G — (y. in <# — /» in Z in /s' + />' in ( in /?

— Zin .1 in E — /l in Zin .1 bis — Zin Aq. l)is -+- />' in A'/, jjis,

et

e\ aiia, — G in .1 in E — G in tq. bis -+- />' in Ai/. — Zin Atj.

Deleamus uiniiia homogciiea iiitor qiue iteiuin reperitur /s : supi'i-
erit

/) in Z in G — Aq. in (/ — />' in Z in A bis — Z in ly. bis h- // in -!(/. bis
sequale — G in (y. bis -!- Jl in J7. — Zin Aq.,

et, liaii.sponi'iKlo,

— />' in - ty. H- Z in . ly. — G in .ly. -)- /; in Z in . ( bis
eril a*(|uale fi in Zin G.

Istiiis iequalionis resolutione rcperieimis valorem liuete .1, id est va-
lorem MN, et conscquenter punctum N, et inveniemus veritatem pro-
positionis Pappi ( '), qui docet, ad reperiendum punctum N, oporteie

faccre

m rectangulum OMI) ad reclangulum OlD,

ila qnadraluni MN ad (|uadralum NI;

a>quationis enim resolutio nos ad eamdem constructionem deducit.

L't tandem tangcntibus applicetur liaec niethodus, sic procedere pos-
sum :

Sil. veilti gralia, cllijKsis ZDN (y%. 9O), cujus axis sit ZN et cen-

C) Voir, dans la note •>. de la pa^e i\t., la traduction par Commandin du texte de Pa|ipus
l'I la corres|)Oiidance indiquée |)Our les lettres.

MAXIM A ET MINIMA. 143

trum R. Sumamus punctum, ut D, in ejus circumferentia, a quo duca-
mus lineani DM quse tangat ellipsin; ducamus praeterea applicatam
DO et supponamus -< in > notis algebraicis OZ datam vocari B, et ON
datam vocari G; fingamus OM, quam quserimus incognitani, vocari .4

(intelligimus autem per OM portionem axis contentam inter punc-
tum 0 et concursum tangentis).

Quoniam DM tangit ellipsin, si ducamus lineam lEV, parallelam DO,
per punctum V sumptum ad libitum inter 0 et N, certum est lineà lEV
secari tangentem DM et ellipsin quoque, ut in punctis E et I; et, (|uia
linea DM tangit ellipsin, omnia puncta prœter D erunt extra ellipsin :
ergo linea IV erit major lineà EV. Erit igitur major proportio

quadrati 1)0 ad quadralum EV (|uaiii quadrali DO ad quadialum IV;

sed

ut (|ua(lraluin DO ad quadralum EV,

ita, proprietate ellipsis,

rectangulum ZON est ad reclangulum ZVN,
et

ut quadralum DO ad quadralum IV, ila quadralum OM ad quadralum VM :

major est igitur proportio

rectanguli ZON ad reclangulum ZVN
quam quadiali OM ad quadralum VM.

Fingamus <^ OV >, sumplam ad libitum, œqualem E :

reclangulum ZON erit limG;

rectangulum ZVN erit B in G — B in £" -i- G in £" — Eq.;

quadralum OM eril Aq.\

quadralum ^'M erit Aq. -^ Eq. — AmE\yi%.

FtHMAT. — 1. '9

U6 ŒUVRES DE FERMAT. - 1» PARTIE.

Krit igitur major proporlio

/>' iii C ad />' iii G — />' in E -\- G in E — Eq.
t|iuun - ((/. ad Aq. -\- Eq. — .1 in E bis,

et consequontcr, si multiplicetur prior terminus per ultimum et seciin-
dus per tprtiuni,

/)' in G \\\ Aq. -^ B iu G in Eq. — B ]n G in A in E jjis,

productum scilicet prioris termini per ultimum, erit majus

B in G in .iq. — B \n E in Aq. -+- G in E in Aq. — Aq. in Eq.

Oportet igitur, juxta mcam mcthodum, comparare liœc duo producta
per ada^qualitatem ; demamus quod iis commune est et dividamus resi-
duum per E : supererit,

ex una parte, B'mGinE — 5 in G in rt bis,
et, ex alia, — B\n Aq. + G in Aq. — Aq. in E.

Deleamus homogenea quae aliquid habent Fine* E : supererit,

e\ una parte, — fiin G in -1 bis, et, ev alia, — B'inAq. -\- G\n Aq.

Quos duos termines juxta metliodum œquare oportet; et, transpo-
nendo termines, ut par est, inveniemus

B'mA — G in .1 sequale B in G bis.

Vides hanc resohitionem eamdem esse cum Apolloniana (-) : iiam,
mea constructione, ad reperiendam tangentem, oportet facere

xil B — G ad G, ita i? bis ad A,

id est

ut ZO — ON ad ON, ita ZO bis ad OM;

sed, Apolloniana, oportet facere

nt ZO ad ON, ita ZM ad MN :
duae autem illœ constructiones, ut patet, in idem recidunt.

P; Apollonius, Coniques, 1, 34-

MAXIMA ET MINIMA. U7

Plura possem alla exempla addere, lum primi, tum secundi casùs
me* mcthodi, sed hsec sufficiunt et eam esse generalem ac niinquam
fallere satis probant. Demonstrationem regulse non adjicio nec pleros-
que alios usas qui illius perfectionem confirniare possent, nec inven-
tionem centrorum gravi tatis, asymptotôn, quorum exemplum misi doc-
tissimo Domino do Roberval (').

IV.

METHODUS DE MAXIMA ET MINIMA (').

Duni synciiscos et anastrophes Vietsese ('') methodum expenderem,
oarumque usum in depreliendenda «squationum correlatarum consti-
tutionc accuratius explorarem, subiit animuni nova ad inventioiiem
maximœ et minimae exinde derivanda methodus, cujus ope dubia quse-
libet ad «îiopio-ijLov pertinentia, quye veteri et novœ molestiam exliibuere
Geometriae, facillime profligantur.

Maximse quippe et minimse sunt unicie et singulares, quod et
Pappus (') monuit et jam veteres norunt, licet Commandinus quid

(') Fermât semble ne faire allusion ici qu'à l'Écrit II qui précède. Cet Écrit fut effecti-
vement envoyé à Hoberval, i)ar l'intermédiaire de iMersenne, en avril i63S; il n'y a au
contraire, dans la correspondance connue de Fermât, aucun indice sur une application de
sa méthode à la recherche des asymptotes.

(2) Cet important morceau a été conservé par une copie de Mersenne, aujourd'hui perdue
elle-même, mais dont il subsiste doux transcriptions de la main d'Arbogast : l'une au net
(Manuscrit du prince Boncompagni), l'autre on brouillon (Bibl. Nat., Fonds français, 3280,
nouv. acq.), qui a servi à M. Ch. Henry pour le texte qu'il a donné : Recherches sur les
manuscrits de Pierre de Format (Rome, 1880}, pages i8o-i83.

(') VlÈTE, De reco<^nitione œquationum, cap. 16, et De emendatione œquatioimm,
cap. 3 (éd. Schooten. p. 104 et suiv., i34 et suiv.). La syncrisis de Viète correspond à la
recherche de la composition des coefficients d'une équation en fonction des racines de
cette équation: Xaitastrophe a pour objet l'abaissement" du degré (impair ) d'une équation,
quand on connaît [une racine de la transformée obtenue en changeant le signe de l'in-
connue.

Dans tout ce fragment, au reste. Fermât emploie les expressions techniques de Viète et
applicpie les procédés de ce dernier.

(') J'oir plus haut, page 142.

U8 ŒUVRES DE FERMAT.- l- PARTIE.

per aova-/6; iiilelli goret Pappus, ignorare se non dit'tilclur. Inde st-cini-
tur, ab utraquo puncti deterniinalionis constitntivi parte, posse siinii
*qualionem unam ancipitem et, ex diiahus utrimijue sumptis, eftîci
duas aequationes ancipites correlatas sequales et similes.

Proponatni' in exeinpliini recta B ila secla id rectanguluin siih ipsiiis
segnicntis sil maximum ly^). Pinictuni proposito satisfaciens rectam
datam bifariani secat, utpatet, et maximum rectangulum sequatur qua-
drant! B quadrati; nec ex alla quavis rectse illius sectione oi-iotnr rec-
tangulum iequale quadrant! B quadrati.

At, si recla cadern B proponatur sccanda eà condiliune ul rectangulum
sub ejus segmentis sil œcjuale Z piano (quod supponendum minus qua-
drante ^quadrati), tune duopuncta proposito satisfacient, quaequidem
a puncto maximi rectanguli intercipiuntur.

Sit enim alicujus rectse B segmentum A, fiet

^in-t — ^ quad. aequale Z piano,

qute sequatio est anceps et rectam A de duobus lateribus explicari posse
indicat. Sit igitur sequatio correlata

B\\\E — £'quad. aequale Z piano;

ex metbodo Vietœa comparentur hse duse aequationes :

B\nA — B\nE auiuabitur ^ quad. — £'quad.,

et, omnibus per A — E divisis, fiet

B œqualis A -h E,

ip.Sceque ^ et £■ erunt inaequales.

Si sumatur aliud planum, loco Z plani, quod sit majus quam Z pla-
num, sed minus quadranic B quadrati, tune rectte A et E minus inter
se différent quam superiores, quum puncta divisionis magis accèdent
arl punclum rectanguli maximi constitutivum, semperque, auctis divi-
sionum rectangulis, ipsarum A et E dill'erentia minuetur, donec per

('; P'oir plus haut la môme question traitée, page i34.

MAXIMA ET MINIMA. U9

iiltimam maxinii rectanguli divisionem evanescat, quo casii \j.rjvy.-f'r^
vel uiiica continget solutio, quum duse aequales •< fient >■ quantitates,
iioc est, A sequabitur E.

Quum igitur, in duabus superioribus sequationibus correlatis, pei-
methodum Vietaeam, B aequabitur A -\- E, ?>'\ E sequetur ipsi A (quod
contingere semper in puncto niaximse vel minimse constitutivo appa-
ret), ei'go, in casu proposito,

li ;Bqiiabitur A bis :

hoc est, si recta B bifariam secetur, rectangulum sub ipsius segmentis
erit maximum.

Esto aliud exemplum : Recta B ita secanda est, ut solidum snh (jua-
drato iinius ex segmentis in altenim sit maximum ( ' ) .

Ponatur unum segmentum esse .4; ergo

B in . ( (|uad. — 1 cul), eril maximum.

.Equatio correlata sequalis et similis est

H in E quad. — E cub.

Comparentur juxta methodum Vietœ : ergo

B in A quad. — Bin E quad. aequabitur A cub. — E cub.,
et, omnibus per A — E divisis,

B \n A + B in E œquabitur .1 quad. + .4 in £" -h £'quad.,

quae est constitutio tequationiim correlatarum.
Ut quœratur maxima, tiat E œqualis ipsi A : ergo

B in .1 bis aequabitur A quad. ter,

lioc est,

B bis œquabilur A ter.

Constat propositum.

Quia tamen operosa nimis et plerumque intricata est divisionuni

(') f^oir plus haut la même question traitée, page i4o.

130 ŒUVRES DE FERMAT.- I" PARTIE.

illa [HT biiiomia practico, couvLMiieas visum csl latera anjualioniiin cor-

lelatarum inter se per ipsorum difTerentiam comparari ut, ea ratione,

iiiiiià ail dillerciiliain illain applicationo totuni opus absolvatur.

Esto

/?y. iii - ( — .If. œquandtiin majcimo solido.

Correlata, juxta superioris prsecepta methodi, seqiiatio debuit sumi

Bq. mE — Ec.

Sfil, quoniani E (perindc atcjue .4) est incerta quanlitas, iiihil vetat
quominus vocetur .4 + £" : erit igitur

/m/, in -1 -4- />V/. in E — Ac. — Ec. — Aq. in E ter — Eq. in A 1er,

ex una parte ; ex altéra

Bq. in .4 — Ac.

Demptis a^qualibus, patet tequationem integram in bomogenea ab

E adfecta iri devolutam, quia in utraque jçquatione reperitur A :

nempe

fiq.mE œqualjilur /Te. + .4^. in £" ter + /?(/. in .4 ter,

et, omnibus ipsi E applicatis,

Bq. ;equaljitur Eq. -^- Aq.ier + Ain E {kv,

quse est constitutio duarum bujusmodi œqnationuni correlatarum.

Ad inveniendam niaximani, latera duarum squationum inter se
debent fequari, ut satisfiat metbodi pranlictae prseceptis, ex qua poste-
rior hœc et modum et rationem ipsam operandi desumpsit.

yEquanda igitur sunt inter ?,& A ei A -\- E : ergo E dabit nibilum.

Quum igitur .ffi/., ex jam inventa «quationum correlatarum constitu-

tione, aequetur

Eq. -+- Aq. ter -i- A in E ter,

ergo elidi debent bomogenea omnia ab E adfecta, utpote nibilum re-
praesentantia : etmanebit

Bq. œquale Aq. 1er,
quae aequatio dabit maximum solidum qusesitum.

MAXIMA ET MINIMA. 151

Ut autem plenius innotescat utriusque hujus nostrse methodi usuni
esse generalem, dispiciamus novas sequationum correlatarum species
de quibus < tacet > Vieta, ex libro Apollonii De determinata sectione
(propositione apud Pappum 6t Libri VII), cujus determinationes ipse
Pappiis innuit et profitetur difficiles (').

Sit recta BDEF {fig. 97), in quâ datapuncta B, D, E, F. Intra puncta
D ei E sumendum punctuni N, ul rectangulum BNF ad rectaiiguliun DNE
haheat minimam rationem.

Fig- 97-
^^ ^ ^^

RectaDE voceturfi, DFvoceturZ, BD vocetur D; ponatur DN esse .4 :
ergo

ratio D'inZ — DmA-\-Z\nA — Aq. ad BmA — Aq. esl minima.

Ratio correlata similis et aequalis esto

D\nZ~D\nE + Z\nE — Eq. ad BinE-Erj.,

juxta priorem methodum. Factum itaque sub mediis aequabitur facto
sub extremis : hoc est, ex una parte,

DinZinBln £" — D'in Z in Eq. — £>'m Ain BinE -\- D in A in Et/.
-+■ Zin AinBin E — Z in Ain Eq. — Aq. in BinE -¥ Aq. in Eq.,

ex altéra parte,

D in Z in B in .1 — Z> in Z in Aq. — DinE in Bin A + Din E in Aq.
-I- Z in £" in 5 in /l — Z in £" in Aq. — Eq. in B in A -+- Eq. in Aq.

Demptis communibus et facta congrua metathesi,

/> in Z in // in .4 — i» in Z in BinE -^D in E in Aq. — DinA in Eq.
— Zin£'in Aq. -y- Zin A in Eq. + Aq. in B in E — Eq. in Z?in A
aequabitur D in Z in Aq. — Din Zin Eq.

(1) f^uir plus haut la même question traitée, page 142.

152 (Kl VUES DE FERMAT.- l" l'VUTlE.

Singulis a'qiiatioiiis partibus [ht .4 — E divisis (quod qiiidom, bina
ex bomogcneis correlata sigillatiin inler se confcrciulo, facilliinum : ut
pu ta

Dm Zm Jim A — Dm Z\\\ B\n E abs A — E divisum dal DmZ'xnll;

similiter

/> iii E in Al]. — /) in .1 in Eq. abs A — E divisum chu D in A m E;

et sic de cjeteris : homogenea enim inter se correlata satis facile dispo-
uuiUur ad bujusmodi divisionem admittendaui), fiet igitur, posl divi-

sionem,

DïnZinB-^DmAmE — ZmAmE ^ BmAmE

aequale Z)inZin -1 + />in Zin ZT,

quae tandem œqualitas aequationum correlatarum constitutionem exhi-
bebit.

At, si ex bujusmodi constitutione quseratur minima, débet E, juxta
methodum, œquari .1 : igitur

D\nZ\nn + D\nAq. — Zm Aq. + /> in Aq. ;equabilur Z'inZin -1 bis ;

hujus aequationis resolutio dabit valorem A, ex quo minima ratio quse-
sita statim patebit.

Nec morabitur Analystam ultimœ istius œqualitatis ambiguitas : pro-
det quippe se, vel invito, latus utile. Imo et in sequationibus ambiguis
quae plura duobus habent latera, non décrit solitum ab utraque bac
nostra methodo, sagaci tantisper Analyste, praîsidium.

Ex supradictse quœstionis processu, patet priorem illani methodum
intricatam nimis ut plurimum evadere, propter crebras illas divisio-
num perbinomia iterationes. Recurrendum ergo ad posteriorem, quse
tamen, licet ex priori, utjam dictum est, deducta, miram ccrte facili-
tatem et compendia innumera peritioribus abunde suppeditabit Ana-
lystis, imo et ad inventionem tangentium, centrorum gravitatis, asym-
ptotôn, aliorumque id genus, longe expeditior altéra illâ evadet et
elegantior.

MAXIMA ET MINIMA. 133

Confulentor itaque sicut olini, ita et nunc pronuntiamus seniper ot
legitiniam, non autem fortuitam (ut quibusdam visum) ('), maxima»
et minimse disquisitionem hoc unico et général! contineri epitagmate :

Statuatur etc. (roirpage i33, ligne 7, à page i34, ligne 6; comparer
page i33, note i) ... innotescet.

Si qui adhuc supersunt qui methodum banc nostram debitam sorti

pronuntiant,

IIos cupiam similes tcntando excudere sortes {''-).

Qui banc mctbodum non probaverit, ei proponitur :

Datis tribus piinctis, quartam reperire, a quo si ducantur Ires reclœ ad
data piincta, siimma triiim harum rectarum sit minima quantitas.

V.

AD METHODUM DE MAXIMA ET MINIMA APPENDIX ('\

Quia plerunique in progressu qua^stionuni occurrunt asynimetria',
non dubitabit Analysta triplicatas aut ulterioris etiam, si lil)eat, gra-
dùs positiones usurpare : earuni quippe beneficio multipliées et intri-
cati ut plurimum vitabuntur ascensus. Hujusce artificii metbodus ita
procedit ut exempla infra scripta declarabunt.

Sit semicirculus ciijits diameter AB (Jiff. 98) et in eam perpendicidaris
DC. Quœritiir maximum rectarum AC et CD aggregatum.

Diameter vocetur //; ponatur recta AC esse A : ergo
CD erit latus {D in A — A quad.).

( ' ) Allusion à la lettre de Descartes à Mersenne pour Fermât, du 18 janvier i638 : « Car
premièrement la sienne [la règle de Fermât] est telle que, sans industrie et par hasard,
on peut aisément tomber dans le chemin qu'il faut tenir pour la rencontrer. »

(^) Ce vers latin n'est tiré d'aucun classique; peut-être est-il de Format lui-même.

{'') Morceau inédit, publié sur la copie d'Arbogast, qui porto la mention « d'après le
manuscrit de Fermât u.

Fermât. — I. 20

i:iV «KUVllKS DE FERMAT. - 1= PARTIE.

Ko itaciuc deiliu'itur (iiKVslio ut

.1 H- liii.{n\n A — .1 quad.)

sit maxinia qiiantifas.

Quia, ex pra>ceptis methodi, sequationes adsequanchx' nimium sunt

Fig. 98.

scansurw, pouaUir maxima illa quantitas esse 0 : Vietœani enim igno-
taruni qiiantitatum per vocales expressionem cur respuamus?

Ergo

ideoque

l -\- lat.{D in À — A qndiA.) aequabilur 0,
O — A œqualjiliir lnteri{Ii in A — A quad.),

et, omnibus iii quadratum ductis,

O quad. -4- ,( quad. — O in Ibis iequabitur B\nA — I quad.

Hoc peracto, ita instituenda est transpositio ut maximus sub 0 gra-

dus unam tpquationis partem solus occupet, ut eà nempc rations possit

de maxima determinari, qiio tendit artificium. Per translationem bujus

modi,

/? in 4 — .4 quad. bis + O in .4 bis aequabilur Oqiiad.

Quum igitur, ex bypothesi, 0 sit maxima quantitas, ergo 0 quadra-
tum erit quadratum maximae quantitatis, ideoque maximum : ergo

I! \\\ 1—1 quad. bis -\- 0\n \ bis (([use omnia ii>f[uaiitui' O quadralo)

sunt maxima quantitas; quae aequatio, quum vacet asymmetriâ, période
ex methodo resolvatur ac si 0 quantitas esset nota. Ergo

// in .4 — A quad. l)is -\- O in .4 bis

adaequabitur

li in A -+- B in E — A quad. bis — ZTquad. i)is
— 4 in A'f]ualer4- Oin A bis + Oin A' bis.

MAX [MA ET MIMMA. 135

Sublatis communibus, et reliquis ipsi E applicatis,

B -+- Obis adsequahitur £"1513 + -4 quater.
Expungatui' Ehis ex methodo : ergo

ZJ+Obis sequabitur .1 quater,

ideoque

.'1 quater — B sequabitur Obis,

et

.4 bis — dimid./y œquabilur O.

Hac fequalitate ex methodo stahilita, rcdoimdiiin ad priorem, in qua

ponebamus

A -+- lat.{B\n 1 — 1 {[uad.) tequari O.

Quum igitur inventa sit

O sequalis 4 bis — dimid. 7?,

ergo

>1 bis — dimid. // fequabitur .1 +/</<.(/? in ,4 — .1 quad.),

ideoque

1 — diinid. yy sequabitin' lat.{B\i\ A — AqnàA.).

oninibusque in qnadratnm ductis,

v4 quad. + i/quad. ^ — fiin.'l aequabilur Zfin^ — -1 quad.,

et tandem

B'inA — A(\y\ti(\. sequabitur 5quad. ^;

o

qnte nltinia a'quaiitas dabit valorem A in qua'sita deterniinatione.

Hoc artificio uti possumus ad inventionem coni inaximi arnbitùs
sphœrœ inscribendi (' ) .

Sit sphperae datœ diameter AD {fig. 99). Conus quaesitus habeat aiti-
tudinem AC, latus AB, semidiametrum baseos BC. Rectangulum AB

(') Question proposée par Fermât à Mersenne dans sa lettre du 26 avril i63G.

lo(i (EUVIli:S l)K FKUMVI. - 1" PVUTIE.

in \iC. iina i-iiiii KC. (Hiadralo coiilinohit maxiiimin spaliiim, ex Archi-
inodo {* ).

Diameter vocctui- //; recta AC, A : crgo

AB crit lattis (/Jin () ol liCQVillat/i.'i {/t'in A — ((Hi;i<l.).

Rectangulum A15 iii \)C uiia eum BC quadralo crit

lal(ts{B quail. in .1 quad. — B in A cui5.) -f- B in . ( — I qii;ul.

Ha?c oniiiia ivquantur maximo spatio : esto 0 piano. Ergo

Opl.-h.-l quad. — /?in 1 a:qiial)ilur /rt/e/7(/>'quaii. in .1 quad. — BmA euh.).

Omnia ducantiir quadratice, etc.; tandem devenietur, ex superiori
iiiethodo, ad œquationem Oplani, eiijus bencficlo prima sequalitas jam
cxposita rcsolvetiir.

Fig. 99-

Non décrit tamen, hoc in exemple, solutio ex methodo absquo tri-
plicata œqnalitate : eo enim potcst deduci qua-stio ut, data rectà AB in
triangulo GBA, quaîratur maxima proportio rectanguli CBA una cum CB
quadrato ad quadratum AD, quo casu methodus vulgaris suftîcit.

Recta AB data vocetur B; ponatur CB esse A : ergo AC erit potentià
li quad. — A (|uad. Sed

\\\ \(; quadi-aluni ad AB quadralum, ita Ai$ quadratum ad Al) quadratmn ;

erno

AI) quad. cril

B quad. ijuad.
/y quad. — .1 quad.

ad qu3B rectangulum // in .1 -f- .1 quadrato débet habere maximam pro-
portionem : hoc enim quserimus.

(') ARcniAiLiDU, De spluvrci et ryliiulrn, I, i5, donne la mesure de la surface latérale du
cône.

MAXIMA ET MINLMA. 137

Uninia diicantur in

/?quacl. — A quad.;
ergo ratio

A'quad.qiiad. ad /Icuh.'inA +/iquad.in A quad.— B in Acub. — Aqiiad.qiiad.

est miniina. Sed /i quad. quad. est quantitas data : rectse euim Ji data'
potestas est : ergo

B euh. in 1 -+- fi quad. in Iquad. — Ji'\n ,4 cul). — Aquad.quad.

est maxima quantitas.
Ex mctliodo

li cuil. H- B quad. in 1 bis sequabilur B in .1 quad. ter -i- A cub. qualer,

quaî a^quatio ad sequentem slatini depriniitur

^ quad. qualer — 7? in. 1 sequale //quad.,

idcoquc patebit solutio qusestionis.

Ncc plnribus in re perspicua immoramur : constat ncmpe, per tri-
plicatas aut quadruplieatas, imo et uUerius etiam, si libeat, promotas
bypostases, evanescere omnino asymmetrias et si qua^ alia remoranlur
Analystam impedimenta.

Elegantius tanien et fortasse magis Y^f^H"-'"?''"'^^? qusestiones de
maxima et minima spéciales tangentium beneficio resolvuntur, iicet et
ipsse tangentes ab universali metbodo dcriventur.

Hujus rei uiiicum, quod multorum instar erit, proponatur exem-
plum :

In semicirculo FBD {/îg- i oo) ductâ perpendiculari BE, quœritur maxi-
inuin sub FE <[ in >■ EB rectangiilum.

Si quœratur rectangulum FEB œquale dato, ex nostra metbodo, quse-
renda esset byperbole sub angulo AFC eà conditione ut rectangubi
similia FEB essentœqualiadato, punctaque intersectionum hyperboles
et semicirculi quœsitum adimj)lerent; sed, quoniam roctangulum FEB
maximum quœrimus, quœrenda hyperbole sub angulo AFC (asym-

lo8

ŒUVRES 1)K FEIJiMAT.

1° PAHTIE.

ptolis AF, FC), qua> semicireiiliiin non jaiii sccet, secl fangat, iil in H :

puiicta eniiu contactùs niaximas et ininiinas déterminant quaiitilates.

Sit factuni. Quum igitui" hyperbole in puncto B tangat semicircnhini,

ergo recta, in puncto B semicirculum tangens, tanget et hyperbolen.

Si! illa recta ABC. Quum in hyperbole per B transeunte clucta sit tan-
gens cum asymptotis inpunctis AetCconcurrens,ergo,exApononio('),
rectae AB, BC sunt œquales, ideoque œqualesrectae FE, EC, et AF dnpla
BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA .'equalis AF : ergo BA est
duphi A.\ et, in triangulo simili, posito centro M, semidiameter MB
dupla 3IE. Datur autem semidiameter : ergo et punctum E.

Et generalis ad inventioncm maximœ et minimœ geometrica est
(]uaestionum ad tangentes abductio; nec ideo minoris facienda univer-
salis methodus, quum ejus ope et maxima etminima et ipsœ tangentes
iudigeant.

VI.

AD EAMDEM METHODUM n

Doctrinam tangenfium antecedit jamdudum tradita Methodus de
inventione maxiniœ et minimcp, cujus bénéficie terminantur qusestiones

(') Apollonius, Coniques, H, 3.

(') Cette pièce, imprimée dans les yaria {}[t. 69 à 73), est la seule pour laquelle il
subsiste un original de Fermât (Bibl. Nal., Fonds- franraix, n" .3280, nouv. acq., fol. 112
à 117), d'ailleurs sans lilre.

MAXIMA ET MINIMA. 159

omnes dioristicse, et famosa illa problemata, quœ apud Pappuni ('),
in praefatione Libri VII, difficiles determinationes habere dicuntur,
facillime deterniinantur.

Lineœ curvœ, in quibus tangentes inquirimus, proprietates suas
specificas vel per lineas tantum rectas absolvunt, vel per curvas rectis
auf aliis curvis quomodo libet implicatas.

Priori casui jam satisfactnm est praecepto quod, quia concisum
niniis, difficile sane, sed tanien < legitimum > (-) tandem reper-
tum est.

Consideramus nempe in piano cnjuslibetcurvœ rectas duas positione
datas, quarum altéra diameter, si libeat, altéra applicata nnncupctnr.
Deinde, jam inventam tangentem supponentes ad datum in curva
punctum, proprietatem specificam eurvse, non in curva aniplius, sed
in invenienda tangente, per adsequalitatem consideramus et, elisis
(quaî monet doctrina de maxima et minima) homogeneis, fit demum
œqùalitas quge punctum concursùs tangentis cum diametro déterminât,
ideoque ipsam tangentem.

Exemplis, quae olim multiplicia dedimus, addatur, si placet langens
cissoidis cujus Diodes (') traditur inventer.

Esto circulus duabus diametris AG, BI i^fig. lot) normaliter sectus,
et sit cissois IHG in qua, sumpto quolibet puncto, ut H, ducenda est a
puncto H tangens ad cissoidem.

Sit factum, et ducta tangens HF secet rectam CG in F. Ponatur recta
DF esse A et, sumpto quolibet puncto inter D et F, ut E, ponatur recta
DE esse E.

(•) Voir plus haut, page 142, noie i.

(2) Le mot Icgitimum manque sur l'original do Fermât, ce qui prouve assez que cet ori-
ginal est lui-même défectueux. L'éditeur dos T'aria a restitué, pour l'adjectif manquant,
sufficieiis, expression qui n'est guère de la langue de Fermât et dont l'omission s'explique
moins bien.

(^) La courbe connue sous le nom do cissoïde se trouve définie et donnée comme em-
ployée par Dioclès, dans le commentaire d'Eutocius sur la proposition d'Arcliimède, De
.\'pliœra et cylindro, II, 2, éd. Torelli = 11, 1, éd. Heiberg (Vol. m, p. 78 et suiv.). Lu nom
de cisso'ide est emprunté à Proclus {Commentaire sur le premier livre d'Euclide), qui en
parle comme d'une courbe fermée et présentant des points de rebroussement.

IliO ŒUVRES DE FEUMAT. ~ 1- PAHTIE.

Oiiuiii ii^ilur. ex proprietate spccilioa cissoidis, recta

Ml) si) ad Dr. lit D(; ad DU,
Hat jaiii in terminis analyticis per adanjualitatem

(Il NE ad E(i, ila EG ad porlioiiem reclœ EN

(|ii;r iiitt-rcipitur inter punctum E et tangcntem et est KO.

Vocetiir

AI) (lala, Z; l)G data, N; DU dala. II;

DF qua'sita, ul dixinius, ,1; DE sunipla ad libiluin, /i :

ei'go

E(i vocabitiir A—E;
hO vocabitur —

A

EN vocabitur /attis {Z\i\ /\ — Zin E -^ JVin E - Eq.).
Quuiii igitiir, f\ prsecepto, proprietas specifica debeat cousiderai-i,

Fie;. 101

111)11 aiii|)liiis in curva, sed in tangente, ideoque facienduiii si(

m NE ad E(J, ita EG ad EO, ([iiic applicalur laugcnli,

ergo, in tcnninis analyticis, (acicndiua

m /'/tus (X\n A' - Z \n E + /Vin E — E(j.) ad A'—E,

fiinA—n\nE

ila N—E ad

A

MAXIMA ET MINIMA.

et, quadratis singulis terminis ad vitandam asymmetriam, fiet

ul Zln.Y— Z in E -h N in E-^ Eq. ad Nf].-h Eq. — NinE \ns.

161

i la jYq. -+- Eq. — N in Eh\% ad

Rq. in Aq. -\- Rq. in Eq. — Rq. inAmE bis

Ducaritur singula homogenea in .4 quadratum, et deindc quod tit
siib extremis adaequetur, ex praeceptis artis, ei quod fit a medio. Elisis
deinde superfluis, ut nionet methodus, tandem orietur œqualitas inter

Z in .4 1er-)- /Vin -I ex uiia parle, elZinA'bis exaltera.

Construetur igitur tangens hoc pacto : Producatur semidianietor cii-
culi dati CA ad punctum U, et fiât AU recta œqualis AC. Rectangulum
ADG ad rectam UD applicetur et faciat latitudinem DF. Juncta FH
tanget cissoidem.

Indicemus etiam inodum agendi in conchoide Nicomedea, sed indice-
mus tantum, ne prolixior évadât sermo.

Este conchois Nicomedea, ut construitur apud Pappuni et Euto-
cium (') figura sequcns {Jîg. 102). Polus est puneUim I, recta KG est

asymptotos curvse, recta IHE perpendicularis ad asymptoton, punc-
tum N datuni in curva, ad quam ab eo puncto ducenda est tangens NBA,
concurrens cum lE in puncto A.

Sit Cactum, ut supra. Ducatur NC parallela KG. Ex proprietate spe-
cifica curvse, recta LN est œqualis rectse HE. Sumatur quodlibet punc-

(') Pappus (éd. lliiltscli), livre III, pages 58 et suivantes, livre IV, pages 242 et sui-
vantes; EuTocius, Commentaire sur Archimède De sp/i. et ni., 11 (éd. Heiberg, vol. IIJ,
p. ii;).

Fermât. — I. 21

lti-2 ŒUVRES DE FERMAT. - l" PARTIE.

Iiini intoc C et K, ut D, a qiio rectseCN parallela ducatur DB, occurrens
tangeiiti in luiiii-lo li. Quia igitur proprietas specitîca débet considerai'i
in tangente, jnngatur BI, occurrens recta; KG in M et, ex prsceptis
artis, reeta >IB adœquctur rcctse HE : orietur tandem qusesita aequa-
litas.
Quod ni procédât.

("V. iil supra, voceUir-4; recla CD vocetiir /?; recUi EH data vocetiir Z,

et rcliquic dat;c suis nominijjus designentur.

Invenietur facillime recta MB in terminis analyticis, quse si adae-
qucfur, ut dictum. rect* HE, solvetur qusestio.

Hœc de priore casu videntur sufticere. Licet enim praxes iniinita'
suppetant, qutc prolixitates évitant, ex iis tamen nullo negotio dediici
possunt.

Secundo casui, quem difficilem judicabat Doininus Descartes ('),
cui nihil difficile, elegantissimà et non insubtili metbodo fit satis.

Ouamdiu rcctis tantum lineis bomogeuea implicabuutur, quserautur
ipsa et designentur per prKcedentem formulam. Imo et, vitandse asyni-
nietriœ causa, aliquando, si libuerit, applicatse ad tangentes ex supe-
riore niethodo inventas pro applicatis ad ipsas curvas sumantur; e(
<lenuim (quod operge pretium est) portiones tangentium jam inventa-
nini pro portionibus curvse ipsis subjacentis sumantur, et procédât
ada>qualitas ut supra monuimus : proposito nullo negotio satisfiet.

Exempluiu in curva Domini de Roberval assignamus.

Sil curva HRIC {fig. io'3), cujus vertex C, axis CF ; et, descriplo
semicirculo COMF, sumatur punctum quodiibet in curva, ut R, a (|uo
diicenda est tangens RB.

Ducatur a puncto R recta RMD, perpendicuiaris in (]DF, qua' secet
semicirculuni in .M. Ea igitur curvœ proprietas specifica est ut recta RD
sit œqualis portion! circuli CM et applicata; DM. Ducatur in puncto M,

C) Comparer la lettre de Roberval à Fermai, du 4 aoùl i64<), cl celle de Doscartes à
FermaKcd. Clerselier, III, Oj). du 25 septembre i638.

MAXIMA ET MINIMA.

163

ex prsecedente metliodo, tangens MA ad circulum : eadem nempe pro-
cédèrent si ciirva COM esset alterius naturœ.

Fi». io3.

Ponatur factum quod quperitur, et sit :

recta DB quœsita a^qtialis A;

1)A, inventa ex construclione, aequalis B;
MA, ilideni inventa, vocetur D;
MD data vocetur B; RD data vocetur Z;
CM, portio circumferentiae data, vocetur TV;
J)E, recta utcumque assumpta, vocetur E,

et a puncto E ducatur EOUIN parallela recta; RMD.

Fiat

-, y , Z\nA — Zin E
ut A ad .4 — E, ila Z ad -, >

quse idcirco ajquabitur rectae NIUOE
Z'inA— Z'inE

Igitur recta

A

débet adsequari ( propter pioprietatem

spccificam curva?qaa; in tangente consideranda est) rectœOE nna cuni
curva CO; curva autem CO œquatur curvae CM minus curva MO : orgo
Zin .4 — Zin^"

recta

A

débet adanjuari recta; OE et curva' CM minus

curva MO. Ut autem hi très termini ad lerminos analyticos reducanlur,
pro recta OE, ad vitandam asymmetriam ex superiori cautione, suma-
tur recta EU applicata tangenti, et pro curva MO sumatur portio tan-
gentis MU, cui ipsa MO adjacet.

If)'. ŒUVIIES DE FERMAT.-- I" PAimE.

Ad iiivciiuMidiuii aiitoin EU in lormiiiis analyticis, fiet

,,,„,, . r, , A' in/) — n in E .
m />' iid B — E, il;i n ad y, ,

qiise idcirco ivquabilur ipsi EU.
Ad invtMiiondam deinde 3IU, fict

m B ad D, ita E ad — ,"— '

qua' idcirco, pi'opter similiUidiiicni triaiii^iiloniin, ut supra, aH|uabi(iii'
ipsi MU.

Cui'va aulem CM vocata est N : igitur in terminis analyticis tict adse-
qualitas inter

Z\\\A — Z'n\E R\u B — ftinE ,, D in E ,

. ex una parle, et w h / V — — = — ex altéra.

A Jrf B

Ducantur omnia in B'inA, consistet adjequalitas inter
/fin /)in l —ZinBinE et BinBinA — Rin À in/ï'-+-//in.Viii 1 — Din 4 inE.

Onu m autem, ex proprietate curvaî,

Z œquetur B -h N,
ei'iîo

Zin//in ,4 ex una parte œqualur /?in /?in >1 -h /? in yViii .4 ex altéra;

idooque, ablatis comnuinibus, reliqua comparentur,

Zin Bin E nempe cuni Bin i iii E -h Din A in E.

Fiat divisio per E; et, quia nnlluin est hoc casii honiogeneum super-
tluuni, niilla fieri débet elisio.yEquetur igitur

Z in B cum B in A -h D in A :

fiet igitur

ut /? + /> ad //, ila Z ad A.

Constructio : Ad construcndum igitur problema, si tiat
ul aggregatuiti reclarum MA, MI) ad recta m DA, ila Hl) ad Df}.
juncla BR tanget curvam CR.

MAXIMA ET MINI MA. 163

Quia vero

ut siimma reclarum MA, MD ad DA, ita MI) ad DC,

ut facile est demonstrare, ideo faciendum erit

ut MD ad DC, ila RD ad BD.

sive, ut elegantior évadât constructio, juncta? rectae MC ducenda erit
parallela RB.

Eadem methodo species oniiies illius curvœ tangentes suas nancis-
ccntur : constructionem generalem olim dedimus (').

Quoniam vero quœsitum est de tangente quadratariœ sive qiiadra-
tricis Binostra/i (-), ita construimus ex prœceptis prjecedentibus.

Sit quadrans circuli AIB (Jig. io4), quadrataria AMC in qua, ad
datum punctum M, ducenda est tangens.

Fig. lo^.

N C D 0 B

Junctà MI, centro I, intervallo IM, quadrans ZMD describatur et,
ductà perpendiculari MN, fiat

Lit MN ad IM, ila porlio quadrantis MD ad reclam 10 (');

juncta MO tanget quadratariam. Haec sufficiant.

(') En i638 (voir plus haut la note r de la page i6p.)- Cette construction générale, ap-
plicable aux cycloïdes allongées ou raccourcies, est perdue.

(2) Pappl's (éd. Hultsch), livre IV, pages ajo et suivantes. Proclus ( Commenlairc sur
le premier livre d'Euclide) attribue à Hippias l'invention de la quadratrice.

(') L'original, comme les Varia, donne :

Cl ut I.M ad MN, ita porlio quadrantis MD ad reclam NO » ;

mais toute la ligne se trouve en surcharge d'une autre main, qui a corrigé le texte de I''er-
mat, en sorte qu'on ne peut plus le discerner.

Kîti

ŒUVRES DE FERMAT. - I' PARTIE.

(Jiiia lamiMi 8<T|)iiis curvatura niutatiii', ut \n conchoidc Nicomedea,
(]ua; poitiiicl ad priorem casum, et in omnibus spcciehus curvœ Domini
do Roijorvai (^^ prima excepta) qua; pertinet ad seeuiHlum, ut perfecte
cui'va possit dclinoari, invostiganda suiit ex arte puncta inflexioiium,
iii (|uibus curvatura ex coavexa tit concava vel contra : cui negotio dé-
ganter inservit doctrina de maximis et minimis, hoc prœmisso lem-
mate gencrali :

Esto. in sequenti figura (Jig- io5) ('), citn'a AHFG, cuj'iis ciin'ati/ra
in piuicto H, tvrhi gratta, muletur. Ducatiir tangens HB, applicala HC.
Angiihts HBC eril mininms omnium quos tangentes cum axe ACD, si<.'e
in fia. sive supra punclum H, efjiciunt, ut facile est denionstrare.

Fis. io5.

Sumatur enim, supra H punctum, punctum M; tangens occurret axi
inter A et B, ut in N : igitur angulus ad N major erit angulo ad B. Simi-
liter, si infra punctum H sumatur punctum F, punctum D, in quo con-
ciirrit tangens FD cum axe, erit inferius puncto B, et tangens DF
occurret tangenti BH ad partes F et H : igitur angulus ad D erit major
angulo ad B.

Casus omnes non persequimur, sed uiodum tantuni investigandi
indicamus, (pium curvarum formae infinitas species exhibeant.

Ut igitur, verbi gralia, in exposito diagrammate, punctum H inve-

'; La figure nian(|iie dans les l'aria.

MAXIMA ET MINIMA. 167

niatur, quœi'atur primum, ex superiore methodo, ad punctum (juod-
libet curv* utcuinque sumptum, proprietas tangentis. Hac inventa,
qUcHeratui', per doctrinam de maximis et minimis, punctum H a quo,
ducendo perpendicularem HG et tangentem HB, recta HC ad CB Iiaheat
minimani proportionem : ea onim stationc angulus ad B erit minimus.
Dico punctum H, ita inventum, esse initium mutationis in curvatura.

Ex prsedicta methodo de maximis et minimis dorivantur artificio sin-
giilari inventiones centrorum gravitatis, ut alias indicavi Domino de
Roberval(').

Sed et coronidis loco possunt etiam et, data ctirvà, iiiveiiiri ipsius
asympioti, quae in curvis infinitis miras exhibent proprietates. Sed
hœc, si libuerit, fusins aliquando explicabimus et demonstrabimus.

Vil.

PROBLEMA MISSUM AD REVERENDUM PATREM MERSENNUM

10* dio Novembris 1642 (')•

Imenlre cylindrum maximi amhitâs in data sphœra.

Detur sphaM'a cujns diameler AD {fig- loG), centrum G. Qu;eritur
cylindrus maximi ambitùs in ea inscribendus.

Sit factum, et cylindri qusesiti basis este DE, hitus EA (huic enim
position! aptari potest cylindrus, propter angulum in semicirculo rec-
tum). Ambitus cylindri similis est quadrato DE et rectangnlo DEA bis :

(') Voir plushaiU, page i36.

(2) Ce titre est tiré du manuscrit de la Bibliothèque Nationale, Fondf latin, 11197; il
n'existe pas dans les manuscrits du prince Boncompagni, où l'on trouve une ancienne copie
du morceau, eu dehors do celle d'Arbogast. thermal, avait proposé à Mersenne ce problème,
dès le 20 avril i636, en même temps que celui du cône inscrit de surface maximum (voir
ci-dessus, p. i55). La solution, envoyée six ans après, est d'ailleurs purement synthétique.

Tout le morceau a été publié par M. Ch. Henry (/?ec/ie/'c/(e.f sur les manu.icrits de Pierre
de Fermât), pages igS-igô, d'après la première source seulement.

IliS (i; LIVRES DE FERMAT.- 1"^ l'AUTIK.

OiiaM'cmiiim ita(|iu' inaxiimiin ({uailrati DE cl rcctangiili DEA bis aggre-
gatiiiii.

QuadratuinDEa»quaturi'cctangLiloADB(demissâperpen(iiculariEB),
et roctangiilum OEAœquatur rectangulo sub AD in BE.Qiucrimus igitur
maxiiiiuiii rectanguii ADB et rectanguli sub AD in BE bis aggregatum
t't. omnibus ipsi AD rectae data; applicatis, qufei'itur maximum rec-
tarum DB et BE bis aggregatum.

Hoc autoni est facile : fuit enim GB dimidia BE aut, quod idem est,
sit BC quinta ])ai's potentiâ quadrafi CE dati, punctum E satisfaciet
proposito.

Fi"'- loG.

Ducatur enim tangens EF cum diametro produclà in puncto F con-
veniens : Aie summam rectarum DB, BE bis esse maximam.

Quum enim CB sit dimidia BE, ergo BE erit dimidia BF; ergo BF
erit sequalis duplte BE : tota igitur DF rectis DB et BE bis erit sequalis.
Sed et patet aggregatum rectarum DB, BE bis esse maximum.

Sumatur enim quodvis punctum in semicirculo, <<ut>l, a que
demittatur perpendicularis IN.

A pnncto autem I ducatur IG parallela tangenti, occurrens diametro

in puncto G. Punctum G erit inter puncta F et D : alioqui parallela GI

non occurret semicirculo.

Est

ut FB ad BE, ila GN ad M,

propter parallelismum; sed FB est dupla BE : ergo GN est dupla NI,
ideoque GN est œqualis NI bis, et tota GD aggregato rectarum DN et
NI bis. Quum igitur GD (cui tequatur aggregatum DN, NI bis) sit
minor reclâ DF (cui tcquatur rectarum DB, BE bis aggregatum), ergo
rectarum DB, BE bis aggregatum est maximum, et cylindrus qusesitus
liabet basim DE et latus EA.

MAXIMA ET MINIMA. 169

Probabitur ex supra dictis rectam DE ad EA ita esse ut niajus seg-
inentum recta; extremâ ac medià ratione sect* ad minus.

Sed et cylindrimi dali ambiiûs eàdem via invenire et construere pos-
sunius.

Statim quippe deducelurquaîstio ad quaerendam rectarum DN, NI bis
summam sequalem datse rectae. Sit recta data DG (quse quidem ex supe-
riori determinatione non potest esse major rectâ DF). Fiat rectse FK
parallela recta GI : punctum I satisfaciet qusestioni et quandoque duos
cylindros exhibebit, quandoque unicum, proposition! satisfacientes.

Quum enim punctum G erit inter F et A, duo cylindri praestabunt
propositum; si vero punctum G sit in A aut ulterius, unicus tantum
cylindrus praestabit quaestionem (').

(•) Le manuscrit Fonds latin 11197, seul des trois sources, ajoute à cette solution les
U'ois corollaires suivants, qu'on doit attribuer à .Mersenno plutôt qu'à Format :

« COROLLARIUM PRlMUM. — Tangens E? cequalts est dtametro KM.

» Quia enim. in triangulo CEF rectangulo ad E, ex aiigulo E deducta est ad basim CE per-
pendicularis EB, erunt similia triangula CEF, CEB et EFB; sed BC est dimidia ipsius BE,
ex construclione : ergo CE dimidia est ipsius EF. Est autem et CE dimidia diametri AD :
ergo EF œqualis est ipsi AD.

" CoROLLARiiM sECUNDUM. — E\ prœcedcnte coroUario deducitur elegans comiruruopro-
blematis ot multo facilior, quae talis est.

» Sumatur in circumforontia circuli AED punctum quodcumque E, ex quo deducatur recta
EF tangens circulum, quac sit œqualis diametro circuli AED; et sic dabitur punctum F, ex
quo per cenlrum G ducatur FCD secans circumferentiam in A et D punctis. Jungantur EA,
ED; erit AE altitudo cylindri maximi (juaîsiti et DE diameter basis ipsius cylindri.

I) Demonstratio facilis est.

» CoROLLARllM TKRTiiM. — Notatu dignum BSt DE e.v,fe arf EA ('/; nitione incijoris xegmenti
ad minus rectœ medid ac extremd ratione divisœ.

» Fiat enim CN {fg. 107) œqualis CB : ergo ND œquabilur BA, et BN ipsi BE. Porro qua-

dralum ex DE aequale est rectangulo ADB sive duobus rcctangulis : primo ADN (hoc est
DAB), et rectangulo ex AD in NB (hoc est ex AD in BE); sed rectangulum DAB œquatur
Fermât. — I. 22

170

ŒUVRES DE FERMAT.

I™ PARTIE.

\ m.
ANALYSIS AD REFRACTIONES o.

Esto circulas ACBI {fig- io8), cujus diameter AFDB separot duo
média diversa* natune, quorum rarius sit ex parte ACB, densius ex
parte AIB. Poiiatur ceiitrum circuli puuctum D, in quod incidat ra-
dius CD a puncto C dato. Quaîritur radius diaclasticus DI, hoc est
punctum I ad quod vorgit radius refractus.

I''ig. 108.

Ducantur ad diametrum porpendiculares rectaj CF, IH. Quum datum
sit punctum C et diameter AB, necnon et centrum D, datur pariter
punctum F et recta FD.

Sit ratio niediorum, sive ratio resistenti;e medii densioris ad resis-
tentiam medii rarioris, ut recta data DF ad datam extrinsecus rcctam M,
qua» quidem minor erit rectâ DF, quum resistentia medii rarioris sit
minor resistentiâ medii densioris, ex axiomate plus quam naturali.

Mensuraudi igiturveniunt motus, qui fiuntper rectas CD et DI, bene-

iiuadralo ex AE ; reclanguliim vero ex AD in BE œqualur reclangulo AED. Hoc est lectan-
gulo ex linea composita AED in AE; erit igitur

ut tota linca AED ad DE, ila DE ad AE :

ergo AED recta socta est in E in extrema ac média rationo, estquc DE majus segniontiim,
AE vero minus. Quod erat prohanduin.

« De hoc problemate vide Tractatum Domini de Roijerval De co/ii.t et cjUnilris .\-p//rrrrr
iiiscriptis et circunucriptin : ibi enini vorus est ejus locus. «

Le litre du Traité, au(iuel il est ainsi renvoyé, se retrouve dans une Lettre de Roberval
à Ilevelius, de if>w, iju'a publiée .M. C. Henry {Hiiygens cl Roberval, Leyde, 1879, p. 38).

( ' ) O morceau, tiré de la Correspondance de Descartes, fut envoyé par Fermât à M. de
la Ciiambrc, en niOme temps que la Lettre du 1" janvier 1C62.

MAXIMA ET MINIMA. 171

ticio rectarum .1/et DF : hoc est, motus, qui fit per duas rectas, repra^-
sentatur comparative per summam duorum rectangulorum, quorum
unum fit sub CD et recta M, et alterum sub DI et recta DF.

Eo itaque deducetur quiestio, ut ita secetur diameter AB in puncto H
ut, ductà ab eo perpendiculari HI et junctà DI, summa duorum rectan-
gulorum sub CD et J/et sub DI et DF contineat minimum spatium.

Quod ut secuudum nostram methodum, quae jam apud Geometras
invaluit et ab Herigono (') in Cursii suo mathematico ante annos plus
minus viginli relata est, investigemus, radius CD datus vocetur N;
radius DI erit item N; recta DF vocetur B et ponatur recta DH esse A.
Oportet igitur A'in J/-i-iVin5 esse minimam quantitatem (^).

Inteliigatur quaevis recta DO, ad libitum sumpta, esse aequalis
ignotse E, et jungantur rectae CO, 01.

Quadratum rectae CO, in terminis analyticis, erit

Nq.-\- Eq. — B'xwE bis;

( 1 ) Dans le Supplemcntwn Cursus matliemalici de Pierre Hérigoiie ( Paris, 1 642 ; deuxième
édition, 1644 ). qn' forme le sixième Volume do l'Ouvrage, on trouve en effet, comme pro-
position XXVI et sous le titre De mn.rcmis et muiimii, l'application do la méthode de Fer-
mat à la solution des questions suivantes :

1. lni.'ciiire ina.fimum rectangulum contentum sub duohiis segmc/itis proposilre rectie
lineœ (voir plus iiaut, p. i34).

2. Inddgcire ma.rcmum rectangulum conipreliensuin sub mcdia et differentia cttrcma-
rurn triiini pruportionainim.

3. Datani iuicam sccare in duo segmenta quœ Itabeant nggregntum suorum quadralo-
rum omnium minimum.

i. Iinenire maximum conorum rectorum sub œqiudibus conicis supcrfîciebus contentum.

En outre de ces solutions, dans lesquelles Hérigone emploie d'ailleurs, comme dans tout
son Ouvrage, son système particulier de notations algébriques, il donne, toujours d'après
Fermât, la construction de la tangente en un point donne de la parabole {voir plus haut,
p. i35), de Yellipsc (voir p. r45) et de V/ifperbole. 11 ajoute enfin (p. 68) :

« Nec unquam fallit methodus, ut asserit ejus inventer, qui est doctissimus Fermât,
consiliarius in parlamento Tolosano, excellons geometra nec ulli secundus in arte analy-
tica : qui optime otiam restituit omnia loca plana Jpollonii Pergœi, qua? in hac urbo vidi-
mus manu scripla in manibus plurimorum, quibus subnexa est eliam ab eodem auetore
Ad locos pianos et solides Isagoge. »

Ce passage d'Hérigone a été reproduit par Samuel Format dans l'édition des f'aria (à
la dernière des pages non numérotées du commencement); mais, dans sa préface, il lui
assigne à tort la date de 1634. qui est celle du premier Volume du Cursus mathematicus.

(■-) Dans tout ce morceau, ou a rétabli la notation de Vièle au lieu de celle de Des-
cartes suivie par Clerselicr.

17-2 ŒUVRES DK FERMAT.- 1- PARTIE.

(|ii;ulialiiin vcro rccla' 01 t'i'it

N'/.+ Ef/.-h AinEhis :
orgo reotangulum sub V.O in .l/crit in iisdem terminis

/(iti/s (jtiad. ( J/f/. in Nq. + M<i. ia Eq. — Mq. in /> in E l^is) ;
roclangnliini V(M'0 siili 10 in />' crit

Idtii.'i qi/iii/.(/lq. in V(7. + Bq. in /fy. -[- AV/. In A \n E bis).

Ha^c duo rcctangula debout, ex pra'ccptis artiy, adicquari duobus rec-
fangulis 3/ in .V et B\ii N.

Ducantur omnia quadratice, ut (;olIatiii" asymmetria; deinde, ablatis
coninniiillms cl k-rniino asymmetro ex una parte collocato, tiat novus
ductus quadraliciis. Quo peracto, demptis communibus et reliquis
|)ei' E divisis, ar tandem elisis bomogeneis ab E afTectis, juxta prse-
ocpta niclbodi qna' dudum omnibus innotuit, et facto parabolismo,
fit tandem simplicissinia anjuatio inter A et M : boc est, a primo ad
ultimuni abruptis omnibus asymmctriarum obicibus, recta DH in figura
fit lequalis rectse M.

Unde patet punctum diaclasticuni ita inveniri si, ductis rectis CD

et CF, fiât ut resistentia medii densioris ad resistentiam mcdii rarioris,

sivc

i:l // nn M, ita recla FI) ad reclam UI[,

et a puncto H excitetur recta HI ad diametrum perpendicularis et cir-
culo occurrens in puncto I, quo ref'ractio verget : ideoque radius a
mcdio raro ad densum pertingens frangetur versus perpendicuhireni,
quod congruit omnino et generaliter invente tbeoremati Carlesiano,
cujus accuratissimam demonstrationem a principio nostro dorivatam
exhibet superior analysis.

MAXIMA ET MINIMA. 173

IX.

<SYNTHESIS AD REFRACTIONES > <').

Proposuit doctissimus Cartesius refractionum rationem experientise,
ut aiunt, consentaneain; sed, eam ut denionstraret, postulavit et ne-
cesse omnino fuit ipsi concedi, luminis motum facilius et expeditius
fieri per média densa quam per rara, quod lumini ipsi naturali adver-
sari videtur.

Nos itaquo, dum a contrario axiomate — motuni nempe luminis
facilius et expeditius per média rara quam per densa procedere —
veram refractionum rationem deducere tentamns, in ipsam tamen Car-
tesii proportionem incidimus. An autem contraria omnino via eidem
veritati occurri possit àTïapaXoyîo-Tcoç, videant et inquirant subtiliores
et severiores Gcometraj; nosenim, missâ matseotechniâ, satins existi-
mamus veritale ipsa indubitanter potiri, quam superfluis et frusta-
toriis contentionibus et jurgiis diutius iubaerere.

Demonstratio nostra unico nitilur postulato : naliiram operari per
modos et vias facilwres et expeditiores. Ita enim a.i~(][xa concipiendum
censemus, non, ul picrique, naltunm per II neas brc\issimas semper ope-
rari.

Ut enim Galilœus (-), dum motum naturalem gravium spcculatur,
rationem ipsius non tam spatio quam tempore metitur, pari ratione
non brevissima spatia aut lineas, sed quse expeditius, commodius et
breviori tempore percurri possint, consideramus.

( ' ) Ce second morceau sur la loi do la réfraction, confondu avec le précédent dans la
Correspondance de Doscartes, en est évidemment distinct : c'est le travail que Fermât pro-
met à M. de la Chambre à la fin de sa lettre du i"'' janvier 1662. si celui-ci le lui réclame,
et c'est également à celte pièce que se réfère particulièrement Clerselier, dans sa lettre à
Fermai du 20 mai i(J62. D'après la copie de Clerselier, l'envoi à M. de la Cluimbre aurait
eu lieu en février 1662.

(2) Diicorsi e dlmostraziniil inaleinaticlic Intorno n duc nove scienze otteneiiti alla Mc-
cainca cd i inovimcnti locali, del Sig'' Galileo Galilei (Leydc, Klzévirs, iG38 ). — Les nou-
velles pensées de Galilée, etc., traduit de l'italien en français (Paris, Pierre Rocolel
ou Henry Guenon, 1639 i.

17V ŒUVRES DE FERMAT. - I™ PARTIE.

Hof supposilo, sii|)[)()iiaiilur diu» uitulia divei'sa' naliira' in prima
figura (//g. 109), in qua circulus AHUM, oujus diamctcr ANB séparai
illa duo média, quoium unnm a parle M est rarins, alterum a parte H
est densius; et a puncio M versus H inflectantur quselibct rectaj MNH,
iMRH oecurrentes diametro in punctis N et R.

Fig. loij.

Quum velocitas mobilis per MN, quse est in medio raro, sit major,
ex axiomate aut postulato, vclocitate ejusdem mobilis pei' NH, et mo-
tus supponantur uniformes in quolibet videlicct medio, ratio temporis
motùs per IMN ad tempus motûs per NH componilur, ut notum est
omnibus, ex ratione MN ad NH et ex reciproca ratione velocitatis per
NH ad velocitatem per MN.

Si fiât igitur

lit velocilas per MN ad velocitatem per NH, ila recta MN ad NT,
tempus inolùs per MN ad leinpiis niotùs per NH eril iil IN ad NH.

l'ari ratione demonstrabitur, si liât

iil velocilas per médium rarius ad velocitatem per luodiuin densius,

ita MR ad RI',
tempus niotùs per MR ad tempus motûs per RH esse ut I*R ad RH.

Unde sequitur

tempus molùs per duas MN, NH esse ad tempus niotùs per dnas MR, RH
ut suiiinia liuiii uin IN, NH ad suinmam duaruni l*l{, RH.

Quum igitur natura lumen a piiiielo 31 versus punctum II dirigat,
debi'l investigari piini'liini, ut N, pei' (|U0(l per iiijlexionem dut rcfrar-

MAXIMA ET MINIMA. 175

lionem bremsimo tempore a }3uncto M ad punctum H perveniat : proba-
liilc iiamque est naturam, quse operationes suas quam citissime urget,
eo sponte collimaturam. Si itaqiic sumnia rectarum IN, NH, quse est
mensura motùs par iuflexam IMNH, sit minima quantitas, constahit
propositum.

Hoc autem ex theoremate Cartesiano deduci vera, non fucata, Geo-
metria statim demonstrabit; proposuit quippe Cartesius :

Si a piincto M ducalur radius MN, et ah eodem piincto M demitlatur
perpendicularis Mï),fiat autem

ut velocilas major ad minorem. ita DN ad NS,

a punclo autem S excitetiir perpendicidaris SH et jungatur radius NH,
lumen a medio raro in punctum N incidens refringi in medio denso
versus perpendicularem ad punctum H.

Huic vero theoremati Geometria nostra, ut constabit ex sequenti
propositione pure geometrica, non refragatur.

Esto circulus AHBM, cnjus diameter ANB, centi-uni N, in cujus cii'-
cumferentia sumpto quovis puncto M, jungatur radius MN et demit-
latur in dianietrum perpendicularis MD. Detur pariter ratio DN ad NS
et sit DN major ipsâ NS. A puncto S excitetur ad diametrum perpen-
dicularis SH occurrens circuinferentite in puncto H, a quo jungatur
centro N radius HN. Fiat

ut DN ad NS, ita radius MN ad rectam NI :

Aio summam rectarum IN, NH esse minimam : hoc est, si sumatur,
exempli gratia, quodlibet punctum R ex parte semidiametri NB, et
jungantur recta; MR, RH, fiât autem

ul DN ad NS, ita iMR ad RP,

summam rectarum PRet RH esse majorem summà rectarum IN et NH.
Quod ut demonstremus, fiât

ut radius MN ad rectam DN. ita recta RN ad reclam NO,

!7() ŒUVRES DE FERMAT.- 1" PARTIE.

et

ul DN ad NS, ila fiât NO :ul NV.

Ex constructione patct rectam NO niinorcm esse rectâ NR, quia recta DN
est niinor radio MN; patet oliani rectam NV minorem esse rectâ NO,
qmiin recta NS sit minor rectâ ND.

His positis, quadratum rectaî MR sequatur quadrato radii MN, qiia-
drato rectae NR et rectangulo sub DN in NR bis, ex Eiiclide; sed, quum
sit, ex constructione,

ut MN ad DN, ita NR ad NO,

ergo rectangulum sub MN in NO œqualur rectangulo sub DN in NR,
ideoque rectangulum sub MN in NO bis aequatur rectangulo sub DN
in NR bis : quadratum igitur rectse MR sequatur quadratis MN et NR et
rectangulo sub MN in NO bis.

Quadratum autem rectse NR est majus quadrato rectse NO, quum
recta NR sit major rectâ NO : ergo quadratum rectse MR est majus qua-
dratis rectarum MN, NO et rectangulo sub MN in NO bis. At hsec duo
quadrata, MN, NO, una cum rectangulo sub MN in NO bis, sunt sequalia
quadrato quod fit ab MN, NO tanquam ab una recta : ergo recta MR est
major summâ duarum rectarum MN et NO.

Quum autem, ex constructione, sit

ul DN ad NS, ila MN ad NI cl ila NO ad NV,

ergo erit

m DN ad NS,

ita summa rectarum MN, NO ad summam rectarum IN et NV.

Est autem etiam

ut DN ad NS, ila MR ad lil» :

ergo

ut summa rectarum MN, NO ad summam rcclarum IN, NV,

ita recta MR ad RI*.

Est autem recta MR major summâ rectarum MN, NO : ergo et recta PR
est major summâ rectarum IN, NV.

MAXIMA ET MINIMA. 177

Superest probandum rectam RH esse majorem rectà HV; quo per-
acto, constabit summam rectarum PR, RH esse majorem summâ rec-
tam m IN, NH.

In triangulo NHR, quadratum RH sequatur quadratis HN, NR niulc-
tatis rectangulo sub SN in NR bis, ex Euclide. Quum autem sit, ex con-
structione,

ut MN radius (siveNHipsi aequalis) ad DN, ita NR ad NO,
ut autem DN ad NS, ita NO ad NV,

ergo, ex aequo, erit

ut HN ad NS, ita NR ad NV.

Rectangulum ergo sub HN in NV œquale est rectangulo sub NS in NR,
ideoque rectangulum sub HN in NV bis sequatur rectangulo sub SN
in NR bis : quare quadratum HR jequatur quadratis HN, NR mulctatis
rectangulo < sub > HN < in > NV bis.

Quadratum vero NR probatum est majus esse quadrato NV : ergo
quadratum HR majus est quadratis HN, NV mulctatis rectangulo
< sub > HN < in > NV bis. Sed quadrata HN, NV mulctata rectan-
gulo < sub > HN < in > NV bis aequalia sunt, ex Euclide, quadrato
rccta^ HV : ergo quadratum HR quadrato HV majus est, ideoque recta
HR major rectà HV. Quod secundo loco fuit probandum.

Quod si punctum R sumatur ex parte scmidiametri AN, licet recta^ MR,
RH sint in directum et rectam lineam constituant, ut in secunda figura
{fig- iio), — demonstratio enim est generalis in quolibet casu —
idem continget : hoc est, rectarum PR, RH summa erit major summà
rectarum IN, NH.

Fiat, ut supra,

ut MN radius ad DN, ita RN ad NO,

et

ut DN ad NS, ita NO ad NV :

patet rectam RN esse majorem rectà NO, rectam vero NO esse majorem
rectà NV.

Fermât. — I. 23

178 ŒUVRES DE FERMAT.- I" PARTIE.

Quadratum MR ?equatur quadratis MN, NR iiiulctatis rectan-
gulo DNR bis sive, ex superiori ratiocinio, rectangulo MNO bis. Quiiin
auteni quadratum NR sit majus quadrato NO, ergo quadratum MR
erit majus (|uadratis MN, NO mnlctatis rectangulo MNO bis; sed qua-
drata MN, NO. uuMotata rectangulo MNO bis, «quantur quadrato

Fiff. iio.

rectae MO : ergo quadratum rectœ MR quadrato rectae MO majus erit,
ideoque recta MR erit etiam major rectâ MO.
Quum autem sit, ex constructione.

ut DN ad NS, ila MN ad IN et ita NO ad NV,
• ut MN ad IN, cril NO ad NV,
ut MN ad NO, ita erit NI ad NV,
ut MO ad ON, ita IV ad VN,

ergo

et, vicissim,
et, dividende.

et, vicissim.

ut MO ad IV, ita ON ad NV, sive DN ad NS, sive MR ad RP.

Probatum est autem MR ipsà MO esse majorem : ergo PR rectâ IV
major erit. Superest ergo probandum, ut ex omni parte constet propo-
situm, rectam RH esse majorem summâ duarum rectarum HN et NV;
quod ex prsedictis est facillimum.

Quadratum enim RH aequatur quadratis HN, NR una cum rectan-
gulo sub SN in NR bis sive, ex prœdemonstratis, una cum rectangulo
sub HN in NV bis; quadratum autem NR est majus (juadrato NV : ergo

MAXIMA ET MINIMA. 179

quadratuin HR inajus est quadratis HN, NVuna cum rectangulo sub HN
in NV bis. Unde sequitur rectam RH, ex superius demonstratis, esse
majorem summâ rectarum HN, NV.

Patet itaqiie rectas PR, RH (sive unicani rectam PRH quaiido id con-
tingit) esse semper majores duabus rectis IN, NH. Quod erat demon-
strandum.

NOVUS SECUNDARUM

ET

ULTERIORIS ORDINIS RADICUM

IN ANALYTICIS U S U S.

Reductio secundariim et ulterioris ordinis radicum ad primas, quse
inaximi est in Algehraicis momenti, unicani pro fundamento agnoscit
duplicata^ a^qualitatis analogiam, eamquc, quotics opus fïierit, iteran-
dam progressas ipse quœstionis ostendit.

Proponatur

Acubus + Ecubo œquari Zsolido;

item

B in A -f- Equa(1.4- D iiiE itquari N quad.

Ut secunda radix devolvatiir ad primam, hsec sunto pr.'ecepta :

Quiocumqiie a secunda radiée adticientur homogenea in unam *qua-
tionis partem transeunto : ut, in superiori exemple, quum

ergo

Ac. -4- E'c. aequetur Z.ç.,

Is. — Ac. œquabilur Ec.
Similiter, quum

B in A -f- E</. -t- D inE lœquetur N»/..

ergo

Ny. — BinA aequabitur E^.-i-DinE.

In utraque igitur squatione homogenea aiis E (sive abs secunda ra-
diée) adfecta unam squationis partem constituant; si igitur duplicata

IS-2 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.

(•jusiiiudi aH|ualitas ad analogiain rovocetur, eril

Ht Za. — Ac. ad Ec, ila N</. — H in A ad E^-H-DinE.

Qiuim itaqiie Cactum siil) extremis comparabitur facto sub inediis,
lan(|uain ipsi a^qualc, omnia homogenoa divisionem admittent pcr E
(sivc per secundam radicem); ut patet, quia secundus et quartus ter-
niiuus abs E adficiuntur.

Elit nempe

Z$. inE^. — Ac. inE^. +Z.«. in D in E — kc. in D in E
<T(|uaIe Ny. inEc. — R in A in Ec.

Omnia dividantur loties per E, douée aliquod ex bomogeneis adfec-
tione sub E oninino liberetur : erit

Z.Ç. in E — Ac. in E -t-Zi. in D — Ac. in D
a>quale N^. inEr/. — R in A in ¥.q.

Quo peracto, nova bœc œquatio uno ad minus gradu depressior erit
(quoad secundam radicem) quam clatior exduabusprimumpropositis:
patet nempe elatiorem ex duabus primum propositis adfici sub cubo E,
istius vero nullam abs E adfectionem excedere Ey.

Xec tamen sic quiescendum, sed iteranda duplicata' «qualitatis ana-
logia, donec adfectio secundte radicis fiât tantum sub latere, ut asym-
inetria omnis evanescat.

Praeparetur itaque ultima hœc fequatio juxta modum prsescriptum,
ut bomogenea sub E quomodocumque adfecta unam sequationis partem
faciant. Erit itaque

'Ls. in D — Ac. in D a-quale

N7. inEy. — R in Ain E;/. — Zs. inE + Ac. in E.

Sed, ex duabus primum propositis, quse depressior est, exhibet
aequationem se(|uenteni, ut dixinius :

N7. — RinA iequaie Ey. -t-DinE.

MÉTHODE D'ÉLIMINATION. 183

Revocetur rursum ad analogiam duplicata ista aequalitas : erit
itaque

Ls. in D — Ac. in D ad N»/. in E'/. — B in A in Eiy. — Zs. in E H- Ac. in E
UIN7.— BinA adE^.+ DinE.

Quum itaque factuni sub extremis œquabitur facto sub niediis,
tanquam ipsi œquale, omnia homogenea poterunt dividi par E, ut supra
demonstratum est : erit nempe

Zi. in D in E7. + Is. in Dy. in E — Ac. in D in E17. — Ac. in D7. in E
aequale N77. inE^. — N»/. inB in AinEy. — N(/. inZ.v. inE
-t-Ngr. in Ac. inE — B in AinNy. inE7.
+ B(/. in A7. in E17. + B in 'L&. in A in E — B in Ac/c/. inE,

et, omnibus abs E divisis, fiet tandem

Zs. in D inE + Zs. inDy. — Ac. in D inE — Ac. inD^.

ïpquale Ni/^. in E — Ny. in B in A in E — N<7. in Zs. + Ny. in Ac.

— B in AinN7. inE + B^. in A7. in Eh-B in Zi. in A — B in A 77.

Quo peracto, nova hœc aequatio unius adhue gradûs depressionem
((|Uoad secundam radicem) lucrata est, ut hic patet : quum enim homo-
genea sub E adfecta in unam œquationis partem transierint, fiet

Z.v. in D7. — Acl in D7. -H N7. inZ*. — N7. in Ac. — B inZi. in A -f- B in A 77.
sequale N77. in E — N7. in B in A in E — B in A in N7. in E
-h B7. in A7. inE — Z.s. in D inE -i- Ac. in D inE.

Nequc ulterius progrediendum, quum jam secunda radix sub latere
fantum appareat, ideoquo, solo applicationis bénéficie, ipsius E relalio
ad priniam radicem manilcstabitur : ut hic

Z.ç. in D7. — Ac. in D7. -{- N7. in Z^. — N7. in Ac. — B in Z.î. in A -4- B in A77.
N77. — N7. in B in A — N7. in B in A -t- B7. in A7. —Zs. in D -h Ac. in D

sequabitur E,

quo tendendum erat.

Ut igitur duse prinium propositœ radiées in unam transeant, resii-

18i ŒUVRES DE FERMAT. - V' PARTIE.

matur ex diiabus prioribus sequationibus quani volueris; depressior
(amen idonea niagis, ne altius ascendat sequatio.
Oiuini itaquc in una ex sequationibus primum propositis

R in A + E7. + I) in E œquetur Ny.,

loeo ipsius E subrogetur jain agnitus ejus valor per relationeni vel ad
terminos cognitos vel ad priorem radicem, quœ in exemplo pioposito
est A; et rursum sub bac nova specie ordinetur œquatio. Manifestum
est cvanuisse omnino secundam radicem et in aequationem ab omni
asymmetria liberam itum esse, metbodumque esse generalem.

Si enim plures duobus terminis proponantur incogniti, methodus
iterata tertias, si opus fuerit, radiées ad primas et secundas, deinde
secundas ad primas, etc., eodem prorsus artificio reducet.

APPENDIX AD SUPERIOREM METHODUM (').

Superiori methodo debetur perfecta et absoluta asymmetriarum in
Algebraicis expurgatio ; neque enim symmetrica climactismus Vie-
tsea (-), quse unicum bactenus ad asymmetrias fuit remediiim, efficax
satis et sufficiens inventa est.

Proponatur quippe

iat. cul}. (R in \r/. — Xc.) + lat. quad.(A(7. + Z in A)

-I- lat. quacl. quad. (De. in A — A77.) + lai. quad. (G in A — Ay.)
œquari reclœ N.

Qua ratione ab asymmetriis bujusmodi extricabit se et qusestioneni
suam analysta Vietœus? An non potius, dum crescetlabor, crescet dif-

(') rdr la IcUre de Fermai à Carcavi, du 20 aoùl i65ij, leltre qui accompagnait l'envoi
de toul leTrailé. Foir égalemenl le billel de Fermai dans la lettre de Descartes (éd. Cler-
selier, III, 83) du 18 décembre 1G48, billel qui semble aussi avoir été adressé primitive-
ment à Carcavi.

(*) ViÉTE, De emendatione cequationtun, cap. V (éd. Schooten, p. i4o).

MÉTHODE D'ÉLIMINATION. 185

ficultas, et tandem, fatigatus etdelusus, novum ab Analytice lumen cx-
poscet?

Hoc sane luculenter superiormethodus subministrat : unicum exeni-
pluni, idque brevissimum, adjiingimus; recluso enim semel funda-
mento, caetera apertissime manifestantur.

Proponatur

lut. cub. (Z in \(j. — Ac.) + lat. cul). (Ac. + Br/. in A) aequari D.

lia primum ordinetur sequatio ut unica ex asymmetriis unam illius
partem faciat : fiatnempe

D — lat. cub.(Ac. -+- B«7. in A) œqualis lai. cub.(Z in Ay. — Ac).

Hoc peracto, omnes terniini asymmetri a secundis et ulLerioribus, si
opus fuerit, radicibus denominentur, excepto eo quem unicum in
unam aequationis partem rejecimus : fingatur, verbi gratia,

lat. cub.(Ac. -+-B(/. in A) esse E.

Hac enim via adeam, quam injungit superior methodus, duplicafîe
sequalitalisanalogiam deveniemus : erit nempe

D— E a^quaiis lat. ciil).(Z iii Ay. — Ac),

et, omnibus in cubum ductis,

De. -t- D in E17. ter — I)(/. in E 1er — Ec. œquabitur ZinAy. — Ac

Sed, ex hypothesi,

Ec œquatur Ac + By. inA.

Ergo oritur duplicata sequalitas et in utraque, juxta metliodum, ter-
mini abs secunda radice adfecti in unam sequationis partem sunt con-
jiciendi : erit nempe

Zin Aiy. — Ac — De sequalis D in Ey. ter — Dr7. inE ter — Ec;

item

Ac-i-Bi/. inA aîqualis Ec

Iteretur totics operatio donec secunda radix ad primam revocetur;

Fermai. — I. 24 ,

18G ŒUVRES DE FERMAT.- I"' PARTIE.

quo pcracto, loco ipsius E, novus ipsius valor usurpetur et sub hac
nova specie quaevis ex prioribus {fqualitatibus ordinctur : omiiia con-
stabunt.

Nec inutilia adjungo, aut moror in superfluis : quis enim non videt
singulos lerminos asymmetros posse eadem ratione, si non sufficiant
secunda^ radiées, tertiis.quartis, etc. in infinitum insigniri? Quo casu,
(juartam, sive ultiniam, radicem tanquam sccundani considerabis ;
reliciuas vero tantisper vel pro primis vel pro terniinis cognitis babe-
bis, donec ultima illa omnino evanuerit sive ad primas, secundas et
tertias reducta fuerit. Simili prorsus artificio tertias reduces ad secun-
das et primas, ac denique secundas ad primas, ut jam ssepius incui-
cavimus.

NuUa est ergo asymmetria quam non cogat exsulare bsec metbodus,
cujus usus prœsertim exiniius, imo et necessarius, in numerosa potes-
tatum résolutions. Slatim enim nempe atque asymmetriîç evanuerint,
non deerit Victseum (') in aritbmeticis quaîstionibus artiticium et, si
veris explicari numeris quaestio non possit, proximse quantumvis
libuerit suppetent solutiones, quuni tamen proximas veris solutiones
nullo pacto, quamdiu duraverint asymmetriae, consequi possis.

Sed et ulterius inquirenti obtulit se mira ad locorum superficialium
plenam et perfectam notitiam exinde dcrivanda metbodus, quaî et iis
problematîs inservit, in quibus dantur ab initio plura quam requirat
ipsa problematis construendi determinatio.

Quod ut clarius intelligas, sunt quœdam problemata qua; unicam
tantum agnoscunt positionem ignotam, quœ vocari possunt determi-
nata, ad difTerentiam inter ipsa et problemata localia constituendam.
Sunt alla qu;edam qu;e duas positiones ignotas babent et ad unicam
tantum nunquam possunt reduci : ea problemata sunt localia.

In prioribus illis unicum tantum punctum inquirimus, in istis
lincam; sed, si problema propositum très ignotas positiones admittat,

( ' ) Fermât fait allusion au Traité De numerosa potestatum purarum alque adfectaruin
ad exegesin resolutloiie de Viète ( éd. Schoolon, p. 162-228).

METHODE D'ELIMINATION. 187

problema hujusmodi non jani punctum duntaxat, aut linoam tantum,
sed integram superficiem qusestioni idoneam investigat : indeque
oriuntur loci ad superficiem, etc. in reliquis. Sicut autem in priorihus
data ipsa sufficiunt ad determinationem qusestionis, ita in secundis
unum datum deest ad determinationem, in tertiis vero duo tantum data
determinationem possunt complere.

At contra potest fieri ut, quemadmodum in his casibus data aut suf-
ficiant aut desint, ita in plerisque aliis data ipsa superflua sint ot
abundent : exemplo res fiet evidens.

In recta AC (y?g-. -94) data, datur rectangulum ABC; datur etiam
differentia quadratorum AB et BC.

A B

i -"

In boc casu plura patet offerri data quam determinatio ideoque so-
lutio ipsius qusestionis exposcat. Frequentissimus tamen horum pro-
blematum, in Piiysicis prseserlim et apud artifices, est usus, eaque
oninia per applicationcm simplicem beneficio nostra; metbodi expe-
diuntur, nequc recurrendum ad extractionem radicum, licet sequa-
tiones ad quasvis potestates ascendant.

Proponatur, verbi gratia, in quadam quaestione,

Acub. -{-K (jtiacl. \n \ œriiiari 7. quad. in D;

item etiam, quum ex hypothesi quœstio supponatur esse abundans
(bas enim qusestiones abundantes, sicut locales déficientes, appellare
consuevimus),

G sol. in A — A quad. quad. ,Tqu;iri B qiiad. in Np/.

Duplicata bœc sequalitas ad analogiam revocetur et, ex prœscripta
methodo, consideretur unica nostra radix ignota, qu;e in hoc exemplo
est A, sicut in prsecedentibus secundam aut ulterioris ordinis radicem
considcravimus, et loties, juxta methodum, iteretur operatio donec
adfectio sub A per simplicem applicationem possit expediri, sive non

1S8 ŒUVRES DE FERMAT.- 1"^ PARTI K.

tam ad primas radiées quam ad terminos omnino notos reduci. Patehit
solutio problematis simplicissima, nec analystam deinceps œquationes
quadratica», ciibica», quadratoquadraticse, etc. remorabuntur.

LiBET et, coronidis loco, famosi illius problematis :

Datis ellipsi et puncto extra ipsius planu/n, superficiem conicam, cujus
vertex sit punclum datum et basis ellipsis data, ita piano secare ut sectio
sit circtdiis,

solutionem, qua^ buic methodo debetur, indicare, eamquc simplicis-
siinaïu.

Eo dediieunt qua?stioncm Geometrse ut, sumptis quinque punctis ad
libitum in cUipsi et jiinctis rectis a vertice conicœ superficiel ad
puncta illa, per junctas quinque rectas circulum describant; inve-
niuntque problema boc pacto esse solidum. Sed, quum puncta in
ellipsi sint infinita, si loco quinque punctorum sumantur sex, fiet
problema abundans et orietur necessario duplicata œqualitas, quie
tandem ignotam quantitatem per simpliceni applicationem patefaciet.

Eadeni ratione, si detur qu;ecumque linea curva in piano aut etiam
superficies localis, cujuscumque tandem gradùs sint, invenientur dia-
metri et axes figurarum; imo et in superficie locali exbibebuntur
omnes omnino curvse loci superficialis constitutivse, etc.

Exponatur, verbi gratia, superficies conica, cujus vertex sit punctum
datum, basis vero parabole aut ellipsis cubica aut quadratoquadratica
autulterioris in infinitumgradus. Potest hujusmodi superficies conica,
bénéficie istius methodi, ita secari ut in ea exhibeatur qutelibet curva
quae, ex constitutionc figura*, in ea superficie potest describi, et pro-
blematis solutio semper evadet simplicissima.

Nibil addimus de tangentibus curvarum (') etplerisquc aliis hujus
methodi usibus : lient (piippe obvii nec sodulam indagatoris analytici
meditationem cffugieiil.

(' ) Foir plus haut, page i53.

PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. " 189

< AD ADRIANI ROMANI PROBLEMA >

(')

ViRO Clarissimo Christiano HUGGENIO P. F. S. T. (^).

Dum Francise! Viet!« (^) célèbre illud Ad problema Adriani Romani
responsum accuratius anno superiore examinarem, et in verba capitis
sexti incidissem quibus profitetur subtilis ille matbematicus haud sciic
se « an ipsemet » Adrianus « ejus quam proposuit jequatioiiis genesini
et syniptomata pernoverit o, subvenire cepit an ipsemet qiioque Vieta
œquationis iliius ftimosae satis generalem tradiderit aut invenerit solu-
tioiieni.

Proponentis quippe Adriani Romani verba hsec sunt, emendantc
Yieta ( ') :

Detiir in numeris algebricis

45 0— 3795®-+- 9 5634 0— ii3 85oo0

+ 781 1375 0— 3451 2075 0 + I 05306075 @ — 2326762800
H- 3 8494 2375 0 — 4 S849 4 1 25 0 + 4 8384 1800 0 — 3 7865 8800 @
-+- 236o3o6520 — I 176791000 -H 4695 5700 0— i494 5o4o0
H- 376 4565 0— 74 0259 0 -h iiii5o0— i23oo0

-H 945 0— 45 0 -h I @ œcjua lis numéro clato;

(jiKfrilur ralor radicis.

(•) Ce morceau, qui, comme le précédent, concerne les travaux de Fermât sur Viète, a
été publié par M. Ch. Henry {Reclierchex, etc., p. 211-213) d'après le manuscrit Iluy-
gens 30 do l'Université de Loyde.

( 2) Liiez : Potrus Fermatius, senator Tolosanus.

(3) Viète, édition Schooten ou des Elzévirs, pages 3o5-324.

(*) De fait. Fermât ne cite exactement ici ni l'énoncé d'Adrien Romain, dont il a toute-
fois conservé les notations, ni la formule adoptée par Viète, page 3o8.

190 ŒUVRES DE FERMAT. - 1<^ PARTIE.

Sane perqiiam eloganter et doctissime, suo more, quœstionem pro-
positam abdiixit Yiota ad sectiones angiilaros et tabulam féliciter con-
struxit, pag. 3i8 editionis Elzevirianœ ('), ad qiiotlibet in infinitum
temiinos, méthode qiia usus est, facile extendendam, ciijus beneficio
dignoscitur qua?nam ;¥quationes ad spéciales angulorum sectiones per-
tinoant.

Si enini, in sodibus numerorum imparium, sumatur primo

iC — 3N aequalis numéro dalo

(lui non sit major binario, reducitur qusestio ad trisectionem anguli. Si

deinde

iQC — 5C-1-5N œquetur numéro dalo

qui non sit etiam binario major, redncitur qutestio ad quintusectionem
anguli. Si

1 QQC — 7QC 4- i4C — 7N œquetur numéro dalo

(|ui non sit item binario major, reducitur quœstio ad septusectionem;
et si tabulam in infinitum extendas, juxta metbodum a Vieta prse-
scriptam, terminus sequationis ab Adriano propositse erit quadrage-
simus quintus tabulse, et qiKTstioncm ad inveniendam quadragesimam
(juintam anguli dati partem deducet.

Veriim observandum est in bis omnibus aequationibus contingerc, ut
iis solum ipsarum casibus inserviant sectiones angulares et methodus
Vietae, in quibus numerus datus, cui proponitur sequandus quilibet in
numeris algebricis tabulae terminus, binarium non excedit, ut jam
diximus : si enirn numerus datus sit binario major, silct statim omne
scctionum angularium mysterium et ad quœstionis propositse solu-
tionem inefficax dignoscitur.

Proposuerattamengeneraliter Adrianus dalo termtnoposteriore, inve-

(') Théorème V du Trailô de Viètis : la Table, poussée seulement jusqu'au neuvième
terme, cl qui se trouve à la page Sig, donne en fait le développement de 2Cos«.r sui-
vant les puissances do asin.r, si n est pair, ou de 2C0Sj;, si n est impair. Lo premier
membre de l'équation d'Adrien Romain est précisément le développement de 2cos45.r
suivant les puissances de "icosx.

PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. 191

niendum esse priorem : aliunde igitur quam a Vieta et a sectionibus an-
gularibus petendum auxilium.

Proponatur, in primo casu, iC — 3N aequari numéro qui non sit
binario major, reducitur qusestio ad trisectionem, ut jam indicavi-
mus. Sed, si iC — 3N sequetur 4 vel alteri cuilibet numéro binario
majori, tune sequationis propositae solutionem per methodum Cardani
analystœ expediunt. An autem, in ulterioribus in infinitum casibus,
solutiones per radicum extractioncm fieri possint, nonduni ab ana-
lystis tentatum fuit; quidni igitur in bac parte Algebram liceat pro-
movere, tuis prsecipue, Huggcni Clarissime, auspiciis, quem in bis
scientiis adeo conspicuum eruditi omnes merito venerantur ( ' ) ?

Proponatur itaque

iQC — 5C + 5N îequari numéro 4

vel alteri cuilibet binario majori. Obmutescct in boc casu metbodus

Vietse; hoc itaque, ut generaliter Adriano proponenti satisfiat, confi-

denter pronuutiamus : in omnibus omnino tabulse prœdicta; casibus,

quoties numerus datus est binario major, solutiones propositae quaes-

tionis per extractionem radicum commodissime dari posse.

Observavimus quippe, imo et demonstravimus, in omnibus illis

casibus, qusestiones posse deduci, sicut in cubicis ad quadraticas a

radice cubica, ex methodo Cardani etVietse (°), sic in quadratocubicis

ad quadraticas a radice quadratocubica, in quadratoquadratocubicis

ad quadraticas a radice quadratoquadratocubica, et ita uniformi in

intinitum progressu.

Sit

I C — 3N œqualis !\,

(') Lors de l'envoi par Fermât de ce travail (en i66i?), Huygens était déjà célèbre,
non seulement pour ses découvertes astronomiques et son application du pendule aux
horloges, mais pour ses travaux de Mathématique pure, quoiqu'on n'eût imprimé de lui
que les Tlieorematn de quadratura hyperboles, ellipsis et circuit (i65i) et le Traité De
ratiociniis in ludo aleœ (1657).

(2) On sait qu'en fait la méthode de Viète {De emendatione œquationum, cap. VI) n'est
pas précisément identique à celle de Cardan ou plutôt de F'errari {Hieronymi Cardani Ar.i
magna «ce de regulis algebraicis, i545).

192 ŒUVRES DE FEllMAT. - 1™ PARTIE.

vcrbi gralia. Noriint omnes radicem quœsitam, ex nielhodo praedicta,
«•quari

radici cubica? binomii 2 -t- y/3 + radice cubica apolomes a — y/S.
Scd proponatur, in exoniplo Vietse et Adriaiii,
iQC-5C-h5N œquari 4,

vel alteri cuilibct numéro binario majori.

Fingemus, perpétua et ad omnes tabula; casus producendà iti intl-

nitum methodo, radicem quaesitam esse b. '> cujus beneficio resol-

vendo hypostases, evanescent semper homogenea simplici per extrac-
tionem radicum quœstionis resolutioni contraria; et, in boc casu ad
exemplum prsecedentis, radix proposita œquabitur

radici quadralocubica; binomii 2+^/3

+ radice quadralocubica apolomes 2 — y/3.

Si

iQQC-7QC-t-i/iC — 7N,

qui est numerus tabulse septimus apud Vietam (ad exponentem namquo
maximse potestatis, qui est in hoc casu 7, respicimus), œquetur simi-

liter numéro 4. fingatur, ut supra, radix quaesita esse — ^^^ — : evanes-
cent pariter in boc casu bomogenea omnia solutioni per extractiones
radicum adversa, et radix quaesita œquabitur

radici quadratoquadralocubicae binomii 2+^/3
-H radice quadratoquadratocubica apolomes 2— y/3;

et sic in infinitum.

Quod tu, Vir Eruditissime, non solum experiendo deprehendes, sed
et demonstrando, quandocumque libuerit, assequeris : ca enim est
aequationum ex tabula Vietse derivandarum specifica proprietas, ut
semper ipsarum solutiones, in iis casibus in quibus bomogeneum

PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. 193

coniparationis est binario majus, simplices omnino extractionis radicum
beneficio évadant.

Vel igitur numerus datus, termino tabulse analyticœ aequandus, est
binarius vel minor binario vel eodem binario major.

Primo casu semper radix proposita est ipso binarius.

Secundo devolvitur qua?slio proposita secundum Vietam ad angu-
lares sectiones.

Tertio pcr nostram niethodum jam expositam, hoc est per extrac-
tionem radicum, facile expcditiir.

Sit ila(iue numerus ille analyticus Adriani superius expositus

45 (T) — 8795 (3) etc. œqiialis numéro 4,
radix quaesita erit

radix quadragesimœ quinla? potestatis binomii 2 + y/3
-t- radiée quadragesima? quinla- polcstatis apotoiiies 2 — y/3.

Nec amplius in re perspicua et jam satis cxemplificata immorandum,
nisi quod monendum superest : cxtraclionem radicis quadragesimse
quintse potestatis, sive inventioneni quadraginta quatuor mcdiarum
proportionalium inter duas quantitates datas, expediri facillime per
extractionem radicis cubicte bis factam et extractionem radicis qua-
dratocubicœ semel : quod numeri 5 et 9, qui numerum 45 metiuntur,
satis indicant : 5 enim ad radicem quadratocubicam refertur et 9 ad
radiccm cubicam bis sumptam : ternarius enim, qui est cubi exponens,
bis ductus novenarium producit.

Ideoque, per inventioneni duarum mediarum proportionalium inter
duas bis factam et inventioneni quatuor mediarum inter duas semel,
inveniunlur quadraginta quatuor mediae et quaestioni nostrœ satisfit,
quemadmoduni Vieta inventioneni scctionis anguli in 45 partes, quw
est qusestio vel œquatio Adriani, ad œquationem cubicam bis factam
et ad quadratocubicam semel, sive ad duplicem trisectionem et ad
unicam quintusectionem, abduxit.

Fermât. — I. 25

19i (ELIVUES DE FERMAT.- 1" l'AHTIE.

Niliil do multiplicibiis a'quationis vol quiBstionis proposita' solulio-
nibus aiijuiiginius; piimogcnitani (aiiUmi rcpriesentamus, de reliquis,
qiianiiii oporosior est disquisitio, aliàs f'orlassc, si otiuiu sup|)etat,
fusiiis actiiri.

Valo, Vir ('.larissinte, cl iiio aiDa.

< AD BON. CAVALIERII QU^ESTIONES RESPONSA > '^

Dudum est ex qiio, ad similitudinem paraboles Archiinedese, reliquas
in infmitum giiadravimus in qaibus abscissœ a diamelro sitnt inler se ut
qiiœvis applicatarum poteslales. Hanc scientiam, primis jam olim a
nobis adinventam, Domino de Beaugrand aliisque communicavimus;
fatendum tamen Dominum do Robcrval, qui nobis indicantibus hujus-
niodi qiuestiones est aggressus, earuni solutiones suopte ingenio, ([uod
perspicax et in bis scientiis felicissimiim babet, reperiisse.

Sed etpariter quoque centra gravilatum in bis tiguris et ab ipsis
compositis dcteximus, idquc metbodo nobis pecniiari (-), cujiis
etiam beneficio tangentes in lineis quibuscumque cnrvis, ipsarumque

(') Inédit, d'après deux copies, sans lilrc (l'une ancienne, l'autre d'Arbogast), dans les
manuscrits du prince Boncompagni. — Co morceau, adressé à Cavalieri par l'intermédiaire
de Mersenne avant 164 (, résume les premiers travaux de Fermât sur les quadratures et
cubatures, travaux dont il n'a d'ailleurs développé plus tard qu'une partie dans son der-
nier Traité : De œquationum localium transmutatione, etc.

Mersenne a reproduit presque textuellement la plus grande partie de co morceau dans
la Prœfatio ad Mcchaiiica, IV, do ses Cogitaln Pltysicomathemutica, où, venant de parler
lies quadratures obtenues par lloberval, qu'il appelle nosicr Gcomeira, il s'exprime ainsi
sui' les travaux de Fermât '■

« Generalem etiam regulam vir alius summus invenit quâ praedicta solvit, non solùm
quando partes diamelri cum applicatarum potestatibus conferuntur, sed etiam eùm qiue-
libet partium diamelri potestates cum quibuslibet potestatibus applicatarum comparantur ;
quai quia satis commode figura pra^cedenti possunt eo modo intelligi quo ipse voluit, me
requironte, Bonaventuras Cavalllero Geomotr.T subtilissimo innotescere, iisdem Lector
noster perfruatur. u

Il termine comme suit la reproduction du texte de Fermât (d'ailleurs sur la même
figure) :

« Si vero figura circumvolvatur circa EF, solidum quœratur, non simplex, uti superiora,
sed compositum, cujus rationem nd cylindrum ambiens, et centrum gravilatis vir idem
summus, et noster Geometra dudum eruôre : a quibus tam omnium curvarum tangentes,
quàm areas, solida, et centra gravitatis omnium figurarum curvis, et rectis comprehcnsa-
rum, posses accipere. «

(2) Voir plus haut, page i36.

liHi

ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.

asymptolos, imo et qu»cunujU(' ;i(l inventionem maximœ et minimse
pertinent prohlemata, féliciter constniximus.

Sed ad rem : qu;eriL eruditissimus Bonaventura Cavalieri c///«V/ de
prœdictis quadradonibus sit dejiniendum. Huic operi rogulam generalcm
aptavimus, cujus ope non tanlum quando parles diametri cum potesta-
tibns applicatarum conferuntur, solutionem danius, sed et quum qua3-
lihel partium diametri potestatcs cum quibuslibet applicatarnm pntes-
tatil)iis comparantur : ita enim gcneralitcr pronuntiamus.

Sit figura qutevis parabolica, siplacet, EkY {Jîg. 1 1 i),sitque,exempli

causa,

ut CLibus CA ad cubum BA,

ila quadratoquadiatiim EC ad quadratoquadratum DR.

Sunio exponentes potestatum tam in applicalis quam in diametro.
Expouens quadratoquadrati est 4 i'i applicatis, exponens cubi in dia-
metro est 3.

Aio igftur parallelogrammum EH esse ad figuram EAF ut sumnia

Fig. m.
I A H

Tl/

B \

/

exponentium ambarum potestatum ad exponentcm potestatis applica-
tarum. Erit igitur in hoc exemplo

parallelogrammum anibiens ad figuram EAF ut 7 ad 4-

Hinc patet, si sit, verbi gratia,

ut quadratoquadratum EC ad quadratoquadralum DR,
ila CA simplicilcr ad AB,

quum exponens lateris sit unitas, ideo

parallelogrammum ad figuram iioc casu esse ut 5 ad 4-

QUESTIONS DE CAVALIERI. 197

Nec est dissimilis in oniiiibus oninino liujusmodi figui'is in infinituni
progressus.

Verum igitur est quod dubitantcr proponebat Vir doctissimus, nempe
quum potestates applicatarum cum longitudine tantuni portionuni dia-
metri, sive, ut loquuntur analystœ, cum latere conferuntur :

trianguli chipluni,
ad paraboleii ut 3 ad 2,
parallelogrammum esse ( ad parabolen cubicam ut 4 ad 3,

I ad quadraloquadraticam ut 5 ad 4>

1 etc., in infiiiitum.

Sed si, manente recta CA, Jîgiira circumducatur ut fiât solidum, iiwe-
nietur proportio cylindri EH ad hujusmodi solidum, boc pacto :

Summa dupli exponentis potcstatis in diametro et exponentis potes-
tatis in applicatis semel sunipti, ad exponentem potestatis in applicatis
est ut cylindrus ad solidum.

Exemplum : esto

ut cubus EC ad cubuni DB, ila quadratum CA ad quadraluni BA.

Exponens quadrati in diametro est 2, cujus duplum 4; junctum 3,
exponenti potestatis in applicatis semel sumpto, facit 7 : est igitur

ut 7 ad 3 (exponentem potestatis in applicatis), ita cylindrus ad solidum.

Quo posito, secundœ qua;stioni fit satis.

Centra gravilatum, in omnibus bujusmodi figuris, tam planis quam
solidis, sécant diamètres in proportione vel parallelogrammi ad figuram
planam, vel cylindri ad solidum.

Sed, si figura circumvolvatur circa EF, fit jam solidum non simplex,
ut superiora, sed compositum. Ejus tamen proportio ad cylindrum
ambientem facillime ex simplicibus accuratus Geometra derivabit,
imo et ipsam centri gravitatis positionem. Qua; tamen omnia, si pla-
ceat Domino Bonaventurœ, démonstrative et prolixius exsequemur.

1!I8 ŒUVRES DE FEKMAT. - I- PAHTIE.

Duin iiiiuM'it an ru/va' ultra Iriangulum vl paraholen (') possinl esse
conicœ scctioncs. non vidi'fur nieminisso singularnni proprietalis : tani
enim hoc < est >• impossibilc (iiiain soctioncni spliaera' pcr planum
(lare paraltolas ant liyporbolas aiil oUipses.

rt, liDrnni vice, prohlcmata (juanlani ex Italia coinmnnicel, ex aninio
lOiifanuis.

(') Cavalieri n'avait sans iloiilo posé la (lucslion ([uc sur les coiirhos dont il est parlé
plus liant.

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

199

< AD LALOVERAM PROPOSITIONES > '^

I.

Sit {fig. \\i) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rectum
latus AE. Quaeritur ratio curvaj AB ad rectani BC.

Fis:- 112.

i;^ 5

Este liyperbole MLO, cujus centrum G, transversum latus FL œquale
rectae AE quée est rectum datse paraboles latus; axis hyperboles sit LN,

(') Ce morceau figure comme Pars prior de Y Appcndix aecunda (p. Sgi à Sgi) dans
l'Ouvrage ; Velcrum Gcotnetria promota in septcin de Cyclnide llbris; et in duahiis
adjectii Appendicdmi. — Autore Antonio Liloveka Societati.i Jeni. — Tolosœ, apud
Arnatdum Colomeviam, Régis et Acadcmiœ Tolosanœ Typograplmm. M.DC.LX. Cian
primlegio.

L'attribution à Fermât est justifiée par le préambule ci-après de V Appendix secundti
(p. 390-391):

Il Quod olim fecit Conon illo apud Arohlmodcm laudatissimus, cùm aliquot reconditœ
tune Geometria; theoremalum à se primîmi repertorum nudam proposilionem ad Amicos
privalim misit demonstratione pênes se pressa; forlasse quia (quod sœpe evenit) illam è
mentis arcano in adversaria nondum transtulcrat : hoc Ipsum alter seculi nostri Conon
D. de Fermât cùm s;epe aliàs, tum nuperriuiè de argumente summè arduo praeslitit. Pos-
tremas ego istas propositioues, quoniam mirificè illustrant ea quœ de quadratioibus ungu-
laribus in quinto, et de spiralibus lincis in sexto libre scripsi, huic opcri altoxcre (quod
singulari ejus modestife inopinatum profectô accidet) non dubito : fieri enim nequil quin
iis inspectis, quilibet allus muis ausis faveat et de publlcà hac ad Geometrica inventa accès-

:>00 ŒUVRES DE FERMAT. - V'^ PARTIE.

rectum vero illius latus sit sequalo laU'i'i traiisvorso, ut nompe rcotan-
guhiui quotlvis FNL sit .Tqualc quadralo applicatœ MN. Ad.punctum G
excitetur porpeudicularis GII œqualis rcctœ BC in })aral)oIa; (loiiido,
ductis redis H.M et LI, ipsis ON et GH parallclis, per punctum 31, in
quo recta HM occurrit hyperhola?, ducatur applicata MN.

Aio quadrilaterum ÎMHGL, cujus tria latera sunt rectœ ]MH, IIG, GL,
quartuni vero latus curva hyperboles I\IL, esse ad rectangulum IG ut
curva parabolica AB est ad rcctam BC.

II.

Data sit {/ig. 1 13) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rec-
tum latiis AE; circa applicatam BC volvaturspatium parabolicum BAC.
Quaeritur dimcnsio superficiei curvse illius solidi.

Exponatur hyperbole iMNH, cujus axis HI, transversum latus HP
jequale quarta; parti lateris recti paraboles, sive rectœ AE; rectum vero
illius hyperboles latus sit œquale trausverso, ut nenipe rectangulum

sionc non simimopero gaudeat. Ista si pro meis ovulgaro decrevissem, Vir qiiidcm modes-
tissimus, qui non sibi scd Gcomctriae famam quœrit, aDquissimo rem tulissel animo : id
lamen alienissimum à mo scmper. fuit; nec existimo Geometrac gravius quicquam objici
posse, quàm quod alieui exprobari aliquando audivi, toiu^ non es tuu.i, iniiis es alienus ;
et Itac ipsa ratinne qtia Gcomctra es,

Cnhus clan fiieris, cris cimuitus.

Hune aulem jamdiu esse morem Viro Clariss. ut sua per Amicorum manus Goometrica
lacilè spargat, luculenter testalur R. P. Mersonn. prop. 47. llydr., pag. 193 : taceo,
inquil, variât illns -spi sTraytÔv, de maximls et tninimls, de tangentibus, de Incls planls,
solldis cl ad sphœram, quos Clariss. Senator Tohisanm D. Fermatlus hue ad nos mlsit.
Plura alia cjus inventa commémorât in pr.-efat. ad .Mochanica n. 4, in Ballisticis pag. 57,
in Anajysi pag. 385. Hinc factum est ut in ore summoruni eliain in Italia Geomctrarum
Torriceliii et Cavalerii semjicr fuerit, quod testalur doctissimus Bullialdus in prœfalione
opusculir/e Porlsmatlbus («). Caeterùm non res tantum, scd verba etiam ipsa sunt inte-
gerrimi Senatoris; qiiibus omnibus de mco adjicio in posteriore parte innumeras curvili-
ncarum figurarum, in quil)us est Nicomodea conclinides, quadraluras : qiiiP oninia si vora
esse comprobabuntur. c\ tolà islà appendice coulinnabilur illud, quod quidam dixit : hac
tempcstalc In Geomctrlcls invctitum et siipcratum fcUcltcr esse liima- Spci promoiilnriitm
illud, unde eipedita existât navlgallo ad l/iacceism- antà tclragniiisnuinini pra-serlini
reglones. »

I', f^oir plus liant (p. ;8i la noir 2 de la pastc -;

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

201

quodvis FIH sit a'cjuale quadrato applicate IM. Fiat recta HI aequalis
rectse AC axi paraboles, et ducatur applicata IM. A rectangulo sub CA

Fis- ii3

D M

iii ciirvam parabolicam BA auferatur spatium liyperbolicuni IMil; reli-
quum qiiadretur.

Diagonia illius quadrati erit radius circuli <*qualis>> superficiei
ciu'va^ solidi quod fit a rotationc spatii ABC circa applicatam BC.

III.

Sit semiparabole qusevis AC (Jig. 1 14)> ciijiis vertex A, axis AB; al)
ea ciuva (onneiitLir ali;e ciirvse infinitse, ut AF, AE, AD, etc.

Kig. ..',.

Ita autem formantur : lu curva AF, applicata BF est œquaiis curva^'
parabolicse CA et, sumpto siniiliter quovis puncto N, a quo ducatur
applicata NP, applicata NP est etiam sequalis curvse parabolicae AO. In
curva EA, applicata EB sequatur curvse secundi gradùs FA, et illius
applicata QN «quatur portioni <;ejusdeni curv8e> secundi gradùs PA.
Item in curva AD, applicata BD îequatur curvœ tertii gradùs EA, appli-

Ferjiat. — I. 26

■2&2 ŒUVRES DE FERMAT. - T- PARTIE.

cata viM'O NR portioiii ojusdem curv;e tertii gradûs QA : et sic in iiifini-
lum.

Aio oiiiiics hujiismodi in iiitinituni curvas rationcm liaboro datani ad
paraholas primarias, hoc est siinplices; enuntiari quippc potest géné-
rale 1 11 eo renia hoc pacto :

Conliniielnr parabole primaria AC in infinituni per pnncta, vei'l)i
gratia, M, L, K, et illius axis siinililer ad puncta quotlihet G, H, I pro-
ducatur; fiant rectse BG, GH, HI singula3 sequales axi AB, et ducantur
applicatif GM, HL, IK.

Cnrva parabolica AM est ad curvani secundi gradùs AF nt applicata
GM ad applicatam BC.

Cnrva parabolica AL est ad curvam tertii gradûs AE nt recta HI. ad
B(^ recta m.

Curva parabolica AK est ad curvam qnarli gradûs AD ut applicata Kl
ad rectani BC.

Et sic in infinitum.

Si vero intelligantur AMG, AFB circa applicatas GM, BF rotari, su-
perficies curva ex rotatione spatii AMG circa rectam GM erit ad super-
ficieni ex rotatione spatii AFB circa rectam BF ut cubus rectae GM ad
cubum rectae BC.

Similiter superficies curva ex rotatione spatii ALH circa HL erit ad
superficiem curvam ex rotatione spatii AEB circa rectani BE ut cubus
rectaî HL ad cubum rect* BC.

Et sic in infinitum.

IV.

Esto figura semicycloides BA (/'g. ii5, iiG), a qua formetur alia
cnrva DA eà conditionc ut applicata; BC, CD; FO, EO sint inter se
.semper in cadcm rationc data. Demonstrarunt Geometrse (') scniicy-

< ' ) Fermai ot Uoberval sur l'énoncé ilc Wrcn i Histoire de la Houlette clans les OEm'rcs
de Pascal, t. V, p. 179.-17:5). La démonslrnlioii do Format est perdue; Laluiivcro (p. i83)
en dit : « Hujus rei dcmonslrationem more aiitiqiiorum à Goometra colcberrimi iiominis
Tolosano subtil issinic claboratam Icgi. »

PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 203

cloidem BA esse duplam rectte AG, qiiœ est diameter circuli cycloideui
producentis. Quaeritur relatio curvarum AD ad alias lineas aut curvas
aut rectas.

Ita autein generaliter definimus : Si ha^ novae curvw siiit iiilra cy-
cloidem et diametrum circuli generantis, ut contingit in figura qiiarta
(fig. Il 5), omnes lise curvœ AD earumque portiones erunt a?quales

Fig. iij.

A

->=:^ IM

curvis parabolicis; quod si novae curvse sint exteriores cvcloidi, ut in
figura quinta {/ig. ii()), onines h?e curvae AD earumque portiones
datam liabebunt rationcm ad sunimain rectarum et circuniferentiaruni
circularium.

Enuntiari potest in figura quarta {fig. 1 15) generalis propositio hoc
pacto : Fiat

ul ditTerentia quadratorum RC et CD ad quadratum CD,
ila (|uadrupla rectte AC ad reclam AM,

et per punctum A tanquam verticem describatur parabole cujus rec-
tum latus sit AM et axis AC; occurrat autem parabole rectœ BDC pro-
ductai in puncto G, rectaî vero FEO in puncto H. Ratio eurva^ AG
parabolictc ad curvam AD erit data, oadeni nempe potestate quœ est
quadrati BC ad difTerentiam quadratorum BC, CD.

Eadem vero erit ratio portionum AH et AE.

Ratio vero superficieruni curvarum quse oriuntur ex rotatione spatii
ACG eirca applicatam CG et ex rotatione spatii ADC circa rectam DC
eadem est qua» curvarum AG et AD. Similiter in portionibus AOH,
AEO circa rectas OH et OE rotatis.

[n figura autem quinta {fig. 1 16), in qua curva AD est exterior cv-
cloidi AB, fiât

ul differentia quadratorum CR, CD ad quadralum CD,
ita recta AC ad AM

20i ŒUVRES DE FERMAT.- 1- PARTIE.

rcfla' M] in tlirectuiu posiliiiii; sii|)er rectà AM dcscribatur semicir-
ciilus, (iiioin rockv DH(], EFO scccnt in punetis G et H. Ratio curvse

AD < ad > summam eurvio circularis AG et rcctte GC dabitur : erit

nciiipe

ut quadratuni \iC ad clifferentiam quadraloriini l)C, CB,
ila polëstale summa linea» circiilaris AG et rectœ (IC ad curvam Al),

et similiter summa Une» circularis AH et rectse HO in eadem eiit la-
tiiine ad curvam AE.

Sit in figura sexta (,/ig- 117) parabole AG, cujus vertex A, axis AB,

applicata CB; a curva parabolica CA deriventur alite in intinituni curvse
CD, CE, CF, simili qiia in figura tertia {/ig- 1 14) usi sumus metbodo,
nisi quod in bac terminum applicatae servamus, in illa vcro terminum
axis eumdem semper retinemus.

Ducatur nempe GHIOM ( //g. 117) axi AB parallela : ea eiit natura

PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 205

curvarum hujus speciei, ut recta BD, qua; secat in D curvam CID sccundi
gradùs, sit œqualis curvae parabolicse AC, recta item GI sit sequalis CH
portioni parabolicse; recta autem BE qu» secat < iii E > ciirvam tertii
gradûsCOE, sit a'qualis curvœ DIC secundi gradûs; et sic de cœteris in
infinitum, earumque portionibus.

Aio omnes bujiismodi curvas, CD, EC, FC in infinitum, sequales esse
curvis parabolicis primariis seu simplicibus, diversis tamen a parabo-
lis quœ sequantur curvis juxta nietbodum tertise figura' generatis. En
itaque theorema générale :

Exponatur parabole RP, cujus axis RQ sequalis axi AB prioris para-
boles, rectum vero latus RU sit dupliim rccti lateris AN : Aio parabo-
len RP ita descriptam œqualem esse curvse CID.

Si vero, manente axe RQ sequali AB, rectum latus RU fiât tripluni
recti lateris AN, tune curva parabolica RP erit sequalis curvœ COE.

Si vero, manente semper axe RQ œquali axi AB, rectum latus RU
fiatquadrupluni recti lateris AN, tune curva parabolica RP erit ;equalis
curvai CMF.

VI.

Si autem circa rectas AB, BD, BE, BF rotentur spatia ACB, DCB, ECB,
FCB in infinitum, dantur circuli aM|ualcs omnibus et singulis super-
ficiebus curvis solidorum inde oriundorum, eâdem omnino facilitatc
qua in conoide parabolico, ex parabola AC circa axem AB descripto,
circulum curvse ipsius superficiel *qualem reprsesentamus. Ejus vero
constructionem non adjungeremus, quum jam ab aliis (' ) inventam
audierimus (licet eorum scripta bac de re ad nos non pervenerint),
nisi quod nostra haec constructio ad nietbodum generalem in omnibus
conoidibus circa axes BD, BE, BF novarum istarum curvarum in infini-
tum producendis facillime producitur.

(') Roberval (d'après Mersenne, Cogitata pliYxico-niatliematica, 1644, p. gg); Muygens,
dans une Lettre à Carcavi du 16 janvier lôSg (comparer OEuvre.t de Pascal, édition de 177g,
t. V, p. 4o3 et 455; Lettre de A. Dettoiwille à Monsieur Hugguens de Zidichem, en lity
envoyant la dimension des Lignes de toutes sortes de Houlettes, lesquelles il montre estre
égales à des Lignes Éliptiques. A Paris, M.DC.LIX).

■20(î ŒUVRES DE FERMAT.- 1" PARTIE.

In figura soxta (/tg- 1 17) cii'ca rcctam BD roletiir ciirva CD, super-
ficies eurva inde oriunda hoc pacto invenitur :

Fiat, ex superiore methodo, i iirva parabolica RP sequalis cuivœ CAD ;
circa rectani RQ rotclur parabole RP. Superficies conoitlis parabo-
lici RPQ ad superiiciem conoidis DICB oril ut applicala PQ ad appli-
catam (".R.

Si PR parabole juxta pra>cedeuteni niethoduni bat sequaliscurvsCOE,
conoides parabolicum RPQ dabit superficiem curvam quse ad superii-
ciem curvam conoidis EOCB erit ut applicata PQ ad applicatam CB.

Et sic in infinitum.

VII.

Sitin figura septinia(//^. 1 18) parabole FBAD, cujusaxisEA, appli-
cata FE. Quseritur dimensio superficiel curva? solidi quod fit a spatio
ABFE circa axem AE rotato.

Fig. 118.

Fiat AC anjualis quarta? parti recti lateris et applicetur CB; fiât EH
tequalis AC et applicetur GH; ([uadretur GBGH (hoc autem est facile ex
Arcbiniede).

Diagonia quadrati spatio CRGH icqualis est radius circuli œqualis
superficiel curva; conoidis FAD circa axem AE.

VIII.

Videat subtilis ille Geometra ('), qui nuper ajqualitatem helicis et
paraboles demonstravit, an potuerit universalius concipi tbeorema et

(') Lcllrc de A. Datloiwitlc à Monsieur A. D. D. S., en lui envoyant la dànoiistrulion
à la manière des anciens de l'égalité des lignes Spirale et Parabolique. A Paris, M . DC . LVIII.
— OEuiTCf de Pascal, t. V, pages 426 à 452.

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

•207

lielices infinitse cum infinitis parabolis eleganter comparari, sequentis
propositionis beneficiogeneralifer, si libuerit, enuntiaiidae etexcmpli-
ficandse.

Proponatur {fig- 119) helix cujuscumque in infinituni spcciei in
figura 38 libelli Dettonvillani ('), in qua potestas quœvis radii AB ad

Fig.

potestatem similem recta; AC sit in ratione potestatis cujuslibet cir-
cumferentia; totius BE8B ad potestatem similem portionis periphe-
ricaîEBB.

Exponatui' separatim parabole cujus semibasis sivc ultima applica-
tarum RP aequetur radio AB, axis vero AR portioni circumferentia'
totius BE8B, cujus numerator œquetur exponenti potestatis diametri
AB, denominator verô sequetur aggregato exponentium potestatum dia-
metri AB et circumferentise BE8B; denique potestates applicatarum in
parabola, quaium exponens ;equatur aggregato exponentium potesta-
tum diametri AB et circumferentiœ BE8B, sint inter se ut potestates
portionum axis, quarum exponens est œqualis exponenti circumie-
rentiœBESB.

Aio helicem ita elFictam parabola; ita constructse fore semper et in
quocumque casu œqualem.

Exempli gratia, proponatur primum belix Archimedea et parabole

{') La figure que nous reproduisons d'après Laiouvère ne présente pas toutes les com-
plications de celle de Pascal. Fermât cite d'ailleurs le Volume : Lettres de A. DettonnlU:
i-oiiteitant quelques-uitcs de ,fpf rin'ei/tioi/.i de Gcoinctrie, — à Paris, chez Guillaume Des-
prcz. rue Saint-Jacques, à l'Image Saint-Prosper. M.DC.LIX, — Volume qui réunit, sous
neuf paginations successives, mais avec des planches de figures formant une seule série,
les différents écrits publiés sous le nom de Dcttonville.

208 ŒUVRES DE FERMAT. - l- PARTIE.

siinplex ot sil

ut radius AR ad reclani AC,

ila circumferentia Idia HE8B ad ojusdein p')rlioncm E8H.

Coiisti'uatur separatim parabole AQP, cujus ullinia applicatarum
sivi> basis RP sit œqualis radio AB; axis autem AR sit tequalis portioni
circumforentiîe BE8B, cujus numerator sit sequalis exponenti potes-
tatis dianu'tri AB, qui in hoc casu est i; denominator vero «quetur
sunima' exponentium potestatuni dianictri et circumIerentisL', hoc est
biuario : uani exponens potcstalis periphericse in hoc casu est etiam i .
Sit itaque AR axis aîqualis dimidio circumCcrentise helicis constitu-
tive; sit autem in parabola ut potestas applicatse RP, cujus exponens
*quatur summae exponentium diametri et circumferentiaj, hoc est, in
hoc casu, numéro 2, ad potestatem similem applicata^ GQ, ita po-
testas rectae AR, cujus exponens sequatur exponenti circumferentia'
BE8B, sive i in hoc casu, ad similem potestatem rectse A6, hoc est :

sil

ul (luadfaluni rectœ RP ad quadralum rectae 6Q,

ila recta RA ad reclam 6A.

Curva parabolica PQA erit œqualis helici BGDA.

Esto jam

ut quadralum AR ad quadralum AC,

ila Iota circumferentia BE8R ad porlionem E8B :

exponens potestatis diametri AB in hoc casu est 2, circumferentia'
vero, I. Parabole ita construetur juxta prsedictum canonem :

Applicata RP œquabitur radio AB, axis AR sequahitur bessi vel duo-
bus frientibus circumferentia! BE8B et erit

ut cuIjus RP ad cui^um 60, ita l'ecla RA ad reclam 6 A.

Ilujusmodi vero parabole helici correlatse aequalis erit.

Esto deinde

ul recta AR ad reclam AC,

ila cujjus circumierentiïe RE8R ad cubum porlionis E8B.
In parabola, applicata RP a^quabitur radio AB, axis vero AR tequabitur

PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 209

quadraiiti cii'cumf'crentise BE8B, et erit

ut quaclraloqiiadratum RP ad qiiadratoquadralum 60,
ila cubus RA ad cubum 6A.

Haec autem parabole huic helici eiit sequalis.
Denique sit in Iielice

ut quadraluin radii AB ad qiiadratum reclse AC,
ita cubus circumferentise BE8B ad cubuin portionis E8B.

In parahola liuic lielici correlata et sequali, applicata RP erit œqualis,
ut semper, radio AB, recta vero RA erit œqualis duabus quintis par-
tibus circumferentise BE8B, et erit in parabola

ut (luadratocul)us applicatse RP ad quadralocubum applicatœ 6Q,
ita rectpe AR cubus ad cubum rectse 6 A.

Nec dissimilis in belicibus et paraboiis eujuslibet speciei invicem
comparandis in infinitum erit nietbodus. Helicis autem, sive deminuta'
sive aucta;, portiones cum portionibus paraboles correlatse nullo ne-
gotio comparabuntur. Lînde sequitur dari intra circulum infinitas nu-
méro hélices specie et quantitate diversas; inio dantur infinitaî ipsà
circumferentiâ majores : quod inter miracula geometrica potest nume-
rari. Nulla tamen datur quse non sit minor aggregato circumferentiâ'
et radii, et nulla etiam quje non sit radio major (').

(') Après ce fragment, le texte de Lalouvère coiUinue par un Sc/iolii/m cominenraiil
|iar ces mots : « Hactenus Viri Clari.swiini propositioiies non minus arduœ qiiain noiur »
et finissant par ceux-ci : « nixi nefas j)utarcniu.i quicquani hocce in loco deniere vcladdcre
tam prœclari.i Viri doctiiximi inventis ».

On lit encore dans le mémo Ouvrage (Livre II) :

Page 21 : « Cyclocylindricam jlguram primi nomiinx vocamus eam qu;e inteliigilur in
superficie cylindri recti describi eo modo quo circulus in piano, nempe si, pede circiai
extrême manenle in dalo superficiel cylindrica; punoto, ipse circinus circumduciilur nolans
in superficie cylindrica lineam donec ad idem punctum circuitu peracto redeat, quolios
iste reditus fueril possibilis. Circini autem crura si deducta fuerint intervalle diamctri
baseos cylindri, vocetur cydocylindrica primaria et antonomaslicè cyclocylindrica ; si alio
quovis intervallo, dicalur cyclocylindrica secundaria. Quod si figatur extra illam supord-
ciem, noinini.i necundi appellabitur. ... »

Page 29 : « De hac figura quadrandà ut cogitarem fecit ClarissimusD. de Fermât; postea
Fermât. — I. in

•210 ŒUVRES DE FERMAT. - 1° PARTIE.

enim quàm primuiu liujiis oporis librum vulgavi («), noscio cnia se daiito occasiono signi-
fieavit milii invonisso se soliili, motu cujuslil)ct cyclocylindricin pi'imi nominis circa basim
!;cniti. proporlioncm ciim cyliiidro circa oandein basim gcnito motu rcctanguli cujus
nnum latus sit eadem basis, allerum œquel axom cyclocyliiidrica?. Ubi primùin solus fui,
rœpi mecum cngitarc quid istiul roi forot, reporiquo tandem posl aliquot dios non tanlùm
propoiMiiinoin illain, quam milii viroptimus non cxprcsserat, sed eliam (|uadriUurani cyclo-
i-vlindrio;i> priniari;e priini nominis. Hoc, cùm iterum illum allnipiorer, ipsi donunliavi.
dequo meo iavonto pro sua qua me licct imraercnlem comploclilur benovolentia, cl pro
studio iilo quo arlium omnium incrementa mirificè fovfet, mihi ample gratulatus est. Ali-
quot post diebus litoris ad D. Caroavi datis insorui quantum hac in ro deberem intoger-
rinio iili Senatori, quanti facorem subtilissimam quam milii tune communicarat demonstra-
lionem circa proporlioncm cylindri etsolidi. . . »

Et toujours sur le même sujet, page 34 • « Doctissimus D. de Fermai, metliodo subtilitatis
prorsus mirabilis, istam proportionem in quacunque primi nominis cyclocylindricâ mihi
demonstravit : quam quidem motliodum suis in operibus, qu;n tota Europft cnixé cxpetun-
lur, edet, uti spes est, Amicorum omnium precibus tandem victus. »

(**) C'esl-a-iiire apri^s le 3.1 juillet ir.is, mais avant le '* septeinliro r6:i8, date de la rcjionse faite par Pascal a la lettre
l.alouTère a Careavi 11 Taut entendre au reste, pour la ijuestion imai;inéo par Fermai, que la surface ilu cylindre est
développée sur un plan.

DE LINEARUM CURVARUM

CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONE

DISSERTATIO GEOMETRICA o.

Nondum, quoJ sciani (-), lineam curvam pure geometricam rect
datse geometrse adsequarunt. Qiiod enini a subtili illo matliematico
Anglo nuper inventum et denionstratum est : cycloidem nempc prima-
riam diamelri circuli ipsam generanlis esse quadruplam, hoc suam, ex
sentcntia doctissinionini geonietrarum (^), videtur liabere lirnitatio-

(' ) Cette Dissertation, comme l'Appendice qui suit, a été imprimée du vivant de Fermât,
sous le même titre, suivi des indications « Autore M.P.E.A.S. — Tolosee, apud Arnaldum
Colomorium, Régis et Academi;p Tolosanae Typograplium, MDCLX. » et a\ec une pagina-
lion spéciale, à la suite du Traité de Lalouvère sur la cycloïde (voir plus haut, p. 19;),
note i). La réimpression des l'aria ne difl'ère que par la correction des fautes indiquées
par les errata de l'édition anonyme et par la substitution de majuscules aux minuscules
pour les lettres des figures.

(2) On ne peut mettre en doute l'assertion de Fermai: au moment de l'impression de cet
Écrit, il connaît donc la rectification de la cycloïdc par Wren, rendue publique en iGÎS à
l'occasion des problèmes proposés sur cette courbe par Pascal; au contraire, il ignore, non
seulement, bien entendu, la découverte de \A'illiam Neil (reportée à l'année 16)7, mais
publiée en 1673 seulement par Wallis, Philo.iophical Transactions, p. 6146-6149), mais
encore, ce qui peut surprendre réellement, la Lettre de Henri Van Heuraet insérée i>ages 517-
5-20 de l'édition latine de la Géométrie do Descartes par Schooten (Amsterdam, Elzévirs,
1659 ). Il n'est guère douteux que Fermât n'ait eu bientôt après connaissance de cette Lettre
et qu'il ne soit alors applaudi d'avoir caché son nom en publiant un travail pour lequel il
avait incontestablement été devancé. Il ne s'agit pas d'ailleurs ici d'une ancienne décou-
verte que Fermât aurait tenue secrète plus ou moins longtemps; sa Dissertation est do fait
une réplique au petit Traité de Pascal ( Dettonville), de V Egalité des lignes spirale et pa-
rabolique, du 10 décembre i658. Cependant Fermât n'en semble pas moins être le premier
qui ait considéré la courbe j-" = «.r^, en généralisant la notion de parabole, f'oir plus haul,
page 195.

{ •■' ) Lettre de A. Dettonville à Monsieur Hitgguens de Zidichem; Paris, iGâg. — OEuvres
de Pascal (éd. de 1779), tome V, page 4i3 : " A quoi M. de Sluze ajouta cette belle re-

:>|-2

ŒUVRES DE FERMAT.

1" PARTIE.

nom : ii (juippe liaiic esse Icgem et ordinem naturae pronuntiant ut non
sinat inviMiiri ii'ctani curva? œqiialcm, quiii prius supposita fuerit alia
l'oota altcri curva^ cTqualis. Quod quidem in exemplo cycloidis ab ipsis
allati) ita se habere deprebendunt, née nos diffitemur, quum constat
«lescriptiontMii cycloidis indigere sequalitato alterius curvw cum recta,
lioc est, circunifercntise circiili cycloidem generantis cum recta quse
est basis ipsius cycloidis. Sed qiiam vera sit baec, quani statuant, lex
natui'Ee, et quani periculosum ab uno aut altero experimento statim ad
axioma properare, infra patebit : nos enini cinvam t^ere geomelricam,
cl ad ciijus constructionem nulla talis alterius cujvœ cum recta œciualitas
prœcessisse supponatur, rectœ datœ œqualem esse demonstrabimus et
paucis, quantum fieri potuerit, totum negotium absolvemus.

Propositio I.

Sit, in figura prima {/ig- \'io), cutva quœvis AHMG iii easdem partes
cava, exempli causa, una ex parabolis infmitis in qua tangentes extra

Fip;. 120 (i).

rur^am cum base AF et axe FG coiicurrant , et sumatur in Itujusmodi
cun'â quodvis punctum H per quod ducatur langens IHK, m qua sumptis
ex utraque parte punctis K et I, demittantur perpendiculares IB, KD m
hasim AF, quœ secent curvam in punctis R e/ M : Aio portionem tangentis
HI portione cuivw RH esse minorem, portionem autem ejusdem tangen-
tis HK portione ciin'œ HM esse majorem.

marque dans sa réponse du mois de septembre dernier, ([u'on devoil encore ndmirer sur
cela l'ordre de la nature, qui ne permet point qu'on trouve une droite égale à une courbe,
i|u'après (ju'on a déjà supposé l'égalité d'une droite à une courbe. "

DISSERTATION M. P. E. A. S. 213

Quum enim, ex hypothesi, tangens Kl occurrat basi AF extra ciii--
vam, ergo angulus CHI, qui Ht ab intersectione perpendicularis in
basini HC et tangentis HI, erit minor recto, ideoqiie a puncto H demissa
perpendicularis in rectani BI cadet in punctum V supra puncta B,
R, I. Patet itaque rectani HV minorem esse rectà HI; item rectani HI
niinorem esse rectà quae puncta H et R conjungit : ergo, a fortiori,
recta HI minor erit portionc curvœ HR, quani recta ab H ad R ducta
subtendit. Quod primo loco fuit demonstranduni.

Aiojam portionem KH portions curvis HM esse majorem.

A puncto K ducatur ad eamdem curvam tangens KN, et deniittatur
perpendicularis NE. Ex praedemonstratis, probatum est rectam KN esse
minorem portione curvœ NM; sed, ex Archimede ('), sunima tangen-
tium HK, KN est major totà portione curvse HN : ergo portio tangentis
HK portione curvse HM major erit. Quod secundo loco fuit ostendon-
duni.

Nec nioveat tangentem a puncto K ultra punctum G aliquando occur-
rere curvae : hoc enini casu aliud punctum inter K et M sunii poterit,
et omnia ad praecedentem demonstrationem aptari.

Inde sequitur, si a punctis K et I ducantur perpendiculares ad axem,
curvam in punctis 0 et P sécantes, hoc casu tangentem HI curvà HO
esse majorem, tangentem vero HK curvà HP esse minorem.

Si enim imaginemur inverti figuram ita ut axis in locuni haseos,
basis in locum axis transferatur, non solum similis in hoc casu, sed
eadem omnino erit demonstratio.

Patet autem, ex ipsa constructione, si rectae BG et CD sint œquales,
portiones tangentis HI et HK esse item inter se sequales, quod tamen
sunimopere notandum.

Proposiïio II.
Ad dimensioneni linearum curvarum non utimur inscriptis et cir-

(') Archimede, De sphœra et nli/iclro, I, )vaa?avo[jiivov 2 : édilion Heiberg, volume I,
pages 8-10.

•2li ŒUVRES DE FERMAT.— I- PAUTIK.

cumscripfis moro Archimedco ('), sed ( ircumscriptis (antum ex por-
tionibus tangcnlium compositis : duas enim séries tangentium exhibe-
imis. (|iiariiiii tina major est curvâ, altéra minor. Demonstrationcs au-
(eni iiiiillo faciliorem et elegantioreni per circumscriptas solas evadere
analysta' expericMitiir.

Possihi/c igitur, ut viilt metliodiis Ai'chimodea, pronuntiamus cidlibet
ex ciinis j'a/n prœdictis circumscribere duas figuras ex redis constantes,
i/uanim una supcret curvam inten'allo (puwis dato minore, altéra autem
superelur a curva inteivallo etiam dato ndnore.

Exponatur curva aliqua ex prsedictis in secunda figura {Jig. 121).
Secetur basis AG in quotlibet portiones sequales AB, BC, CD, DE, EF,

Fig. 121 (2).
M

,

, '

N

r"

y^

Y

Y

T

/

p

FG, et a punctis B, C, D, E, F crigantur perpendiculares BQ, CV, DZ,
ER, FM, quae occurrant curvse in punctis P, T, Y, N, 0; ducantur item
tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01.

Ex prima propositione patet tangentem AQ portione curvaî AP esse
majorem ; item tangentem PV portione curvœ PT esse majorem, et sic
de reliquis, tandemque etiam ultimam 01 portione curvse OH esse ma-
jorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tangentium AQ, PV, TZ,
YR, NM, 01 portionibus, curvâ ipsâ major erit.

At exponatur eadem curva in tertia figura (//^^ 122), cujus basis AG
in eumdem portionum aequalium numerum dividatur in punctis B, C,
D, E, F; a punctis B, C, D, E, F, ut supra, erigantur perpendiculares
BR, CQ, DO, EL, FI, quse occurrant curvse in punctis S, P, N, M, K; a
puncto autem S (in bac tertia figura) ducatur tangens ST, occurrens

P) AnciiiMÉDE, Circull dimennio, prop. I; mais la niéthodo d'Areliimède est siirloui
développée dans le Traité De xphœrn et cyimdro, où elle est appliquée à la mesure des
surfaces du cône, du cylindre et de la sphère.

DISSERTATION M. P. E. A. S.

213

perpendiculai'i AT; deinde a punctis P, N, M, K, H ducantur tangentes
PR, NQ, MO, KL, H[, occurrentes perpendicularibus BS, CP, DN, EM,
FK in punctis R, Q, 0, L, I.

Ex prima propositione patet tangentem ST portione curvae AS esse
minorem; item tangentem PR portione curvae PS esse niinorem, et sic
deinceps, tandemque ultimam IH (qiia; parallela est basi) portione
curvfe KH esse minorem. Ergo figura, constans ex omnibus istis tan-
gentium ST, PR, NQ, MO, KL, HI portionibus, curvâ ipsâ minor erit.

Quum autem, ex coroUario propositionis prinije, partes tangentium
ab eodem puncto curvse utrimque productarum et portionibus bascos
bine inde œqualibus oppositarum sint inter se sequales, patet (quum

secundai et tertiœ tigurte curvas supponantur avjuales aut eadem
potius, licet vitandae confusionis causa duas figuras descripserimus)
tangentem ST tertiœ ftgurce œqualem esse tangenti PV secundœ Jigiirœ.
Quum enim punctum S in tertia figura idem omnino sit cum puncto P
secundœ figurse et portiones baseos AB, BG in utraque figura sint inter
se œquales, portiones tangentium ex utraque parte ipsis oppositarum,
nempe recta ST in tertia figura et recta PV in secunda, inter se a?quales
erunt.

Probabitur similiter tangentem PR tertiœ figurœ sequalem esse tan-
genti TZ secundœ, et sic de cœteris; quo peracto, constabit primam
tantum secunda^ figurœ et ultimam tertiœ nulli ex portionibus figura-
contrariœ œqualem esse : excessus igitur, quo figura secunda superat
tertiam, est idem quo tangens AQ secundœ figurœ superat tangentem
IH tertiœ figurœ. Sed recta IH, propter parallelas, sequatur portioni
baseos FG sive AB (supponuntur enim omnes baseos portiones œquales
in utraque figura) : ergo figura secunda, ex tangentibus curvà niajori-

•216 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.

bus composita, superat figuram tertiain, ox tangcntibus curvâ niinori-
bus compositam, oo ipso (iiio iii secunda figura tangens AQ superat
portioneni baseos AB, ii>sius oppositam intervallo.

Si igitur velinuis duas figuras curv;e circuniscriberc, alteram majo-
rem curvà, alteram verô niinorem, qua? se invicem excédant intervallo
minore quocumque dato, faoillima erit constructio. Quum enim, ex.Ve-
thodo tangcntiitm jam cognila, detur tangens ad punctum A ( ftg- 121),

Fi-. 12. (2).

dabitur angulus QAB; sed angulus QBA est reclus : ergo datur trian-
gulum QAB specie, datur itaque ratio rectœ AQ ad AB. Cavendum
itaquo est ut divisio baseos ila instituatur ut dilTerentia rectarum AQ et
AB sit niinor quâcumque rectâ data : quod ila asscqucmur, si qua'ra-
mus duas rectas in data ralione quœ se invicem excédant rectà data
quae sit minor eâ quse data est. Hoc aulem problema est facile, et cu-
l'andiini deinde ut portio qutelibet baseos, AB, non sit major minore
(liiarum qira^ dicto problemati satist'aciunt.

Quum igitur bac ralione invenerimus duas figuras curvae circum-
scriptas, alteram majorem, alteram minorem dicta curvà, quae se invi-
cem excedunt intervallo minore quocumque dato, a fortiori major ex
circumscriptis superabit curvam intervallo adhuc minore, et minor ex
circumscriptis superabitura curva intervallo adbuc minore.

Patkt itaque ex nostra bac methodo per duplicem circumscriptioneni
commodum praeberi aditum ad metbodum Arcbimedeam, quum agitur
de dimensione linearum curvarum. Quod semel monuisse et denion-
slrasse sulliciet.

His positis, secure pronuntio inveniri posse curvam vere geometricara
datae rectœ aequalem : ea vero est una ex infinitis parabolis, quas olim spe-

DISSERTATION M. P. E. A. S.

217

culati sumus ('), illa nempe in qua cubi applicatarum ad axem sunt inter
se ut quadrata portionum axis. De quo ne dubitent geometrae, ita breviter
demonstro.

PliOPOSlTIO III (-).

Si/ in quar lu figura {fig- ii'i) parabole, quain juin iiuUcavimus.
MIVA, cujus vertex A, axis AN, el in quu, sumpto qu(wis puncio I et duclis

M R H G

pcrpendiculunbus seu applicutis ad axem redis 31N, IK, cubus reclœ .MN
sit ad cubum reclœ IF ul quadratum reclœ NA ad quadralum reclœ FA,
idque semper conlingal ; probandum est curvarn MIA reclœ duUv œqualem
esse.

Fiat

ut quadralum axis AN ad quadraUiiu applicatïe NM,

ita rocta NM ad reclam AD ipsi AN perpendicularem.
Patet l't'ctani AD esso rectum dictic paraboles latiis, lioc est :
solidiim sub AD in iiiiadiaUim recl» AN œqnari cubo applical?p NM,
item, sumpto quovis alio punito, ut I,

solidum sub AD in ([uadratum AF îcquari cuIjo appiicata? IF;
(|uu(l iioii cgct demonstratioiie : in facilibus enim non immoramur.

(') T'oir plus haut, page igS.

(2) L'énoncé qui suit est en réalité celui de la proposition IV; l'oljjetde la proposition III
se borne à un lemme déterminant la loniiueur de la tangente dans la parabole j^ = ax'-.

Fr.BMM. — I. 28

OIS CEUVRES HE !■ EllMAT. - I" IVVUTIE.

Ducalur tangiMis ad puiiiiiiiii I, ft sit illa lOE, qua^ cum axe AN in
IMiiulo K coiicmiat. Ex Mctiiodo la/igenlium constat rectani FA rectsp
AH esse diiphun, ideoque

reclam FK ad rctlam AF esse ut 3 ail ■'.,

(liiailr;iliiin voro rectip EF esse ail (|nailialuin rectœ AF ut ;> ail '\.

A recta AD abscindalur noua ipsiiis pars (11), et iTliqua CAbisecotur
in 15 : ci'il igitur

l)V ad AU ul 1) ad '|. sive ul (luadralum FF ad quadiatuui AF.

Soliduni ilaque sul) Al) in qnadratuni AFa'quale erit solido sul) qna-
drato FE in rectani AB; sed solidum sub AD in quadratnm AF est
aMjuale cubo recta:* IF : ergo solidum sub recta AB in quadratnm EF
est feqnale eideni cubo rectfe IF. Est ergo

ul (luadialuai F2F ad quadralum IF, ita recta IF ad rectaui AU,

et, componendo, summa quadratorum EF et FI, hoc est unicuni

quadratum tangeiiiis lE est ad quadralum IF,
ut sunima reclaruui IF et AH ad AB.

Si autem ducatur a puncto J perpendicularis ad basini, recta IH et
alia quanis perpendicularis GQVO occurrens applicatse IF in Q, curv*
in V et tangenti in 0, propter simiriludincni triangulorum, erit

ut 10 ad IQ sive ipsi sequaleni IIG,
ita taiigens lE ad apiilicatani IF,
et

ut qiiadraliuu KJ ad quadratuui IKj, ita ciuadratuni lE ad ([uadraliun IF

lit autem

quadratuin lE ad quadralum IF,

ila summa rectanim IF et AH ad rcclaui AB.

Ergo

{junilraliiiii KJ ful (juadruLuni li(î fvil seniper
ni xumtnn reclarani IF el AB ad rectani AB.

Quod demonslrarc upurluil.

DISSERTATION M. P. E. A. S. 2lî)

Inde seuuitcu, si rectœ MN poiialur in directum recta NX rectti' Ali
sequalis, esse semper

ut quadralum langenlis 10 ad quadralum reclœ HG,

vel ut quadratum tangentis lY ex altéra parte ad quadratuin recta' op-
positae RH (utrobiqiie enim, propter parallelas, eadem est ratio ),

ila reclam HX ad reclam NX.

Recta enim HX sequalis est summae rectarum IF et AB, et recta NX
est sequalis AB. Hoc autem patet ex constructione : recta enim HN,
propter parallelas, sequalis est recta- IF, et reliqua NX f'acta est a'qiialis
rectse AB.

Propositio IV.

Exponatur in qiiinla tigiira (//:,'■. la'i) iiostra lisec parabole AXE,
cujus sit ea, ut diximus, natura ut cubi applicatarum siiit inter se iii
ralione quadratoriiiu poi'lioniun axis. Sit ejus axis AI, basis auf semi-
basis El.

l'V ^A (5).
V

Ex dalis axe AI et applicatà lE invenitur, ut superius diximus, rec-
tum latus AD, a quo abscissà noua ipsius parte CD, et reliquà A(] bifa-
riam divisa in B, secetar basis El in quotlibet libuerit portiones yequales
EF, FG, GH, Hl, et a punctis F, G, H excitentur perpendiculares FX,
(iY, HZ, curvae occurrentes in |)unctis X, Y, Z. Ad puncla autem E, X,

•2-20 ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.

V, Z (Uu-aiilur taiii;tMitos EU, XS, YT, ZV, occurreiiles perpeiuliculari-
luis FX. GY, HZ, lA proiluclis, in punclis R, S, T, V. Ponatur i-ectse El
in (liircliiiii roc'ta IK lequalis recta' AR.

Palet, ex pi'secedeiilc pni|»(isitioiie et ipsiiis cordllario,

(liKuli-atuiii taiiiioiilis ZY ail (|ii;i(lraliiiii recla.' III
esse ul rectam IIK ail rcctaiii Kl;

similiter

ilcin

(lenique

Ml (|iia(lialiiin tanp:ciilis VT ad qiiailrnliim roda' (]I1,
ita reclaiii (ilv ail l'cclani Kl;

f|iiailratiiiu laiigenlis XS ad quadralum recl;p V(\
ut reclain FK ad rectani Kl ;

ul (|iiadraliini laiii;ciitis EU ail quailrnliim rectic EF,
ila letlaiii EK ad reclain Kl.

His positis, a piincto K excitetur KL perpendicularis ad rectam EK,
el fiât recta KL aequalis rectse Kl sive AB; intelligatiir jani per punc-
tiini K, tanquam verticem, axein aiitemKE, describi parabole siniplex
sive Arcbimodca, ciijas rectum laliis sit KL, et sit illa parabole K.MQ,
ad (iiiaiii exciteiitiir perpeiidiciilarôs EQ, FP, GO, HN, HI, (jiuv eriinl,
ut palet, applicata' paraboles el iii direclum posiUe perpendicuhuibus
F'X, (JY, etc.

Quadraluin tangeiitis ZV, ul jani diximus, est ad quadi'aluiii recla*

m.

lit recla IIK ad reclain Kl;

sed, ut recta HK ad rectani Kl, ita, siugulis in rectani KL duclis,

rectaiip:iiliiin suli IIK in KL ad rectangiiluin siiIj IK in KL;

rectanguluni vero sub HK in KL, ex natura paraboles Arcliiinedea*,

*quatur (juadrato applicatœ HN, et rectanguluni sub IK in KL a-quatur

(juadrato rect;e KL, qiiuni rectœ [K, KL facla' Ciiciinl a'(|uaies. Eril

ii.'itur

ul i|uailiMluiii UN ad qiuiilr;if uni KL,

il;i qiuidialiiin laniieiilis Z\' ail qinidialuin recla' III.

DISSERTATION M. P. E. A. S. -IH

ideoquc

ut recta HN ad KL, ita tangens ZV ad reclam HI.

Similiter probabimus esse

ut tangentem YT ad roctani GII, ita applicalani dO ad KL:

item

ut tangentem XS ad rectam FG, ita applicatam FP ad KL;

(lenique

ut tangentem ER ad rectam EF, ita esse applicatam EQ ad KL.

Quiim igitur sit

ul tangens ZV ad reclam III, ila appiicala UN ad KL.

reclangulum siib extremis «quabitur rectangulo sub ineiliis, i(b'()(|iii'

reclangulum sub NH in HI œquabitur
rectangulo sub KL in tangentem Z\ .

Simiiiler

reclangulum sub Oiî in (iH ;equabitur

rectangulo sub KL in langenlem YT;

reclangulum sub Î'F in F(î ;equabilur
rectangulo sul) KL in tangentem XS ;

reclangulum sub EQ in EF sequabilur
rectangulo sub KL in tangentem ER.

Qiiid atitein pluribiis in re prociivi et jain ad methodum Arcbime-
deam sponte sua vergente imiiioramur? Fer insci'iptas enim et cireum-
scriptas in segmento parabolico figuras, rectaugula omnia QKF, PFG,
OGH, NHI segmentum ipsuni parabolicum EQMI desiguabunt. Omues
autem tangentes ER, XS, YT, ZV, per iteratam secundum nostrœ prte-
cepta methodi circumsci'iptioneiii, curvam ipsam EXYZA etiani desi-
guabunt : ergo segmentum parabolicum EQMI sequatur rectangub) sub
KL in curvam EX.V. Datur autem in rectilineis segmentum parabolicum

Item

leniqut

±2î (Kl VPxES ])K FERMAT.- I"" PAIiTlE.

l-X)MI (^ i|ii;nli';ivil l'iiiiii pai'altolcM Ai'cliiiiicdcs (' ), i(l('0(|ii(' ipsius seg-
nu'iita ) : ergo roctanguliim sub KL in ctirviiiu KXA cliam datiir. Datiir
aiitom rccla KL : ci-go datiii' ciirva 1*]\A cl ipsi alla roda pofost coiisti-
tiii ajqualis. Quoil ci-al dcmonstrandiim.

Si quibusdam tamen hœc demonstratio brevitate nimiâ laborare vi-
deatur, eam integram, iiisistendo vestigiis Archimedeis, non gravamur
separatim adjungere, ut eam legant et examinent qui superiora non suffi-
cere existimabunt.

Prohaiidum est segmentiini paralioliciiiii EQMI reclangulo suh data
KL in ciirvam EXA a^qualo esse.

Fiat, ex Arcliiniede, scgmentnni illud parabolieuni EQMI sequale
reetangulo suh data recta KL in data m rectam j3. Si prohaverimus rec-
lam j3 a^qualcm esse curvœ EXA, constabit propositum.

Aio itaque rectam ^ cnrvse EXA esse sequalem : si cnini lequalis non
est. ci'il vcl major vel minor.

Sit primo recta [3 major qiiam curva EXA, et sit earum excessus, si
tieri potest, recla û.

Ex pro()Ositione secundà hujus, possumus curvse EXA circumscri-
here figuram ex portionibus tangentium composifam, quœ superet
cnrvam intervallo minore rectâ o. Fiat igitur ilia circumscriptio et in
figura separata (_/ig. 12.)), quam etiam qninfam romano eliaractere
notavimus, circumscripta illa constet ex portionibus tangentium ER,
XS, YT. ZV.

Circumscripta illa, ex prœdemonstratis, est major curvà EXA; sed
et rei'ta ^ posita est major eâdem curvâ : quum ergo circumscripta su-
peret curvam minore intervallo quam recta [3 superet eamdem curvam,
ergo circumscripta minor est rectà p. Rectangulum itaque sub recta
KL in circumscriptam est minus reetangulo sub KL in rectam |3; at
rectangulum sub KL in ,3 factum est ;equale segmento parabolico
l:;QMi : ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est minus diclo
segmento parabolico EQML

(') Arciiiméde. Oiiodr'iliirn parahnlew prop. 17; (klition Ileibcri:. vol. II. page 33 i.

DISSERTATION M. P. E. A. S.

•223

Probavimus autem rectangulum sub KL in portionem tangentis ER
sequari rectangulo sub QH in EF; item rectangulum sub KL in XS
sequari rectangulo sub PF in F^G; item rectangulum sub KL in YT
sequari rectangulo sub 0(1 in GH; denique rectangulum sub KL in ZV

Fig. 125 (V).

sequari rectangulo sub NH in HI : ergo rectangulum sub KL in lotam
circumscriptam est tequale summœ rectangulorum sub QE in EF, sub
PF in FG, sub OG in GH et sub NH in HL Si autem in rectas FP, GO,
HN, LVI (quœ sensim decrescunt quo propius accedunt ad verticem
paraboles) continuatas demittautur perpendiculares (seu parallehe
basi) a punctis Q, P, 0, N rectœ Q7, PO, OX, No, patet

reclanguluin OEFy œqualeesse

ilem rectangulum 6F a^qiiari

rectaiiguluiii /G ajciuaii

ileiiiqiie reclanguluin oll a-quari

rectangulo sub OE in EF;

rectangulo sub PF in F(i,

rectangulo sub OG in dH,

rectangulo sub Nlf in III.

Ergo rectangulum sub KL in circuniscriptain est œquale rectangulis
YE, OF, IG, 9H.

Sed probavimus rectangulum sub KL in circumscriptam esse minus
segmento parabolico EQMI : ergo summa rectangulorum yE, OF, 'aG,
oH crit minor dicto segmento parabolico EQMI. Quod est absurdum :
illa enim rectangula constituunt figuram ex rectangulis compositam

■ll-i ŒUVRES !)!■: FEUMAT. - 1" l'AUTlE.

l'I sfgim'iilo parabolu-o, iil patot, circumseriptam, itlcoqiu' ipso sei--
iiu'iilo niajorom.

UiHia iliujm" [i non es( major ciirvà EXA; sed iumjuo ininorem esse
piohahinuis.

Sit ciiiiii recta '^ minor ciirvâ EXA, si tieri potest, et cui'va superet
reclam ^ intervalle o.

(".ii'cuniscrihatui' in tigiira sepai'ata (/ig. l'-iO), qnam otiam qnin-

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lani charactere graeco nolavinuis, fignra constans ex portionibus tan-
genlium curvà EXA minor, sed quam tainen ipsa curva superet intervallo
minore ipso o; et sit illa figura constans ex portiouibus tangenlium
XK, YS, ZT, AV.

Quuni ilaque curva sit major p intervallo o, et eadem curva superet
circumseriptam intervallo minore ipso <5, crgo circumscripta erit major
rectà [3, ideoque rectanguluin sub KL in circumseriptam eril majus
segmente parabolico EQMI.

Sed rectangulum sub KL in circumseriptam ;equatur, ex pra'demon-

stratis, rectangulis sub PF in FE, sub OG in GF, sub NH in HG et sub

Ml in III : est enim

ut XH ad FE, ilii FI> ud KL,
ideoque

reclanguluiii sub KL in XH a-qualur reclangulo suIj PF iti FE,

et sic de reliquis. <

DISSERTATION M. P. E. A. S. 225

Quum igitur rectangulum sub KL in circumscriptam sit majus seg-
mento parabolico EQMI, ergo summa rectangulorum, sub PF in FE,
sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in HI, est major dicto segmento
parabolico. Sed omnia illa rectangula, ductis perpendicularibus (seu
basi parallelis) rectis Py, OO, NX, Mç, quse omnes cadent in appli-
catas intra parabolen (prout enim applicatse magis distant a vertice,
eo magis sempcr augentur), erunt «qualia rectangulis PE, OF, NG,
MH; ergo summa omnium illorum rectangulorum, PE, OF, NG, MH.
erit major segmento parabolico. Quod est absurdum : rectangula enim
illa, PE, OF, NG, MH, componunt figuram ex rectangulis compositam
et ipsi segmento parabolico inscriptam, ideoque ipso minorem.

Recta itaque p non est minor curvà EXA; quum igitur noc sit major,
nec minor, erit ipsi curv;e sequalis. Quod prolixius, ut omnis remo-
veatur scrupulus, fuit demonstrandum.

En. jam demonstratis patet eàdem facilitate demonstrari posse seg-
mentum parabolicuni quodvis EQPF, a priore abscissum, rectangulo
sub data KL in curvam EX sequalc esse; ideoque, si detur in basi
quodvis punctum, ut F, quum ex Archimede segmentum parabo-
licum EQPF in rectilineis detur, dari etiam et rectangulum sub KL
data in portionem curv;e EX; datur autem recta KL : ergo et curva EX.
Dato itaque quovis puncto in base, ut F, dari portionem curvœ ipsi
oppositam, et rectam posse assignari huic sequalem, manifestum est.

Nec moveat, ad rectam illam curvse EXA œqualem inveniendam,
construendam videri parabolen simplicem, quo casu problema solidum
evaderet. Quum enim supponatur ad veritatem tantum inquirendam et
demonstrationem rite conficiendam paraboles illius descriptio, niliil
vetat quominus calculum ipsum, dissimulatâ illâ imaginarià paraboles
descriptione, per rectas et circulos et expediamus et exliibeamus. Is
autem calculus, nisi fallor, talis est :

Esto in figura sexta {fig- 127) curva parabolica DAC, ejus naturse
ut cubi applicatarum DB et NM sint inter se ut quadrata portionum
axis BA et AM; dentur autem altitude AB et semibasis BD. aut

Fermât. — I. 29

226

ŒUVRES DE FERMAT. - l™ PARTIE.

tota DBC : Aio dari rectam curvœ DAC œqualcm (quotl jam piohatum
est) in calcule vere geometrico.

Sit rectum istius paraboles latus recta AO, quam datam esse ex datis
axe et applicatà, ex supra dictis, constat. A recta AO auferatur nona
ipsius pars EO; reliquat vero AE fiât œqualis recta YK, cui in directuni
ponatur KX a'qualis seniibasi (seu applicatœ) DB. Super recta YX tan-
quani diamcfro describatur semicirculus YTX et, reclà Y'K biscctâ in
puncto R, excitetur perpendicularis RT, semicirculum secans in T.

Fig. .-27 (6).

Rectœ RTfiat a;qualis recta RV, et super recta VX tanquam diamètre
describatur semicirculus YQX, ad cujus circumferentiam a puncto R
excitetur perpendicularis RQ. Super rectis TR, RQ describantur semi-
circuli TPR, RGQ, et ipsis applicentur rectaî TP, RG, quas singulœ sint
ipsi RY ajquales. Junctis autem rectis RP, QG, aio rationem curvie
parabolicse DAC ad basim DBC esse camdem quic est dupli quadrati
rectae QG ad triplum quadratum rectse RP, ideoque esse datam.

Fiat ila(|ue ut triplum quadratum rectal RP ad duplum quadratum
rectae QG, ita recta DC ad rectam IH; recta illa IH, qua- data est ex
constructione, aequalis erit curvse parabolicœ DAC.

Quod si cum précédente demonstratione non conveniat, ab ipsa erit
cmendandum.

S[ II.1X No.N suFFiciANT ad obtiuendum a geometris ut nostra baec curva

DISSERTATION M. P. E. A. S. 221

parabolica inter admiranda Geometrise coUocetur, illud fortasse ab
ipsis quœ mox sequentur impetrabunt. Quid enim mirabilius quam ex
iiiia hac curva derivari et formari alias numéro infinitas, non soluni ab
ipsa, sed inter se, specie différentes, quœ tanien singula? rectis datis
sequales esse demonstrentur? Propositio generalis hœc est :

Sif, in septima figura {fi g. 128), cunxi noslra paraholica CM A, cujus
allitudo AB, semibasis CB, et ah ea ru/va formenlur aliœ in infinilum

Fig. 128 (7).

hac ralioiie ut. ductis perpendicularihus ad basirn rectis DMNL, EKIH ut-
cumque, secantibus cuna/n in punctis M, K, nova curva CNIG, ex hac
formanda, sit ejus natura' ut recta DN sit semper œqualis porlioni prioris
curvce, nempe CM, ipsam respicienti; item recta El sit œqualis portioni
prioris cuncc CMK et sic in omnibus aliis quibuslibet perpendicularihus :
hœc nova cun'a CNIG eril diversœ a priore speciei (' ).

Formetur pariter ab ipsâ tertia curva CLHF, in qua recta? DL, EH sint
semper cequales portionibiis curvis CN et CNI secundœ curvœ; et a tertia
pari ratione formetur quart a, a quarta quinta, a quinta sexta, et eo pro-
grediantur in infinitum ordine.

Aio omnes istas curvas CNIG, CLHF et reliquas in infinitum, perinde ac
primain parabolicam CMKA, redis datis œquales esse.

Notandum autein istas omnes in infinitum curvas esse pure geonie-

(') Fermât n'a pas reconnu que, loin d'Otrc différentes de la parabole primitive, toutes
les courbes qui en sont ainsi dérivées successivement peuvent lui être superposées à la
suite d'une simple translation.

228 ŒUVRES DE FERMAT.- I™ PARTIE.

Irioas, 1100 in illis itaquc ad legem illaiii o( ordiiioni naturse de quibus
initio luijiis Dissertât ionis locuti sunius recurrenduni. Licel enim
recta? DN et El curvis CM et CMK supponantur a^quales, esedem tamcn
ipsa' non lani suppositée sunt ([uam ex pra'dictis demonstrataî esse
pariter rectis aequales : dato quippo quolibet puncto D, quum ex prse-
cedentibus detur recta sequalis portioni curvse CM, crgo recta DN, qua"
ourviï CM ex constructione ponitur squalis, ut recta verc data, non ut
a^qualis curva% considerari débet; et sic de reliquis. Curva igitur supra
doscripta CNIG vere geometrica est; quam postquam a?qualem esse
roota' datœ demonstraverimus, sequetur tertiam curvain ab ea for-
mandam, nempe CLHF, esse quoque pure geometricam, et sic omnes
alias in intinituin.

Demonstratio diiïicilis non erit, si prias praemiserimus generalem,
quae huic operi omnino inservit, propositionem :

Propositio VI.

Esta, in figura oclava {Jig. 129), quœlibel curva, ejusdem cum prœ-
cedentibus naturœ, ONR, cujus vcrlex 0, axis vel applicata OVI {eadem

Fig. 129 (S).

enim semper est demonstratio) ; (/ ah ea formetur alia curva OAE, cajus
ca sit proprietas ul applicata- sint cpqiudes portionibus abscissis a priore
curva : exempli gratia, applicata VA sit œqualis curvœ ON, applicata lE
sit œqualis curvœ OR, et sic de reliquis. Ad datum punctiim. in nova liac
curva, ducelur tangens hoc paclo : sit datum punctum E ; ducaliir appli-

DISSERTATION M. P. E. A. S. 229

cala El, secaiis priorem cuiva/n m R; ducatur recla RC tan gens in diclo
punclo R priorem curvam et occurrens axi in puncto C ; fiai

ut RC ad CI, ita recta lE ad rectani IR,

eljungalur EB : Aio reclam EB langere novam ciirvam EAO in puncto E.

Sumpto enim quovis puncto in axe, ut V, et ductà applicatà VNA,
quae secet priorem curvam in N, tangentem RC in S, secundam curvaiu
in A, rectam vero EB in Y, si probaverinuis rectam VY seniper esse
majoreni applicatà VA, recta EB non secabit novam curvam a parte
verticis.

Hoc autem facillime probamus : Recta VA est aequalis curvse ON sive
differentiye inter curvas OR, NR; at recta RS est minor curvâ RN, per
consectarium primœ propositionis : ergo differentia inter curvam OR
et rectam RS est major differentia inter eamdem curvam OR et cur-
vam RN. Sed recta VY est anjualis diiferentite inter curvam OR et rec-
tam RS, /// mox probabimus : ergo recla VY, occurrens rectsc EB, erit
major rectâ VA, occurrente curvœ OAE. Unde patet omnia puncta
rectse EB versus verticem esse extra curvam, ideoque recta EB curvam
ab ca parte non secabit.

Imo nec inferius : Sumatur enim quodvis punctum, ut H, a ([uo
ducatur applicatà HZ, secans priorem curvam in D, tangentem RC pro-
ductam in F, secundam curvam in Z, et rectam EB productam in Q. Si
probamus rectam HQ, iu quocumque casu, majorem esse rectà HZ,
patebit omnia puncta rectae EB, etiam inferius sumpta, extra curvam
jacere, unde patebit dictam rectam EB tangere secundam curvam in
dicto puncto E.

Recta HZ est a?qualis, ex constructione, curv« OD, boc est summ»
curvarum OR, RD; quum autem recta RF sit portio tangontis RC infe-
rius sumpta, erit, ex consectario primje hujus, recta RF major
curvâ RD, ideoque summa curvie OR et rectse RF erit major summà
ejusdem curva; OR et curvœ RD. Summa autem curvse OR et rect;e RF
est aequalis, ut juox probabimus, rectaî HQ; summa vero curvarum OR,
RD est aequalis rectœ HZ, ex constructione : ergo recta HQ semper

230 ŒUVRES DE FERMAT.- !"■ PARTIE.

et in onini oasu mnjor erit applicatâ HZ, ideoijuc rocta E13 in dicto
piuulo E langet secundam curvani.

Pkob.\n'du.m auteiTi reliquinius diffcrentiam curv* OR et rectse RS
;i'([uari i'ect;e VV.

Diieatur recta EM parallela axi et occurrat reeta; VY prodiictcT in M.
Ex eonstructione est

ul El ad IR, ila RC ad CI;
sed

m El ad IR, ila YV ad VB, cl ila VM ad ME;

utautem RC ad CI, ila RS ad VI :

ergo

ut YM ad ME, ila RS ad VI.

Sunt aiitem rectie ME, VI squales, propter parallclas : ergo rectœ YM,
RS erunt iequales. Sunt autem anjuales etiani rectse El, VM : ergo dif-
ferentia intcr rectas El et MY erit recta VY. Sed recta El, ex eonstruc-
tione, aequatur curvae OR : ergo differentia inter curvam OR et rec-
tani .MV ( sive i[)si «qualem RS) sequabitur rect;e YV. Quod primo erat
probanduin.

Nec dissiniili ratiocinio procedct demonstratio inl'ra applicatam El :
Ductà eniiii rectâ EP parallela axi, probabimus rectam QP sequalem
esse rectae RF.

Est enim

Ht El ad IR, lioc esl QH ad HR, hoc est QP ad PE, -
ila recta RC ad CI, Iioc esl RF ad III;

sunt autem ;equales PE, IH : ergo et rectae QP, RF. Recta autem HQ
iequatur rcctis HP, PQ, quarum prior HP «quatur recta' JE sivc curva?
OR, posterior autem PQ œquatur, ex demonstratis, rectœ RF : ergo
summa curva; OR et rectae RF est sequalis recta* HQ. Quod secundo
b)CO fuit probandum.

Patet itaque rectam EB in puncto E secundam curvam tangere, quod
erat demonstrandum.

DISSERTATION M. P. E. A. S. 231

SiT JAM ('), in nona figura {fig- i3o), curva nostra parabolica GKA,
cujus altitudo AE, scmibasis GE, rectum latus AD, cujus nona pars, ut
supra, sit CD, et recta AC bifariam secetur in B. A priori bac curvâ f'or-
metur alia, versus punctum G, qu* sit GNS, occurrens axi prioris in
S, et nova? hujus curvœ proprietas hœc sit ut, sumpto quovis puncto.

H I G

ut F, et erectâ perpcndiculari FKN occurrcnte duabus curvis in K et N,
recta FN sit semper squalis curva; prioris portioni GK. Ducatur paral-
lela basi KM, et ad idem punctum K ducatur recta TKH tangens
priorem et occurrens axi in T et basi in H; per punctum vero N, in
secunda curva, ducatur tangens RNXI occurrens basi in I. et a punctis
quibuslibet, in ea ex utraquc parle sumptis, ut R et X, demittantur in
basim perpendiculares XY et RV.

Ex prœcedentibus patet quadratum tangentis KT in priore curva ad
quadratum FE, sive

sed

quadratum KL ad quadratum FV esse semper
ul rectam FE, uiia cum recla AB, ad ipsam AB;

ut (juadratum KT ad quadratum FE sive ad quadratum KM,
ita quadratum KH ad quadratum HF (propter parallelas) :

(') Ici commence la démonstration d'un nouveau lemmequi devrait élre compté commi'
liroposilion VII, ce qui figure ci-après sous ce dernier titre n'étant, en fait, que la démon-
stration ajournée de la proposition V (page 227), dont le numérotage a été omis.

23i ŒUVRES DE FERMAT. - I "^ PARTIE,

orgo
quadratuni Kll csi ad (iiiadraUim IIK ut recta FE, iiiia cmii AB, ad AR.
Ul aiitcin quadratuni Kll ad (|uadratuni UF,

ita, o\ pra'coiloiito propositioiio,

quadraluin reclae FN ad quadratuni rcctsc FI :

quum enini latera, ex vi illiiis propositionis, siiit proportionalia, erunt
proporlionalia et quadrata. Ergo

quadraluin NF ad quailratuni FI est ut recta FE, una cum AB, ad AH,

et c-oiiiponendo, quadrata duo NF et FI, sive iinicum

quadratuni M erit ad quadratuni FI ut FE, una cum AB bis, ad AB.

Sed

ut quadratuni NI ad quadratuni FI,

ita quadratuni RN ad quadratuni recta; FV ex una parle,

et ita quadratuni reclœ NX ad quadratum rectis FY ex altéra :

ergo, suiiipto quovis piincto in secunda hac curva, ut N, erit semper

ut quadratum porlionls tangenlis ad illud punctum ductse ex alterutra parte

ad quadratum portionis basis ipsi opposite,

ita suninia rectœ FE, una cum AB bis, ad AB.

Si igitur basi GE ponatur in directum recta EO rectœ AB dupla, et
ad punctum 0 erigatur perpendicularis OP ipsi AB œqualis, erit semper
ut quadratum portionis NR, in hac secunda curva, ad quadratuni por-
tionis basis FV, vel ut quadratum portionis tangentis NX ad quadratum
portionis basis FY, ita recta FO ad rectam OP.

His ita se habentibus, palet cseteras in infinilum curvas, modo quem
supra indicavimus describendas, ejus esse naturae ut :

In tertia, verbi gratia, quadratum portionis tangentis ad quadratum
portionis basis ipsi opposita; sit ut portio basis FE initium sumens a
puncto F, in *juo cadit perpendicularis a puncto contactt'is in basim
demissa, una cum rccla AB /r/sumptâ, ad ipsam AB;

DISSERTATION M. 1". E. \. S. -233

In quarta curva, crit utquadratuin portionis tangentis ad quadratuni
[tortioiiis basis ipsi oppositœ ut recta FE, una cum AB (/itater sumplÀ,
ad ipsam AB;

Et sic do reliquis in infinitum.

Eadem enim semper demonstratio, nt evidensest, in omnibus casibus
b)cum babet.

Nec difficilis. boc supposito, ad tbeorenia ifonoi-ile erit aditns.

Propositio \TI.

Esto, in figura décima (_/i£^- i3i), curva nostra paraliolica EA, ciijns
axis AI, semibasis lE. Ab ea formetur secunda curva EXYZO, cujus ca

sit natura, ut supra dixinius, ut quanis applicata K.\ sit an|ualis por-
tioni prioi'is curvfe ab appbcata illa, scu mavis vocare perpeiidicii-
larem, abscissse. Dividatur basis in quotlibet partes a-quales EK, F(l.
GH, HI, et ducantur a pnnctis F, G, H perpendiculares sécantes uovani
liane secuiidani curvam in pnnctis X, Y, Z. Sit prioris cuivje l'eehim
latus Al), a qun abscindatur noua pars CD, et reli(jua AC bisecetur
in B. Uecta? AB bis sumptœ iiat sequalis recta IK qua' sit in directuni
basi, et ad punctnm K erigatur perpendicularis KL avpialis recla^ AB.

l'EiniAT. — I. ■><>

■23V <Krvl5i:S 1)K FEUMVT. - l" PARTIE.

Por piincliim K cl ;ixem KE inlcHigatur describi parabole simplex
(sivo ArcliimedeaV ciijiis rocliiiii latiis Kf.. cl sit illa parabole KiMOO.
A piiiittis K, l\ (i. H. I (liu'aiitur ])erpeii(liciilaif's ad axcin o( occiir-
ronlt's liiiic |iaral)()la' in piiiuiis O. P, (3, N, M.

l'A l'orcillai'id pra^cedt'iitis, (|iuiiii curva E\0 sit secuiida ciirva a
priorc di'iivala scu formala vi\ rationc (|aaiii jaiii sa'pius explicuimus.
se(|iiiliir, siiinpto iii ca ([nolibct ])iinrto. ut Y, et diii'tà porlione tan-
Jïontis YT, esse

iil i|iia(liiilimi Y'!' ad (|ii;i(lialMiii ("ill, ila reclain K(i atl reclam KL.

Sud, lit roda GK ad reclaiu KL, ita, siiigulis iii l'eclaiii KL duclis,

reclanguliiiii (îKL ad (juadralmn kl>;

ex iiatiira aiilciii paraboles siniplicis, rectanguluni GKL aequatur (|iia-
dralo applicatse GO : ergo

(juiidiiiium YT est ad quadralum (jll ul quadratum GO ad quadralum KL.

id('(i(|n('

lit rccla ^T ad rcclam (iH, ila rccla (iO ad rectam KL.

Reotanguliim itaqiic sub extremis tvijualiir rectangiilo siib mediis :
reclangulum ergo sub GO in GH aequatur rectangulo sub KL iu VT.

Si igilur diicaiitiir alla- tangentes ER, XS et ZV, occurrentes perpen-
dicularibus iu puiiclis R, S, V, probabitur similiter

rectanguluni siilj QEiiiEF a-ipiari rectangulo sut) KLinER;

item

rectanguluni sul) PF in Fd a>r|uaii reclangulo snl» Kr>iu\S:

et sic de r('Ii(|iiis in iidinitum.

l'ixle tandem, per abdiiclioiiem ad metliodum Archimedeam pari
quod, in (|iiarta propositioiic liujiis, iudicavimus arliticio, conficietiir
et conriiidi'tiir segmentiim paralndiciim EO.MI a-quari reclangulo sub

DISSERTATION M. P. E. A. S. 23.)

KL in secunclam ciirvaiii 1^]X0; siciit et singula segmenta paraholica,
EQPF verbi gralia, rectangulo sub KL in portionem curva^ EX, vol scg-
mentum EQOG rectangulo sul) KL in portionem curva^ EXV, et sic in
infini tum.

Dantur autem in rectilineis haec oninia segmenta parabolica, ex vi
quadrature paraboles ab Archimede demonstratœ, et datur etiani recla
KL : ergo dantur tam tota secunda curva EXO quam ipsius porliones
EX, EY etc., per rectas perpendicuiares ad puncta F, G << ete. >> data
abscissa?.

Ad tertiœ curv* cum rectà data aMiualitatem, similis fiet construc-
tiu, nisi quod recta IK ponetur tripla rectte AH; in (juarta curva, cadetn
IK \)oneliiv quadrupla recta^ AU, et tandem generalis inter omiics islas
in intinitum curvas a priore derivandas ita statuetur ratio : erunl
nempe singulse inter se ut segmenta parabolica ejusdem paraboles et
ejusdem altitudinis, qu* a vertice paraboles distabunt pei' l'ectuni
latns loties sinnptum ([iiota^ erunt in online curv;e inler se compa-
rand;e.

Exempli gratia, sil, in undecima figura (fig. i32), curva nostra

Fig. 132 1,11)

parabolica EMA, cujusaxis AF, semibasis EF, rectum latus AD, a (|U0
dcmptà nonà parte CD, reliqua AC bisecetur in B; et a prima illà curvâ
fornielur secunda EOS ejus natura^ ut, sumpto quolibet puncto in

■2:\ti (KlIV|{i:S 1>K FKKMAT. - I" PARTIE.

hase N, recta NO. perpeiidiciilaris ad hasiiii el occurrens curvis in M
l't t). sit ;e(|iialis porlioni prioris ciirvae EM. A secunda formetur tertia
KVll, in (|na recta NV sit a'(|uaiis portioni socmuKT cnrvœ EO; item a
tertia EVH l'ornietni' qnarta E\L, in qua rocta NX sit jpqualis portioni
terti;v enrvie l']V. Exponatur separatim parabole simplex sive Arclii-
niedea. eujus axis iiilinitus (IKQY, vertex (î, rectum latus GH ;equale
recliv AB. QuaM'ilur ratio, verhi gralia, qnarlœ curvse EXL ad
prima m EMA.

Quia prior ex ipsis est qnai'la ordine, al) axe abscindcnda est (iY
(|nadnipla recii iateris GH, deinde ponenda ipsi in directum recla YO
a'qnaiis semibasi \i¥, et ducendae applicatse rectae YT, Oa. Quia verb
posterior ex duabus comparandis est prima ordine, abscindcnda est ab
axe recta GK recto lateri semel tantum ;equalis, deinde ipsi ponenda
in directum recta KO semibasi etiani EF a?qnalis, et ducenda? appli-
cata'Ki. OP.

Erit. ex dcmonstratis et canonc generali ab illis deducto, ut sefi;-
mentum parabolicum YTXO ad segmeuUim parabolicum KIPQ, ita
quarta curva EXL ad primam EMA. Sed ratio segmentorum paraboli-
corum iuter se data est, ex Archimede : ergo et ratio curvarum inter se
data ei'it. Data est autem prima, ex demonstratis : datur igitur et
quarta, el ipsi recta data iequalis assignari potest, et perpétua illa
ralio, remotà, si libet, parabolâ, ad pbrasim geometricam ope régula'
lanlum et circini accommodaii.

Quod autem de totis jam probatum et in canoneni dcductum est.
idem de portionibus illarum curvarum inter se comparandis contin-
gere, bencficio segmentorum parabolicorum portiones semibasis ipsis
curvarum portionibus oppositas pro altitudinc habentium, quis non
videt?

Nnur. autem uec de solidis ex diclis in infinitum curvis conficiendis,
nec de su|)crficiebus ipsorum curvis, nec de centris gravitatum aut
linearum istarum aut dictorum solidorum aut superficierum curvarum,
adjunifimus, quum metluxli bac de re générales a summis et insignibus

DISSERTATION M. 1». E. A. S. 237

geometris (') jam vulgatse ista omnia, post cognilani specificam curvse
dalœ pi'oprietatem, ignorari non sinant, licet in niultis casibus pro-
priam ab unoquoque adjungi operi industriam non inutile futurum
existimemus.

Sed antequani manum de tabula tollam, succurrit examinanda se-
quens propositio :

Sil, in figura duodecima {fig- i33^, cuira nostra païaholica V.OX,
cujus rcrtex A, axis AB, semibasis (]B. Ab ea formcnlur aliœ ciirva' infi-
nitœ. modo queiu jam explicuimus, non ex parte basées ni supra, sed ex

Fig. i33 (12).

parle rerticis. Sinf ilkv cti/vœ a prima effingendœ AIF, AGE etc. in inji-
nilum eà rondilione ul. sutnpto quoiis puncio in axe D et ductâ ad axem
perpendiculari DOIG sécante cuiras in punclis 0, I, G, recta DI sit in se-
cunda cuiva semper œqualis porlioni primœ cuirœ AO, item recta DG ///
tertia cuira sit semper œqualis portioni secundœ curvœ AI, et sic in infini-
tum. Hujusmodi omnes curvœ non soluin specie inter se et a prima AOC,
différent, sed etiam ab iis quas ex parte basées supra effinximus. Qitœri-
tur erge an cun'œ illœ emnes AIF, AGE etc., sic in infinitum effingendœ.
datis rectis an vero aliis cuiris sint œquales.

Inquirant illud Geometra; et, miraculum augeri experientur : sane,
si metbodi, quibus utuntur ad dimcnsionem curvarum, sint générales

(') Fermât fait ici allusion aux travaux de Pascal et de Roberval, aussi bien qu'aux siens
propres. Quant aux courbes dont il va parler désormais, elles diffèrent bien de la parabole
_)■'= a.x- (dévelop])ée de la parabole ordinaire), mais elles peuvent encore toutes être su-
perposées à une seule d'entre elles par une simple translation. En tout cas, la rectification
de cette nouvelle courbe, cpii est la développée de l'hyperbole équilatère, appartient sans
conteste à Fermât.

•238 Œl \ KKS 1)F. FERMAT. - I" PAHTIK.

cl siiftiriontcs, (|U()(I ipsis at'fiiiiiaiilihus iii dubitiin rcvocaro non aiisiiii,
primo stadni ohditn l'cin i'aclani liabcbunl et a laI)oi'c siiperfluu goo-
motrani jani ratii;aliiMi lii)ei'al)iinl.

Si quiil aiitcni in snpci'ioribns domonstrationibus concisnai niniis
invtMHM'inl. iil aut suppléant rogo. ant condonenl.

APPENDIX Al) DISSEHTATIONEM

UE I.l.NEARLM CIKVARUM CUM LIJJEIS RECTIS COMPARATIONE.

Il nllinue, (|nain in Dissertatione proposuimus, qusestioni satisfiat,
praemitlenda' videntur propositiones sequentes :

Propositio I.

Si/Il. in figura piinia ( fig. i'34). <li'f rii/vœ AIF, 3Z8, (/iiariwi axes
AE. 3 7 sini inler se a'quales. Diicaiitiir (tulcm ad axes applicaUv (jiiol-
libel qiKV. in nU-CKjuc figura, œqiiali a rerlicc inlenallo distenl.

Fig. .34 ;.).

Sinl, exenipli gratia, applicala' piioris BM, CI, DU. EF; poslerioiis
vero applicalse sinl/|T, 5Z, Gç), 7 8; et sit rcctiP AB, quae désignât in-
tervallum applicatse BMaverlice, «qualis recta 4 3, (|ua' désignai inler-

DISSERTATION M. P. E. A. S. 239

valliim etiam applicatœ 4T a vcrlice. Sit pariter CA œqualis 53; item
DA sequalis 6 3; deiiique EA, quod jam supposueramus, aequalis 7 3.

Si sinffidœ ex applicatis sinl srinper ad abscissas per tangeiiles ab axe
iii ratione correlatanuti,

hoc est : si, ductis tangenli])iis ad puncta F, H, I, M ex iina parle et
ad puncta 8, 9, Z, T ex altéra, semper contingat ut applicata FE, verhi
gratia, sit ad rectam KE, quam tangens FK abscindit ab axe, in eadeni
ralione qnœ est applicata* 8 7 ad rectam 7 2, quam tangens 8 2 ab axe
pariter abscindit; item applicata DH sit ad abscissam ab axe per tan-
gentem qua^ dncitur ad pnnctnm H ut applicata 69 ab abscissam ab
axe per langcntem ad punclum 9 ductam; et sic de reliquis;

(lio diias istas eiavas A\V, 3Z8 esse inter se œquales. iino et siniiles
ideoque easdem, el applicalas itniits Jtgunc applicatis a/terias f/iia' a rer-
tice (pquatiter distant esse pariter a'(/iiafes.

Ductis enini ad puncta H, J, M, in [)rima figura, portionibus tangen-
tium HO, IN, MR, quœ occurranf applicatis in punctis 0, N, lî; item,
ductis portionibus tangcntium, in secunda figura, 9V, ZY, TX, qua'
occurrant applicatis in punctis V. Y, X, ex suppositione

lit FE ;k1 EK (in prima tigura), ila est S- ad 72 (in secunda).

Sed anguli ad puncta E et 7 sunt recti : ergo triangula FEK, 87.»

sunt similia;

ut ergo FK ad KE, ila S 2 ad 72.

Sed

lit FK ad KE,

ita (productà applicata DH ad pmictiini (î) recta F(j ad rectam DE,

et

ita (productà ap|)licatà (19 ad punctiini P) recta 8P ad 6 7 :

ut 82 ad 72,

nt recta F(i ad rectam DE, ita recta SP ad G 7.
Sunt autem rectœ DE, G 7 wquales, qnum rectaî EA et 7 3, item recta?

•2V0 ŒUVRES DE FERMAT. - l" 1>\RTIE.

I)A ol ()3 sinl inttM- so jequales : ergo et portiones langentium FG, 8P
(M'iint inlt'i- se ;v(|ualcs.

Simililcr probabimus portioiicm tangenlis HO «qualem esse por-
lioni tangontis ()V; item portionem tangentis IN a'qiialem esse portioni
lanuontis ZY: ileiiiquo portionem tangontis !MR »qualem esse portioni
tangentis T\.

(Jnum ergo séries langentium in prima ligura sit a;qualis seriei lan-
gentium in secunda, per abductionem ad impossibile more Archi-
medeo facile coneluditnr curvam AIF curvse 3Z8 sequalem esse, (juod
primo loco fuit probandum; imo et pariter concluditur portiones curva;
correlatas esse inter se a^quales : portionem nempe FH portioni 89,
porlionem curva; HI portioni rjZ, et sic de reliquis.

Superesl probandum applicatas pariter unius tigurae applicatis alte-
rius esse œquales.

Ouum, c\ suppositionc, applieat;e sint semper ad abscissas ab axe
per tangentes in eadem utrobique ratione, ergo anguli GFE, PS 7, qui
fuint ab intersectione tangentium et applicatarum, erunt inter se
a'quales; item anguli OHD et V<)G; item anguli NIC et YZj; denique
anguli RMR et XT.4. Quum ergo portiones omnes prioris curv;e, FH,
HI, IM, MA, sint sequales portionibus posterioris, 89, 9Z, ZT, T3, sin-
içulae singulis, imo et earumdem portionum sit eadem utrobique incli-
tuitio (inclinationem enim curvarum metiuntur tangentes, qua» in
utraciue figura sequales semper, ut probavimus, conficiunt angulos).
crgoeurv* AMIHF, 3TZ98 non solum sunt inter se œquales, sed etiam
similes : unde, si intelligantur altéra alteri superponi, congruent om-
nino, ideocjuc non solum axes sed applicatas sequales, aut easdcm
potins, liabebunt. Quod secundo loco fuit demonstrandum.

PrOI'OSITIO ]].

Sinlditœ. in seeunda figura (y7/;'. \V)), parabolœejiisdemnaturœ kOD,
XK;. qiiarum axes sint AC, XF, semibascs DC, GF, et sit, verbi gratia,

ni ciibns I)(; ad cubum appiicat;e BO,
ita (jiiafiralinn CA ad (|iiadratum BA,

et similiter

DISSERTATION M. 1'. E. A. S. tiVI

lit ciibus (jF nd culnini applicaUc IV,
ila (]iiailratuiii F\ ad ([iiadralum Y\

(licel enim proposilio sit generalis, a parabola noslra non discedimus);
su autem ut axis unius ad semibasem, ila eliam axis alleriiis ad senuha-
sem. nempe

lU axis CA ad semibasem DC, ila axis XF ad semibasem GF :

.4/0 diias hdsce parabolas esse inler se in ratione axiiim vel setmbasiuin.
Iioc est

(•ur\ain AOD esse ad curvam Xlf'i iil est axis AC ad axem XF,
vel ut semibasis CD ad semibasem GF :

lia' quippu duœ rationes, ex suppositione, siint eaedem.

Deiiionstratio est iii proniptu.

Secetur enim uterque axis iii quotlibet partes sequales. Duas lan-

Fig. i35 (a).
N

tiini, ad vitaiidam coiifusionem et prolixitateni, assumemus : secetur
crgo bifariam axis AC in B et axis FX in Y et, ductis applicatis BO,
YI, ducantur ad puncta D, 0 tangentes DN, OM, quarum prior occurral
applicatîB BO in puncto E, posterior vero rectae AV. applicatis paral-
lèle, in puncto Y; item, in altéra figura, ducantur ad puncta G, I tan-
gentes GK, IS, occurrentes applicatae YI et ipsi parallelœ XR in punctis
H, R.

Fermât. — 1. 3l

•2V2 ŒUVRKS DE FERMAT.- 1" PARTIE.

Kx siippositioue est

ut nt: ;ui CA, ila (IK ad FX;

sod. ox natura isl'ms paraboles,

recta ('A est ad Πabscissam per taiigenlem ut ^ ad 3;
item

recta F\ est etiain ad rcctaiii Fk pcr tangeiilcin abscissam ut 2 ad 3 :

ergo, ex tequo, est

ut ne ad CN, ila GF ad Fk.

Suntcrgo «quiangiila triangula DNC, GKP : ergo

ut DN ad NC, ila Gk ad kF.

Sed

ut DN ad NC, ila DE ad CB,

et

ul Gk ad kF, ita Gl[ ad FV :

ergo

Ml DE ad CH, ila GH ad FY.

Si militer proltal)itur esse

ni OV ad RA, ita IR ad XY.

OiiLim ergo portiones axium, AB, lit; ex iina parte et XV, YK ex
altéra, siiit inter se aequales, ergo

ut omnes tangentium portioues DE, OV ad totiiin axcni AC,
ita omnes tangentium portiones GII, IR ad totum axem XF.

Omnes autem portiones tangentium DE et OV et pkires, si opiis sit,
beneficio abduclionis ad impossibile, ut jam sœpius et indicatum et
probatum est, désignant totain cui'vam DOA ; item omnes portiones
tangentium GFI, IR et plures etiani, si opus sit, désignant totam cur-
vam (JIX : ergo

ut curva DOA ad axem AC, ita curva GIX ad axem XF.

DISSERTATION M. P. E. A. S.

et, vicissim et convertendo, erit

axis AC ad axeni XF sive basis DC (ex suppositione) ad basim (]V
ut curva DOA ad curvam GIX.

2V3

Oiiod erat denions(randiim.

Propositio III.

Ksto. in tertia figura (Jig: i36), r/m-a AO, cuj us axis AC, hasis CO.

el ah ca in/el/igafiir formari alla ciina ejusdem el axis cl rctiicis. in

qua applicatcv sint scmpcr in ralione applicataruin prions curva' : sit

nenipe

lit basis ('0 ad basim VA',

ila applicata BP prioris curvse ad applicatam BR poslerioiis cuiv;i'

et ita applicata DE ad applicatam DN,

cl sic in infiniluiu; si (td piuicUi/n (piodlibct prioris ciuv<r. iil (), diica-
liir (anciens OH cum are comenicns in pitncto H, cl continucliir (',( ) douce
occnrral secundœ cunœ in V, (uo rcc/am, c/iiœ puncta \ cl H corijitnp;il,
langcrc secundam cim'am, cl scmpcr contingere ul tangentes eorreluta'
in ntraque cuixa ad idem piinctiim an oeeiirrant.

V\g. .3(j (3).

Ducantur enim applicatse BPR, DEN, occuirenles cuivis in puuctis
W H, E, N et rectis OH, VH productis in punctis Q, S, F, M.

Si probaverimus rectam BS, supra rectam CV ductam, senipcr majo-
reni esse rectà BR, item rectam DM, inferius ductam, esse etiam sem-
per majorera applicata DN, patebit rectam MVSH tangere secundam
curvam in puncto \.

•2U (KUVllES DE FERMAT.- 1" PAUTIE.

Kx l'oiislriu'tioiic

ul CO :i(l C.\ , ila est upplieata 151* ad applicalain 1515;

soii, propler parallelas COV. HOS, (|ii;i'. secantur a lril)iis r-cclis ('II, 011.
VII ad iiiciii piiiu'tiim vorgciilibiis, osl cliam

ni rO ad C\\ ita recla BQ ad reclam BS :

tM-gO

ul recta 151* ad lectam lîR, ila est recla B(J ad rcclaiii BS,

et, vicissim,

m recla Bl' ad rectain 150, ila esl recla BR nd reclatii I5S.

nuuiii aiiteiii recta OQH taiigal priorem curvani in piincto (), recta BQ
erit majoi' rectà BP : ergo etiam recta BS erit major rectà BR. Quoi!
primo loco fuit probandum.

Nec (iissimilis in applicata inferiiis sumptà erit demonstratio : ex
snppositione enim est

ni CO ad CV. ila DE ad DN,
et, propter parallelas, est etiam

ul CO ad CV, ila Dl' ad DM :

ergo

ul DE ad DN, ita csi DE ad DM.

Est autem DE minor DF : ergo et DN ipsà DM niinor erit.
Hecta itaque MVSH in puncto V tangit scciindam curvam.

Lemma ad id quod sequitur.

Sit, in qiiarta figura i/ig- i ^7). parabole nostra GIA, cnjiis axis AK,
semibasis EF(1, tangens GH. Constituatnr ad eumdem axem .\K alia
parabole ejusdem naturse FNA, cujus semibasis EF sit potestale mh-
(lupla prioris semibasis EG, et semper contingat applicafam (|namvis,
lit NO, ap[)licat;c 01 ad priorem curvam esse pariter potcstate subdu-
plam. Sit rectum prioris GIA paraboles latus recta AD, cujus noua pars

DISSERTATION M. P. E. A. S.

2i5

sit CD, et reliquii AC l)isece(ur in B. Ducatur ad secundam paral)oleM
tangens ad punctiim F recta FH, quai in eodem puncto H cuni axe con-
veniet, non soluin ex vi propositionis prsecedentis, sed quia, ex natura

G F

istarum parabolarum, in utràque recta EA est ad rectani EH ut 2 ad 3,
ex superius domonstralis.

Aïo

((uadraluni VV. esse ad quadratuni KII
lit est dimidia rectse AH ad rectam E(i.

Jam enini, in propositione III Disscrlatiunis, denionstratuni est

(]uadraliMii (!E esse ad qiiadrntiim EH ut est recin \|{ ad rectani E(", :

('rgo, suinptis antecedentiuni dimidiis, erit

ul (piadralum EF,

(|uod sup[)osuimus esse diniidiiiin (iua<lrati GE,

ad (|uadraluiu EH, ila dimidia recta- AB ad reclaiii (iE

Probabimus pariter, si recta FE sit potestate subtripla recla' GE,
lioc est, si (]uadratum FE sit subtriplum quadrati GE, esse

ut quadralum FE ad quadratuni EH,
ita lertiani partem recta" AB ad reclain (iE;

et sic de subquadruplo, subquintuplo et reliquis in infiniliiin.
QuuM autem, in ratione subdupla, probaverimus esse

ut quadratuni FE ad quadratuni EH, ita diniidiani AB ad roetam <!E,

•2'»«

Œl\Ki:S l)K FEU MAT.- I- l'VKTIK.

oriïo. roiupoiieiulo, eril ul suinina (iiiadiatonim FK. liH, sivc ut iiiii-

(11 m

quadiaUim FH ad quadraluin EH,
itn diniidia AI5 un;i ciiiii (iE ;n\ ipsam (lE.

Si voni recta KK sit j)utestate siihlriphi rcctse GE, erit

m (|iiadraliini Fil ad (|iiadi-aliiin EH,
ila UMtia ])ais AH niia ciiiii (JE nd ipsam (lE.

Si recta EF sit potestate subquadrupla rectse GE, erit

m (|uadratum FH ad ipiadraluni EH,
ita (iiiarla pars AB vma ciim EG ad ipsam EG ;

ft sic in intinitiiiu et in (|iuiciun(jiic applicata idem contingel.

PliOl'OSlTlO I\ .

His praemissis, theorema générale haud difficulter detegimus.

Sit. in tiiiura qiiinta {/ig. i38 ), parabole nostra AC, cujus axis AB,
>eniil)asis HC, et ah ea Cornientui' ali.T in infinitum curv;e AD, AE, AF,

l'ig. i38 (5).

:

H
G

V

Y

A
Z

y^y^ /"^

FED

(juarnin ea sit proprietas ut, ductà quàlibot applicata Bt^DEF, recta Bi)
sit seinper a'qualis priori curvae CA, recta BE aequalis secundae curva^
AD. rccla BF a'qualis tertiie curva; AE, idque semper in omnibus ad
illas curvas ap|)licatis contingat : Aio onines illas et singuias in intini-
tnm curvas AD, AE, AF etc. esse semper datis lineis redis a'quales,
perinde ac curvas quas in Dissertatione, diversâ et dissimili ex parle
basées metliodo, construxiinus.

DISSERTATION M. P. E. A. S. 2W

Theorema générale ita se habet :

Exponatui" separatim (fig- l'ip) eadem parabole 0 3M œqualis oiii-
iiino et similis ipsi AC, eujus ideo axis MN œqualis est axi AB et seuii-
basisON semibasi BC (separatim ciiim, ad vitaiidam confusionem, tigii-
ram construendam duximus). Fiat recta NP recta; NM potestate diipla.
recta NQ ejusdem NM potestate tripla, recta NR ejusdem NM potestate
((iiadrupla, et sic in infinitum. IManente autcm eadem semibasi ON,

Fig. i39 (5).

construanfur parabol» per vertices P, Q, R ejusdem cum parahola
0 3M vel AG naturse, et sint illse O4P, 0 5Q, OGR etc. Aio |)arabo-
len O4P curvic AD esse œqualem, parabolen vero 0 5Q curv;e AK esse
a'qualem, denique parabolen 0(jR curvae AF esse œquaiem, et sic in
infinitum.

Quum in nostris parabolis 0 4 P. 0 )Q, OGR, ductà applicatà
'i 3 4 5 G, sit semper, ex natura dictarum parabolarum,

m cubiis rectœ ON ail cubum rectse 42,
ila quadralum reclae sive axis NP ad quadratum Pa;
item

ut cubus ON ad cubum 5 t, ila quadratum NQ ad quadratum Qi;

denique

ut cubus ON ad cubmii 62, ila quadratum NR ad quadratum \{>.,

patet, ex praedemonstratis in Dissertatione, singulas ex istis parabolis
rectis datis œquales esse : ergo, post demonstrationem tlieorematis

i'.S (Kl VUES DK F EUMAT. - I- PARTIE.

iiosiri lït'Moralis, constabit singulas (|U()(iue ex curvis AD, AE, AI-"

iTctis tlatis ;o(]iialcs esse.

neinonstralio aiilem llieoremalis generalis luec est :

Sit rectum paraboles istius latus recta AS {fig. i38), a qiia si demas

uonam parteiii SY. reliqiiani biseces in piincto V, et ad puncta (', D, H

Fis. .38

(ô).

1

H
G

V

Y

A

X^

Z

y^r

FED C

iliicantur tangentes ad novas curvas, (]I, DH, KG. qiue oecurranl axi in
punctis 1, H, G.

Kx demonstratis in tcrtia Dissertalionis propositione,

iiuadratum BC est ad qiiadiMtuin lîl ni recta K\ ad roctam Br„

et, coniponondo,

quadralum CI est ad quadralmn RI ut rccia AV una cuin RC ad Rf,.

Sed ex propositione VI Dissertationis,

ul est quadralum tangenlis CI ad iiuadraïuui RI,
ila quadralum reclœ BD se habel ad quadralum reclœ RII,

(|uani abscindil tangens DH : ergo
m quadralum BD ad quadralum RII, ila recla AV uiia cuiii BC ad RC,

et, componendo,

ul quadralum langentis DH ad quadralum RII,
ila recla AV una cum BC bis sumptâ ad ipsam BC.

Sed

ul quadralum langcnlis DU ai! quadralum HR, ila.

DISSERTATION M. P. E. A. S.
ex eadem Dissertationis propositione,

quadratuni BE est ad quadralum recUi; BG a tangente EG abscissœ

2W

ergo

ut quadratum reclîe BE ad quadratuni reclœ' BG,
ila est recta AV una cum BC bis sumptà ad ipsam RC.

Similiter probabitur, si ducatiir ad curvam EA applicata ZTK secans
curvam AC in T, et intelligatur ad punctum K duci tangens ad curvam
AKE, esse pariter

ut quadratum KZ ad quadratum rectœ

(juain tangéYis per punctum K ducta ab axe abscindit,

ita rectam AV una cuni ZT bis sumptà ad ipsam ZT,

et sic semper continget.

Exponatur separatim ad vitandam conf'usionem eadem curva AKE,
(\ux sit in figura separata (Jig. i4o) [3oA. Basis Xâ sit ilaque a'qualis

Fig. ,38 (5).

Fig. .40 (5).

basi ËB, tangens Ay tangenti EG, axis o^ axi BA, abscissa pcr tangeu-
tem ab axe oy abscisse BG, applicata vcp applicatœ ZK. Ab bac curva
V^[3 fbrmetur alia ipsâ rninor Ou[î, ea conditione ut applicata^ nova'
istius curvse sint semper subduplse potestate applicatarum prioris :
verbi gratia, recta SO sit subdupla potestate rectœ SX; item applicata
V- sit subdupla potestate rectse vcp; et sic de reliquis. Ducantur in bac
nova curva, tangentes ad puncta 0, ti, rectse Oy, ~ 7.

Ex précédente tertia propositione patet tangentes Oy, Xy ad idem
punctum y cum axe concurrere; item tangentes ad puncta o, - ductas

Fermât. — I. 32

•2oO ŒUVRES DE FERMAT. - l" PARTIE.

ad idoin ctiani puncdim, verbi gratia 7, cuin axe concurrere, quum
applicativ utriusque figura' siiit in oadcm scmper iiiter se ratione.
Exponatur adliiic soparatim {/ig- i4i) parabole ejusdem cum para-

Kig, .'|i (5).

O N

l)olis OM, OP etc. (Jig- l'iç)) natur», cujus axis 9 8 sit icqualis axi MN

sive AB sive ^â, seniibasis autcm 8 y sit subdupla potestate semibaseos

NO sive BC; et sit illa y r i 9, a qiia formctur alia 9 12 •];, cujiis idem sit

axis 98, applicala vero 8 '| sit œqualis cui'Vii! y 1 1 9, item applicata

to 1 1 12 sit œqualis curv;« 1 1 9, et sic de reiiquis.

Probaiiduin primo curvas 0-3 et 'j/12 9 esse easdem, lioc est, 0111-

nino aîqualcs et similes. Quod sic demonstrabitur :

Probavimus

(|uadratum BE esse ad quailnitiim BG,

sive quadraluni Id ad qiiadralum ôy,

ul rcctam AV una cum CB Lis sumplà ad reclam CB:

crgo, sumptis antecedentium dimidiis, quum posuerimus rectani Oo
esse potestate subduplam recta* o'k, quadralum recta* Oo erit dimidiimi
quadrati Xo, ideoque

ut quadratum Oo ad (|uadratuni dy,
it;i dimidia AV una cum CB erit ad ipsam CB.

Similiter probai)imus in alia qualii)et ap[)licata, ut -v, esse

(|iiiidraluiii rv ad quadratum V7
ul dimidiain AV una cum ZT ad ipsam ZT ;

et sic de reiiquis.

DISSERTATION M. P. E. A. S. 231

Disquirendum jam an eadem proprietas curv« 'j'129 conveiiiat.
Quod i (a fi et :

lu curva / 1 1 9, cujiis semibasis y 8 est potestate subdupla scniiha-

Fig. i38 (5).

Fig. 1^0 (5).

r E D

seos BC et axis 89 aM]ualis axi AB, ex lemmate superiori, ductis laii-
gentibus ad puncta y, vp icctis -f^, '\i,

quadratum 78 esl ad quadratum 8p ut dimidia rectœ AV ad reclaiii CI5 ;

recta enim y 8 est potestate subdupla rectœ CB : ergo, eomponendo.

quadratum ^p est ad quadratum 8p
ut diiuidia AV una cum CIÎ ad ipsam CH.

Sitniliter, si intelligatur recta 9 10 sequalis recta- AZ, boc est si
puncta 10 et Z tequaliter a vertice distont,

(]uadralum tangentis ad punctum 11 duclœ eril ad quadratum abscissa» ab axe
ut dimidia \\' una cum recta ZT ad ipsam ZT.
Sed,

ut quadratum /p ad quadratum 8p, ita,

ex propositione VI Dissertationis, est

quadratum applicalse li 8 ad quadratum a tangente abscissœ 8 ct,

(et, siiniliter,

ut quadratum tangentis ad punctum 11 duclœ

ad quadratum abscissœ ab axe,

ita quadratpm applicatœ 12 10

ad quadratum abscissa? ab axe per tangentem ad punctum i? ductam) :

ut quadratum J/8 ad quadratum 80-, ita dimidia AV una cum BC ad RC.

:îo-2

ŒUVRES DE FERMAT. - 1- PARTIE.

Sod in alia figura {fig. i4o) pi'obavimus

quailratum applicatse ôô cssc ail qiiadtaluni abscissœ a tangente oy
ut est dimidia AV iiiia cuin lî(^ ad CB :

l'i'go, in diialtus cui'vis '| 129, Ot:^, oril

lit J>8 ad abscissam 8(7, iia applicata Oo ad abscissam ôy,

et in omnibus aliis punctis idem sempei' continget, et eodem modo pro-
babimus nempe applicatam, vci'bi gratia,

10 12 esse ad abscissam a tangenle ad punctum 1:! ducta ut est -v ad v 7,

et sic de rcliquis.

Per primant itaque propositionem hujus Appendicis, quum curvœ
9 T241, 0-^ babeant eumdem axem, et applicatae sint ad abscissas ab
axe per tangentes utrobique in eadem correlatarum ratione, illa^ cui'vse
erunt intcr se aequales,' et ipsœ etiam ipsarum semibases, et omnes

Fig. .38 (5).

Fig. i4o (3).

F E

similiter applicatte a vertice œquidistantes. Ex constructione autem
.semibasis •]> 8 est œqualis curvfe '/. t i 9 : et'go curva y \i 9 est scqualis
rectœ Oo. Recta autem Oo est potestate subdupla rectœ ck ex construc-
tione : ergo curva parabolica y 1 1 9 est potestate subduphi rectœ oA.
Recta autem oX est a;qualis rectse BE et recta BE supposita est, in con-
structione curvarum a primaria AC derivatarum, jequalis esse curva*
AD : ergo parabole 7 1 1 9 est subdupla potestate curvœ AD. Sed eadem
curva 7 1 1 9 est subdupla potestate paraboles 0 4 P : basis enim y 8 est
facta potestate subdupla baseos BC sive NO, et similiter axis 89 sive
.VB sive N.M est polestalc subdnpius axis NP ; quum ergo pnraboia-

DISSERTATION M. P. E. A. S. 2o3

04 p. /, 1 1 9 sint ejusdeni naturaî et lam axis quam basis paraboles

-/ 1 1 9 sint potestate subduplœ axis et basoos paraboles O4P, ergo et

ipsa parabole / 1 1 9, ex propositione II biijiis Appendicis, critsubdu-

pla paraboles 0 4P- Quiun orgo, ut jain probavimus, eadem parabole

■/ y I f) sit subdupla tani paraboles 04P quam curvœ AD, curva AD

et ipsa parabole O4 P erunt inter se aequales. Quod erat demonstran-

d u m .

Nec dissimili, ad probandum ciirvam AE ^qualem esse parabohe

0 5Q, uleiidiim artificio.

Quum enim

quadralum BE esse ad quadratuin BG

ul est recta AV una cum BC Lis siimptà ad ipsam BC

probatum fuerit, ergo, componendo et ulteriiis progrediendo, erit

quadralum tangentis EG ad quadralum recta? BG
ul roda AV uiia cum B(^ ter sumplà ad ipsam BC.

Est autem, ex praedemonstratis in sexta propositione Dissertationis,

ut quadralum EG ad quadralum BG, ila quadiaUim BF
ad quadralum aijscissa; ab axe per tangenlem ad punclum F ductam :

quadralum BF erit ad quadralum illius abscissae
m est recla AV una cum BC ter ad BC.

In reliquis imitabimur omninoet sequemur vestigia demonstrationis

Fig. i',i (5).

praecedentis, nisi quod in figura separata {fig. \^o), postquani Xô

2oV ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.

iïierit lacla ;vqiialis ipsi BF, recta oO fiet suhtripla polostalc ipsiiis BF
vt'l oX, ciirva X^[ï (Hirvie FA fict aMjualis, ciirva QrJ^ ejus eril iiatiiia' iil
omnes applicatse sequanUii' l'atioiiom l)asiiiin Ào, Oo. In alia aiitciii
tisiira separata (//'i,'. l 'i i) iii qua curvte 9 1 1 y et 9 f2'\i, reeta 9 M crit
;eqiialis, ut supra, recta' MN vel AB vel ^â, basis vero 8y^ tiet subtripla
potestate baseos ON vel CB, et fiet 7, 1 1 9 parabole ejusdem cum païa-
bolis CTA vel 0 3 M natura^; a (|tia quum formabitiir cm'va 'J'T2 9.
cujus applicatae 8'\i, 10 12 siut, ut supra, ;equales curvis y 9, 11 9, pro-
babiiiuis, ut supra, curvani ^tcO et curvam 9 1 1 y esso inter se tequales
et si lui les, lioc est, easdeni.

Unde concluditur bases GS et (j;8 esse sequales, ideoque basim 18
sive cuivam 9 1 1 y esse potestate subtriplani recta' ôX sive BF sive
curva' AE; est autem etiam, ex prœdemoustratis, parabole y i r 9 sub-
tripla potestate paraboles 0 5Q : ergo curva AE et parabole O^Q
cruut iuter se aquales.

Eodem ratiocinio iu ulterioribus casibus iitemur et eeneralem nostri
tbeorematis veritatem evincemus.

Qui autem superiorem Dissertationem et hauc ad ipsam Appeudi-
cem accuratius legerint, prajcipua metbodi nostra? fundamenla statiui
agnoscent, et ex eis deduci facillimam curvaruni diniensionem depre-
bendeut.

METHODES DE QUADRATURE. 255

DE ^QUATIONUM LOCALIUM

TRANSMUTATIONE ET EMENDATIONE

AD MULTIMODAM
CURVILINEORUM INTER SE VEL CUM RECTILINEIS COMPARATIONEM,

CL'I ANNECTITCR

PROPORTIONIS GEOMETRIC.E

IN QUADRANDIS INFINITIS PARABOLIS ET HYPERBOLIS
USUS.

In uiiica paraboles quadratura proportionem geometricam usurpavit
Archimedes ('); in reliquis quantitatum hcterogenearum comparatio-
nibus, ai'ithmeticaî duntaxat proportion! sese adstrinxit. An ideo quia
proportionem geometricam minus TE-paytovtJ^ouo-av est expertus? An
vero quia peculiare ab illa proportione petitum artificium, ad quadran-
dam primariam parabolen, ad ulteriores derivari vix potest? Nos certe
hujusmodi proportionem quadrationum fcracissimam et agnoscimus
et experti sumus, et inventionem nostram, quae eâdem omnino me-
thodo et parabolas et hyperbolas quadrat, recentioribus geometris
haud illibenter impertiinur.

Unico, quod notissimum est, proportionis géométrie»" attribulo tota
hsec methodus innititur; tbeorema hoc est :

Data qiuh'is proportione geometricâ, cujus termini decrescant in infini-
tum, est al differentia terininoruin progressionem coiistituentiiim ad

(') AncniMÈDE, Quadraturu paraboles, prop. 23 et 2i.

250 QÎUVRES DE FEUMAT. - I"^ PARTIE.

niinorcDi Icrniinitni . il a rnaxiiniis progressionis terminus ad rr/u/uos
omncs in infinituni snmptos.

Hoc posito, proponanluf primo liyperboliB qiiadranda\

Hvpprholas aufem delininuis intinitas divcrsai speciei cin'vas, ut
DSEl" ( y/i,'. \'\-i), ([iiai'iim li;oc est proprietas ut, positis in quolibet

Fie. '\'-

G H 0

angulo date RAC ipsarum asymptotis rcctis AR, AC, in infinituiu, si
placet, lion secus ac ipsa curva extendendis, et ductis uni asymptotôn
parallelis rectis quibuslibet GE, HI, ON, MP, RS etc., sit ut potestas
quaîdam rectfe AH ad potestatem similcm rectie AG, ita potestas rect*
(iE, vel similis vel diversa a prîeccdcnto, ad potestatem ipsi homoge-
neam recta^ Hl. Potcstates autem intelligimus, non solum quadrala,
cubos, quadratoquadrata etc., quaruni exponentes sunt 2, 3, 4 etc.,
sed etiam latera siniplicia, quorum exponens est unitas.

Ail) ilaque omncs in infmilum /uijits/nudi hyperbolas, unicâ dcmptà
quœ Apolloniana ( ' ) est sive primaria, heneficio proportionis geometricœ,
unifornii et perpelua melhodo quadrari passe.

Exponatur, si placet, hyperbole cujus ea sit proprietas ut sit semper

ut quadratum rectaî HA ad qiiadralum rectse A(î,
ita recta GE ad rectani HI,

(') Le nom iï hyperbole, comme ceux d'ellipse et de paralwle, n'a pas été adopté avant
Apollonius.

MÉTHODES DE QLADKATURE. 257

et

ul quadralum OA ad qnadi-aluin Ali, ita recta HI ad reclani ON,

Ole. Aio spatiuni infinitum cujus basis GE, et curva RS ex uno iatere,
ex alio verô asymptotos infinita GOR, œquari spatio rectilineo dato.

Fingantur termini progressionis geometricse iii infiiiitum exleii-
(loiuli, quorum primus sit AG, secundus AH, tertius A(), vlr. in iiilini-
tuni, et ad sese per approximationem tantum accédant (|iiantuiii salis
sil ut, juxta niethoduni Archimedeam, parallelogrammuin rectiliiiciiin
sub GE in GH quadrilineo mixto GHIE ada'quetur, ut loquilur Dio-
phantus ( '), aut f'cre «([uctur; item, ut priora ex intervallis redis [jio-
portionalium, GH, HO, OM et similia, siut fere iiUer se aMpialia, ni
commode per à-aywyrjV si? àouvaTov, per eircumscriptiones et inscrip-
tiones, Archimedea demonstrandi ratio institui possit : ({uod semel
moMuisse sufficiat, no artirtcinui quibusiibet geonietris jaui satis iio-
tum inculcare sa^pius et iterare cogamur.

His positis, quuni sit

ul \(; ad AH, lia VII ad V(». et ila A() ad AM,
erit pari ter
ut AU ad Ail, ila iiileivallimi (ill ad IlO, et ila iiilcivaliuin 110 ad OM,

etc.

Parallelosramnuuii aiiteiu suh E(i in (ill cril

ad |i;naileioi;rainniiini snh III in HO

ni paralloloi;ranniinm sub Hl in HO

ad [lai'alicloiii'amnium su!) NO in OM :

(|unm euim ratio [)aralleloi;iamini sub GE in GH ad |)aralb'iograiii-
mum sub HI in HO componalur ex ratione recta- (Ai ad rectain 111 et ex
ratione rectaî GH ad rectani HO, sit autem

m (III ai! IIO, ila AG ad AH,
ut prsemonuimus, ergo ratio |»arallelogrammi sub EG in GH ad parai-

(') Foir plus liant, |)age i'!3. note j..

Febmat. — I. 33

258 (EL VUES DE FERMAT.- 1- l'AHTIE.

lelograninuim siih 111 in 110 coniponitiir ex ralione CE ail HI pt ox ra-
tioiic A»; ail Ali. S('(l

(Il (iE ad m. ila, ex conslniclioiii', ll\ (iiiadraUiin ail qtiadraliim (iA,

sivi'. proplcr |)n)portionalcs.

ila l'L'cta A() ad reclani (i \ :

iM'ito lalio iiarallelograninii swb l*](i iii (jll ad |Kirallologi'aiiiiiium sub
III in 110 l'omponitiir ex ratione AO ail AG et AG ad AH. Sed ratio AO
ad Ail cumponitur ex illis dualiiis : er'go parallelogranimum su!» GE in
GH est ad parallelogramnmiii siih HI in HO ut OA ad H.\, sive ut HA
ad AG.

Similiter prohahitur parallelogranimum sub HI in HO esse ad paral-
lelogranimum sul) ON in O.M ut AO ad HA.

Sed très rectal (jua? conslituunt raliones parallelogramniorum, rectal
nenipe AO, HA, GA, sunt proporlionales ex constructione : ergo paral-
Ndogramma in infinitum sumpta, suh GE in GH, sul) HI in 110, sub ON
in OM, etc., erunt semper continue proportionalia in ratione rectse
HA ad GA. Est igitur, ex theoremate liujus mcthodi constitutivo,

ut (iH, ditïcrenlia terminorum rationis,

ad niinoreiii It'i'iiiiiium (i\,

ita primus parallelogrammoruin progressionis terminus,

iioc est parallelogrammum sub EG in GH,

ad reliipia in infiiiilum parallelogranima,

hoc est, ex adœquatione Archimedea, ad figurani sub III, asymptoto HR
et curva IND in infinitum extendenda, conlenlam.

Sed ut HG ad GA, ita, sumptâ coiuMunii latitiidine rectâ GE, paral-
lelogrammum sul) GE in GH ad parallelogrammum sub GE in GA : est

igitur

ut parallelogrammum sub GE in GH

ad figuram illniii iiiliiiil;uii (-iijiis basis III,

ila idem parallelogrammum sub GE in GH

ad parallclogramnumi sub GE in GA.

METHODES DE O L AI) It ATURE. 239

Ki'go parallelogramimini siih GE in GA, qiiod est spatimn roctiliiicuiii
(Jatuni, aiUfqiiatur figura» pruedicta'; cui si addas paralleiogranimiiiu
sub GE in GH, quod propter miniitissinos ziii.'y.yj.'ju.O'jc, evanescit et
abit in nihilum, superest verissimum l't Arciiimedeà ( iicet pro-
iixiorc) demonstratione facillinie firniandum : parallelograinmuni AE,
in bac hyperboles specie, aequari figura» sub base GE, asymptoto GR ot
curvaED in infinituni producenda, contentie.

Nec operosum ad omues nmnino bujusniodi byperbohis, unà, ut
diximus, deniptà, iuventioncm exlendere. Sit enini ea allcrius. si pla-
cet, hyperboles proprietas,

ul sit (îE ad III ul culnis recliu HA ad culnnii rocla> (ÎA,

et sic de reliquis.

Expositâ ex more infinità proportionaliurn, ut supra, série, tient pro-
portionalia parallelogramma EH, 10, 3IN, ut supra, in infinituni : in
hoc veri) casu, parallelogrammum primuni erit ad secunduni, secun-
dum ad tei'tiuui, etc. ut recta AO ad GA; quod statini coinpositio pro-
portionum uianifestabit. Erit igitur

ut paralielogrammiini EH ad fii<in'am, ita recta Od ad (ïA

ot, sumptà coniniuui latitudine GE,

ila parallelogrammum sub (Mi in (lE ad parallelogrammum sub (lE iu (i V :

est igitur

ut parallelogrammum sub 0(î in (îE ad parallelogrammum sub (ÎE in (i\.
ita parallelogrammum sub (IE in (IH ad llgnram,

et, vicissim,

ut parallelogrammum sub OG in GE ad parallelogrammum sub GE in (iH,
ita parallelogrammum sub GE in GA ad figuram.

Ut au te m

parallelogrammum sub ()(i in GE ad parallelogrammum sub HG in (ïE,
ila OG ad GH, sive 2 ad i, ex adœqualione :

-260 (El VHES DE FERMAT. I"^ PARTIE.

inli'rvalla oniiii l)asi pioxima l'acta suiil, l'x ooiistructionc, fore jequalia
inler sr. I^'go. in liac hyperbole, parallclograniimim EGA, quod est
œqiiale spalio rccliliiuM) dato, csl dupluni figura? sub base GE, asym-
ptiilo (iH. ciirva ESD in infinituin prodiircnda, coiiteiita'.

Similis in (|uibuslihet aliis casibiis iiabehit lociim demonstratio,
nisi quod iii primaria (sive Apolloniaiia elsimpiici) hyperbole defieit
eà solà ratione metliodus, quia in bac parallelogramnia EH, 10, iWf
sunt semper inter se an]ualia; atquc ideo, quum termini progressionis
conslitutivi sint inter se tequales, nuila inter eos est ditîerentia qute
loluni in hoc negolio conficit mystcrium.

Demonstrationeni, qua probalur s|)atia in hyperbole communi paral-
lelogrammis contenta esse semper inter se ;«qualia, non adjunginius,
(|uiiin slatini jter se ipsa se prodat et ex bac unica proprietate, qu;v as-
serit in ea specie esse

ul r.E ad m, ila II\ ad GA,

l'acilliMic dcrivetnr.

Eadem ralione parabolœ omîtes ojiuiiito <iaadranlar, itec est ulla quœ
a// arlificio iiosircv imihodu ul fil m liYpcrhohs. possd esse immunis.

Unicum in parabole, si lubct, primaria et ApoUonianâ adjiciemus
exemplum, cujus exemple reliquat omnes, in quibuslibet in infinitum
parabolis, demonstrationes expedientur.

Sitsemiparabole primaria AGRC(/?i;-. i.'j3),cujus diameter CB, semi-
basis AB; sumptis autein applicatis lE, ON, GM etc., sit semper

m ([nadralum AB ad f|iiadralmii lE, ila recta RC ad CE,

et

ul quadraliini lE ad quadraliiin ON, ila rccla CE ad CN,

et sic in infinitum ex proprietate specifica paraboles ApoUonianye.

Intelliganlur, ex more metliodi, recla' B(], VA\, NC, J\IC, HC, etc. in
infinitum continue proportionales : eiun( cliain, ut superius probatum
est, proportionalia parallelogramma AE, IN, O.VI, GH, etc. in infinitum.
l't cognoscatur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN,
recurrendum ex methodo ad compositionem proportionuni.

METHODES DE QUADRATURE. 961

Componitur autem

ralio parallelogrammi AE ad parallelogrammuin IN
ex ratione AB ad lE et ex ralione BE ad EN.

Quum autem sit

iil AB quadratiim ad lE quadraUim, ita BC ad CE,
si inter BC et CE sumatur média proportionalis CV, item inter EC et

Fig. ,43.

NC média proportionalis Y(], eruiil continue proportionaies reeltc BC.
VC, EC, YC, NC et

sed
ergo

et

m BC ad EC, ita eiit BC quadralum ad VC quadralum

ut BC ad E(;, ila quadralum AB ad quadratum El :

ut AB quadralum ad El quadratum,
ita erit BC quadralum ad VC quadratum,

ut AB ad lE. ila erit BC ad VC.

Ratio igitur parallelogrammi AE ad parallelogrammuin IN compone-

tur

ex ratione BC ad VC, sive VC ad CE, sive EC ad YC,
et ex ratione BE ad EN, sive, ex superius demonstratis ( ' ), BC ad CE.

(M J-"oir plus haut la démonstration pour les liyperboles.

m-l (i:i VUES DE FERMAT.- I" l'AIlTIK.

ratio aiitem fjuîe componitiir ex liis (liial)iis ratioiiiliiis,

UC iH'iiipc ad CE, Cl CE ad CV
est eadeni qu;v ratio 15C ad CY : ii;iliir

parallelo^rammmii \\i est ad parallcloi^Mainniuio IN iil lU] ad \C,
\di'(H\uv. ex tiu'Oi'oiiiatc motiiodi coiistilutivo,
paralloldirramimiiii KM eiit ad (iguiain IliCHE iit recla 15^' ad rcctaiii Yt],

idcoque

iii idiMii parallelogrammuni \E ad lolam rii;iirani VIGHCB,
ila recta BY ad lolam diamcliuin \U].

Ut autem BY ad totain diametrum BC, ita, siimptà communi latitiidine
AB,

parallelogramiiiuiii suh \I5 in I5Y ad paralleiogramnnim sliIj \1? in BC,

sivc parallelograuumnii BD (diictà AD, diaineti'o paralielà, occiirrente
tangenti CD in D) : ergo

ut paralieiogramnium AE ad tulain tigiirain semiparaijolicam AU(]B,
ita parailelogrammum sub AB in BY ad parallelogrammum BU,

et, vifissim,

ut parallelogrammum \E ad parallelogrammum suh \B in BV,
ita ligura ad parallelogrammum BI).
Ll aulciii

parallelogrammum AE ad parallelogrammum suh AI? in I5Y,
ita, proplcr communem latitudineni,

recta HE ad BY;

ergo

ut BE ad BY, ila ligura ad parallelogrammum < BD >,

et, convortcndo,

ut BY ad BE, ita parallelogrammum BD ad figuram AHCB.

MÉTHODES DE QUADRATURE. 263

Est autem BY ad BE (^propter adsequalitatem et sectioncs minutissi-
mas, quofl roctas BV, VE, EY, intervalla proportionaliuin repraîseii-
tantes, fere inter se supponit «qualcs) ut 3 ad i : ergo

parallelogrammum 15D ad (iguram est ut 3 ad 2,

qua' ratio congriiit TETpaYcoviTij-û paraboles Archimedeo, licet ab co
geometrica proportio alià ratione fueiit usurpata; methoduiii autem
variare et diversain ab Archimode viam sectari necessuni habuimus,
quia sterilem proportionis geometricœ adqiiadrandas capteras in intini-
tum parabolas applicationem deprehensain iri, insistendo vestigiis lanti .
vii'i, non (liil)itamus.

Demonsti'atio autem et rea^ula; crcncrales ex nostra methodo fere in
omnibus oninino parabolisstatim patebunt : sit enim, ut nullusamplius
supersit dubitandi locus, parabole eadequa mentionem (ecii Bisscr/atio
nostra de linearum curçaru/n cuni lineis redis comparât inné ('), curva
AIGC {Jig. i44). cujus basis AB, diameter BC, et sit

ut cubus applicata; AB ad cubum applicala^ lE,
ita quadratum lectse BC ad quadratum recl;c EC,

et reliqua ponantur ut supra, séries nempe proportionalium rectarum

Fig. .il-

M-

>

-X

\o

•T

S

\t

R

\

-V

\

BC, EC, NC, 3IC, etc., item séries proportionalium parallelogrammo-
rum AE, IN, OM, etc. in infinitum.

( ' 1 T^oir plus liaut, page 217, ligne 1.

•2GV tlll \ni:S DE FERMAT.- 1" PARTIE.

Intel' BC et EC siiiiiaiilur diia' nu'diu- pi'oportionales VC, RC; itoiii
iiiter EC et CN siiniantiir ctiam duse média» proportionalcs SC, TC.
Constat, o\ ((iiislruclidiic, (|inini

ralio lîC, ;i(l (]E s'il eadeiii nilioiii l'A', ad \(],

fore quoqiie continue ])roporlionales rectas BC, \C, RC, EC, SC, T(^,
XC. Est aiiteni

iil A15 L'uliii^ ad ciiliiiiii 11'-, ila Rd i|iiadraluiii ad E(; (|iiadralum,
sive lecla RC. ad reclaiii N(j;

qunm autom sint, ut supra probavinius, septem continue proportio-
nalcs, BC, VC. RC, EC, SC, TC, NC, ergo prima, terlia. (juinta et sep-
tima erunt etiam continue proportionales, ideoque erit

RC ad RC Ml RC ad SC cl iil SC ad NC :
Ut igitur

prima lîC ad (|iiailam NC, ila cubus priiiiic BC ad cubiiiii seconda? RC.

Sed

iil BC ad NC, ila probavinuis esse ciiijum Ali ad cuIjiuu IE :

ergo

Ml cuiiiis A,R ad luhiiiii IE, ila cmIjus RC ad (111111111 1{C,

ideoque

m AR ad IE, ila BC ad RC.

Quum igitur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN
componatur

ex ralione AR ad IE et ex ralioue RE aii EN, si\e BC ad Ei;,
ergo eadem parallelogrammorum ratio coniponetur

ex ralione BC ad BC cl BC ad EC.

Ut autem

DC, jirima proporlionaliinn, ad EC (|iiaiiam,

ila R(' Icrlia ad T(; se\laiii :

MÉTHODES DE QUADRATURE. 265

ei'go parallelogramnii AE ad parallelogrammum IN ratio comjtonitur

exratione BC ad RC et RC ad TC,
hoc est

parallelogrammum AE est ad parallelogrammum IN ul BC ad TÇ.

Parallelogrammum igitur AE, ex prsedemonstratis, est ad tiguram

IGCE

ut rocfa BT ad TC,

ideoque

ut parallelogrammum AE ad totam figuram AICB,

ita recta BT ad rectam BC,

sive, sumpta communi latitudinc AB,

ita parallelogrammum suii AB in BT ail |iara!lelogrammum sub AB in BC ;

et, vicissim et convertendo,

parallelograimnuin BD est ad figuram AICB
lit paiallelogrammum siih AB in BT ad parallelogrammum suIj AB in BH,

sive, propter communem latitudinem AB,

ut recta BT ad rectam BE.

Recta autein BT continet qiiirKjLie intervalla : TS, SE, ER, RV, VB.
qu» inter se. propter nostraiii methodum logarithmicam, censenttir
îeqiialia; recta autem BE continet tria ex iis intervallis, nempc ER,
RV, VB : ergo

parallelogrammum BU est ad totam figuram in hoc casu ut 5 ad 3.

Canon vero universalis iiule niiljo negotio elicietur : pat('l nvrnpc fore
semper parallelogrammum BD ad figuram AICB ul aggregalum c.rpo-
ncntium polestatuin applicatœ et diametri ad exponentem poteslalis appli-
calœ : ut in hoc exemplo videre est, in quo potestas applicat;e AB est
cubus, cujus exponens 3; potestas autem diametri est quadratum,
cujus exponens 2 : ergo débet esse, ut jani demonstravimus et per-

Feriut. — I. 34

2(iC IKUVRES DE FERMAT.- l' PARTIE.

petiio conslabit, ut summa 3 et 2, hoc est 5, ad 3 exponentem appli-
oata'.

In hyperbolis autem canon non niinoii tacililatc invenictur univer-
salis : crit cnini soni|)or in (|iiacumque hyperbole, si recnrras ad }»ii-
inani tigurani {Jîg- i4-)' parallelogrammum BG ad figuram in infinilum
protensam RGKD /// differenlia exponenlhtm potcstalurn applicala' et dia-
niclri ad crponr/ilcin poteslatis applicalœ.

Fia:. 149..

A G H 0 M

Sif enim, exempli gratia,
\\[ ciiliiis HA ad cubum GA, ila quailiatuni (lE ad quadialum HI.

Dillerentia cxponentium cubi et quadrati (haîc est 3 et 2) erit i; ex-
ponens autem potcstatis applicata% hoc est quadrati, est 2 : ergo, in
hoc casu, parallelogrammum crit ad iiguram ut i ad 2.

Quod attinet ad centra gravitatis et tangentes tam hyperbolarum
(|uam parabolarum, inventio dudum, ex noslra Me/hodo de maximis et
minimis derivata, geometris recentiorihus innotuit, hoc est ante vi-
ginti, plus minus, annos ('); quod celebriores totius Gallise mathe-
matici non gravabuntur fortasse exteris indicare, ne bac de re in pos-
(erum dubitent.

Ex SLi'P.ADicTis mirum quantam opus tetragonismicum consequatur
accessionem : infinitte enim exinde figurse, curvis contentifi de quibus

(') y<nr plus liaut, page 171, note i.

MÉTHODES DE QUADRATURE. 267

iiiliil adluic nec vpteribiis nec novis geometris in mentoni vciiit, facil-
limam sortiuntur quadraturani; quod in quasdam régulas broviter
contrahemus.

Sit ciirva cujus proprietas det œquationem sequentem :

Bq.-~ II]. îequale Eq.

(apparet autem statim hanc curvam esse circulum); certuni est potes-
tatem ignotam, /i(7.,possereduci,pei'applicationeni seu parabolismum,
ad latiis.

Possumiis enim suppoiicrc

El]. iequari li in U,

quum sit liberum quantitatem ignotam U, in notam B ductam, aujuare
quadrato E otiam ignota\

Hoc posito,

Bq. — A<i. ;iM|aal)il(ir />iiit';

boniogeneum aiitcni B in U p\ tôt quantitatibus homogeneis componi
potest quot sont in parte œquationis correlativâ; iisdemque signis
hujusmodi homogenea debent notari. Supponatur igitnr

Ji in U œquai'i B in I ^ B in Y ;

ex more enim Vieta^o, vocales semper pro qiianfitatil)us ignotis snmi-

mus; ergo

Bq. — Aq. iE(|iialiii B\\\l — B\nY.

.4iquentur singula membra partis unius singiilis membris partis al-

terius : sit nempe

Bfj. œquale />' in /;

ergo dabitiir

/ ipqnalis Bt.

iEquetur deinde

— Aq., — B\n y,

boc est

\q.. //in F;

iliS (EUVUES 1)K FERMAT.- 1"= PARTIE.

cri! rxlifimiiu |Hiiu'tuni vccUv l'ad pai'abolcn primariam. Omnia ii^itiir
in hoc casii ad ijiuulratum l'cdiici possuiil, ideo(jiit', si oniiiia /î qua-
(/ra/aad rectam lineam datam applices, fietsolidum roctilincum datuin
et eognitum (' ).

Proponatur dcindc curva cujiis lupc sit aîquatio :

Ic.-i- /? iii I7. itciualis Ec.

Kc. applicL'tur ad planuni datutu et sit, verbi gratia, lequalis Ihj. in U.

Quia autem recta U ex pluribiis quantitatibus ignotis componi potest,

sit

.le. -4- /Mn -I7. lequalis lirj.m l + Hq.m Y.

jEquentur singula inter se mombra, hoc est

Ac. œciiietur ]>tj.\nl;

orietur Inde parabole sub cubo et latere.
.Equetur dcinde

HmÀq. secundo nicmbro Bij.'inV;

orietur inde parabole sub quadrato et latere, hoc est primaria.

Quadrantur autem singulse ex bis parabolis; ergo aggregatum E cu-
boriim ad rectam datam applieatorum producit planoplanum quantita-
tibus cjusdem gradus rectilineis commode œquandum.

Si sint plura in œquationibus membra, imo et sub plerisque utrius-
quc quantitatis ignota? gradibus involuta, ad eamdem ut pkirinuim
mefhodnni, rednctionum legitimarum ope, poterunt aptari.

Ex bis patet, si in priori tequatione, in qua

Rf]. — Al/. ;eqiiaviiniis /;''/.,
( ' ) C'est-à-dire que, si l'on a

e2= /;2 —

a',

r''

et que b, par exemple, soit la rcrin luwa ilain, I c- du est une quanlilé (du troisième

degré) que l'on sait déterminer. C'est dans le môme sens qu'il faut Miter)in''l('r les expres-
sions analogues qui sulveni.

METHODES DE QUADRATURE. 269

loco ipsius Eq., ponamus BinU, posso nos aggregatiini oinniiiin C,
ad rectam datani applicatariim, considerare tanqiiam planiim et qua-
drare : oinnes enim U nihil aliud sunt quam oinnia Equadrata divisa
per D rectam datam.

Item, in secunda aHjuationc, onines U nihil aliud sunt quam ouines
E cuhi divisi per B quadralum datum.

Igitur, tam in prima quam in secunda figura, omnes U faciunt figu-
ram sequalem spatio rectilineo dato.

Hoc autem opus fit per syna;rosim et expeditur, ut patet, per para-
bolas; sednon minus quadrationum ferax est opus per diseresim, quod
per hyperbolas, aut solas aut parabolis mixtas, commode pariter expe-
ditur.

Proponatur, si placet, curva ab œquatione sequenti oriunda :

Bcc.-\-Bqc.\nA+Acc. ,. „

'-j aequalis Eq.

A qq. ' '

Ex jam suppositis Eq. potest fingi ;equale B in i\ sive, ut tria liinc
et inde membra sint in utraque parte sequationis.

B\nU poteslœ(|iiari /> in ''^ + />' in /-i- // in F.
Quo peracto,

Bec. -\- Bqc. ia A + Ace. .. „■ ,i ci i, v

^ aeciuabitur B\{\0 + B\nl -y- BuiT,

Aqq. '

et, œquando singula membra singulis,

^cc. , . „ . ^ ,

-; œ(iualjitur B\i\0:

Aqq.

et, omnibus in Aqq. ductis.

Bec. œquabitur Aqq.'m B\n 0;
et, omnibus abs B divisis,

Bqc. œquabitur Aqq.\\\0,
quœ est sequatio ad unam ex byperbolis, ut patet : *quationes enim

270 ŒUVRES DE FERMAT.- I'^" PARTIE.

liv|)c'i'l)ularuni (.'onslitiUiv;o coiitiiu'iit, ox iiiia parte, quantitateiii da-
tam: ex alia vero, id quod Ht snh potestatibus duarum quantitatum
ignotarum.

Secundiim mcmhriim a'qualionis dal

li(/c. in A . liiic. ,,■ ,

— '-i sive — r — iPriiialis li\\\l,

A qq. A c.

et, omnibus in Ar. diiclis et abs />' divisis, tit

rtqq. ipqnalo Ar. in /,

qua* est «quatio alterius hyperboles a prioïc diversae.
Deniqiic tertium niembriini est

— — -^, Iioc est Aq. œciuale JJinV,
Aqq.

quae est sequatio ad parabolen.

Palet itaque in praecedente sequatione omnes U ad rectam datani
applicatas sequari spatio rectilineo dato : summa enim duarum hyper-
bolaruiii quadrationi obnoxiarum et unius paraboles dat spatium
anjuale rectilineo vel quadrato dato.

Nihil autem vetat quominus singula membra numeratoris separatim
denominatori applicemus, ut jam factum est : eodem enim res recidit
quo si intcgrum numeratorem ex tribus menibris compositum eidem
denominatori semel applicemus. Ita enim singula sequationis mombra
singulis bomogenei correlati possunt commode comparari.

Proponatur etiam

JJr/c. \n A — Bec. ,,

— i aMiiuii'i /if.

Ac.

Fingatur Ec. aequari Uq. in U, sive, propter duo membra bomogenei

correlati,

/tq. in / - /Iq. in y.

Fiet

/ir/c. in A . Il (II-. ,. u ■ I

— '—, sive — r^ — iciiualis Hq. in /,

Ac. Aq.

MÉTHODES DE QUADRATURE.

et, omnibus in Aq. tluctis et abs Bq. ilivisis, tiet

Bc. œqualis .I7. in /,
quifi estsequatio ad unam ex bypcrbolis quadrandis.

Ponalur ileinde secundum homogenei membriuii

271

Bec.
Ac.

sequari Bq. in Y.

Igitur, omnibus in ^r. ductis et abs ^fy. divisis, liet

Bqq. fequalc - 1 c. in Y,

qua; est aîquatio unius ex hyperbolis quadrationi obnoxiis consti-
tntiva.

Datur igitur, recurrendo ad primam sequationein, in rectilineis
summa omnium E nihoru/n in hac specie ad certani rectam datam ap-
plicatorum.

Sed et ulterius progredi et opus tetragonismicum promovere nihil
vetat(').

Sit in ([uarta figura {fig. i45) curva qusclibet ABDN, cujus basis HN,

Fig. .',5.

dianieterHA, applicat* ad dianietrum CB, FD, et applicalœ ad basim
BG, DE; et decrescant semper applicalge a base ad verticem, ut bic HN
est major FD et FD major est CB et sic semper.

C) Ce qui suit correspond à renseignement de l'intégration par parties et de l'intégra-
tion par changement de variable.

■2-î ŒUVRES DE FERMAT. - 1™ PARTIE.

Figura coniposita ex quadratis HN, FD, CB ad rectani AH applicatis
(hoc est solidiiiii sul) CB quadralo in CA et sub FD quadrato in FC et
sub NH (juadrato in HF) a^quaFis est semper figurae sub rectangulis BG
in GH, l)K in EH, bis sumptis et ad basini HN applicatis (hoc est solide
sub BG in GH bis in GH et sub DE in EH bis in EG) etc. utrimquo in
infinitum.

In reli(|uis autem in infiniUim potestatibus, eâdem f'acilitate fit re-
dudio bomogeneorum ad dianietrum ad homogenea ad basim. Quœ
observatio curvarum infinilarum hactenus ignotarum detegit quadra-
tioncni.

Omnes enim cubi HN, FD, CB, ad rectam AH similiter applicati,
a'quales sunt aggi'ogato productorum ex BG in GH quadratuni et ex DE
in EH quadratum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum et
ter sumptornm : hoc est planoplanum sub CB cubo in CA et sub DF
cubo in FC et sub HN cubo in HF a^quatur summa' planoplanorum ex
BG in GH (piadratum in HG et ex DE in EH quadratum in EG, ter
sumpla'.

Aggregatum vero quadratoquadratorum HN, FD, CB ad rectam AH
applicatorum œquatur quadruplo summse planoplanorum sub BG in
GH cubum et sub DE in EH cubum, ad rectam HN, similiter ut supra,
applicatorum.

Inde émanant infinitse, ut statim patebit, quadrature.

Estocnim, si placet, curva illa ABDN ejus natura; ut, data base HN
et diametro HA, diameter data AH vocetur in terminis analyticis B,
ipsa vero HN, basis data, vocetur D, quœlibet applicata FD vocetur E
etqua-Iibet HF vocetur A; et sit, verbi gratia, «quatio curv* consti-
tutiva

Bq. — Al/. ;e(|iial(' /i'y.,

<|Uod in circulo ita se habet.

Quum crgo, ex predicto theoremate universali, omnia Ji (juadrata
ad rectam li applicata sint œqualia omnibus productis ex HG in GB
< bis sumptis et > ad basim HN sive ad D applicatis; sint autem

MÉTHODES DE QUADRATURE. 273

omnia E quadrala, ad B applicata, aequalia [spatio] (') rectilineo dato,
ut superius probatiim est : ergo omnia producta ex HG in GB, bis
sumpta et ad basim D applicata, continent [spatium] rectilineum da-
tiim. Ergo, sumcndo diinidium, omnia producta ex HG in GB ad
basim D applicata erunt œqualia [spatio] rectilineo dato.

Ut autem facillima et nullis asymmetriis involuta tiat translatio prio-
ris curvœ ad novam, ita conslanti artificio, quœ est nostra metbodus,
operari debenius.

Sit quodlibet ex productis ad basim applicandis, HE in ED. Quum
igitur FD sive HE, ipsi parallela, vocetur in analvsi E, et FH sive DE,
ipsi parallela, vocetur ^4, ergo productum sub HE in ED vocabitur E
in .1. PonaUir iilud productum E\n A, quod subduabusignotis et inde-
finitis rectis comprehenditur, œquari B in U, sive producto ex B data
in f/ignotam, et intelligatur EP, in directum ipsi DE posita, sequari U.

Ergo

B\nU

— = — sequaliilur A.
E

Quum autem Bq. — Aq. œquetur, ex proprietate specifica prioris
curvœ, ipsi Eq., ergo subrogando, in locum A, ipsius novum valorem

BinU

E '
fiet

Bfj. in Eq. — Bq. in Vq. sequale Eqq.,

sive, per antitbesim,

Bq.\x\Eq. -— Eqq. œquale Bq. in Vq.,

quae est sequatio novse HOPN curvse ex priore oriundse constitutiva, in
qua, quum omnia producta ex B in f/dentur, ut jam probatum est, si
omnia ad B applicentur, dabitur summa omnium Z7ad basim applicata-
rum, hoc est, dabitur planum HOPN < in > rectilineis, ideoque
ipsius quadratura.

(') 11 faudrait solido. Le mot spatio a pu être écrit par inadvertance ou ajouté à tort sur
l'original. De même jiour les répétitions spatium et spatio qui suivent.

FCRMAT. — I. 35

274 ŒUVRES PK FERMAT.- l" P\RTIE.

Sit. sexuiidi exempli !j;ratia, sequatio prioris curvae constitutiva

/)'iii le/. - le. ,T;qiiaI(î Ec.

Siimma omnium E cuhorum ad dianiclriim li applicatonim dabitur,
ideoqiie siimma omnium productorum ex quadratis HE in ED ad basim
applicatorum. Productum autem ex HE quadrato in ED fit, in terminis
analyticis, Eq. i/i A, quod fingatur aequari Bq. in U, et recta EP, ut
supra, sequatur U. Ergo

— '-= aNiiiaiJilui' A.

Eq.

Si igitur, in locuni A, subrogemus jam agnitum illius valorem

Bif.in U

o[ omnia juxta Analyseos prsecepta exsequanuu", fiet

Rfjc. in 6' 17. in Eq. — Eccc. œquale Bec. in de,

quœ est aequatio novae HOPN curvae ex priore oriundae constitutiva, in
qua, quuin omnia producta Bq. in U ad basim Z) applicata dentur, om-
nibus per Bq. dalum divisis, dabitur summa omnium U ad basim D ap-
plicatarum, ideoque quadratura figurae HOPN.

Et est generalis, ad omnes omnino casus extendenda in infinitum.
methodus. Notandum porro et accurate advertendum in translationi-
bus curvarum, quarum applicatae ad diametrum versus basim decres-
cunt, aliam omnino viam analystis ineundam, a praecedenti diversam.

Sit enini in quinta figura (/ig. t4^) prior curva IVCBTYA, cujus
diameter AI. applicata; MV, NC, OB, PT, QY, et ejus curvae ea sit
natura ut applicatte versus basim semper decrescant, donec ad basim
perveniant, ita nt MV sit minor quam NC; rursus autem ita curva ver-
sus A, per tramitem CBYA, inflectatur, ut CN sit major quam BO, BO
major quam PT, PT major quam OY, etc.; ita ut omnium applicatarum
maxima sitCN.

Si in hoc casu quaeramus translationem quadratorum MV, NC ad

MÉTHODES DE QUADRATURE. 275

basiia, ea non comparabimus productis sub IR in RV, ut supra, quia
jam, ex theoremate generali, suppositum est omnia quadrata MV, NC
sequari productis sub VG in GN, quuni CN, maxima applicataruni,
possit et debeat considerari ut basis respecta curvae cujus vertex I.

Fig. .46.

~~~~^~^^

Y

F

a

y

V

Quadrata igitur MV, NC, in curva quaruni applicatae decrescunt ver-
sus basim, comparabuntur in boc casu productis < ex > GV in GN,
lioc est, ut ad terminos analyticos sequatio in bac figura perveniat, si
MI vel RV vocetur .4, et ipsa MV sive RI vocetur E, ipsaque CD sive GR
(quse ductae, per terminum maximœ applicataruni, ipsi diametro pa-
rallelae, est sequalis ideoque facile ex nostris metbodis invenienda)
recta' datœ Z œqualis supponatur, fiet

productum ex GV iiiGN tequale prodiiclo ex Zin £■ - .4 in £",

ideoque omnia quadrata MV, NC, usque ad maximam applicatam,

comparabuntur productis

Z\\\ E — A in E

ad basim ID applicandis.

Reiiqua vero quadrata CN, BO, PT comparabuntur productis ex YF
in FN, quœ in terminis analyticis œquivalebunt

A in/? — Z\n E.

Quibusita stabilitis, facillime ex priore c^urva nova versus basim de-
rivabitur, idemque in aliis omnino applicatarum potestatibus erit
observandum.

Ut autem pateat novasex nostra bac metbodo emergerequadraturas.

•276 ŒUVRES DE FERMAT. - l - PARTIE.

(le quibus noaduni receiitioriuii quisquam est alupiid subodoratus,
proponatur pr;vccdens riiiva, cujus aequatio

Ih/C. ill I — /)('(•,

.le.

aequalis Ec

Dantur omnes E cubim rectiliiieis, ut jam probatum est. Quibus ad
basim translatis, tiet, ex supcriori methodo.

B<]. in V

—Ëq:

ipquale

et, omniluis scciiiiduni artem novo ipsius A valori accommodatis, eva-

det tandem nova aequatio quse dabit curvam ex parte basis ; cujus

aH]uatio dabit

Ec. -\- Uc. ?equalis B in E \n U,

quseest curva Scbotenii ('), cujus constructionem tradit in Sectione 25
Miscellanearum. pag. 493. Figura itaque curvœ AKOGDLA (Jig- i47)
quse apud ill uni autorem delineatur, ex superioribus prœceptis qua-
drationem suani commode nanciscetur.

Notandum autem ex curvis, in quibus aggregatum potestatum ap-
plicatarum datur, formari non solum curvas ad basim quadrationi
obnoxias, sed etiam alias curvas ad diametrum facile quadrandas.

P) Francisci a Schooten F.xercitntioimm Mathematicariim lihri quiiiqiie (Leyde, Jean
Elzevir, i65-). La /î;;. liy est reproduilo d'après Sclioolcn, qui donne sur cette courbe,
d'après .1. Ilnddo, une construction de la plus grande largeur KL. Il est singulier que ni
Schooten ni Fermât n'aient fait mention de Descartes comme ayant proposé le premier
celle courbe, à laquelle Roberval donna le nom de galand (nœud de ruban) et qui est
ordinairement désignée maintenant sous celui do foliiim de Dacartcs.

MÉTHODES DE QUADRATURE. 277

Si enim in quarts figura {fig- i45) supponatur aequatio curv* con-
stitutiva, ut superius diximus,

Bq. — Aq. fpquale Eq.,
non solum ex ea derivabitur nova curva ad basini, cujus aHjuatio est

Bq. in Eq. — Eqq. .'pquale Bq. in Vq.,

sed etiam nova curva ad diametrum, sequando potestatem applicatœ,

qua; est Eq., producto B in U.

Dabuntur enim omnia producta B in f/ ad diametrum applicata e(,

omnibus pcv B divisis, dabuntur omnes f/diametro applicata?, idcoque

quadratura curvae novae ex priore versus diametrum oriundae, cujus

aiquatio erit

Bq. — Aq. œquale BinU;

unde statim apparet novam illam curvam versus diametrum esse para-
bolen.

Hujusmodi autem transmutationum beneficio, non solum ex priori-
bus curvis oriuntur novae, sed itur, nullo negotio, a parabolis ad byper-
bolas et ab hyperbolis ad parabolas, ut experientià constabit.

Sicut autem a curvis, in quibus dantur potestates applicataruni, lit,
praecedentis ope analysées, translatio ad curvas, in quibus latera ap-
plicatarum in rectilineis dantur, ita ex curvis in quibus dantur latera
applicataruni, devenitur facile ad curvas, in quibus potestates appli-
cataruni dantur.

Cujus rei exemplum csto curva, cujus aequatio

Bq. in Eq. — Eqq. irquale Bq. in Uq.

I-n bac enim aequatione, ut jam probatum est, dantur omnes U. Po-

natur

,, ,. AinE

U œqnalis esse — ji — ,

et, subrogando in locuni ipsius U, novuni ipsi assignatum valorem,
A in E

. j fiet

Bq. in Eq. — Eqq. œquale Aq.mEq.

378 ŒUVRES DE FERMAT. ~ V" PARTIE.

et. omnibus abs Eq. divisis, remanebit

B<]. — E(]. a^qualo Atj.

sive

Rq. — .-!'/. a'qiialc Er/.

Dabiintiir ij^iUir in hac nova ciii'va, quain apparet esse circulum,
cm nia F. quadrata.

Onotl si, ex prima ciii'va in qiia dantiir latera applicatai'um, qu.Tra-
tnr nova in qua dentur cubi applicalariim, eâdem methodo utendum,
modo poteslates ignotarum conditionarias usurpemus.

Proponaturenim cni'vaquam superius ex alia deduximns, et sit illius

a^quatio

Iti]c.\n Urj.m Eq. — Eccc. peqiialis Bec. in Uc.

Pi'obatum est in illa dari aggregatuni omnium U, hoc est, latera

applicatarum. Ut itaque ex eâ nova curva derivetur, in qua omnes cubi

applicatarum dentur, ponatur

,, . Eq. in A

U œniiaii ' — ,

fjq.

et in locum U substituatur novus iste quem ipsi assignavimus valor,
fiet tandem, operando secundum prsecepta artis, œquatio

inter BinAq. — Ac. et Ec,

quse dabit curvam in qua omnes Ec, cubos applicatarum représentan-
tes, dabuntur.

Ex hac autem methodo non solum dantur et inveniuntur quadratio-
nes intinita", nondum geometris cognita^ sed niultœ etiam pariter infi-
nita* deteguntur curvae, quarum quadraturae, supponendo simpliciores
quadraturas, ut circuli, ut hyperboles, utaliarum, expediuntur.

Exempli gratia, in ;equatione circuli, in qua

Bq.—Aq. a^(]iialiir Eq.,

dantur quidem in rectilineis omnes applicatarum potcstates, quarum
exponentes signantur numéro pari, ut oninia quadrata, omnia quadra-
loquadrata, omnes cubocubi, etc.; sed potcstates applicatarum, qua-

MÉTHODES DE QUADRATURE. 279

rum exponentes signantur numéro impari, ut omnes E ciibi, omnes
E quadratocubi, dantur tantum in rectilineis, supponendo ipsam cir-
culi quadraturam. Quod non est operosum demonstrare et in praxin
reiligere, fanquam corollarium methodi praecedentis.

Plerumque aufem usuvenit ut iterandae vel bis vel etiarri ssepius sint
operationes ad inquirendam curv;e propositae dimensionem.

Proponatur, exempli gratia, curva cujus sequatio sequens speciem

détermine! :

Bc. œqiialis Aq.m E -^ Bq.m E.

Si dantur omnes E, ergo dantur omnia sub recta data {B videlicet)
in £■ rectangula. Rectangulum B in E, invertendo superiorem, de qua
egimus in principio Dissertationis, metbodum, a-quetur quadrato,

Oq. Ergo

Oq.

—~- œquabilur E

D

et, substituendo, in locum E, novum bunc ipsi assignatuni valorem,
tiet

Bqq. œquale Aq.\n Oq. + Bq.\n Oq.

Et baec sit prima operatio, quœ est inversa ejus quani initio bnjns
Dissertationis prsemisimus, et qu;e novam curvam cxprimit, in ([iia
inquirendum restât an dentur omnia Oq. Recurrendum igitnr ad se-
cundam metbodum, cujus beneficio ex quadratis applicatarum latera
novae curvae inquirimus.

Ponatur ^ . ex superiore quam secundo loco exhibuimns nie-
tliodo, aequari .4 et, substituendo, in locum .4, ipsi jam assignatum ex
nostra methodo valorem, fiet

Bqq. — Bq. in Oq. aequale Bq. in Uq.

et, omnibus per Bq. divisis, evadet tandem

Bq. — Oq. aequale Uq.,

quœ aequatio dat circulum, et in ea omnes t' dantur, supponendo qua-
draturam circuli.

280 ŒUVRES DE FERMAT.- 1° PARTIE.

Reciirremlo igilurad priorem ciirvam, in qua

Bc. paiiilur UH]iiari .1 7. in E + liq. in E,

pâlot spatiiim al» ca cui'va oriundum pcr quadratiiram circuli possc
quadrari, idquc piM- diias ciirvas a priorc diversas analysis nostra bro-
vitcr et facile cxpedivit.

Ha^c vero omnia el ad invendonem rectarum curvis sequalium et ad
ploraque alia non satis liaetenus indagala probleraata inservire statiiii
cxperiendo àyyîvouç analysta deprchcndet.

Sit in scxta figura {fig. \l\%) parabole primaria ADB, cujus axis CB,

KO S

,.',8.

1/

îf

R

V

^ V

j

X

D

/H

M

9

applicata CD aequalis axi CB et recto lateri BV, fiantque BP, PL, LG
singula? œquales axi CB et ipsi in diroclum. Snniatur in curva quodvis
punctum, ut F, et, datis infinitis BX, PS, LO ipsi CD parallelis, ducatur
FXSOK parallela axi, occurrens rectis < BX >, PS, LO in punctis
< X >, S et 0; et fiât ut summa rectarum FX, XS sive

lit iota FS ad .80, ita SO ail OK;

et, sumptis similiter punctis D, E, fiât

ul DR ad RN, ita RN ad NI,

nt EQ ad QM, ita QM ad MH;

et

et intclligatur curva infinita per puncta G, H, I, K etc. incedens, cujus

asymptotes erit recta infinita LO.

Curva htec GHIK est ea cujus species a superiori aequatione determi-

natur, in qua

Bc. aequatur Aq.mE -^ Bq.'xwE.

MÉTHODES DE QUADRATURE. 281

Aio itaque, ex jam tradita operationum analytica iteratione, spatium
KIHGLMNO, in intînitum versus puncta K, 0 extendendum, a^quale
esse circulo, cujus diameter est axis BC, < bis siimpto >.

Hanc vero quaestionem, ah erudito geometra iiobis propositam, ita
statini expedivimus : eadem methodo spatium a Dioclea comprehen-
sum quadravimus, vel ad circuli quadraturam reduximus (' ).

Sed elegans imprimis operationum iteratio evadit, quum ab altiori-
bus applicatarum potcstatibus ad dcpressiores, vel contra a dcpressio-
ribus ad altiores, analysis ipsa transcurrit : cui methodo prsesertim
debeatur inquisitio summa; applicatarum in quacumque curvâ propo-
sitâ, et multa alia problemata tetragonismica.

Proponatur, vorbi gratia, curva cujus sequatio

Bcj.—Acj. œqiiale Eq.,

quam statim apparet esse circulum. Quœritur summa cuborum appli-
catarum, l\oc est, snmmyi E cuborum.

Si dantur omnes E cubi. ergo, per pra^cedentes secunduni potesta-
tis conditioneni methodos, ex ca curva potest alia ad basim (h^rivari.
in qua dabitur summa applicatarum. Ponatur igitur ex methodo

Bn.\nO

— T=i œquari A :

Eq.

ergo, substituendo, in locum .1, jam assignatum ipsi valorem, fiet ex

methodo

Bq. in Eqq. — Ecc. œqiiale Bqq. in Oq.,

qu3B est aequatio curvae, in qua omnes O dantur ex suppositione quam
fecimus, in prima curva dari omnes E cubos.

Quum igitur in hac nova curva omnes 0 dentur, ex ea derivetur ter-
tia, in qua quserantur quadrata applicatarum, non vero cubi, ut in
priore curva jam suppositum est. Fingatur igitur ex nostra, quae in

(•) Voir le fragment qui suit le présent Traité. Quant à la question qui précède, on
ignore quel géomètre l'a proposée à Fermai.

Fermât. — I. 36

282 Œl VUES DE FERMAT. - I« PARTIE.

quadratis, ut jaiii supra dixiuuis, usui'patur, methodo,

E in i/ ■ ^

— j- — aM|ti;ni (/:
ri

ergo

B (/.in fi </r/. — E ce. ;e(iual)itui' Bq.'m Eq.'m Uq.

et, omnibus abs £'17. divisis, fiot

//«/. in Eq. — Eqq. a;(|uale Bq. in Uq. ;

et in hac curva omnia E quadrala dantur.

Si igitur ox bac curva quœranius aliam in qua omnes applicatse den-
tur, ponalur, si placct,

Eq. aequale B in Y :

ergo, in ultima bac a?quatione,

B\nY~Yq. :Pf|iial)itur Uq.

et, quuai in superiore dentur omnia E quadrala, dabuntur in ista
omnia rectangula B in }', ideoque omnes Y.

Quuni ergo omnes }' dentur in bac ultima curva, qu;e est circulus,
ut patet (igitur eâ tantum conditione dantur, si supponas dari circuli
quadraturam), regrcdicndo igitur ab bac ultima, in qua desinitnostra
analysis, curvâ ad priorem, pâlot omnes applicatarum ad circuluni
cubos dari, supponendo circuli quadraturam.

Idem de ([uadratocubis, de quadratoquadratocubis et ctetcris in infi-
nitum gradùs imparis potestatibus demonstrare est in promptu; sed
mulliplicatur numerus curvarum, prout altior est, de qua inquirimus,
potestas.

Nec est difficilis ab analysi ad syntbesin et ad verum quadranda?
figura calculum régressas.

Ssepius autem contingit et miraculi instar est pcr plurimas numéro
curvas incedendum et oxspatiandum esse analysta;, ut ad simplicom
îequationis localis proposita; dimensioncm perveniatur.

METHODES DE QUADRATURE. 283

Proponatur, excmpli causa ( ' ),

IV iii 1 — n^ . „
-j^; œquari t q.

Quum supponatur clari quadratura figura^ c\ liac fcquatiorio oi'iuii(la>,
dabuntur omnes A, ergo omnia BinA, quae si seques quadrato ignoto,
Oq., dabuntur omnia Oc/., et

A ïequabitur -7^-

idooque fiet anjuatio

inter j^^ et t q.

E\ bac nova curva, alià niethodo de qua loties egimus, deducetur
tertia in qua, quia dantur omnia O quadrala, ponatur

BmU . „

— y: — œqiiari L :

ergo fiet sequatio

/y» in 0(7. —/y-
uiler ^f^ et Uq.,

unde deducetur tertia curva (-), in qua dabuntur omnes O, iik'oque

omnes U.

Si dantur omnes U, ergo ex prima methodo dantur omnia su!) /i i/i U

rectangula. Sit

B\n U œqualo Vq.,

('; Pour ce qui suit, jusqu'à la (in du Traité, on a reproduit la notation cxponcntiollo
telle qu'elle se trouve dans les Varia, où d'ailleurs elle n'apparaît pas plus tôt. Il est
ce|)cndant douteux que Fermât, après avoir affecté jusque-là de conserver la notation do
Viète, l'ait abandonnée sans faire une remarque analogue à celle qu'il a inscrite dans un
Traité de la môme époque {voir plus haut, p. 127, lignes 4 à 6 en remontant) pour une
occasion où l'emploi des exposants s'imposait davantage à lui; il est surtout douteux qu'il
ait appliqué ici la nouvelle notation aussi systématiquement que rindi([uoraienl les Varia.
En outre, dans cette fin du Traité, on peut soupçonner d'autres remaniements du texte.
Voir la note qui suit-

(■■') Les Varia, au lieu de tertia, portent qunrta; tous les noms de nombre cpii suivent,
et qui sont inscrits en italiques dans le texte, sont de même augmentés d'une unité. On
peut admettre une inadvertance de Fermât; mais il est également possible que sou texte
ait été corrigé à tort et mémo défiguré |)ar l'addition de gloses dont l'auteur aura voulu
numéroter successivement les différentes courbes dont il est question.

•28i ŒUVRES DE FERMAT. - 1° PARTIE.

ideoquo

-T^ îpqiiabitur U,

et tiet a-quatio

inkM- ^^ Cl y\

unilo or'\c{m' (/iiarUi ourva, in qua dabuntur omnia Y (juadrata.
Kx illà, solità inethodo, dcducatur alla cui'va et liât

Ii\n[

— zçr- requalis ().

Omnibus sccundiim pra'cepta Analysées peractis, fiet
/)'• iii J ' iii lij. — /)'* in F" œqualo /'»,

unde orietur quinta curva, in quà dabuntur oninos Y, ideoque onines /.
Ex ea, contraria quam jam ssepius inculcavimus metbodo, qua^ratur
alia curva in qua dentur quadrata applicataruni, et sit

— j— œqualis Y

(niliil enim vetat dofectu vocalium ad priores supra usurpatas recur-

rere); fiet

Bq-'m f'— f' œquale /l(j\nP,

unde orietur curva seœla in (jua omnia I quadrala dabuntur.

Reducantur ad latera, nota et sœpius iteratâ superius metbodo, et

tint

fq. ;oquale Jt in E :

ergo omnia BmE dabuntur et inde deducetur septima curva, in qua

/.V/. in --!*— 4^ œqual)ilur /l''ii\/iq.,

in caque dabuiitui' omnes l'J, ideoque omnes A.

Kx ea deducatur alia curva, in (|ua dentur quadrata applicataruni, et

ex metbodo ponatur

A in O

— y- — œquaii A :

METHODES DE QUADRATURE. 285

ergo

Bq. in À'^— A^ œquabitur Bcj. in Âq. in Ocj.

et, omnibus abs Aq. divisis, fiet a^quatio

intcr Bq.'inAq. — A* et Bq.mOq.,

in qua omniayl quadrala dabuntur et erit octava curva ab ea aequationo
determinata.

Quum igitur in ea omnia A quadrala dentur, dcducatur ex cà alia
tandem curva, in qua dentur latera, et sit

Aq. a?i|uale B\n U;

tiet

B in U — Uq. œquale Oq ,

quœ ultima aequalitas dabit nonam curvam, in qua omnes U dabun-
tur.

At hsec ultima curva e.st circulus, ut patet, et in ca omnes U non
dantur, nisi supposita circuli quadratura : ergo recurrendo ad primam
curvse propositse constitutionem, dabitur illius quadratura, suppo-
nendo ipsam ultima; istius curvœ sive circuli quadraturam. Beneficio
igitur /zore//2 curvarum inter se diversarum ad notitiam prioris perve-
nimus.

<DE CISSOIDE FRAGMENTUM> (''.

Esto cissoisEAPS(^^. 149) in semicirculoLVABE, cujusccntrum H,
diameter LE, perpendicularis ad diametrum radius HA, asymptotos
infinita cissoidis recta LR ad diametrum perpendicularis.

Aio spatium contentum sub EL, cissoide infinita EAPS et asymptoto

(') Fragment publié par M. Cii. Henry {Pierre de Carcavy etc., p. 38-4o), d'après
lo manuscrit do la Bibliothèque de Leyde, fonds Huygens, n° 30. U suit la lettre de Carcavi
à Huygens du i" janvier 1662, et porte comme titre : De M. de Carcavy, qui l'avoit de
M. de Fermât, avec la remarque de Huygens : « J'ay demonstré cette Proposition 4 «nv
auparm'ant. » La copie ne paraît pas très fidèle.

286 ŒUVRES DE FERMAT. - I™ PARTIE.

infinila LR, esse triplum seniicirculiLAE, ideoque, si altéra semicirculi
parte eadem liât constructio, ambo spatia culminantia in puncto E esse
tripla totius circuli.

Demonstratio non est operosa, imo satis elegans.

Sumantur duo puncta I ot G in diametro, utcumque ?equaliter a
centro distantia, ita ut rectte HI, HG sint aequales, ideoque recta; Ll,
GE. A punctis 1 et G excitentur perpendicularos occurrentes cissoidi

Fig. l'ij).

R

V

/'^ X

A
\ N.B

N

/

\

\/

\

C

M/

/

/

/

0 \

2 /\ ^

\

Y

N,

LK.

FE

in punctis P, Y et circulo in punctis V et B. Jungantur radii HV, HB et
a punctis V et B ducantur tangentes VM, Bl), occurrentes diametro in
puncti*M et D. Sumatur minima quaivis, ultra punctum I. recta IK et,
ultra punctum G, recta GF ipsi IK a>qualis, et a punctis K et F exci-
tentur perpendiculares ad diametrum rectœ KN, FC occurrentes tan-
gentibus in punctis N et C, a quibus demittantur perpendiculares NO,
CQ in rectas VI, BG.

His ita constitutis, patct spatium cissoidale œquari omnibus rectan-
gulis sub PI<in>IK et sub YG < in > GF, utcumque ubilibet
sumplis, bases ipsis Kl, GF squales habentibus et altitudines an-

MÉTHODES DE QUADRATURE. 287

gulis l'ectis ad cissoidem similiter applicatas. Est autem, ex natura

cissoidis,

ut VI ad lE, ila lE ad IP;

sed lE est a?qualis rectis IH et HE sive HV : ergo est

ut IV ad summam rectarum III, HV, ita lE ad IP.

Sed, propter similitudineni triangulorum HVI, VMI, VNO, est

ut IV ad summam rectarum HI, HV,
ita recta NO ad summam rectarum NV, VO :
ergo

ut NO sive Kl est ad NV plus VO, ita est recta lE ad rectam IP.

Rectangulum igitur sub IP << in > IK asquatur rectangulo sub lE in
NV plus rectangulo sub lE in VO.

Ex alia autem parte, est, ex natura cissoidis,

ut BG ad r.E, ita GE ad GY;

sed GE est jequalis rectœ HE sive HB minus HG : ergo est

ut BG ad BII minus HG, ita GE ad GY.

Ut autem BG ad BH minus HG, ita, propter similitudineni triangulo-
rum, ex jam demonstratis,

recta QC sive GF est ad BC minus BQ,

ideoquc rectangulum sub YG in GF a>quabitur rectangulo sub GE in B(',
minus rectangulo sub GE in BQ.

Ex constructione autem, quum rectse HI, HG sint œquales, item
rectae Kl, GF, patet reliquas aequari, nempe VN ipsi BC, YO ipsi BQ ;
unde patet duo rectangula correlativa, sub PI in IK et sub YG in GF sive
in eamdem IK, sequalia esse rectangulis sub lE in NV, plus GE in B(]
sive LI in NV, plus lE in VO, minus GE in BQ sive in VO. Rectangula
autem duo sub lE in NV et sub LI in NV œquantur unico rectangulo
sub diametro LE in NV; rectangulum vero lE in VO minus GE in VO

288 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.

a'quadir roctangulo sub !('■ in VO sivc roctangulo sub IH sive VX in \()
bis : orgo siiinina reclanguloruin sub PI in IK et sub GY in eamdcm IK
ipquatur roctangub) sub diamotro EL in VN ot roctangulo sub VX in
VO bis.

Uectanguhi auteni omnia sub diamclro et porlionibus tangentium VN
in qnadranti' cirouii LVA ductaruni repra'scntant reclangulum sub
dianietro in quadranlem LVA, boc osl dupkun seniicirculi LAE; rec-
tangnbi autem omnia sub VX in VO bis sive, ductâ OZQ paralleb'i
diamètre, rectangula omnia sub VX in XZ bis reprsesentant totuni
semicirculum LAE.

Ergo spatium cissoidale, quod aiquatur duobus illis rectangulorum
seriebus, aequatur triplo seniicirculi, ut patct.

OBSËR\ VTIOÎNS SUR DIOPIIAME.

Febmat. — I. •'7

ORSERYATIONES DOMÏNI PETRI DE FERMAT.

(Ad deflnitionem VI Cl. Gasparis Bacheti Porismatum Libr. III. )

A (Juobiii quibLisciimi|ue luiineris fonnari dicitar IrianguUiin rcclaiigiiluin, iiuuiii ex
aggregaTo et ex inlorvallo qiiadraioniin ali ipsis et ex duplo plani sub ipsis iiiiiiicris con-
tenli constant latera triangiili.

A tribus numeris in proportione arithinetica possunius t'ormare
triangulum, si secundum hanc definitionem sextani formemns illud
a inedio et differeritia. Nam solidiim sub tribus ductum in differen-
tiam faciet areani dicti trianguli, atque ideo, si differcntia sit unitas,
solidum sub tribus erit area trianguli.

II (p. «.).
I Ad quaestion. VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libr. II. )

Pi'opositum quadratum dividerc in duos quadratos.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratuui in duos qua-
dratoquadratos, et generaliter nullam in infinituni ultra quadratum
potestatem in duas cjusdem nominis fas est dividere : cujus rei
demonstrationem niirabilem sane detoxi. Hanc marginis exiguitas non
caperet.

m (p. «5).

(Ad quaestion. X Libr. II.)

Datum numerum, qui ox duobus componitur (juadratis, in alios < duos > ([uadralos
parllrl.

Num verb numerum ex duobus cubiscompositum dividere poterimus
in alios duos cubos? Hœc qua^stio difficilis sane nec Bacbeto aut Vietie

292 ŒUVRES DE !■ KUMAT. - \V l'AlHIE.

eognita. fortasso iicc ipsi Diopliaiilo : ojiis lamoii soliitioiiciii dcdimiis
infra in iiotalis {') ad (Hia-sliDiii'in scciindaiii Liltr'i I\'.

IV (p. 107).
(Ad qusestion. X Libr. III 1

Dalo alicpio luiinern, iiuoiiire Iros alios, u\ couiiiositiis e\ liiiiis i|iiiliii.sliliol, :iilsuiii|U('
rialo niiineni facial i|uaili-aUim, so:l cl SLimina Lrium dalo iiiiuicro arijcclo facial (luaiii'a-
tiiin.

Quomodo inveniendi sint quatuor numeri ut compositus ox hinis
quibusiibet adsumpto dato numéro conficiat quadratum, invcnimiis ad
propositionom 30 Liliri V.

V (p. loS).

( Ad quaestion. XI Libr. III. 1

fialo aliquo numéro, invenirc Ires alios, ut composiUis ex diiohus quibusiibet (lonipki
dato numéro faciat quadratum, sed et trium summa dotracto dalo numéro faciat (luadra-
liim.

Qua; nolavimus ad SI"™ Libri V, docebunt quomodo inveniendi sini
quatuor numeri, quorum bini (|iiilibet sumpti dempto dato mimcro
conticiant quadratum.

VI (p. 118).
(Ad quaestion. XVII Libr. III.)

Inveuire très numéros ut produclus ex liinorum mulliplicatioiie. adsumptâ eorumdem
sunimit, quadratum facial.

Exstat bujus qusestionis DiopbaïUi problema (-) in Libre V qua's-
tione 5. .\um vero problema sequens ipse Diopliantus sciens |)ra'lei-
misit, an poliiis in aliijtio Iredecim librorum constructuni erat, nesci-
nius :

(') yoir ci-après l'observation I.\.

(') Diopli., p. uiG ; (1 Invcnire très (piadratos, ut quom bini faciuiil planum. sivc ad-
sciscal arnborum suinmam, sivc reliquum, faciat quadratum. »

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 293

Invenire 1res qiiadralos ul productas ex hinorum multiplicalùme , ad-
suDiplù eoruindcm summà. quadratum faciat.

Hujas taiiioii qiia'stionis iiifinitas solutiones darc possiimus. En,
vorbi gralia, sequentem solutionem : satistaciunt nempe problemati
très quadrati sequentes

4-

3 5o4 38^ 2 019 2^1

2o3 4oi 2o3 4oi

Primus quadratus, Secuiidus quadratus, Tertius quadratus.

Imo et iillerius progredi et Diophanteam qusestionom proniovere
iiiliil volât. Seqiiens enim problcma gcneraliter et inlinitis modis coii-
struximus :

Invenire quatuor numéros sub quibus hinis quod fit planuniy adscità
amborum summâ, faciat quadratum.

Inveniantur, pcr S""" propositionem Libri V, très qiiadrati ut queiii
bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum,
et sunto illi luimeri quadrati

25 64 196
9 ' 9 ' 9 '

Sunt ergo très isti quadrati très primi nostrœ quaestionis. Ponalur
quartus iN; fient tria producta nnà cum summis <Tqualia

34», 25 73.^ 64 2o5-. iq6

99999 9

Primum, Socundinii, Teiiium.

Haec igitur tria aequanda quadrato, et oritur triplicata œquaiitas,
(•ujus explieationem dedimus ad quœstionem 24 Libri VI.

VU (p. 137-128).

Ad commentarium lin qusestion. XXII Libr. III), praecipue ad locum illum :

Adverte tertio etc. ( i).

Numerus primus, qui superat unitate quaternarii mulliplicem, semel

(I) Ce renvoi, indiqué par Samuel Fermât, n'est pas exact; l'observation de Kermai
porte surtout sur la lin du commentaire de Bachet, à partir de « Cœlerum animadversione

29i ŒUVRES I)i: i'KKMVr. - 11° l'AUTlE.

hmtuin est liypoteiuisa triangiili rectanguli, ejus quadratas bis, culxis
tor. (luadratcxiiiadratus qualcr, etc. in infinitum.

Idem niirneriis priimis et ipsiiis (juadratus coniponuntur senicl ex
diiobiis qiiadratis; ejus eiibiis et quadratoquadratus, bis; quadrato-
cubus et cubocubus ter; etc. in infinilum.

Si iiumeriis primas ex diiobus quadratis composilus ducatur in
aiiiim prinnim oliam ex daol)iis compositum quadratis, productuni
eomponetur bis ex duobus quadratis; si ducatur in quadratumejusdem
primi, productum eomponetur ter ex duobus quadratis; si ducatur in
cubum ejusdem primi, productum eomponetur quater ex duobus qua-
dratis; et sic in infinitum.

Hinc facile est determinare quoties numerus datas sit hypotemtsa
inanguU rectanguli.

Sumantur omnes primi, quaternarii multiplicem unitate superantes,
(]ui datum numerum metiuntur : verbi gratia, 5, i3, 17.

Quod si potestates dictorum primorum metiantur datuni numerum,

quoque digiiuin est, etc. (p. 127, 1. 7) ». En liiil, le problème de Dlophaiilc consiste ;i
trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de
chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son conmientaire, Bacliet remarque :

1" Comment Diopliante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectan-
gles en nombres ayant une même liy|)oténuse;

'2° Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le clioix de deux
triangles rectangles non semblables, et en multipliant les cotés de chacun d'eux par l'iiypo-
lénuse de l'autre.

Cesl-à-dire que si l'on a

<ii^b- = c-. et a] + b\ = c'],
on aura

(i) tr, = («i-f- bc\ = ttiC + bic .

V Si d'ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme do deux carrés,
leur produit peut être décamposé en deux carrés do deux manières différentes.

Si l'on a

c = a- H- p- et Cl = a; H- pî,

on aura

( «•, = (a-^-4-?^)(af+;i?) = (='^i + ?Pi)'+ (='?!-='>?)'

Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypotéiuise doivent être
jnégaux, et ([u'il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.

4° Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés ( soit p'^ et (/-), on en

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 295

(lisponantiir iinà cum rel'Kjuis loco latei'uni : verbi gratia, metiantur
tlafum niimeniin

5 per cubum, i3 per quailralum, et 17 per latus simpliciter.

Sumantur expdnentes omnium divisonim : nempe iiiimeri 5 expo-
nens est 3 proptcr cubum; numeri i3 exponens est 2 proptei' quadra-
Uim et numeri 17 unitas tantum.

Ordinentur igitur, ut volueris, dicti omnes exponentes : ut, si velis,

3.2.1.

Ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam
primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tertium bis et producto ad-
jiciendo summam 17 et tertii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypote-
nusa 52 triangulorum rectangulorum; ncc est dissimilis in quotcum-
que divisoribus et ipsorum potestatibus metbodus.

Roliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non supe-

(Jéduil qu'il est l'iiypotéiiuse d'un triangle reotanglo en nombres, car
( ,f- -f- .y2 f=(p'-- q^ )-2 -+- ( 2 pq T- ,

on aura ainsi le moyeu de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant c(\ pour
hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la réserve que les opérations ne seront pas
illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une

somme de doux carres égaux; on doit en conséquence exclure le cas où ^ = — —-. •

5° Bacliet indique les corrections qu'il a apportées au texte grec.

6° 11 montre comment le procédé de Diophanto peut être généralisé, en prenant deux
nombres sommes de deux plans semblables; le produit de ces nombres peut en effet, s'il
n'y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières
différentes.

Enfin, il soulève la question que Fermât a complètement résolue dans sou observation,
à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l'on
voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est i l'ois seulement somme de deux carrés
par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés
•1 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable i seule fois, don-
nera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (i fois si lo multiplicateur a un fac-
teur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nombre décomposable
5 fois seulement, nudtiplié par un qui ne l'est que i fois seulement, donnera (en excluant
le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.

On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l'est
I fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décom-
posable. Un nombre G fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit
24 fois décomposable. Bachot donne des exemples sans démonstration.

296 ŒUVRES DE FERMAT. - 11" PARTIE.

rant, niliil aut addunt quajstioiii aiil ilolraluint neqiie ipsoruin potcs-
tatcs.

Invenire munerum qui qiioties guis relit sit hypotenusa.

Qua'ratur numerus qui sit septies liypotenusa.

Numei'us 7 datus diipleUii' : lit l'i. Adjico uiiitatem : fit ij. Suiiit"
omnes priinos qui niensurant i5 : suiit lii > et 5. Al) unoquoque demplâ
uiiitatc, sume reliqui diniidiuni : fiuiit 1 et 2. Quserantur tôt piinii
divcrsi quot hic sunt numcri, nenipo duo, ot secundum exponentes i
et 2 iufor se multiplicentur, uenipe unus in quadratum alterius; in hoc
casu satisfiet quœstioni, modo primi ([uos sumis supcront quatcrna-
riuni (') unitate.

lix iiis constat facile posse inveniri numcrum minimum qui quoties
quis velit sit liypotenusa.

Invenire numenim qui quoties quis velit cumponatur ex duobus qua-
(Iratis.

Sit dalus numerus 10. Ejus duplum 20, cujus omnes partes primse
sumantur : 2.2.5. Ab unaquaque toile unitatem : fiunt 1.1.4. Suman-
tur igitur ires numeri primi, qui nempc unitate superent quaterna-
rium (') : verbi gratia, 5, i3, 17; et quadratoquadratus unius, propter
exponentem 4. ducatur in reliquos duos, fiet numerus quœsitus.

V.\ his facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit
componatur ex duobus quadratis(^).

Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadralis
componitur :

Sit datus numerus 325. Numeri primi qui eum componunt, nempe
quaternarium (') unitate superantes, sunt : 5, i3, hic seniel, ille per
quadratum. Kxponentes disponantur : 2.1. Productum multiplicatione
jungatur summœ : fit 5, cui adjunctâ unitate, fit 6, cujus dimidium 3.
Toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis.

(') Lisez « qualcniyrii iinilli|iliccni ».

(') Dans l'édition de Samuel Formai, le texlc do eol alinéa se trouve après celui dos
trois suivants.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 297

Si cssent très exponentes, ut 2.2.1, ita procedendum : Productum
sub prioribus adjunclum summjï facit 8. Ducatur 8 in tertiiim et jiin-
gatup productum summae : fit 17, cui junge unitatcm : fit 18, cujus
dimidium datg. Toties iste secuiulus numerus componetur ex duobiis
quadratis.

Si ultimus luirnerus itifariam dividendus esset impar, (une, demplà
unitate, reliqui diniidiuin sumi débet.

Sed proponatur, si placet, sequens qusestio : Invenire mmicrum in
mie gris qui adsumplo dalo numéro conficial quadratum et si/ livjwlenusa

(juollibet triangulorurn rectangulorum.

Ha?c qu^stio ardua est. Proponatur, verbi gratia, iuveniendus nu-
merus qui sit bis bypotenusa et adsumpto binario confieiat «|uadia-
lum.

Erit qusesitus numerus 2023, et sunt alii infiniti idem priestantes,
ut 3362, etc.

VIII (p. .33).

(Ad commentarium in quaestion. II Libr. IV. )

(Ju.ESTio DiopiiANTi : lnvouirc duos niiinero.s, ut illorum interviillum daUiiri l'iiciiit iiu-
incrum ol euborum quoquc ab ipsis ortorum sit (|uocJ prœscribitur iiitrrvalhim.

(Ju.ESTio PBi.M\ Baciieti : Datis diiobus cubis, inveniie duos alios, (.luorum summa
œqualis sit datorum intervallo. Oportet autom dupluin niinoris eubi non supcrarc ina-
jorem.

Canon : Utrumquo datorum euborum ducito ter in latus alterius, produclos divido per
sumniam euborum, a majore (|uoticnte aufer minus latus, cl minorem quoticntem aufer a
majore latere; relinquentur euborum quipsitorum latera.

Determinationem operalionis iteratioue facillime toliimus et geue-
raliter tuni hanc qusestionem, tum sequentes qua?stione.s construinuis,
quod nec Baclietus nec ipse Vieta ( ' ) expedire potuit.

Sint dali cubi G4 et 12."), invenicndi alii duo quorum summa a'qua-
lis sit datorum intervallo.

(I) Viète avait déjà traité eomnie Baeliet les trois questions sur lesquelles portent eeUo
observation de Fermai et la suivante. Voir Zetetic. IV, 18, 19, jo (pages 7.1-75 de l'édi-
tion de Schooten).

Febmat. — I. 38

29S ŒUVRES DE 1- KUMAT. - 11" PARTIE.

Ex quaistioiu" Ici'lia, l'olio sotjiieiUi ('), qiiu'raiitiir duo alii riibi
quonini (lifforoiitia a'quet (iiirerentiam datorum. lUos Bachetus invenit
et sunt

l5 2J3 QQ2 19.5

et

25o 0^7 2JO o^7

Isti duo cubi ex construclione liahent intervalUim «quale intcrvallo
datorum; sed isti duo cubi, inventi per qua;stiouis tcrtia? opei'aliouem,
possunt jam transferri ad quœstionem priinam, quuni duplum ininoris
non superet majoreni. Datis itaque his duobus cubis quterantur alii
duo quorum summa œquetur intervallo datorum; id quidem licet per
determinationem bujus qufestionis primœ. At intcrvallum datorum
boruni cuborum est pcM' quœstionem tertiam «(jualc intervallo cubo-
rum prius sumptorum 64 et i2i; igitur construcre nibil vetat duos
cubes quorum summa œqualis sit intervallo datorum 64 et i2.5,
quod sane miraretur ipse Bacbetus.

Imo, si très ist;e qu;estiones eant in circulum et iterentur in intini-
tuni, dabuntur duo cubi in infmitum idem prsestantes; ex inventis
enim ultimo duobus cubis quorum summa œquet difTerentiam dato-
rum, per quaestionis secundae operationem quaîrcnius duos alios quo-
rum differentia acquêt summam ultimorum, boc est intervallum prio-
l'um, et ex bac dilTerentia rursuni quœremus summam et sic in
iiiiiiiitum.

IX (p. i35).
lAd eumdem commentarium. i

Qu^STio SECUNDA B.vciiETi : Dalis duobus cubis, invcnire duos alios, quoium dilTerenlici
œquet summam datorum.

Canon : Utrumijuc datorum cuborum ducilo 1er in latiis alterius, productos divido per
intervallum cuborum, et minori quotienli addc majus latus, atque a majore quolicnto
aufer minus latus; summa et rcsiduum exhibebunt quœsitorum latera cuborum.

Qu.ESTio TËRTiA B.vcHETi : Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia
œquet datorum diffcrontiam. Oj)ortet autera duplum minoris cxccdcre majorem.

Canon : Productum ex ulroquocubo 1er in latus alterius divide per summam cuborum:

(') rw> l'observation suivatite.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 299

a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiento aufer majus ialus, relinquenlur
latera quiPsitorum cubonim.

Hujus quœstionis determinationem non esse legitimam, simili quà
usi in prima qusestione sumus operatione, aperiemus.

Imo ex supradictis qusestionem, quam Bachetus ignoravit, féliciter
construemus :

Daliim numeriun ex duobus cuhis compositum in duos alios cubos dwi-
dere ,

idque infinitis modis pcr operationum continuatam, ut supra mo-
nuimus, iterationem.

Sint duo cubi quibus alii duo sequales inveniendi 8 et i. Primùni
ex quœslione secunda quserantur duo cubi quorum difFerentia *quet
summam datorum, eruntque

8000 4q I 3

et -^

343 343

Ouia duplum niinoris excedit majorem, res deducitur ad (ertiani
quiestionem, quse demum reducetur ad primam, et constabit propo-
sitio.

Si Yclis secundani solutionem, rursus quaestio redibit ad secun-
(lani etc.

Ut autem pateat quœstionis tertiae determinationem non esse legiti-
mam, datis duobus cubis'8 et f, inveniendi alii duo quorum dillorentia
acquêt differentiam datorum.

Sane Bachetus impossibilem banc quœstioncm pronuntiaret ; cubi
tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentcs quorum
nempe differentia a?quatur 7, diflcrentiœ 8 et i. Cubi autem illi duo

sunt

2 034 284 625 I 981 385 216
6 128 487 ^^ 6 128 487'

latera ipsorum

1 265 I 256
~F83 *'' "~^ ■

300 ŒUVRES DE FEllM \T. - IV PARTIE.

(Ad commentarium in quaestion. XI Libr. IV. )

Qi'.ESTio OiopiHNTi : Inveuiro (iiios eiibos suis .xciiialcs lateribus.
Qu.ESTio BvciiETi : Invcniro duos ouhos quorum summa ad summam latcruiu sil iu dala
ralione, dummoilo iloiiomiiiaior ralionis sit (iiiadraUis vel trieus quadrali.

Eatleiu addenda luiic determinalioni qua» in notis sequenti (') addi-
diimis, et iiiii'or Bacliotiim non (juod methodum generalem, (jiue saiie
est diftîcilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectoreni
iianc ([Wiv al) ipso traditur non esse generalem.

XI (p. i'|8).
(Ad quaestion. XII Libr. IV.)

Invcnire duos eubos quorum iiUervallum ajquale sit iulorvallo laterum ipsorum.

Utruni vei'o invonire liceat duos (juadraloqiiadralos quorum irtlcrval-
lum œquale sil intennllo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur
artiticinm iioslra' methodi, qnod haud dubie succedet.

Quaeranlnr cnini duo quadratoqiiadrati ita ut dificrenlia laterum
i\l I, et diUerentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera, per
primam operationem,

q 1.3

— -i et —

Sed, quia primus numerus notatur signo —, iteretur operatio juxta
(') fuir Observalion .\1I. Soit à résoudre

j-3 _(_ y3

^ =a;

le procédé de Bachet revient à éliuiincrj on posant .r -h y ~ z. On a alors

équation qui »n traite facilement par les métliodes de Diophantc, si a est carre ou triple
d'un carré.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 301

nostram motliodum et ponatur primum latiis iN — ^/,

secundum erit i N -i- 7j|,

et incidetiir iii iiovam oporationein quîc in veris numeris qusestioni
satisfaciet.

XII (p. .48).

( Ad commentarium in eamdem quœstionem. )

Olm;stio B\ciieti : Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervalhim hiterum
datain liaboat ralionom, dummodo denominator ralionis sit quadratus vel trions qiiadrali.

Deterniinatio est illegitima, quia non generalis. Addendum igitnr
« vcl multiplex por numéros primos qui superant unitate ternai'ii
multipliées aut ah ipsis composites », ut 7, i3, 19, 37, etc., vel 21,
91, etc. Demonstratio et construclio ex nostra metliodo petenda*.

XIII (p. i5',).

(Ad quaestion. XVII Libr. IV.)

Invenire ire? numéros aequales quadralo, ita ul ([uadratus cujuslibet ipsorum adscito
sequoiUo numéro faciat quadratum.

Eleganlius Ibrfassc ita solvetur hœc quœstio.
Ponatur primus numerus i N,

secundus 2N -t- i, ut cum quadrato primi conficiat

quadratum;
ponatur tertius quilibet unitatum et nunierorum numerus, eâ condi-
tionc ut additus quadrato secundi conficiat quadratum; verbi gratia,

sit

4N + 3.

Ita igitur duabus propositi partibus lit satis; superest ut sutnma
trium, sed et quadratus tertii unk cum primo, conficiat quadratum.

Summa trium est 4+ 7N;

summa verb quadrati tertii et primi est 9 + aSN + itJQ,

•Ut:» ŒUVRES DE FERMAT.- Il" PARTIE.

iti'iliirciue duplicata ;i>qiialitas, ciijiis solulio in pruiiiptii si imitâtes
quadratas ad oumdoin luimoi'um (|iiadra(um iii utrovis numéro qua-
drato adanjuaiido revooes.

Kàdein(|U(> via lacillinio extendetur quacstio ad quatuor mimei'os et
inthiitos; cavenduni enini solumniodo erit ut summa unitatum, quse in
siniîulis numoris ponuntur. contli-iat qnadratuni : quod quidem facilli-
niuin est.

XIV (p. isr,).

(Ad qusestion. XVIII Libr. IV.)

Invcnirc Ires numéros ccqualps quatlralo, ut eiijusvis ipsorum quadralus, dem])to qui
euin ordine sequitur, facial quadiatuiii.

Eodem quo in superiore quaestione usi sunius ratiocinio, hanc quo-
que solvemus et ad quotlibet numéros extendemus.

XY (p. i59).

(Ad quaestion. XX Libr. IV.)

Iiivenirc très numéros indcliuitc, ut ([uem bini producunt mulua muliiplicationc, adscilA
unilato. faciat quadraliim.

Proponatur invenire très numéros m quem l»ini producunt nuituà
muliiplicationc, adscitâ unitatc, faciat quadratum, et prseterea unus-
(juisque trium, adscitâ unitate, faciat quadratum.

Hiijus (|ua>stionis solutionem subjungemus et jam confecta est (').
Ita liât solutio indelinita pra^sentis qua^stionis (-) ut unitates primi et
tertii numeri, addità unitatc, conficiant quadratos : verbi gratia, sint

(•) Diophante (V, 3) a dDiini' une solution do cis problème dans le cas général où le
nombre à ajouter (ici l'unité) est quelconque.
(^) La solution èv ào^'iTM de l)io|)hanle peut être représentée par les trois nombres

/«-N -4- 2OT, N, (ni -+- i)2N + -iirn -f- 1).

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 303

1res iiumeri iiuletinite

primus ....

169 pj i3
5i84 36

.secundus . .

iN,

lertius

7225 85
5i84 36

Patet solutioiiem hanc indefmitam satisfacere conditionihiis lui jus
quscstionis vigesiniîe; superest ut singuli ex illis numeris, adscità iini-
tatc, conficiant quadratos et orietur triplicata ajqualitas, ciijiis solutio
('lit in promptu ex nostia methodo, quunî numerus unitatum in quoli-
bet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.

XVI (p. lOi).

(Ad quœstion. XXI Libr. IV.)

liivenirc quatuor numéros, ul ([ui lit o\ biuonim mutiia multiplicationc, adscitii uui-
tate, facial quadratum (').

Inveniaulur très nunieri quilihet ut qui lit binorum nuiLuà nuillipli-
catione, adscità unitate, faciat quadratum : verbi gratia, sint illi nu-
meri 3, i , 8.

Quseratur jam quartus eà conditione ut qui Ht sub tribus inventis
sigillatiui in quartum, adscità unitate, sit quadratus. Ponatur invc-
niendus esse iN; ergo

3N-1-I, ilein iN-f-i, itcm8N-Hi

aîquantur quadrato et oritur triplicata sequalitas cujus solutio inven-
tioni uostra' debctur. Vide quae adnotavimus ad quajstionem 24
Libri VI.

(') Fermât donne de ce problème une solution différente de celle de Dio|)iiantc.

30i ŒUVRES DE FERMAT.- Il' l'ARTIK.

XVlId-. .65).
(Ad quaestion. XXIII Libr. IV.)

Iiuenire Ires luimerns, ut solicliis siib ipsis contentiis adscito quolibel ipsonim facial
qiiadratiim.

Non soliiin ahs(]iie lemmate Dioplianli ('), sed etiam alisquc diipli-
rata a*qiialitate (-), solvetur qiiœstio.

Ponatur solidum suh Irilnis iQ — 2N,

pi'imiis nunierorum sil unitas,

secundus 2N.

Ita namqiie duolnis partihus proposilionis satisfit.

l'ro lortio, dividatiir solidum sub tribus, iQ — 2N, per rectangu-

(') Soient .rj, .rj, .j-3 les trois nombres cliercliés. La sohilion do Dioptianle revient à

poser

,ri = i, .7,.r2-'"3 = -f-H- 2.r, .rt.v^.rs-i- .r«= (.r ^ m)^;

d'où

.r^ H- 9. .r

■r» = 2 ( /« — I ) r ■+- iifi et

2 ( ;« — I ) .r -4- 7;;-

1! reste ainsi à satisfaii'O à une dernière condition, à savoir que .r, .r^ .rj -h .7-3 soit carré.
I.c Iciiimc employé par Diiiplianle consiste de fait à déterminer m en sorte que x^ soit
linéaire en .r, c'est-à-dire à satisfaire à la relation

2(/« — 1 ) = \in- ;

d'où

m = •>. cl .7-3 = i.r, avec j-2=2.i-4-4,

Cl enfin

.;-i . (-2 . 7-3-4-. Ta = .r2—|.r,

expression qu'il est facile de rendre carrée. Il est aisé do voir' ([uc la soliiliou do Format
csl au fond la même; car on la retrouve, si l'on change x en N — 2.

( - ) 1,'emploi do la t/oul/lc équation était indiqué par Bachot, d'après la marche suivie
par l)ioj)lKinlo lui-mi^me dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que
chacun des nombres cherchés doit être non pa.s ajouté, mais retranché du produit des
trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachot posait de f.ul

Pl il ramenait le |)roblème à la double équation

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 305

lum sub primo et secundo, quod est 2N; orietur ex hac divisione ter-
tius, iN — I, quo addito ad solidum sub tribus fit

iQ — f N — I, ([uod œquari débet quadrato.

Oportet autezn valorem numeri majorem esse binario, proptcr posi-
tiones jam factas; sequetur igitur quadrato cujus latus iN— aliquo
unitatum numéro binario majori. Omnia constabunt.

XVIII (p. .80).

(Ad commentarium in qusestion. XXXI Libr. IV.)

Qu.4;STio : Invenirc qualuor numéros qiiaclratos, quorum summa, cum summâ laterum
conjuncla, numorum imperatum faciat ( ' ).

Imo propositionem pulcberrimam et maxime generalem nos primi
deteximus : nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duo-
bus aut tribus triangulis compositum; esse quadratum vel ex duobus
aut tribus aut quatuor quadratis compositum; esse pentagonum vel ex
duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositum; et sic
deinceps in infinitum, in bexagonis, heptagonis et polygonis quibus-
libet, enuntiandà videlicet pro numéro angulorum generali et mirabili
propositione.

Ejusautemdemonstrationem,quae ex multis variis et abstrusissimis
numcrorum mysteriis derivatur. bic apponere non licet : opus enim et
librum integrum huic operi destinarc decrevimus et Arithmeticen bac
in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promo-
vere.

(') Ce problème, comme le remarque Bachel, se ramène facilement à décomposer un
nombre donné en quatre carrés, question quo Diophanie n'a soumise à aucune règle, mais
qu'il semble considérer comme toujours possible. Bachet affirme qu'en effet tout nombre
entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n'en a pas la démon-
stration, mais il s'en réfère à l'induction, donne le Tableau de la composition pour tous les
nombres de i à 120, et ajoute qu'il a poussé l'expérience jusqu'à 325.

FcnM.vT. — I. 09

306 ŒUVRES DE FERMAT. - II" PARTIE.

MX (p. iss).
(Ad question. XXXV Libr. IV.)

Datiim niimcrum dividore in lies numéros, ul qui fit primo in sceiindum ducto, sive
addito Icriio, sivo dctracto, (|uadi'atum facial. Esto datus 0.

Ita lacilius liet operatio : Datus iiumerus G utcumque dividatur, verhi
gratia iii 5 et i. Productus demptà unitatc, hoc est 4> per G. datum
mimeruiii, dividatur : evcnietf. Qucm si tum a 5, tum ab i abstuleris,
duo residua -,' et ~ erunt duse priorcs partes numeri dividendi; tertia
igitur erit ^ (').

XX(p. -'o3).

I Ad commentarium in quaestion. XLIV Libr. IV.)

Ql'^stio. — Invcnire 1res numéros, ut compositus ex tribus mulliplicatus in primuni
facial trianc;ulum, in secundum faciat quadratum, in tertium facial cubum.

B.vciiETUS. — ... Adverte poslremo, in fingondo latero ultimi quadrali, lalcni adliiben-
dam esse cautionem, ul valor Numeri reperiatur in integris numeris, quiun numerus
triangulus non possel esse nisi inleger. Id aulem semper succedet opérande modo a Uio-
phanto tradito, si quadrali lalus fingatur a lot Numeris qui sint latus quadralorum in
numéro (|uadrato œquando conlcnlorum — i. Cœterum vix aliter id fieri posse, salis e\-
pcriendo deprehendes ( - ).

Experientiam non satis exactam fecit Bachctus. Sumatur quilibet

(1) La solution de Fermât, fondée sur une idcntito facile à reconnaître, est essentielle-
ment différente de celle de Diopliante.

(2) La solution de Diopliante, avec les généralisations de Bacliet, peut se représenter
comme suit.

Soient .r,, xj, .rj les trois nombres clierchos. l'osons

.r, -f- ,C2 + ^3 = x^

et

a(a + Il p2 _ yS

il vient

a(a-Hi) „

.r* = + S2 -4- ./3.

a ' '

Posons maintenant

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 307

cubus, vei'bi gratia, cujus latiis niultiplici ternarii superaddat uiiita-
tem. Erunt, verbi gratia,

2Q— 344 œquanda triangulo :

ei'go

16Q — i-jôi œquabuntur quadrato,

cujus latus finges, si libet,

4N-3.

Etc.; nihil eniiii vetat quominus generali niethodo, loco etiam
ipsius '3,reliquos in infinitum inipares usurpemus, variando cubos.

XXI (p. 309).
(Ad commentarium in quaestion. XLV Libr. IV. >

Ou.Esrio DiopnANTi. — Inveniro très minieros, ut intervalliim majoi'is et medii ad
intervallum medii et minoris dalam liabeat rationem, sed el bini siimpli ([uadratuiu confi-
ciant.

Baciietus. — ...Qiicmadmodum ergo in hac qutEslione Diophantusdocel modum quo duo
numeri simul œquentur quadrato, quum uterquo componitur ex Numéris cl unilalibus, cl
numeri Numerorura suiit inaequalos, nec habent ralionem quadrali ad quadratum, numeri
;uilem unitatum sunt inaequales et quadrati : sic aio modum dari posse resolvendi dupli-
catam iequalitatom, quum uleniuo proposilorum numerorum quadrato iPquandorum com-
ponitur e\ Numéris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt in;equales, nec liabent

on a

a ( a -I- 0 , , , ,

d'où l'on posera

(2a + i)2 ou ifj^s.cî— 83*— 8y'-M = {43.»^ — 5)2

834-4-873-1- 82_i

■^ = 5— s

830

et

834-f-8Y3— (0 +1)^ ,

Mais il faut que a soit entier et, par conséquent, que ,'^ 'O S'Oit-

Si l'on prend 0 = 1, comme l'a fait Diopliante, et comme Bachet l'a cru nécessaire, on
peut prendre tout à fait arbitrairement les entiers z el y-

Fermai prend 3 = 1. comme l'avait fait Diophante; il fait d'ailleurs, dans l'evemplc ipi'il
choisit,

T = 7. 5 = 3.

308 ŒUVRES DE FERMAT.- Il" PARTIE.

ralionem quadrali ad i|uadraiura, sed et numcii unitatum ineequales sunt, sivo quadrati sinl,
sive non. Id aulem prœstabimus i« duplici casu.

Prinuis casus est. (iiuim numci'onim (|iiadralo aniuandonim intorvallum taie est ut, eo
per aliquem unitatum nuracrum multiplicalo vcl diviso, et producto vel quoliciite a
minore proposilorum numororum detraclo, suporsit unitatum numorus solus quadra-
tus....

Secundus casus est, quum numororum quadrato roquandorum intervallum laie est ut, eo
per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vol quotientc a minore
proposilorum numerorum detraclo, doficial unilatuai numcru* solus, qui ad multiplicato-
rom vel divisorcm ratioucm habcat quadrati ad quadratum...

Sod proponatur, si placet, hœc duplicata sequalitas, nempe

2Nh-5 cl 6N-I-3 œquandi qiiarirato.

Quadratus sequandiis 2N + 5 erit 16,

et

quadratus œquandus 6N + 3 eril 36,

et invenientur alii in infinilum quœstioni satisfacientes. Nec dit'ticiif
est regulam generalem ad luijusmodi quœstionum solutionem propo-
ncre, ut vix limitatio ista Bacheti sittanto viro digna, quum ad infinitos
casus extendi quod in duobus tantum adinvenit, facillimc possit, inio
et ad casus omnes possibiles.

XXII (p. -m5).

(Ad quaestion. III Libr. V.)

Date numéro apponcre Ires numéros, ut quilibcl ipsorum cl qui a binis produeitur ipu-
busvis. datum adsumeus numerum, facial (piadralum.

Ex hac propositione facile deducetur sequcns quaestio :

Invenire quatuor numéros ea condàionc ut quod suh binis producat ur.
adscito dalo numéro, facial quadratum.

Inveniantur très quîestioni satisfacientes ita ut singuli dato numéro
aucti conficiant quadratos juxta hanc propositionem. Ponatur quartus
inveniendus esse iN + i. Orietur triplicata œqualitas cujus solulio

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 309

nostra? methodi beneficio orit in promptu. Vide adnotata ad 24*'"
qusestionem Libri VI.

Solvetur itaque quaestio, quam proposuit Bachetus (') ad qua^stio-
nem 12 Libri III, per banc nietbodum quae, quum multo sit genera-
lior, boc prseterea amplius babet quam metbodus Bacbeti, quod très
priores numeri aucti dato numéro conficiant quadratos in nostra solu-
tione.

An vero ita solvi possit qusestio ut etiam qhartus auctus data numéro
conficiat quadralum, boc sane bactenus ignoramus : inquiratur itaque
ulterius (-).

XXIII (1). 320).

(Ad quaestion. VIII Libr. V.)
Invenire tria iriangula rectangula quorum areae sint aequalos.

Num vero inveniri possunt quatuor aut etiam plura in infinitum trian-
gula œqualis areœ, nibil videtur obsfare quominus quaestio sit possi-
bilis : inquiratur itaque ulterius.

Nos boc problema construximus, imo et data quàlibet trianguli

(') Page iio. — Soient .r,, j-o, x-^, Xi, les quatre nombres cherchés, et a le nomln-e
donné.
La solution do Bachet revient à poser

«2 —a i'2 — «

JTl = ) .12= . Xi= 1.{Xi-^ X^)— (V (/),

P — U V — U wv /

ce qui satisfait aux conditions pour trois nombres. Si, pour le quatrième, on pose

X4 = p — «,
on n'aura évidemment qu'à satisfaire en outre à la condition bien facile que

XiX;+ a ou (p-t-tt)- — 3«

soit un carré indéterminé.

Bachet l'a résolue, en fait, de deux façons différentes : i" par rapport à p — «, en se
donnant «; 2° par rapport à «, en se donnant v — u, qu'il suppose inutilement devoir être
un carré.

(-) Dans l'Observation XVI, Format a donné une solution pour le cas où le nombre à
ajouter est l'unité.

310 ŒUVRES DE FERMAT. - IT PARTIE.

areà iiitînita triangula cjusdcm arca' exliibcmus : vcrbi gialia, ilalâ
aroâ G trianguli 3.4.5., en aliiid triangulum ejusdem area^

7 120 I20I

lo .7 70

aut, si phu'ot oadeiii denominatio,

49 1200 1201
;o' 70 70 ■

Pel'petua et constans methodiis hœc est : Expoiiatur quodiibet trian-
guliuii. ciijus hypotenusa Z, hasis H, perpendiculinn D. Ah eo sic for-
matur aliad triangulum dissimile ejusdem arese : nempe formetur al)s
Z qiiadralo et BinlJ his, et planoplana lateribus similia applicentur
Z i/i H (jnadratum bis — Z /// D quadratum his. Hoc novum triangulum
habebit aream sequalem area; praecedentis.

Ad boc secundo eàdem methodo formetur tertium, a tertio quartum,
a quarto quintum, et fient triangula in infinitum dissimilia ejusdem
area'.

Kt ne dubites plura tribus dari posse, inventis tribus Diophanti

40 .'4 2. 58., 24.70.74., et i5. 112. 11 3.,
quartum adjungimus dissimile ejusdem tamen area' :

I 4i2 8

•189
1 412 880
•■89
1681
1189

hypotenusa,

Lasis,

perpencliculum,

et, omnibus in eumdem denominatorem ductis, fient qualiior triangula
in intogris a'qualis area; quœ secjuuntur :

Priinuni 4" 5()o. 49 938. 68 9G2.

Secundum . . . . 28 536. 83 23o. 87 986.

Tertium 17885. i33 168. 184357.

Quartum i 681. 1 412 880. 1 412 S81.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. :511

eàdemque methodo invenicntur triangula ejusdem area' in inlinilum
et qua'stio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.

En etiani alià methodo (') triangulum cujus area facit sextuplum

quadrati, sicut3.4-5.; nempe

i

2 896 804. 7 216 8o3. 7 776 485.

( ' ) J. DE BiLi.v ( Dectriiiœ analyticœ iiivcntum nnntm, I, 3tl, p. [ 1 ) : « Diophantus L. V,
(|. S tradit artem invcniendi tria triangula rectangula qiias sint sequalia (pioad aream. Qui
vero phira ab ipso cxpetct, luiiiqiiam obtinebit; prœterea nunquam tradidit Diopiianlus
methodum invcniendi triangulum dato triangulo œquale quoad aream. Formatius utrumque
mox atque eàdem operatione prœstabit. »

« Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sil G, qualis est area trianguli rec-
tanguli 3.4.5. «

« Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit i N -1- {. Horum
quadrata simul sumpta exhibent

25-f-iQ-<-8N

pro quadrato hypotenusse : quare istc numorus œquatur quadrato. >>

" Deinde area istius trianguli, |N -h G, débet esse sextupla alicujus quadrali (quia pos-
tulatur aream esse G) : ergo ejus areae sextans quadratus est, ac proinde ille ductus in 36
efficiet quadratum. Efficit autem

9N-)-3G :

igitur hic numerus aequandus est quadrato.

» En igitur duos termines duplicatae œqualitatis :

9N + 3G et 25-t-iQ-)-8N.

In his autem unitatum numerus quadratus est : ergo valor radicis facile reperietur, eritque

60 53o 400
21 65o 409

ac proinde

AT , -L 2 8qG 804

iN + 4 erit /. ^ ^-

2 403 001

Aliud aulem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta fuciunt quadra-
tum cujus latus

7 776 485

2 4o5 Goi

erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum

7 776 485 2 896 804

2 40 J 601 2 4o5 601

cujus area est sextupla cujuspiam cjuadrati, nempe

724 2ni
2 4o5 6oi '

3,

312 ŒUVRES DE FERMAT. Il" PARTIE.

XXIV (p. .•>,).
(Ad question. IX Libr. V.)

Invenire très nunioros ut uninsciijusqijo quadratus, sumiriri ti'iiim sive additâ sivo de-
I racla, facial quadratum.

Kx supradictis patct possc nos construero generaliter problenia :

Invenire iiuolcmmjue numéros ni imiiisciijiisr/tie (juadraliis, summâ
omnium sive addità sive detraclâ. (juadratum facial (').

Hanc quaestionem forte Bachetus ignoravit : Diophantum quippe pro-
movissct, ut supra 31" quîestione Libri IV et aliis in locis, si quajstionis
hujus solutionem detexisset.

XXV (p. 32',).

(Ad commentarium in quœstion. XII Libr. V.)

Qu.ESTio DioPHANTi. — Unitalem dividere in duas partes, et iitriijue. segmenlo datiim
nnmerum adjicerc et facere quadratum. Oportet autetn dalum nequc imparcm esse * ncque

hujus vero quadrati latus est

85 1

1 331

Per quod si dividas singula latera trianguli mo.\ reperli, habebis triangulum quaesltuni

12 o6i 328 23') 4 492 9)3 004 4 t'53
2 047 166 45i 2 047 166 4'3' *^5i

cujus area est 6. »

<i Advcrle nos invenissc lioc triangulum per illud ipiod datum luit 3.4-5, ac per invcii-
lum inveniri posse tertium; per tertium invenietur ((iiartum, et sic in infinitum. »

(') La question V, 9 de Diophanto se résout en cllet par une application immédiate de
la solution du problème précédent.

Soient «,, a^, . . ., a„ les hypoténuses de n triangles rectangles ayant une mOine aire A,
comme

af,± 4 A est carré,

les nombres

Cp ^f fin
4A

satisferont a la question ]josée par Fermât.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 313

(kiplum ejus N. imitas majorem liabere quadrantem quam est numeriis, quo ipsum metitur
primus numerus * (').

BiciiETUs Reliqiia verô verba « ncque dupluin ejus, etc. « adeo vitiala sunl ul

nuUam commode recipero possint explicalioncm. Non dubito quidem Diophantum res-
pexisse ad aliquam numcrorum non vidgarcm proprietatem, qua dcfinitur quis numerus
par deligendus sit, ut duplum ejus unitatc auclum sit quadratus numerus vel compositus
ex duobus quadratis. Sed quid sibi velil in tanla verborum caligine divinarc non possum;
id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem inciderit.... Sane quod ail
Xilander, verba illa corrupta videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri
primi, id utique futile est et nulli fundamento nixum. quodque ipsà slatim experieniià
refelli potcst : nam, si datus sit lo, is est dupius numeri primi 5 et tamen quœslioni sol-
vendœ minime roperilur idoneus, nam oporteret dividere in duos (piadratos numerum 21.
Quod quidem impossibilc est. ut reor, quum is ncque ([uadratus sit, neque suapte natura
compositus ex duobus quadratis.

Numerus 21 non potest dividi in duos quadratos in fractis. Hoc
autem facillimc demonstrare possumus, et generaiius omnis numerus
cujus triens non habet trientcm non potest dividi in duos quadratos
neque in integris neque in fractis.

XXVI (p. 5-Î5).

(Ad idem commentarium.)

Bachetis. — Aliquando milii venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri
paris uuitate auctum esse numerum primum, quandoquidem omnes fere hujusmodi numeri
compomintur ex duobus quadratis, quaies sunl 5, i3, 17, 29, 4', aliique primi numeri qui
sublata unitate rclinquunt numerum pariter parcm. Verumtamen neque liœc explicatio sus-
lineri potest. Nam primum hac ralione per hujusmodi condilionem cxckidercntur omnes

numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus Deinde cxcludcrentur

etiam multi numeri, qur)rum du|ilum unitatc auclum eomponitur ex duobus (piadralis,
quaies sunl 22. 58, 62 et alii iunumerabilcs. Nam dupli horum unitate aueti sunt 45, 117,

(') Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine osl le
suivant dans l'édition de Bachot (leçon du manuscrit fonds grec n" 2379 de la Bibliothèque
Nationale) :

[j.r[T3 ô C'.::Àa(;{(uv cxjtoj i| |ji" â. i^îi^ova È'yr, [jLô'po; 5. f] |ji£Tp:ÎTai â~rj ToO' a." . ç"'',
et, d'après Bachel, dans un Vatkanus '^rœciis (probablement le n" 30i) :

àpiOfioD.

Ces deux leçons reviennent à la même, et tous les manuscrits connus de Diophantc sont
corrompus de la même façon.

Febmat. — I. t\0

311 ŒUViiKS ni-: rKi{MVT. - 11' PAirriE. •

125, quorum niillus csl piiiinis munonis, cimiin ((iiilibot miiUos luibeat melicnti's: umis-
quisqiie lamen e diioluis (jiKulralis l'uiiflaliir, priimis scilicct ex qiiadralis JG et g, secundiis
ex quadralis 81 et 3t), tcrlius ex quadralis 100 ol j.i.

Vcra limitatio li:cc est, gonoralis iiornpo et oiiines numéros inutiles
exchulens :

Oporlel ilatuni numeruni non esse iniparom, nec|ue dupkun ejus
unitate auctum, per maximum t|uailratum ex quo mensuratur divisuni,
dividi a ([iiovis numéro primo unitate minori quam multiplex quater-
narii.

XXVII (r- ^32).
(Ad commentarium in quaestion. XIV Libr. V.)

Oi'.ESTio DiopiivNTi. — Uiiilalem dividcro in tres numéros et cuilibct addorc dalum
cumdem nunieruui et ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque biua-
rium esse nequc aliquem eorum ([ui lit addilo liinario ad octouarii nndtiplicem.

Baciieti'S Ingeniosa est et autoro digna hujusuiodi limitalio. Cœterum quamvis, ut

ostensuni est, iucc condilio sit nccessaria, non est tameu siiffieiens, nam non soluni
numeri onmes liac limilaliono coinprobensi solvendiu ([uaestioni sunt iiiutdes, sed piv-p-
tcrea numéros 9 et omnes alii qui fiunt addito 9 ad Sa vol ad aliquem ejus multiplicem,
quales sunt 41, -3, loj, etc.; nam horuni triplum addilâ unitate neque quadratus est
neque nunierus e duobus vel tribus quadralis compositus. ...

Cacterum an liic ihuc limitatioues siiiiul sufficientes sinl. ita ut pcr utramque simul
excludantur ouines ouuiino numeri quorum triplum unilalo auctum non est quadratus
née e duobus vel tribus i[uadratis compositus, non ausim tcmcre affirmare. Equidem vix
adducor ut aliter sentiam, quum in omnibus nuuieris ab unitate uscpie ad 325 id sinu
expertus.

Limitatio ipsa Bacheti est insufticiens, imo nec ipsius experientia
satis fuit accurata, nam 87 numerus cadit in limitationem, non autem
in rcgulam.

Vera limitatio sic concipi débet :

Exponantur duaî progressiones (|uadru|)la' altéra ah unitate. altéra
ab octonario, et una alteri superponatur sic :

1, 4, iG, G4, 2.56, 1024, 4096, etc.,
8, 32, 128, 5i2, 3o48, 'Siga, 82768, elc.

et considerando primo terminum primum sceunda' qui est 8, oportet

OBSERVATIONS SLR DIOPHANTE. 313

datiim numerum non esse duplum unitatis, quia ipsi supcrponatur
unitas, neque superare duplo unitatis multiplicem 8.

Deinde, considerando secundum terminum secundiv progressionis,
qui est 32, sumatur duplum numeri superpositi qui est 4 : lit 8, oui si
addas omnes in eadem progressione supcriori proxime antécédentes
(in hoc exemplo invenietur sola unitas), fit 9.

Sumptis igitur duobus numeris 32 et 9, oportet datum numerum
neque esse 9 neque superare dicto numéro 9 multiplicem 32.

{^onsideretur mox tertius progressionis secundte terminus, qui est
128 : sumatur duplum numeri superpositi, qui est 16 : fit 3-?., oui si
addas omnes in eadem progressione superiori proxime antécédentes,
(|ui jani sunt 1 et 4. fit 37. Sumptis igitur duobus numeris 128 et 3;,
oportet datum numerum neque esse 87, neque superare dicto 37 mul-
tiplicem 128.

Considerato deinde quarto progressionis secunda^ termino, tient ex
methodo numeri 5i2 et 149. Oportehit itaque numerum neque esse
149, neque superare dicto 149 multiplicem 5i2.

Et est uniformis et perpétua in infmitum metliodus, quani neque
Diopliantus generaliter indicavit, nec Bachctus ipsc detexit, cujus vel
ipsa experientia fallit, ut jam prœmonuimus, non solum in numéro 87
qui est intra limites experientia^ de qua fidem facit, sed eliam in
numéro 149 et aliis.

XXVni (p. 24,).

(Ad quœstion. XIX Libr. V.)

Invcnirc très numéros, ut cubus summœ
eoium, quovis ipsorum detracto, faciat cu-
bum. Ponalur rursus trium summa iN. et
ipsi |C, 1^ C, ff-C. Superest ut très con-
juncli acquentur i N. fit ergo ffï| C .-cquale
1 N. et omnia per numerum dividanlur, fit
TTYsQ ipquale i. est autem 1 quadratus.
Oportebat ergo et numerum quadralorum
esse quadratum : unde autem is natus est?
(juod a tcrnario subducti sunt très cubi.

Eûps^v Tçfiç ap'.ôixoùç, 07:101; b iTto toù
cuyy.s'.ajvo'j Èx rwv rpitùv xûêoç Asi'iaç
ExaiTov "o;?, xjêov. T£Tà/0(o(i-/.v ttïÀ'.v 0;
TCEÏç ç'^ a. -/.%! ïÙtôjv 0 y.àv xùêiov Ç' , ô oà
xùêojv zç"'', b oà xiiêcov ;y' . Ao'.Ttov krSTi
rOllÇ TpEÏ; tCWUai ç" a. yi'v£T7.'. xuêizov

0(i)Os . tsov ;■ a. -ïvt^l Traça ac;t6;xûv,
xa'. Y'vsTa! ouvay-oCTov oojoÇ' . laov |jl a.
xa'. kdTcv Vj aovàç Ts-pâytovoç. 3er,î£t apa
y.X'. Taç ouvâ;j.£!ç sivat xîTpâytovov. rroOiv

316

ŒUVRES DE FERMAT.- H' PARTIE.

i|iiorum quilibct uiinor est iinitato. Eo ilaqiic
res redit, m imoniaiUur lies ciibi, qiioniin
quilibel sit minor uiiitalo, siimnin aiiloiu ip-
soriim a teniario sublata, facial iniadralnin.
Et quia volumus cuborum qiiemquo miiio-
rem esse uiiitate, si statuamus Iros numéros
simul unitate minores, niulto minores sin-
guli erunt unitate. Sicaulem quadralum (|ui
relinquetur oporlebit majorem csso binario.
Statuatur quadratusqui rclinquitur-i^.Opor-
let igltur J dividcre in très cubes et iiorum
multiplicia secundum aliquos cubos divisa.
Eslo secundum -uG. Oporlet igitur ut divi-
damus i6i in 1res cubos. .\t 162 componitur
ex cubo 125 et intervalle duorum cuborum,
64 et 27. Habcmus aulcm in porismalîs, om-
nium duorum culiorum intcrvallum componi
ex duobus culiis. Ilcc'urramus ad jiropositum
initie et sumamus unumqueniquo cuborum
inventorum, et quolibet ab unitate subtracto,
residua statuamus pro qucositis numeris et
sit summa iN. Ita fiot ut cubus sumniie, quo-
vis ipsorum detraelo, cul)uiii faciat. licstat
ut très simul ;cquenlur iN. fit autem trium
summa 2|C. Hoc ergo tequalur iN. unde
fiet iN, |. Ad positiones.

£<TTt TO -^AtiOoC Ttôv S' £X TC/Ù ~J.Tz6 TClico;

ïcov koTt ijiovxooç 1.1.1ÏÇ. XX! aTriyETa! tlç to
£ÛpE"îv Tp£Ïç xùêouç, OTtCOÇ êXaUTOÇ aÙTÔÎV
èXxffffcov v) a° 5. ri oï (juvOsulx auTôiv àpOèv
aTTO rpiiooç '^o'.r^ TSTpâyojvciv, xj.! ÎTrel Çr,-
TOUIJ.SV exaiïTov dlÙtcov xûSov èXiaiciva sivst'.
[j-oviSoç ij.îïç, èi.v apx xxTX(TX£ui5(oy.EV toÙ;
xpE'ïç apiOaoùç ÈXâtTuovxç aovâSoç a. TioXXto
ÉxaSTOç aùxcuv ÈXiaaojv ixoviooç IZ. w(ît£
ciS£t'X£i ô xaxaXEmdijiEvoç xExpiywvoi; ueiÇcuv
Eivat SuiSoç. TEXOtyOto xaTaXEtTrojxEvoç xe-
TÇ,yi'Hi)VO^ [Ji° p. a . Se'? oùv xà y'*' SiEÎ.Etv Etç
xpE^ç xûêouç. xgà xaxa xoûxwv TToXXx-Xâd'.ot
Xïxx xiviov xûêcov SiaipEOÉvxojv. e5X(o Se
xïxx xov 5Tç. cicpEt'Xov.Ev oùv tÔv p^jî SieXe^v

Etç XCEÏÇ XÛêoUÇ. SUYXEIXQCI 0£ 0 Çi^fi EXXE

xûSou xou pxE xai oûo xûêwv û^ls.ç,o■/^7^ç
xoSxE ^0 xcilI xoD xÇ. Ë/oaEV 0£ Èv xoï; 11:0-
pcajJLaa'.v * oxi Tuâvxwv ûûo xûSiov V) ûtieco^"^
x" *. àvaxO£/oiji.£v Et; xo à; àp/_T|Ç, xai xàu-
coaEV Exotaxov xûêcov EtJpEOÉvxojv. xoij; 3e
xpE^ïç àpiO;j.iv â. xai 5uy.?r,iiExai xiv aTuo xoù
iTuyxE'.y.£vou Èx xàiv xp'.cov xûSov X£l''i/7.VXa
Ëxaoxov, TTOtEfv xûêov. Xonrôv Ècxi xouç xoe'Ïç
iitoua; ;" ât. Yt'vovxïi 3È ot xpE^ç x'^ ,3 ot'''.
xaijxi tffa ç" â. oOev yhizxi h ç' a' [i . è-1
xaç Û7roax7.(j£tç.

Solutionis modum Diophanliis non cxprimit aut grseca corrupta
sunt. Bachetus (') casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen
non admitlimus, quum Diophanteam methoduni non difficilem invonlii
existirncmus.

Inveniendu.s quadi'atus binario major, ternario minor, qui a tornario
subtractus relinquat numerum in très cubos dividenduni.

(') Il est aisé do voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être
obtenue avec les positions do Fermât, et l'ou a dès lors le droit de répéter avec Bachot :
« Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2I, quo de 3 sublato relimiuitur f
ex tribus cubis coraposilus. »

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 317

Ponaturqu.fesiti quadrati latus esse quemlibetnumerorum numerum

— unitate : verbi gratia

iN-i;

ipsius quadratusa ternario subtractus relinquit

2— 1Q-H2N,

cui iiiveniendi très cubi a;quales qui sic effingendi ut sequalitas tandem
consistât inter duas tantum species proximas.

Id quidam innumeris modis construi potest : Sit unius ex cubis latiis

i-iN;
alterius (^ut numerus numcrorum in ambobus cubis conficiat 2N) sit

tertii latus in numeris dumtaxat fingendum, qui etiam, ne valor iN
quœsitos termines évadât, debent notari signo defectùs, nec est ope-
rosum eum numerum numerorum sumere cujus valor a-quationeni ad
pr»stitutos redigat terniinos.

Hoc peracto, patct primum ex cubis esse minorem unitate, ut (jua'-
rebamus; quum igitur secundus sit major et tertius signo defectùs
notetur, patet differentiam secundi et tertii œquandam esse duobus
cubis, quam ob rationem ad secundam operationem etDiopbantus et
nos devolvimur.

« Habemus autem » inquit « in porismatibus omnium duorum cu-
borum intervallum componi ex duobus cubis. »

Haîret iterum Bacbetus (') et, destitutus porismatibus Dinpbanteis,
hanc quasstionem secundam determinatione indigere contcndit : duo-
rum quippe cuborum intervallum eâ tantum conditione in duos cubos
divideredocet, dummodo major datorum cuborum excédât duplum
minoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum divi-
datur in duos cubos ignotum sibi ingénue profitetur. Nos supra ad

(1) K'«> Observation VIII.

318 M.LVUKS DE FEllMAT. - Ih PARTIE.

qufestioiu'iii Liliri IVseciintlam et haiic et reliquas liujus niater'uc qiia^s-
tiones c;oncralitei' constriiendi iiuuliim i'elicitor dotexiinus.

XXIX (p. 3'(9).
(Ad quœstion XXIV Libr. V.)

InviMiire trcs qiKulralos, ut solidiis sub
ipsis contcnlus, (|iiovis ipsoriim adscito,
quadralum facial, ronatur solidiis illo iQ.
et quseraiilur trcs quadrati quonim (luilibet
adscitâ unilate facial quadralum. Hoc aiilom
peli potest a quovis triaiigulo reclangulo.
Expono tria triangula reclangiila, et acci-
pieu» (juadralum uuiiis lalerum circa rec-
tum, divido eum per quadratiim altcrius
lalerum circa rectum, et invenio quadratos,
unura yôQ, altei-nin ffyQ, terlium r~=Q,
et quilibolipsorum ciim iQ facil quadralum.
Restât ut solidus sub tribus contentus œque-
tur iQ. Est auiem solidus ille rrVrrô^'C.
hoc tequatur i Q. et omnia ad eumdem deno-
minalorem reducciido, et dividende per i (J,
fiunl -VsWo QQ ;equalia i. et latus lateri
œquatur, fitque -)^Q aequale i. Est autem
unilas quadratus. Quod si eliam Hf Q qua-
dratus esset, solula fuissel quaestio. Non est
autem. Eo igitur rcdaclus sum, ul inveniam
tria triangula rectangula, ut solidus sub per-
pendiculis duclus in solidum sub basibus
facial ijuadratum * cujus latus sit numerus
muitiplicatione ortus lalerum circa rectum
unius Iriangulorum. Et si omnia diviserimus
per produclum e.\ lateribus circa rectum
inventi rectanguli, orictur qui fil ex pro-
ducto lalerum circa rectum secundi in pro-
ductum lalerum circa rectum altcrius irian-
gulorum. El si unum ipsorum statuanius 3.
4. 5. eo deventum est ut in\enianlur duo
triangula rectangula ul productus ex lateri-
bus circa rectum producti ex lateribus circa

TpâytOVOV. T£T3C/G(l> b £X TÛV TptùJV STcpSOÇ

3'' a. xat ÇïiToOasv toeTç xErootycôvou; Ô'Ttojç
's/tarjTo; xÙtwv aSTï. (J.ovxîo; y. Ttoiy, Terpoi-
ywvov. TOÛTO Sa 3.-Kb Tiâv-o; opOoywvi'ou rpi-
yiijvo'j. èxTiGEjjLïi Tï xpi'ï Tf l'ytDvï. ôpOoYMVix,
XX! Xaêcov Tov ocjîà utîç xwv [ttesi tT|V op6r;V
TSTpâyoïvov] ij.zç'X(!> si; tov XTri ty,; ).0'.zt,ç
Tcôv [Trspl Tfjv] ôpô/jV. xal E'Jpr|5Q;j.£v toÙç
TîTpxYojvouç. £va |j.àv 3'^ 0 ' . TOV oà STspov
0' xîf' . TOV os TfiTov 0 ;o . x-/t u.Eve;
ExanTOç aÙToiv iastch S" ôt Trotwv TSTpiY(ovov.

XoiTTOV ÈiJTt TOV ÈX TÔijV Tplàiv (ÎTSp£ÔV ISlOdy.!

o'^ â. yi'vETat oÈ ô ex tcov TptSv UTEpsoç x" y.'
â. Ou' ^' . TXÙTX "dx 3" â. xï! -K-lv-cy. eÎç to
aÙTO ixop'.ov, xal Tiapx 3'jva;j.'.v ytvET-j'.'. 3' 3'^
ôi. Ou' ■'"' 'tua |x° 7.. xal r, xXEupà tî, -ÀEupà.
yi'vôTa; 3'^ px''''' l'îa ;/' a. xal ett'.v y, aovaç
TETpàyiovoç. e! ViV TETpâyiovoç xal xà 3'' px'"'.

ÀeXujxÉvOV av Y,V TO Çï,TOtJ|J.EVOV. OÙX "ÉlîTlV

3É. àTrâysTa'. oùv eIç to sûpE'ïv Tpi'a Tpt'ycova
ôpOoyoïvia, otiojç ex t<ov Tptcôv xaOsTwv
aÙTÔiv (jTEpEÔ; ■:roX)iaTiXau'.aiT6£U ettI tov ex

TÙJV fiaTElOV aUTtôV iTTEpEOV TtOIYl TETpàyw-
VOV. * •TT^EUcàv 'ÉyOVTa TOV ÛTTO TloV TÎEp'.

T'Av cipOyjv Évôç Toiv ôpGoywviwv. xai Eav
TiavTa TiapaêâXioaEv Tiapà tov ûttô tîov Tispi
Tr|V opOy,v TOÎJ EÛpY|y.Évou opOoytovt'ou yEv/,-
d-Tai ô Û-O TÙlv TTEpl TïjV opO'/jv Toù a 3 Èttl
TOV TTEfl Tr|V OpOriV TOij ÉTÉpOU TÙjV Tp!yO)V(.)V,

xal Èàv Tâ;wu.£v ëv auTÔJv y. 3. e. a-ayETat

E'.c TO t'jiil-i 3ûo Tpiyiova ôpOoyiôvca, ôxio;
ô û-o TCÔV -Ecl Tr.v ooOr|V toù u-o TWV TTEpt

OBSERVATIONS SUR DIOPHANÏE.

319

rectum sit laN. Proinde et area area> 12. Si
autem \i et 3. Hoc autem facile est et est
simile luiic 9. 40. ji. AUcriim * 5. 12. i3.
( * le^c'/idiii/i c-t 8. i5. 17). Ilabentcs ergo
tria triangula rectangula, revertamur ad ini-
tio propositLim. Et statuamus trium quœsi-
torum qiiadratorum, altorum 9, alterum 25,
tertium 81, et si solidum exhis fequemus iQ,
fiet tN rationalis. Ad positioiies. *

oou '/i. £■ oà !^3 Kï-Ï y. TOÙTO Sa pâSiov /-■/,;
s(jTiv oyj.O'.O'i TCO oO (6 Vatic.) [X. ijia. t6 Se
6T£fov I. i3. '.'f. ïyov-Eç oùv Ta TCL'a rçi-
yi'i^y. ôsOc/ywv'.a èp/oasOsL S'.i; to È; ap^îjç.
Ti(J(JO|JI.£V TÔJV ÇriT0U|JlÉv6JV Tpiwv TETpaYiô-
v(ov, Sv uàv 9, 8v SE xâ, 3v os wï. XXl Èxv

Tiv EX TtoV 3. £ <7T£pêÔV ((Jlî)(ÎCoy.£V o'^ a. Y-''V
(TÎTX'. Cl Ç° pTjTÔç. Èt:'. Taç ÛTtOTTâ^S'.Ç. *

Methodum Diophanti, quam non percepit Baclietus ('), ita restituo
et explico.

Quoniain prinuim triangulum est : 3, 4. 5, et rectanguluin siih latc-
ribiis : 12, eu devenlarn est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo trian-
gula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa
rectum sit (ltio(lecii[)lus; et ratio est quia tune pvoduclus ex lateribus
unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit
planus similis 12, atque ideo ooruni mutuà multipliealione fiet qua-
dratus, quod vult propositio.

Sequitur Diophantus : Pruinde et area areœ i2(-),quod perse claruin
est. Deinde : Si autem 12, et >, (juia, dividendo i 2 per quadratuni 4,
fit 3, et semper in multiplicationc oritur quadratum; nam quadratuni,
(livisuni per quadratum, faeit (|uadratuni.

Reliqua Diophanti non prœstant propositum, sed ita restituemus.

(') Il s'agit de trouver trois triangles rectangles en nombres («1, b^, ci). {a.,, bf,Ci).

(rt3,/;3,c3) tels que l'on ait. «1, "», «3 étant les hypoténuses, ' ' ^ dans un rapport

C1C2C3

carré.

Prenant arbitrairement le triangle («i, In, >'i), soit (5, 4, 3) dans l'exemple choisi. Bachet

forme les triangles suivants, respectivement des nombres «1, bi et«i, c,, c'est-à-dire il

pose de fait :

f?,= rtf-T- /;;, ù-, — 'i'f — b'l = c'l, c-2=2«i//i,

«3=«;M-cj, /;3 = rtJ — cf = /^f, <:-3=2rtiCi,

d'oii

bibJh / b, \2

,(•2 (-3 \2rti/

Les deux triangles ainsi construits sont (,4ij 9) 4°) et (34, 16, 3o). Au lieu du second,
il prend le semblable (17, 8, i5), le rapport restant le môme.
('-) Entendez dnodcciiplu, et à la ligne suivante : Si autem duodeciipln, et tripla.

320 ŒUVRES DE FERMAT. - U" PARTIE.

In Ikh' casu {' ), fingatur ti'iangulum abs 7 et 2, alterum vero abs 5
et 2; el priimim ti'iangulorum ciit tripliim ad sccunduni, et duo pro-
posito salisfticiciit. Régula auteni genera/is imcnicndi dito Iriangida rec-
tanisula in ratione data hœc est :

Sit data ratio R ad S, majoris ad minus. Majus triangulum forma-

Ititur abs

Rbis + S et R-S;

minus vero abs

R + Sl)is cl R — S.

Aliter.

Formetur primuin triangulum abs Rbis — S et R+-S,

secuiulum abs S bis — R et R + S.

Aliter.

Formetur primum triang:ulum abs Rsexies et R bis — S,

secundum abs Rquater + S et R quater — S bis.

Aliter.

l'oriiietur primuui triangulum abs R + S quater el R bis — S quater,
secundum abs S scxics el R — S l)is.

Kx jam dictis deduci potest methodus inveniendi tria triangula rectan-
gula in proporlione trium datorum numerorum , modo duo dati numeri
reliqui sint quadrupli.

Sint, verbi gratia, dati très numeri R, S, T, et sint ipsi R, T simul
quadrupli S. Formabuntur sic tria triangula :

lirinuuii abs R -h S quater cl R bis — S quater,
secundum a])S S sexies el R — S bis,

tcrlium abs S quater + T et S quater — Tl)is.

Sumpsimus autcm R esse majorem T.

(•) Les triangles de Diophante ou de Bacliel s'oblicniienl par la seconde solution de
Fermai, c'est-à-dire avec les couples générateurs j, .\ et 4, i. Diophante avait probable-
ment traité, dans un problème perdu, la construction do deux triangles rectangles dont
l'aire soit dans un rapport donné.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANÏE.

321

Hinc etiam elicietur modus iiweniendi Iria triangida rccta/igiila nu-
méro, quorum areœ constituant triangulum rectangulum.

Eo enim deducetur quaestio ut inveniatur triangulum cujus basis et
hypotenusa sint quadrupla; perpendiculi. Hoc autem est facile et erit

triangulum simile huic :

17, i5, 8.

Tria vero triangula sic formabuntur :

priiiimii abs 49 et 2,
secundum abs 47 et 2,
lerlium abs 48 et i.

Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula quorum arcw sini
in latione Irium quadratorum datorum, quorum duo sint quadruplircliqui.
ac proinde poterunt eâdem via inveniri tria triangula ejusdem areœ (');
inio et infinitis modis possumus construere duo triangula rectangula in
data ralione, ducendo unum ex terminis aut utrumque in quadrala
data, etc.

XXX (p. Ml).

(Ad qusestion. XXV Libr. V.)

In\ cuire 1res quadralos, uL solidiis siib
ipsis contentiis, quolibet ipsorum dolraclo,
facial quadratum. Ponatiir solidus sub ipsis
oontenlus i Q, et rursus quadrati qui quœ-
runtur, sumantur ex trianguiis reclangulis,
unus a yf , alter a jf^, tcrtius a ^ ; statuo
eos in quadratis, cl nianet iQ, quolibet ip-
sorum delraclo, faciens quadratum. Super-
est ut solidus sub tribus contenlus eeque-

tur [Q : est autem solidus ilie y|-|

rCC:

hoc ergo œquatur i Q, et oniuia per i Q div i-
dantur, fiunt -flffufs QO œqi'alia i. Est au-
tem unilas quadratus, latus habens quadra-
tum. Ergo oportebat etiam -ïrlf ofî QQ esse

Eùpsïv TpE^Î; TSTfayojvouç, o~o)ç 0 ix rou-
Ttov ijTEGïàç X£C'|/a; exciutov auTÔJv Tcoiy, t£-
rpiviovov. TETi/6to 0 i\ aÙTwv axEosoç 0' a.

Xal TlâÀ'.V o[ ÇT|TO'ja£VC/l Tôrpifcovoi XTIO Ttôv

opOoY(ovi«)v rptyiôviov, évoç iaÈv Tç", toû ùÏ

. , _,.ro, ^ ,, ^„-^ . , , ,

ETEpOU X£' , TOU 0£ ;0 . TIOSOJ 31UT0UÇ £V

SuvâaEi, x.x\ ;j.£V£i rj Z'' y. Xti'^zi àxâuTou
aÙTÛv -KO'.oïmy. Tstpiyojvov. Xoiîrôv èctt'. tov

ÈX TÔJV TpUOV (ÎT£p£iv tUtuSai 3uvà[X£! â. X3L1
£ST!V Ô ÈX TWV Tp'.WV (ÎT£p£àç XuêoXÛêoiV

p. £/ £v l.'-opûo pxfi. ax£. raùxa "^a Suvà-
ixEi a. xal TtivTï Tcapà Sûvaaiv [ji.iav Y'vsTa'.
ù" 3" p. £/_, £V [jLopto) pxp. ax£, toot [x° â. xal
eUTiv Tj jxova; rsTpâyiovoç n^Eupàv t/outsy.

(1) ro(> Observation XXIII.

FlRMAT. — I.

^r

322

ŒUVRES DE FERMAT- 11= PARTIE.

quadratum UUus lial)('i\ienu|uadraUim. lîiir-
sus itaque res eo est ivikicla ul iiivenianliir
tria trianjiLila roctaii.i;ula , ut solidus siib
perpendieulis diictiis in solidum siib iiypo-
lenusis facial (]iiadralimi. qui lalus liaboat
quadratum. * Kl si omuia dividauuis por
productuui ex hypolenusa in perpondiculum
unius rectangulorum, oporlel orialur qui fit
ex produclo hypotenuSiE in perpendiculum,
alicujus rcctauiïuli, in productum ex hypoto-
uusa in per|)ondiculuui alterius, csto ununi
rcctanizolorinn 3. [. 5. Eo itaque deventum
est, ul iiivonianlur duo Iriangula reclan-
gula, ut nunierus liypotenusae et perpendi-
culi, numeri hypolenusae et perpendiculi sit
■>.o. Si autom 20 cl 5. et est facile, quippo
majus est 3. li. i3. minus 3. 4- 5. Ab bis
ergo quicrenda .sunt alla duo, ut numorus
hypolenusœ et perpendiculi sit 6. est auleni
majoris bypotenusa 6 -}, perpendiculum 60.
Minoris autem bypotenusa 2I. qui vero in
uno rectangulorum i>.. et accipientes minima
similium, recurrimus ad propositum initio,
et ponimus solidum sub tribus conten-
lum I y. ipsorum autem quadratorum alte-
rum 16Q. alterum SyGQ- terlium jg-î-j-f Q.
.Supercst ut solidus sub tribus œquctur iQ.
et omnia in 1 Q. latusque lateri aequetur, et
invenielur iN.G5. Ad positiones. *

TSTpiywvov. OEi^nei apx xal S" 0" ,6. £/, èv
[jiopio) pxp. ôxi, Eivai TETpàywvov TiXeupàv
"é/ovra Tcxpâycovov. xai ■jraXiv aTrotyETîH ecç
To EÛce'îv Tpi'a rptyiovy. ôpOoY<ôvta, ottco; 0
ix. Tiov xxOstojv arspECiç TroXXaTrXaTiï^Oô'.;

£7:1 xèv kx. TCÙV ÛTtOTSlVOUSWV (ÎT£p£OV, TtOl?!

TSTpiY'''^<^^ TiXsupav e/ovra TeTpayiovov,
*xal làv TrivTi :tapa6âXo)|xsv irapa tov tY|;
Û7rOT£ivoÛ5Y|ç xxi xïOîTOu évoç Tùiv opOo-
ycoviiov, oerjuei toû ÛTtOTÈivouaôiv xai xi-
Oexov TOÛ ûiroTsivoûiîTiç, xai xaOérou tcoX-
XaitXamaiTOâvTa xïtx tov Û7rOTeivotjiiT|(; xai
xïOÉtou ôpOoyojvou xivoç, earii) xi ëv xwv
ôpOoYwviov y. 0. I. aTTOtYExai oùv stç xi
£Ûp£Ïv 8iJo xpt'Ywva ôpOoyojvtï oTtioç 0 ûtto-
x£tvoÛ5T|i; xai xaOéxou xoO ÛTroxeivoùsTiç, xx;
xxOÉxou Yi X. e'i Sa X. xat I. xai edxt piSiov,
xal eTxt xi ;j.£v [AE^i^ov 7. 1,8. ly. xi 8à eXax-
Tov Y- 2. î. ^T|XT(X£ov oùv aTii xoûxoiv EXEpa
ûûo, OTTojç ô Û7roxELvoûaT|; xal xïOsxou r,

îj." Ç. E<7Xt OÈ X03 [J.ÈV iXEti^OVCiÇ UTTC/TEl'vOUda

ij." ç. â'^ . ri 3È xxOexoç ^. xoù oÈ ÈXiscovo;

0 lAEV Èv x7| ÛTTOXElVOÛaV] [Jl" |3. a*^ b 3e ev

xr| ôï xùjv opSoyiôvcov i|3. xoti Xaêovxeç xa
ÈXi/isxa tg5v ô|AOta)V avaxpÉ-/_0|j.£v eiç xi È;
àp/Y,;, xxl xâc50|j.£v xiv Èx xoJv xpiùiv txe-
pEiv S" S. aùxôjv Se xwv xExpaY"''V''J^' '^''
1J.EV 5" tç, 3v 3È 3'^ 90;, 3v 3È 3" x âv i^opûo
S. r|Cii?a. XoiTTÔv Èdxt xiv Èx xàjv xpcôiv rjxE-
pEèv Iffwuï,'. 3" â. XÏ.C TTXVxct Ttapa ûùvaaiv
xal Y] TrXEupà xy, TiXEupS. xal EÙpisxExa'. 0

ç' $E. ÈTTl xàç ÛTTOdXOtaEtÇ.

Ad ehiiidatioiicm et explicatioiiem qusestionis 25 juxta inctliodum
Dioplianli, quain Hachetus similiter pr3etcrmisit('), quœrencla sunl duo
Iriangula reclangula ut produclus sub hypolenusa et perpendiculo un tus

(') Bachot so propose de trouver trois triangles rectangles («1,^1,^1), {('ii l'i, ci),
(as, tj, C3) tels que le rapport 1l21^ soit carré. A cet effet, il prend arbitrairement le

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 323

ad producliiin sub /lypoleniisa cl perpendiculo alterius habcal rationcm
datam.

Quae sane qusestio diu nos torsit et vere difticilliinani quiliht'l (en-
taiulo experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsiiis solutioiiem
methodus.

premier triangle, en sorte loutel'ois que arj > b^\ il forme le second en posant

t>i bx

et le troisième en prenant

(13= tiifi-i, bj= bic-i+ li-,Ci, (■3=riCo — bib^.
On a alors, d'une part.

de l'autre,

''i '"■2 '"3 = (aèir, )-.

Fermât a bien reconnu (pie Diupliante. se donnant arljilrairement, par exemple, le troi-
sième triangle (5, 3, 4), clierclie les deux autres en sorte que — — - soit dans un raiiporl

Ci Ci

donné, à savoir 5. Mais il n'a pas deviné le procédé de l'auteur grec, ipii a élc restitué
par Otto Scliulz (Dioplianltis von Alcxaiidria arilliinethchc Aufgahcii iicbsl ilc.sxcn Schrtfl
iïber die Polygnit-Ziililcii, aux dcni Qricchisclien iibersctzt itiid mit .J/imer/m/iffe// bej^leitet.
Berlin, 1822, p. 54f>-iJi) d'après le texte donne par Bacliet.

Diophante prend d'abord deux triangles auxiliaires («i, pi, Yi"), (a,, p.,, y>). tels (|uc
Prfi soit à P2Y2 dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le |)r(i-
blème précédent V, 24, sont d'ailleurs (j3, la, 5) et (5, 4, 3 ).

D'autre part, ayant un triangle (a, p, 7), Diophante sait construire un triangle {». b, r)

tel que cic = '—^- Il prend à cet effet

ri =

oc, b =

■irt

Du triangle (i3, 12, 5) Il déduit de cette façon lo triangle /G-i — ^j —,]^ et du

\ 2 2b 1 3 /

triangle (J, 4,3), le triangle ('■-' -^' "^)' Les deux triangles ainsi formés salisfoul

évidemment à la condition imposée.

l'our achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés

(^.,.)\ (i.;f, (fi.);

\"1 / \"l 1 \rt3 /

c'est-à-dire

'4 400
28561

X-.

576 ,...

16 „

625 '

23

et, égalant leur produit à j-, il tire pour .r la valeur — ■

^5

M'i ŒUVRES DE FERMAT.- Il" PARTIE.

QiiaM'antiir duo Iriaiigula ut roctauguluni suh liypotenusa unius t'[
perpeuiliculo rectanguli sub liypotouusa alterius et porpendiculo sit
(lupluui.

riiigatur uuuni ox (riaugulis ab A et B, alterum ah A et D. Roctau-
guluni suh hypoteuusa prioris et pcrpendiculo erit

n iii A culiiim l)is -+- R ciil)o in A bis;

l'octangulum voro suh hypoteuusa posterioris et perpendiculo ciit

]) in \c. I)is + De. in A l)is.

Quum igitur H in Ar. i)is + l$r. iu A l)is sit dupluni rectanguli
D in \c. bis + Dr. in A bis, ergo

R in Ac. 4- Rc. in A îequabilur D in Ac. bis -+- De. in A t)is,
et, omnibus abs A divisis, fiet

RinAy. + Rc. œquale D in A'/, bis + De. i)is,
et, por antithesin,

De. bis — Rc. îequabitur B in Ai/. — I) in A^. l)is.

Si igitur De. bis — Br., divisum pcr B — Dbis, aequetur quadi'ato,
soluta erit qua'stio.

Qua?i'endi igitur duo numeri, loco ipsorum B et D, ea conditione ut
duplum cubi unius, minus alio, divisum vel multiplicatum (eodem
enim res recidit) per duplum posterioris minus primo, faciat qua-
dratum (').

Ponatur unus esse iN + i, alter r.

(lubus duplus prioris minus cubo a posteriorc facit

1 + 6N-HGQ + 2G.

Duplus autem posterioris minus priore facit

I - 1 N.

^ \)3 I}3

(' ) On voil qu'au lion de déterminer B et D en sorte que -^ jr- soit carré, Fernuil

2D3 B^

va les chercher, par erreur, en sorte ciue — ;; rr- soit carré. Plus loin, après avoir

2 B — l)

reconnu la faute de calcul qu'il a commise, il laisse subsister sa solution comme s'appli-
quent en tout cas à un problème digne d'intérêt.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 325

Krgo, si ducas i — iN in i + 6N + 6Q -i- 2C, fiet quadratus. Pro-
(luctum illud seqiiatur

I + 5N — 4C — 2QQ, quod œqiiaïKliini qiiaclrato al) -N — i — ^0'

et omnia statim constabunt.

Propositio autem ad omnes rationes extendetur si, loco unius ex
quaerendis numeris, ponatur iN plus excessu majoris rationis termini
supra minorem et, loco alterius, illo ipse excessus, ut jani a nobis in
ratione dupla est factum. Hac quippe ratione semper unitatum numorns
cvadet quadratus et œquatio erit proclivis; hoc peracto invonientur duo
numeri qui ipsos B et D reprœsentabunt, et ad primam qua'stionem tiet
reditus. *

Retractanti quae hucusque ad 20"'" qusestionem scripsimus, visum
erat statim omnia delere quia abductio ad problema quod perfecimus
non convenit quœstioni nostrse : quia tamen qusBstionem aliam, ad
(|uam maie praesens problema adduxeramus, recte construximus, non
tam operam perdidimus quam niale collocavimus, et ideo maneat scrip-
tura marginalis intacta.

Qua^stionem ipsam Diophanteam novo iterum examini subjicientes
et metbodum nostram sedulo consulentes, landem generaliler solvimm :
exemplum tantum subjiciemus, confisi numéros ipsos satis indicaturos
non sorti, sed arti solutionem deberi.

In propositione Diophanti quserenda duo triangula rectangula eà
conditione ut productum sub liypotenusa unius et perpendiculo ad
productum sub hypotenusa et perpendiculo alterius habeat rationem
quam 5 ad i.

En duo illa triangula,

primum, cujus hypotenusa 48543669109,

basis 36083779809,

perpendiculum 32 472 275 58o,

secundum, cujus hypotenusa 42 636 762 988,

basis 41990695480,

perpendiculum 7394200038.

32G ŒUVHES \)K l'EKMAT. - II" PARTIE.

XXXI (p. Mj).

(Ad quaestion. XXX Libr. V.)

D.Uii luimoru Ire- adimeiiiro qiuiilratos quoi'iiin bini suiiipli. ailsuiliMiiic ilalo luiinero.
l'.iciant quadralum.

Hujus qua-slioiiis Ix'iict'R'io, sequenlis quseslionis solutioneiii dal)!-
iiuis quic alioquin (lil'ficillim;i sane videretur :

/)alo numéro, fjua/uori/nr/iirc numéros quorum bini sumpli adsciloque
(luto numéro facianl quadralum.

S'il daliis iiiiiiicrus i5 et priiiuun, per liane qiui'stioiicni, reperiaiitur
rt'es quadrati quonini hini sunipti adscitoque dato numéro faciant qua-
dratuni; et sint illi très quadrati (')

9. ' 'i-

lOO 22D

Ponalur prinuis (juatiior numeroruin quaesitorum iQ — i5,

secundus GN + (>

(quia 9 est unus ex quadratis, 6N autem est dupkun lateris in N),
tertius eadem ratione ponatur î N -

quartus denique ||N

Ita (juippe institutis positionibus, tribus propositi partibus satisfit;
quilibet cniiii nunieroruni unà cuni primo, adscito i5, facit (|ua-
dratum.

Superest ut secundus cl tertius addito i5, item tertius et quartus
addito i5, denique secundus et quartus, eodcm addito i5, faciant (|ua-
dratum; et oritur triplicata a-qualitas cujus solutio in promptu, (|uuni
e\ cDiistructione, cujus arlificium ab bac quœstione desumpsimus, in

(') Ces nombres sont ceux de Diophante. Les racines de ces carrés peuvent se repré-
senler en général par

/•(;■--!-«) yjz r(G2-4-cO Qz

z. j ,

kpz r ir/z r

en supposant />--*- q^ = /•-• Diophante a pris en fait, pour « = i5, z = 3, p = 4, q = i,
r = 5.

I uu

B AT , ".2!)

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 337

([uolibel termino sequando reperiantur unilates tantum qiiadrata' cl
numeri. Recurrendum igitur ad ea quœ dixinius ad qua^stionem 24
fjhri VI.

XXXII (p. .5:).

(Ad quaestion. XXXI Libr. V.)

Dato numéro 1res adiiucnire qnadratos, quorum hini siimpli detracto (lato numcrn
faciant quadratuni.

Quo artificio in superiore qua^stione usi sumus, ut quatuor numéros
inveniremus quorum bini sumpti adscito dato numéro eonficerenf qua-
dratum, simili in hac quaestione uti possumus, ut inveniantnr (jualiior
numeri quorum bini sumpti detracto dato numéro conficianl quadratum.s

Ponendus enim : primus i Q + numéro dato; secundus quadratus
primus ex inventis in hac (juœstione unà cum duplo ah ipsius latcrc
in X; et reliqua patent.

XXXIII (|.. X-.8).

(Ad quaestion. XXXII Libr. V.)
Invenire 1res quadralos, ut compositus ex ipsorum quadratis faciat quadralum.

dur autem non quseral duo quadratoquadratos quorum summa sil
quadratus? Sane \\?ec quœstio est impossihilis, ut nostra demonstrandi
methodus potest haud duhie expedire.

XXXIV (p. 287).

(Ad commentarium in quaestion. III Libr. VI.)

Qu.ËSTio DiopiuNTi. — Invenire triaugulum rectangulum, ut areae ejus numerus, adsu-
mens datuui numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.

B.iCHETus Quoniani vero iiinc forte venit in mentem Francisco Vietae (') quaeslioneui

(') ViÈTE, Zeteticum V, 9 (édition Schooten, p. 79) :

Invenire numéro triangulum rectangulum, cujus area adjuncta dato piano ex duobus
quadratis composito, conficiat quadratum.
Sit datum planum Z, planum composituni ex B quadrato et D quadrato. Eflfingatur trian-

328 ŒUVRES DE FERMAT. - 11" PARTIE.

upplicari posse solis iiumeris qui e duobus iniadralis compoiuinlur, quia Diopliantus iii siiu
liypolhesi sumpseral 5, o duobus quadralis compositum ; quamvis ex ipso diictu analysées
Oiophanteae salis constet ad quenilibet numoruin extondi prohlcma, ne qiiis taiiien siiporsit
dubitandi locus, placet id otiam experientia coinprobaro....

Ki'i'or Vieta' iiule liaud diihic oriliir. Supposait vir claiissiiiius dif-
fiTcntiain duoruni (iiiadiatoquadraforuni, ut iQQ — i, wquari arese,
tui adjioioiulo quintupkun quadrati, tiat quadratus.

Si 5, numerus datas, dividatar iu duos quadratos, poterit inveniri
(liiinlupluni quadrad a quo. denipta unitato, supersit quadratus. Pona-
tur igitur latus quadrati quintuplicandi esse iN + i, aut aiius quivis
iiumerorum numerus -+- i. Quintuplum quadrati illius erit

5Q -HioN -+- 5,

oui, si adjicias areani, iQQ — i, fiet

,00-h5Q + ioN + 4.

(|u;o summa débet iequari quadrato. Hoc autem non est operosum,
(juuni luunerus unitatuni, ex hypothesi adjecta probiemati, sit qua-
dratus.

Non vidit Vieta quiestionem perinde resolvi posse si, loco iQQ — i.
sumpsisset pro area i — i QQ : oo enim doduccnda statim (juîestio ut
(latus numerus, 5 vel G vel alius quilibet, in quadraîum ductus, ad-
jecta unitato, conficiat quadratum; quod generaliter est facillimum,
(|uuni uni tas sit quadratus.

gulum rectani;uluiii idis ([uadialo adgretjali lalenim B, I), et quadrato difrereiUi;p eoruindeiii.

llypolenusa iiiilur similis erit R ipiad. quad. 2 -h B quad. in D quad. 12 -+- D quad. quad. 2.

Basis B in D in Z plaiium 8. Perpendiculuni B -f- D (juadralo in B — D quadratum 1. Adpli-

, T> r; • fi FT I r- . • ■!■ z piano in B in D. 2 .,, „ ,

cenlur omnia ad B h- D m B — D quad. 2, liet area sundis — • Adde Z pla-

B — Uquad.

mini; quoniam B — U quad. -+- B in D2 iequalur B quadrato -h D quadrato , id est œqua-

_ , .. Z planoplanuni , ,. Zplani'

tur Z piano, summa erit — ' ' ; quadratum a radico tt-^— -^•

B - U quad. B - U

Sit Z planum '>. Di, B2. Trianiiulum rectaniiuluin erit liujusmodi : -r-» -^j -r-
Area ^^> id est 20. Adde 0. Summa fit 'ij, cujus radix est '>.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 329

Nos peculiari methoilo (') quœstionem hanc et duas proximas (^)
resolvimus, cujus beneficio, (liim quœrimus triangulum cujiis area,
unà cum 5, verbi gratia, conficiat quadratiim, triangulum iii niini-

niis (•'' ) exhibemus

9 40 4i

3' y T'

cujus area 20, addito 5, facit quadratum aS. Sed de ratioiie el usu
nostra; hujus methodi non est hujus loci plura addere; non sufficeret
sane marginis exiguitas, multa e.nim habemus hue referenda.

XXXV (p. 2S9).

(Ad quœstion. VI Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut numcnis areae, adsumens unura lalcriim circa rec-
tum, faciat dalum numerum.

(') La méthode de Dioplianto peut se représenter comme suit : soient a le nombre
donné, et

-^+f,)r, {-■^-^^y. -^y

le triangle elierclié, on devra rendre carré (.r^ -Xyï^a. En égalant cette expression

a (.rn — I _)-2, on arrive a tirer rationnellement, en fonction d arbitraires m et n.

_ rt(4rt2/«' -t- i) — //2 ax

^ainii ïmax-^-ii

(-) DiopHANTE, VI, 4 '■ Invenire Irian^iiliim rectniiguhim ut areœ iiiimcriis iiiiiltatiis
data numéro faciat quadratum.

DlOPHANTi;, VI, 5 : Invenire triangulum rectangulum ut numerui- arece dcirnctus a diiti>
numéro faciat quotlralum.

La méthode de Diopliante, jiour ces deux problèmes, est analogue à celle i|u'il a suivie
pour VI, 3.

(') De fait, ces nombres reviennent à ceux do Victe. Comparez au reste Jacques nu
lilLLV (Doctriitœ analyticœ iuvenluin iiovum, I, 87, p. 10) :

« Vieta, L. V Zetet. 9, infelicitcr solvit quaistionem lertiam libri sexti Diophanti; quum
cnim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum nume-
rum faciat quadratum, coarctavit Viela qusestionem ad datum numerum ex duobus qua-
dratis compositum. At Fermatius innumeris niodis solvit problema de date quocumqiie
numéro : si enim detur 3, numeri scquentes exhibent iriangulum quœsitum :

1 44' 889 I 397 Saâ 34
4iG itjo 4'f' i(Jo 4o

Fermât. — I. [\2

330 ŒUVRES DE FERMAT.- 1^ PARTIE.

Hioc proposilio el sequonles aliter fieri possunt (') :

Fingatur tnanguliim. in liac propositione, abs dato luimoro et uni-

la(o, el plana laterihus siinilia applicenfur ad sumniam unitatis ot nu-

ineri dati, orietur tiuscsitiis Iriangulus.

XXXVI (p. 290).
(Ad quaestion. VII Libr. VI.)

liivcnire trian.milum roctaiigiiliim, ut immerus areiE, mul talus uno latcnini circa rectum,
facial datum numcrum.

Fingatur triaiignliuii abs dato numéro et unitate, et plana lateribus
siniilia applicentur ad differenliani dati numeri et unitatis (-).

Ha?c quaistio (■■), per viani (|ua bujusmodi duplicatas œqualitates
infinitis modis resolvimus, iniinitas recipit solutiones; modum autem
quo utimur tetigimus et explicavinius infra ad quœslionem 24.

Imo et solutiones illœ intinit* aptantur quatuor sequentibus quœs-
tionibus (''), quod née Diopliantus nec Baebetus aniniadverlit. Cur

(') Soil « lo nombre donné; la solution do Diopliantc revient à prendre, pour le
triangle,

L'aire, plus le dernier côté, est idontiqucinont a.

La solution do Fermât est précisément la même; seulement il la pose directement, au
lieu de suivre les longs détours de Dio|)liante, cpii masquent la construction ctiective du
triangle.

(^) Cette solution est encore, do t'ait, la même que celle do Diopliante, comme pour le
|)roblènie précédent.

<^) Il faut entendre ici à la fois les problèmes VI, (> et 7 de Diopliantc.

( ') VI, 8 : I/we/nre trlnii'^iiluin rccla/ig/iluiii ut area, ndsuincns ulruiiuiac lateruin cinii
rcctiun, faciat datiiiii iiiiineiuiin.

VI, 9 : Inveiiire triaii'^iduin rcctaiigutuiii, ut imincruK arcœ, )nuLtatus suinnid ialerum
circa rectum, faciat datum luuneruin.

VI, 10 : Iiwcnire tr'utugulutn rcrtnngulum ut arcœ iiuincrun, (ulsuiucna siuninani lifpo-
lenufœ et alterius lalcruni circa rectum, jiiciat datum numcrum.

VI, I r : luveidrc triangulum rcclanguium ut numcrus urccv, uudlulu^ lunuiui li) potenusa;
et alterius lateruin circa rectum, jaciat datum numcrum.

Pour tous ces problèmes, comme pour les deux précédents, Uiopliante arrive à une
double É(juatiou, dont son procédé ne lire qu'une solution uniipie.

OBSERVATIONS SUR DIOPIIANïE. 331

autem ncqiio Diophantiis neqiie Baclietus sequentcni qua^stionem atldi-
derunt?

Invenire triangiilum reclangulum iil unurn ex laleribiis arcâ miiltatiint
facial (lalitm niimerum.

Certe banc videntur ignorasse, quia non statim se prodit in resolii-
tione duplicataî jeqiialitatis; verîiin e\ nostra methodo facile potest
inveniri.

Siiniliter in seqiicntihus qua^stionibus tertius bic casus suppleri
potest (').

XXXVIl (r- 3Ç)2).

(Ad quaestiones VIII et IX Libri VI.)

Addi potest ex nostra metbodo sc(|nons qu;estio :

Invenire triangulum reclangulum ul summa laterum mullala areà coii-
ficial clalum numeruni.

XXXVlIKp. .9'.)-
I Ad quaestiones X et XI Libri VI.)

Addi potest ex nostra metiiodo scquens qna'stio :

Invenire Iriangulain reclangulum ul summa hypolenusu- et allerius
lalens circa recliun. mullala areà. facial dalum numcruni.

Imo et sequens addi potest Bacbeti commentariis (-} :

Invenire Iriangulum <] reclangulum ^ /// hypolenusa de I racla areà
facial dalum numerum.

(' ) Voir les Observations XXXVil, XXXVIU, XL, XU.
("-) Dans son commentaire sur VI. 1 1, Bachot avait traité la iiucstion :
Invenire triaiii^ulam rcctangidum ut area, detractd liypntcntisd, jacint datant niiinc-
riim.

33:> ŒUVRES DE FERMAT. - IP PARTIE.

XXXIX (p. =9S).
(Ad quaestion. XIII Libr. VI.)

Invenire Irianjnihim rcclangiiliim ul numcrus iirea?, adsiimens altoriilnim lalcM'iim circa
rectum, facial (iiiadratuni.

Unius tantuni spccici triangiila Diopliandis cxliihet proposilum adiin-
plentia; sed ex nostra methodo siippetunt infiuita divers»; speciei
Uiangiila qii.T ex Diophanteo pei'ordinem dcrivantur.

Sit igiliir iiivenliim triangiiliiin 3.4.5, cujiis Inec est proprictas « ut
qui fit imitiio duclii lateiiim circa rectum, adscito solido sub majore
laterum circa rectum, iulervallo eorumdein, et areâ contento, faciat
(|uadratum (') ». Ab eo deducendum aliud ejusdem proprietatis.

Sit ma jus ex lateribus circa rectum trianguli qusesiti 4; minus vero

3 + I N. Rcctangulum sub lateribus circa rectum, adscito solido sub

majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et areâ contento,

facit

36 — 12N — 8Q, qua> iileo debent .Tquari i|ua(li;Uo.

Ouuiii autem latera, 4 t't 3 -h iN, sint latera circa rectum trianguli rec-
tanguli, debent etiam eorum quadrata juncta sequari quadrato; qua-
drata illa juncta faciunt

25 -1- 6N -{- 1 Q, qLue idcirco etiam scquaiida (luadralo.

(') Celle condilion est empruntée au lexlc latin du problème. Le procédé de Diophante
revient en effet à prendre comme triangle cherché : az. liz, c:\ puis à poser (supposant

b> c) z — ;- . 11 arrive ainsi à avoir à rendre carré

bc

2
Or, si le triangle (a, b, c) est tel que

bc-r-b(h— (■]— = p',
' '1

qt — "xpci -4- bc
Diophante sait construire une infinité du valeurs de j: = ^ . - — > dune de ;. Mais

tous les triangles ainsi oljlcntis sont semblables: Fermai cherche donc à déterminer un
autre triangle <«, b, c) ipie celui trouvé par Diophante (5, 4, 3).

OBSERVATIONS SLR DIOPHANTE. 333

Et oi'itur duplicata sequalitas, nam

36 — 12N — 8Q et etiaiii 25 + 6Nh-iQ

debent aequari quadrato. Ejus cnequalitatis duplicatse solutio est in
promptu.

XL (p. 3oo).

(Ad quaestion. XIV Libr. VI.)

Invcnire triangulum rcctaiigulum ut nuineriis areee, multatus altenitro laterum circa
rectum, facial quadratum.

Ex nostra méthode solvetur sequens quaestio, alioquin difficillima

Invenire triangulum rectangulu
multatum areâ, facial quadralum

Invenire triangulum rectangulum ul alterulrum lalerum circa rectum,

XLI (p. 3on).

(Ad quaestiones XV et XVII Libri VI.')

Id. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areae, tam hypotenusâ quam altero late-
rum circa rectum detraclo, facial (|uadratum.

17. Invenire triangulum reclangulum ut numerus areae, tam hypotenusffi quam alterius
laterum circa rectum numéro adscito, facial quadratum.

Teiitetur bencficio nostrtc methodi sequens quivstio, alioquin dilti-
cillima :

Invenire triangulum rectangulum ut tam hypotenusâ quam unum ex
lateribus, delractâ areâ, facianl quadratum.

XLII (p. 320).

(Ad quaestion. XIX Libr. VI.)

Invenire triangulum rectangulum ut areae numerus cum hypolenusae numéro facial qua-
dratum, at circumferentiœ numerus sit cubus....

...Oportet itaque invenire quadratum aliquem, qui, binario adjecto, cubum facial ... est
igitur quadrati lalus 5, cubi vero 3; ipse quadratus 25, cubus 27....

An autem alius in integris quadratus, pra3ter ipsum 20, inveniatur

331 ŒUVRES l)K FERMAT.- Il' PARTIE..

(lui adsiiniiito binario cubum facial, id san(> (lifficilis priiiio obtulii vi-
(Icdir (iisqui.'^itiiHus. C.crtissimâ tanien (U'iiionslralione prol)are possum
miliiim aliuin qiiadratuin, pr;vtei' 2"), iii inlegris adjecto binario facere
ciibiim. In iVactis o\ niclb(i(b) l?acbeti (') suppetuiU infiiiiti, sed doc-
triiKuii (bMiiinuM'i-sintegris, qu;e sano pulcbcrrima et subtilissima est,
noc Iku-bftus, noc alitis quivis ciijiis sci'ipta ad nio pei'vonoriiit, bacte-
nns calluit.

XLIII (p. 339).
(Ad commentarium in quaestion. XXIV Libr. VI.)

yu.BSTio DiopiivNTi. — liiveniro triantiuliira rectanguliuu iit luimerus circiiiiifL'renliiL' sil
cubiis. et adscito arCcT luiniera, facial (|ua(liaUiiii.

B.\ciiETis Ouoiiiam vcrô in liis libris Dioplianlus diveisimodc ulkiir diiplicaia a?(|iui-

iitate. non al>s re me factiiriim arbitrer, si oranes qiios usiiriiat modos sigillatini recenscani
cl ununi in locum r|uœ sparsim a nobis adnotata sunt, collecta conjiciam, ut sic tota diipli-
caUc iequalilalis doctrina discentium animis firniius inliœreat. Noc solas Dioplianti hypo-
thèses afferemus, sed et alias plerumque exhibebimus, quibus varia hujusmofii œqualionuni
syniptomata declarentnr, novanique insuper quam excogitavimus ajquationis rationeiii,
(piaïuque ad quadragesiuiam qiiintani (piarti explicaviinus, aliis adjicienius.

Ubi non sulficiunt duplicatie seqiialitates vel oi-Aota-érrjTî;, recur-
fendum ad Toi^XoiTST-rj-aç sou triplicatas sequalitates, qua^ est nostra
inventio, ad plurima pfoi)leinata pulcberrinia prieviani f'aconi pr;efe-

lens.

j iN + 4,

ylilqiientiH- vidolicet r|iiailrat() < aN-i-^,

(5N + 4,

orilur triplicata a'cjualitas cujus solutio per médium dnpiicatte jequa-
iilalis est in promptu.

(') D'après cette méthode (p. 32i), si l'on a une solution .r,. ji de l'équation iniléler-
minéc

et que l'on pose

.V — Xi — z, J'—J'l ÔTT^ "'

V ï
on peut tirer : rationnel :

_ _ 3G.r; — y.yv'l

4N-h

4

8N +

4.

;0N +

4^

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 333

Si poiialur, loco iN, numerus unà cum 4 quadratiim conlk-iens,
verbi gratia, iQ + 4N, fiet

primus numeronim ?ef|Mc'in(loruni qiiiiclralo iQ
secuiicliis igitur eiil 2Q

terlins 5Q-

Primas aiitcm, ex coiistnictione, est quadratus : ergo debcnt «Tquari

([.iiadrato

2Q-+-8N + 4 et 5Q-(-2oN + 4,

et oi'itur duplicata a'qualitas qiue iinicaiii certe exhil)ebit soliitio-
nem ('), sed eà exbibità prodibit rui'sum nova, et a socundà tertia
deducetur, et in intinilum.

Quod opus ita proeedet ut, invento valore iN, rursus ponatur iN
esse iN -+- numéro qui primum ipsi iN inventas est œqualis. Hac enim
via intiuit;e prioribus solutionibus solutiones accèdent et postrema
semper derivabitur a proxime antécédent!.

Hujus inventionis i)cneticio infinita trianguh» ejusdem area? pos-
sunius exbibere (^-j, quod ipsum videtur latuisse Diopbantum, nt
patet ex quaîstione octava Libri V, in qua tria tantuni triangula a-cjualis
areœ investigat utsequentem qusestionem in tribus numeris construat,
([U£e ad infinitos, ex iis quse nos primi deteximus, recipit extensionem.

(') D';i|ircs les procédés do Diophante, cette solution s'obtient comme suit :
Soit la double équation

ax'^->r bx -^c--= u"-^ a' x'- ^ h' X -^ c^ = v\

on on conclut

{a — a')x-^{l> — l/')x—u'^—v^.

On satisfera à cette relation en posant

a — a

h — //

2 c -, 7-, .r -H 2 c = M + t', .r = u — c.

b — b >.c

De ces doux équations on tirera la valeur de a ou de c, et, en substituant dans une des
deux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée.

(■^) Voir Observation XXilI. Fermât renvoie d'ailleurs à la présente Observation XLIII
dans les suivantes : VI, XVI, XXII, XXXI.

336 ŒUVRES DE FERMAT. - II' PARTIE.

XLIV (l>. 333).
( Ad idem commentarium. )

Huic de iluplicatis a'qualitatibus tractalui multa posscmiis adjiin-
gore quse nec vctcres nec novi detexerunt. Sufticit nunc, ut niethodi
nostiw dignitafem et usumasseramus, ut quœstioncm sequeatem, qua;
sane diftitillima est, resolvamus.

Invenire triangulum reclan guliim numéro, cujus hypotenusa si/ f/ua-
dratiis. et pariter summa lateritni circa rectum ( ').

Ti'iaiiguluni qusesitum rcpraesentant très numeri sequentes :
4687 298 610289, 4565486027761, I 061 602 293 520.

Formatur autem a duobus numeris sequentihus :

2 i5o 905, 246 792.

Alià autem methodo sequentis quœstionis solutionem deteximus :
Invenire triangulum rectangulum numéro ea conditione ut quadratum

( ' ) BiLLv {Doctriiiœ aiinlyticœ iin'eiitum novuin, I, 2o, p. 7) : Quaeratur, verbi gratia,

triangulum rectangulum cujus tam hypotenusa quam summa laterum circa rectum sit

luimerus quadratus. Formetur triangulum ab obviis numeris i N + i et i N ; ergo tria latera

erunt : aQ-t-i-i-aN, i-i-^N, 2N + 2Q. Igitur hypotenusa, 2Qh-h-2N, et summa

laterum circa rectum, 2Q-4-i-t-4N, œquantur quadrato, et fil, per methodum cnm-

1 2
munem, valor radicis —, uiide duo numeri, a quibus f'ormatum est triangulum. erunt

5 12

— ;; et —, seu in integris, accipiendo solos numeratores, — j, — 12. Triangulum autem

inde formatum est : 1G9, 1 19, jio. Unde infero ad solutionom problomatis iuveuiendiim esse
aliquod triangulum rectangulum cujus hypotenusa sit quadratus, et diiïerentia laterum
circa rectum sit ipiadratus, atque h;rc conchisio elicitur vi analyscos pripcedentis; istud
autem triangulum est 169, i ly, 120, quod formalnr vel ab — 3 et — la, vol a -t- 5 et + 12.
Quare itcro operationem et formo triangulum qmesitum ab iN-t-5 et 12, et pervenio
tandem ad œqualitatem duplicatam quie non dabit amplius numéros fictos, sed veros, bene-
ficio Irianguli illius primitivi, ut distinclius videbitur infra num. 45....

< Ibid.. i'i, p. ri) : Iiweiiira duos numéros: nuoruni sniiuua jticiat quadraluui cl qunruiu
quadrnia Kimul junrtn fuiidut quiidraloqnridi-tiUiin.

Istud problema idem plane est cum superiori que (|u;Drcbatur trianguliuii rectangulum
cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliàsque fuit propositum plerisque doc-
lissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutionc. Utere igitur triangulo primitive
supra invente (num. 23) 1G9, 119, 120, quod formatur ab 5 ot 12, et forma triangulum
ab I N -H 5 et 12. l.alera erunt ; 1 (.,) -t- lOy -4- loN, i (j — riy -t- loN, 2.iN-i-i20. Igitur

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 337

a differenlia laterum circa rectum minus duplo quadrati a minore latere
conjiciat quadratum.

Ununi ex triangulis quse huic quœstioni aptantur esl id quod se-

qiiitur :

i525, i5i7, i56;

formatur a niimeris 89 et 2.

Imo confidenter adjungimus duo triangula rectangula quae jam expo-
suimus ad solutionem duarum propositarum qusestionum esse minima
omnium in integris quœstionem adimplentium.

IMothodus nostra hsee est : Quseratur quœstio proposita secundum
mcthodum vulgarem. Si non succédât solutio post absolutam opera-
tionem, quia ncmpe valor numeri nota defectùs insignitur et ideo
minor esse nihilo intelligitur, non tamen despondenduni animum con-
fidenter pronuntiamus (quse oscitantia, ut loquitur Vieta ('), tuit et

hypotenusa, 1 Q + 169 -i- loN, et summa laterum circa rectum, i-h i Q -1- 34N, aequantur
quadrato; duc sumraam istam laterum in 169; ergo productus, 169Q -h 5746N -1- 169.
cum hypotenusa, 1Q + 169-H10N, icquantur quadratis. Ergo (per ea quœ dicta sunl

num. 22) valor radicis est ^7^' <^^ juxta positiones, duo numeri a quibus nascetur

triangulum qu;psitum, 1687298610^89, 4563480027761. 1061652295520. Nam et
hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum requantur quadrato
hypotenusa;: proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quaesiti, tum quia
illorum summa quadratus est, tum quia horum quadrata simul juncla faciunt quadrato-
quadratum....

{Ibid., 22, p. 7) : Ilerum sit solvonda .Tqualitas duplicata : 169Q ^ 5746N ^ 169, et
iQ -+- loN -I- i6g. Tripliciter ista œqualilas soivi potcst : Primo accipiendo diflerentiam
terminorum illorum, quae est 168Q -1- 57:56N, et oligendo duos producentes in quorum
uno sit 26, duplum videlicet lateris quadrati 169; atque haec est methodus communis.
Secundo, solvi potesl revocando diverses quadratorum numéros ad euradem, quod ûeret
ducendo singulas particulas numeri posterioris in 169, ut explicatum est num. 4. Tertio,

solvetur eadem £equalitas eligendo producentes 14N et i2Nh ; ita enim summa

7
radicum erit 26N, duplum lateris quadrati 169Q; atque haec est methodus Fermaliana quae

... 2048075
dat pro valorc radicis rrV •

203bb

La preinicre mclliode indiquée par Jacques de Billy donnerait la valeur .' ^ — '- ;

32{ou546Jo'
la seconde est illusoire, car elle donne pour valeur ze'ro.

(') ViÈTE {In artcm analjticen Isngoge, cap. I, éd. Schooten, p. i, 1. 23-2 5) : Forma

autem Zetesin iuoundi ex arle proprifl est, non jam in numeris suam Logicam exercente,

qitœ fuit oscitantia veterum Analystarum.

Fermât. — 1. [li

338 ŒUVRES DE FERMAT. - IP PARTIE.

ipsiiis et votoi'um analystarum), sed itei'uni quaistionem tentemus et
|ti() valoir railicis ponamus i N — numéro quem suh signo defectùs
a'quari radici incognit;c in prima opérations invenimus, prodibit nova
liaud dul)i(' a-quatio qua^ per veros numéros solutionem quaîstionis
nqutosentabif.

Et liac via superioros duas qusestiones alioquin difficillimas resol-
vimus; demonstravimus pariter et construximus numerum ex duobus
oubis compositum in duos alios cubos dividi posse (*), sed boc per
iteratam ter aliqnando operationem : ssepius enini contingit ut veritas
quîesita ad multiplicosoperationum iterationes solertem et industrium
nccessario adigat analystam, ut facillime experiendo deprebendes.

APPENDIX (').

Proposuit féliciter satis plerosque duplicatse œqualitatis et modos et
casus subtilis ille et doctissimus analysta Bacbetus ad quœstionem 24"'"
Libri VI Diopbanti, sed integram sane non demessuit segetem : quas
enim qusestiones unicâ tantum, aut ad summum duplici'solutione cir-
cumscribit, ad infinitas porrigere et promovere nibil vetat, imo proclivi
id cxsequi operatione est in promptu.

Proponatur sextus modus quem ipsc satis prolixe explicat pag. 439
et 440 (') '■ casus omnes ab ipso enumerati, ex nostra quam mox exbi-

(') >^o/> Observation IX.

(') Ce fragment est tiré du préambule du Doctriiia- analyticœ inventum nnvum de
.lacques de Billy (p. 2)1 où il suit le passage ci-après :

n Quis ex priniitivis radicibus elicuil dorivalivas, lum primi gradus, lum secundi, lum
terlii et sic deinceps in infinitum? ncmo plane : uni Ferniatio debetur hoc inventum; unus
ille lisec orania non ex alienis cumulavit opcribus, quod rhapsodi quidam facere consueve-
runl, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fontibus hausil : hoc ille quum mihi amicis-
sime communicasset per literas, judicavi dignissimum quod typis mandaretur, et ne ab
ejus mente ullaienus recedam, exscribendum mihi vidolur in primis compondium quoddam
lolius mcthodi, cui nomon ûahW. Jppendicis od disscrlationcm Clnndii. Gasparis Baclieti
de duplicatis apiid Diophaiitum œfiualitiitibus. En ipsissima illius vcrlia. »

i') Pages 332-333 de l'édition do Samuel Fermai. « Sextus modus est quando propositi
numeri diversimode componuntur ex Quadralis, Numéris et Uhitatibus, ....

« Primo ergo accidit utrum(|ue [iropositorum numerorum componi ex tribus speciebus
.supra dictis et eorum inlcrvallum unicâ tantum constaro specie...

I) Secundo accidit Litrumquc propositorum numerorum ex duabus componi speciebus,

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 339

bituvi sumus methodo, iniinitas admittunt solutiones, qua^ a prima pcr
iteratas analyses gradatim in infinitum derivantur.

Melhodus hsec est : Quajratur solutio qusestionis propositae secun-
dum methodum vulgarem, hoc est secundum methodum Bacheti aut
Diophanteam, prodibit statim valor numeri sive radicis ignotœ; que»
peracto, iteretur analysis, et, pro valore novae investigandœ radicis,
ponatur una radix plus numéro unitatum prioris radicis. Reducelur
qusestio ad novam aequalitatem duplicatam, in qua unitates utrimque
reperienturquadratae, proptcr priorem solutionem; ideoque ditlerentia
œquationum ex numeris tantuni et quadratis, quse sunt proximae inter
se species, constabit : quare resolvetur, ex Diopbanto et Bacheto,
nova haec duplicata sequalitas. Ex qua, pari artificio, tertia, et ex tertia
quarta, et sic in infinitum, deducentur.

Quod non advertisse autDiophantum, aut Bachetum, imo et Vietam,
dispendium hucusque Analysées maximum fuit. Sed prœcipuum
inventionis nostr?e artificium in iis se prodit quœstionibus, in ([nibus
primigenia analysis, pro valore incognitse radicis, exliibet numcrum
notâdefectùs insignitum, qui ideo minor esse nihilo intelligitur. Me-
thodus autem nostra in hoc casu, non solum in problematîs qua* pei'
duplicatas sequalitates solvuntur locum habet, sed generaliter in aliis
quibuscumque, ut experienti notuni fiet.

Sic igitur procedit : Quseratur etc. {vide supra, p. 33;, 1. lo, itsciitc
rtfi/'reprœsentabit, p. 338, I. 5) (').

alterum scilicet ex Quadratis et Unitatibus, alterum ex Numeris et Unitatibus, inlcrvalluiii
autem illorum constare ex (Jiiadratis et Numéris....

I) Tertio accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et
Unitatibus, alterum ex Quadratis et Numéris....

» Quarto accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et
Unitatibus, alterum ex Quadratis et Unitatibus....

1' Quinlo denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Nu-
meris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus.... »

(') BiLLY ajoute : « Ilactenus Fermatius ». Les différences, pour cet alinéa, entre le
texte de VObservatio publié par Samuel Fermât (S) et le texte de YIm<eiiti(m rinvuni (B)
sont les suivantes :

P. 33-, 1. 12, notâdefectùs insigniturS habet nolam defeclûs B; i3, intelligitur S dcpre-
henditur B: i4, ut loquitur Vieta S ut verbis Viet;e utar B.

:U0 ŒUVRES DE FERMAT. - IP PARTIE.

XLV (p. 338-339).
(Ad problema XX commentarii in ultimam quaestionem Arithmeticorum Diophanti.)

B.vniiETis : Invcnire triaiignliim roclangiiluni, cujiis area sil datus numcrus. Oporlel
autem lit quadralus are;i' dii|)licala', additus alicui quadratoquadrato, facial (niadratum.

Area trianguli rectangitli in numeris nonpotesl esse quadralus.

Hiijiis thcoreiiiatis a nohis invcMiti domonstrationem, quam et ipsi
tandem iimi sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjun-
gemiis. Hoc iiempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppe-
ditabit progressas.

Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati
quorum ditferentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos
quorum et summa et dilf'erentia esset quadratus : datur itaque nume-
rus, compositus ex quadrato et duplo quadrati, œqualis quadrato, ea
conditione ut quadrati eum componeutes faciant quadratuni. Sed, si
numcrus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius qua-
drati, ejiis latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati,
ul facillime possumus demonslrare ; unde concludetur latus illud esse
summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex qua-
dratis illud componentibus efficere basem, et duphini quadratum
a^quari perpendiculo.

Illud itaque triangulum rectangulum conticietur a duobus quadratis
quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo (juadrati mi-
nores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam
summa quam differentia faciunt quadratum : ergo, si dentur duo qua-
drati quorum summa et diderentia faciant quadratum, dabitur in
integris summa duorum quadratorum cjusdcm naturio, priore niinor.

liodem ratiocinio dabitur et minor istâ inventa per viani prioris, et
semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem pra;-
stantes. Quod impossibile est, quia, dato numéro quovis intcgro, non
possunt dari infinili in integris illo minores.

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 3V1

Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini
vetat ipsius cxiguitas.

Hac ratione depreliendimus et demonstratione contîrmavimus md-
lum numerum triangulum, prœter unitatem, œquari quadratoquadrato .

XLVl(p. i6,).

(Ad commentarium in proposition. IX Diophanti De inultangidis iiumeris.)

Bachetus : Dalo latere invenire polygouum. . . . Dalo polygono invenire latiis.

Propositionem pulcherrimam et mirabilem, quam nos inveniimis,
hoc in loco sine demonstratione apponemus :

In progressione natiirali, quœ ah unitate siimit exordium. qiiilibet nu-
rnerus in proxime majorem facit dupliim stii trianguli; in triangalain
proxime mctjotis, facit iriplum suœ pyrainidis ; in pyramidem proxime
majoris, facit quadruplum sui triangulotrianguli; et sic uniformi et gene-
rali in infinilum melhodu.

Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari liieo-
renia. Cujus demonstrationem margini inserere nec vacat, nec licet.

XLtlI (p. 4oJ-
(Ad proposition. XXVII Bacbeti Appendicis de numeris polygonis Libr. II.)

Unitas pi'iimiin ciibum ; duo sequentes impares conjuncti, sociiiidiim ciibum; très se-
quentcs, tertium cubum ; quatuor succedentes, quarluui ; semperque uuo plures sequentem
deineeps in infinitum cubum aggrogali impares constiluunt.

Hanc propositionem ita constitue magis universalem.

Unitas primam columnam (') in quacunique polygonorum progres-
sione constituit; duo sequentes numeri, mulctati primo triangulo loties
sumpto quot sunt anguli polygoni quatcrnario mulctati, secundam

(') Format a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la
notion de cube (produit par n du carré de côté n), et il a appelé colonne le produit par n
du polygone de coté «. Cette expression technique, qu'il semble avoir forgée lui-même,
est généralement restée incomprise.

3i-2 ŒUVRES DE FEI5MAT. Il PAIITIE.

columnaiu; très sequcntes, umlclati secundo triangulo loties suinplo
quoi sunl angiili polygoni quatornario muictati, tertiam columiiam; el
sic eodeni in inlinitum progressa.

XLVIII{p. ',.j.

(Ad proposition. XXXI Bacheti Appendicis Libr. II.)

In hac progressione [nempe arithmolica, in (|ii:i minimiis terminus ajqiiatur differentiaB],
produclus ex cubo mininii in c|iiarlraliun trian^nli nnnieri Icrniinornni a'fiualur aiiiîrcgalo
cubiirum a singulis.

Hinc sequitur cubum maximi, loties sumptum quoi sunt numeri ter-
minorum, ad aggrcgatum cuborum habere niinorem rationem quam
quadruplani.

APPENDICE.

DEDICACE DU DIOPHAME. 3io

I.

DÉDICACE DU DIOPHANTE DE 1670.

ILLVSTRISSIMO VIRO D. D. lOANNI BAI'TIST* COLBERTO , REGI AR INTIMIS CONSILIIS ET A
SECRETIS, ^HARIJ CENSORI GEXERAI.I, SVMMO RRGIORVM ;EI)1FIC10RVM, XAVIGATIOMS El
COMMERCll PR.EFECTO, REUNI ADMINISTRO, ETC.

Prodit in lucem tuis auspicijs, Vir Illustrissime, Diophantus vai'ijs
auctus parentis niei obseruationibus; Illas mole quidem exiguas, sed
pondère, ni f'allor, niaiores, quae tua est summa bumanitas, forsitan
non aspernaboris, privsertim cum ad numéros pertineant qui radicis
instar acvelut in centre Matbcseos positi, diffunduntur in omnes iliius
circuli partes. Cur enim Geometria, et quidquid ci affine est, alium
quam te ambiat Patronum, ([ui terrarum orbem anime metiris, vt in
extremis Regionibus in quibus olim emoriens natura defecisse videba-
tiir, prjeclara Régis maximi facta celebrentur, et Barbarorum pectora
liberalibus imbuta disciplinis mitescant. Cum vero illas ferè omnes aut
earum semina Mathesis contineat, menti imperio natœ et membris
famulitio aptis opitulatur, pacisque ac belli temporibus idonea, non
tantum Rogijs anlibus magnifiée extruendis, scd etiam vrbibus lulo
propugnandis vtilem se pr«bet. Huius doctrine non immerito ca|)[us
illecebris Parens meus, quem adbuc lugeo, illam succisiuis horis in
medio forensium negotiorum strepitu, absque vllo tamen lurispruden-
tiœ, et Senatorij muneris dispendio non infeliciter excoluif. An autem
liae, quas tibi, Vir Illustrissime, offero lucubrationes, pondère, vt dixi,
majores sint quam mole, si satis otij suppeteret, tu facillimè iudicares,
qui Lynceà sagacitate in abdifa qua;que penetrans, veritatem ab errore

pEnMAT. — 1. 44

:?Vii ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.

11011 iiiimis (|ii;uii vcraiii virliilom à tiicatà st'ci'i'iiis, vl ooruiii (iiii oporaiii
nauant a?rario jiiiias maïuis œquè dignoscis, ac piiritatoni ami se pro-
haro posse Matheseos qiioiulaiii illo goniiis Archiniedcs coloherrimo
cii'oa coronani Hieronis experiinento demonstraiiit. Scd te alib vocaiil
limita magnaquo, in quibus ita versaris, vt te pkirilnis parem, et adliiic
majorihiis digiuiiii ostendens, inuicti Principis famam, illiiisque sub-
ditoriim leuaiiien, libi laborum metam proponas. Id abuiule testaiitiir
coiiunonij reparatœ, et Piratarum repressse vires qui Herculem Galli-
oum Herculeas columnas transeiintem et vtriiiiique mare committen-
teiii vident è latebris tanquam è Caci speluncâ et pertimescunt; idem
(|uoquc testantiir portus bellicis instructi nauibus quse peregrinis non
indigent armamentis, etbostibus terrorem incutiunt vt pateatqui mari
potitur, eum rcrum potiri; testantur denique bine restauratœ tuiscuris
Artes, nobiliquc consortio, vt egregiorum «nuilatione opificum certa-
lim augeri ac perfici possint, tuâ industriâ sociatie, iilinc scientiarum
arcana in tuis ipsis penatibus miriim in niodiim illustrata. Quse satis
tidcni laciuiit 'quantum tibi cordi sit non solum vt Regni, sed etiam vt
Heipublicae litterarise fines promoueantur et vt quidquid ex nouo illius
orbe adnebitur, aspirante tui fauoris aura obliuionis et inuidife sco-
pulos vilare possit: num|uam illos metuet hoc tui nominis prœsidio
munitum opus, si bcnignà manu, vt onixi' rogo, suscipias istud seterni
moniiiiiciitum obsequij, quod tibi voveo,

Addictissimus

S. Feumat.

PREFACE DU DIOPHANTE. 3i7

II.

PRÉFACE Dl DIOPHANTE DE 1670.

Lectori Beneuolo.

DioPHANTVM hic liabes, et varias quibus auctus est obserualiones,
paucas illas quidem etbreues, non tamen contemnendas; nec enim me
latet hujusmodi opéra ponderari potius quam numerari àpcritis sesti-
matoribus, quibiis vnica denionstratio, imb interdum vnicuni Problema
magni voluminis instar est; in Mathematicis niniirum disciplinis, noua
Laconico licet more exhibita veritas pluris fieri solet, quam verbosa
(|uorum(iani tautologia; Doctis tantum quibus pauca sutficiunt, harum
obseruationum auctor scribebat, vel potius ipse sibi scribens, bis stu-
dijs cxerceri malebat quam gloriari; adeo autem ille ab omni ostenta-
tione alienus erat, vt nec lucubrationes suas typis mandari curauerit.
et suorum quandoque responsorum autographa nullo servato exemplari
petentibus vitro miserit; noruntscilicet pleriqueceleberrimorum huius
sseculi Geometrarum, quam libenter ille et quanta humanitate, sua ijs
inventa patefecerit; Quamobreni superstites quosdam Ipsius amicos,
saepe hortatus sum ssepiusque hortabor, vt si quos iliius ingenij partus
blandâ manu susceperint, illos in musaei vmbrâ diutius delitescere non
patiantur; dum autem plura quse breui, vt spero, prodibunt, coUigo.
tibi non iniucundam fore duxi, novani horum Diophanti operum, ista-
rumque simul obseruationum editionem : Illas Parens meus quasi aliud
agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, prseser-
tim ad quatuor vltimos libros; cuni enim ardua seclaretur ille, faci-
liora et vulgo Logistarum nota quse duobus primis libris continentur.

3iS ŒUVRES 1)K FERMAT.- APPENDICE.

aut vl ipsius Dioplianti vcrhis vtar, Ta èv àp'/Y] o-ToiyEtcoJôiç lyovia. ferè
oninino praHerniisil : Qiialis autem Quantusque in Arithnioticis fuerit
Diopliaiitus, sat sciiint qui primis, vt dicitur, labris puram Logisticam
gustauerunt ; tredecini illo scripscrat Arithmeticorum libros, quorum
sex tantum cxtan(, vnusque do numeris nniltangulis, reliqui vcl tem-
poris iniurià pericrunt, aut alicuhi forsan Thesauri instar itascruantur,
vt nuUius videantur esse, dum public! juris fieri non possunt; me-
niinit Diopbanti Suidas in voce Hypatbia, et Lucillius libro secundo An-
tbologi;p capitc vigesinio secundo Diopbanti Astrologi recordatur; an
vero Suidas et Lucillius de boc eodemque ioquantur, nibil comperti
babenius; eiiui niulti circa Neronis tempora vixisse putant, nec deest
qui Antonino pio imperante eum floruisse leuibus fretus coniecturis
suspicetur; illud audacter asserere licet, boc Auctore nullum anti-
quiorem bactenus innotuisse, qui banc instaurauerit doctrinam, quam
à Grsecis acceptam Arabes cum ipso Algebrse nomine ad nos transmi-
sisse existiniantur ; eximia vero Problemata quse boc opus complec-
tilui', adco buman?e mentis captum videntur superare, vt ad eoruni
oxplanationcm indefesso Xylandri labore et mirandâ Bacbeti sagacitate
o[)us fuorit; duo illi fuere doctissimi borum librorum interprètes, nam
vix eo nomine dignus est Grsecus Scboliastes; Bombellius vero in Al-
gebra quam Italico sermone vulgauit, Diopbanti quîpslionibus suas
permiscens, fidi interpretis partes non snstinuit; neque eo functus est
munere subtilissimus Vieta qui peragrans auia Logisticse loca, nec alte-
rius inb.Trens vestigiis, sua maluit in lucem proferre inuenta quam
facem praiferre Diopiiantaeis; quantum autem Analyticam vitra veteres
termines promouerit Parens meus, tuuni erit, Erudile Lector, judi-
cium; vtinam ipsius cœptis non obstitissent angustise temporis, et
plura parantem mors beu nimium immatura nobis illum non prœripuis-
set! plura procul dubio ex eodem fonte manassent, nec suis quanlam
istorum problematum demonstrationibus carerent; quin vero ipse eas
pênes se, et in scrinio, vl ita loquar, pectoris babuerit, (uni alia; lucu-
brationes, tum illius animi candor et modestia dubitare non sinunt;
licet autem ii tôt tanlisque viris laudatus Parens, à libcris absquo

PRÉFACE DU DIOPHANTE. 349

inuidia laudari possit, nec illtid ingenti luctui solatium, vel potius irri-
tamentum denegari debeat, magis tamen libenter, ni fallor, illius enco-
inium perleges quod in diario Doctorum elegantissimo, et in plerisque
clarissimorum scriptoruni libris occurrit; horuni nonnulli magnifiée
jamdudum mentionem fecere variorum ipsius operum, quse licet ine-
(lita non tamen latuerunt, vt abundè testantur qusedam excerpta qu;f
adjicere non piget, et doctrinse Analyticaî inuentum nouum, collectiim
ex varijs illius epistolis à R. P. lacobo de Billy Societatis lesu Sacer-
dote, cujus perspicacissimum ingenium et eruditio commendatione
non egent, cum in ipsius operibus satis eluceant; cfeterum quidquid in
hoc erratum fuerit, id Typographorum incurise tribuas, et œqui bonique
consulas quîeso. Yale.

3o0 ŒUVRES DE FERMAT. - .\PPENniCK.

III.

DÉDICACE DES VARIA OPERA.

CELSISSIMO S. U. I. rillNClPl FKIIDINANDO EPISCOI'O PADERBORNENSI, COADIVTORI
MOXASTERIESSI , COMITI PYRllONTANO , LIB. BARONI DE FIRSTENBERG. SAMVEL
DE FERMAT S. I'.

Si miiniis quod tilji, Celsissime Princeps, otl'ero non respuas, grati
simul animi el obsequii quodani erga te, ac pietatis officio eiga Paren-
tem fungi videboi* : dum in illius operum Matheniaticorum limine
nonien statuo, quod injurias temporum et invidiae morsus arcere pos-
sit. Qiiis enini unquani eredat improbari quod tu semel probaveris,
quem Arctoi syderis instar intuentur quicumque scientiarum pelagus
sulcare cupiunt, niox tutius et tranquiilius futurum, cùm fluctus oni-
nino sedaverit lenior pacis aura quae tandem spirare cœpit? Sic autem
per omnes orbis literarii partes lucem spargis, ut te cuncti suspiciant
et neminem despicias; ita multorum errorem Magnatum damnas qui
veluli quodam sunimse dignitatis privilégie sibi concessum existimant,
ut non tantùm impune, veriim etiam splendidè possint esse indocti; et
se contemnendos putent nisi Musas spernere audeant. Sed abundè tua
probat autboritas nulli magis utiles esse literas, quàm ei qui, ùt decet,
Pastor populorum esse velit, nulli plus gloriae afferreiquia raro conve-
iiiunt imperii cornes sollicitudo, etaptus colendte menti secessus. Idem
profectocentrum ferè nunquam babent civilium curarum et sublimium
disciplinarum circuli : in tanto negotiorum circuitu rectà ad doctrina.'
culmen ascendere non niiiiiis forsan dilTicile Politico videatur, quàm

DÉDICACE DES VARIA. 331

Geometrae curvas rectis sequare, cujus rci spécimen exhibet hic édita
(lissertatio. Superavit tamen omnes obices tuaCelsitudo, tibique fklum
in mediis tempestatibus portum condere potuisti, etegregiis plerisque
scriptoribus quos tuarum fama virtutum ad Paderse fontes allicit, ubi
venam quovis latice purioreni nanciscuntui", ubi te prseeunte citiùs
discunt quo properandum sit, quàni si studiis in umbra educatis anxiè
semotos calles investigarent. Longum scilicet iter est per prsecepta,
brève per exempla , brevissimuni per exempla Principis viri, quem
eliani avia peragrantem loca plurimi libenter sequi conantur; sed pau-
cissimi sunt qui tuis inliaerere vestigiis queant; et dum optas

Voce ciere viros, Pliœbuinque accendere cantu,

vocis tuse suavitas tuis non mediocriter votis obstat. Deterret nimirum
qui sic hortatur; silere docet, qui tani docte loquitur. Id ego experior
quoties opéra tua pervolvo, quae niihi licet ignoto et immerenti mittere
voluisti : illa semper, adulationis expcrs, cujus causas procul babeo,
mirari simul et laudarc gaudoo qut« vix quisquam imitari posse con-
fidat. Monumentis enim Paderbornensibus, qute tam munificè restau-
rans tam eleganter célébras, monumentum longe perennius exegisti :
si Quinctilii Vari, cujus cladem cedro dignis carminibus memoras,
Legiones Romse reddi nequeunt, at saltem tui sermonis illecebris et
venustate Vari vel Augusti sseculum ei reddere videris, Virgiliumque
simul et Horatium ac utriusque praesidium et decus reCerre. Augura-
batur olim lepidus Vates non defuturos Marones, quandiu sint Maece-
nates, sed quidquid prseclarum in Maîcenate et Marone fuit, in eodem
pectore reperiri posse nemo speraverat, sive quôd nimia copia Poëtas
inopes et stériles plerunque reddit (undc Theocritus * Diophanto fate-
tur artes excitari paupertate, quam laboris magistram vocat) sive qubd
alienis carminibus ei non opus est qui suis satis oblectari potest, ut
adoptivos liberos quserere non solet cui natura legitimam sobolem
dédit. Verùm in te, Celsissime Princeps, collecta non sine stupore cer-

* Idvl. i(i.

33-2 ŒUVRES DE FEUMAT. - APPENDICE.

iiiinus. (iua> divisa lam illustres alios cffecerunt; et tua singularis
humanitas, qmv tôt eximias dotes conncctens, cœlestes gemmas auro
iuserere videtur, spondet à to bénigne excipiendum, tuoquc in sinu
fovenduni luinc ingenii paterni partum, qui suo defensore orbatus, ùt
postbuiiuis, luo patrocinio indiget, quod venerabundus exposco.

DE CELSISSIMO PUINCIPE FEUDINANDO FURSTEINBERGIO, liPlSCOl'O PADERBORNENSI, ETC.

OB AVREVM NV.MIS.MA, IN QVO
illiu.t imago coitspicitur, iinxsiiiii.

AuREA Pierio quam culmine mittis imago
Qax nostros ingressa lares fulgorc replevit
Immeritamque manum, Pbœbi ipsa referre videtur
Ora, solo qui cuncta fovet, nec florea tanlum
Rura super hetus rutilât glebasque feraces,
Cernere sed steriiem non dedignatur arenam ;
Sic hilares oculos simul et cum IVonte serena
Innocuos mores insignis vultus adumbrat;
Sil tamen ars quamvis spectanda numismatis, illam
Effigiem superavit opus quodcunque Camsenis
Sponte tuis fluxit dulci de fonte leporum :
Scilicet Aonij meliùs te vertice montis
Spirantem ostendunt Musse, dum natus Olympo
Doclrinam pietate auges, castasque sorores
Ad superos tollens, dignoscis quam sit inanc
Ornari ingcnium, nimioque calcscere motu.
Si vacuum œthereo peclus non nritur igné.
Luininibus quantis et quoi virtutibus omnes
SuAViTER* allicicns animos, validi({ue catenis

' llliistrissimi Principis tessera siavitiîh et fortiticr.

DÉDICACE DES VARIA. :553

Eloquij blanclus victor trahis! his ego sensi
Me placide captum jampridem, née. tibi possiiii
Hoc niagis addici, qui me devincit. honore.
At quas nunc grates referam?Te principe Vatnni
jMunera digna mihi Romanaqiie carniina desun(:
Carmina Maecenas sed tu par ipse Maroni
Nostra nec expectas, nec vilia niunera quœris.
Non eget exiguâ sublimis arundine huirus,
Et rauc;e non vocis eget tua fania susurro;
Sat nitidis Latio (|uihus aurea reddilur a'tas
Eximias scriptis potuisti pandere dotes,
Purior illinii ceu splendens flumine solus.
Ut decet, ipse suis radijs se pingit Apollo.

DE PRI^(JIP1S EIVSDEJI VKMC.LARO

MtiiinmcnlDriim Paderhonicn sitan opcrc.

Dum Paderœ fontes seterno carminé Princeps

Aonij célébrât spes colunienque chori,
Ut superat quœ sic ponit monumenta, suisqiie

Altius ipse aliud tollitad astra modis!
Hujus Cana Hdes ornât pia pcclora, menlem

Lux Sophiae, Latij priscus e( ora lepor.
Amissas* his olim Aquilas quse flevit in arvis,

Delicias illinc Roma decusque trahit.
Fernandi cloquium Tiheris miratur, et œvi

Immenior, Augusti sa-cla redire putat.

* Natus est lUustris. rdaceps in ca Germaniœ parle in (lua iM'sic fuerinU ^uinciilii
Vari I,ei;iones.

l'EnslAT. — 1. /j5

J.iV ŒUVRKS l)i: FERMAT. - APPENDICK.

DE EODEJl PRINCIPE QVl MIHANDIS

iii^c/iii <l(irtriii/rfji/i' iIdiUiiis stciiiiiiiilit tir ilif^intiiliiiii yp/ciii/orciii (iitgciis,
pficriii iiiniiilnis iniiruin et jiiciin<li(f Miavitiilr pcrsiiadcrr ptixsil.

ODK.

Niiiic coi'da nuik'eiis ù uliiiam Sacer
Notos recursans per fluvios Olor
^lox cogat infensos canorà
Voce pot(Mis lidios silcre;
llio prima Pindi gloria cui f'avet
Phœbus, iiitentem Lilia qiieni tegiiiU,
Oiias ore non compescat iras
Pierià mndniatus jirto?
Ut cnni ([uerelis dnleisonis nenuis
Vox. blanda latè luscinige replot,
Discordis ohlitœ susurri

.Mille soient vol acres tacero;
Non il le IVusIra sit patria^ datus
A (|n() féroces flecti aninii qncnni;
.Martis nec incassum per arua
Tlireicius cecinit Sacerdos :
Orpliens parentem Calliopen colens
l.enire plectro (piot didicit feras!
Seiiiione sic prœstat domare
Pectora, (jnam superare ferro.

PREFVCE DES VAHIA. 333

IV.

PRÉFACE DES VARIA OPERA.

EuuruTo Lectori.

Non to latet, Eriulite Lector, opéra Mathematica prœfatione vix indi-
gcre : nam ut Paralogismi culpam frustra longo sermone Geomotra
deprecari vellet, aut pro vera demonsfratione falsam obtrudere; ita
non opus est assensuni solidie rationis viribus debitum suppliciter
ctflagitare, quem advei'sarius videns sciensque, licet valdè reluctans,
denegare non possit. Praetereà supervacaneum foret laudes Matbe-
nialuni fiisè celebrarc, cùm banc spartam tôt egregij seriptores ador-
nandam jampridem susceperint. Quis enini nescit Geometriani et
uberes illins fructns ad cœkun evelii à Platone, (|ni non solùm eam
divinitùs bunian» menti insitaùi, sed etiam ab ipso numine excoli
putavit? nonne nierito Matbesis à Pbilone vocata fuit liberalium artium
metropolis, quas, ubi desit illa, luminibus, et veluti manibus orbatas
esse liquet? Unde à vero non aberrat qui ut nianum instrunientum
ante instrumenta, sic et Mathesin dici posse crédit artem anle alias
artes, Cum illius terra marique, et bello ut pace, tam evidens utilitas
sit; quod nnus instar omnium docuit olim Archimedes, dum infinnus
corpore sed iuvictus ingenio senex, obsidionis Syracusanae pars
maxima, patri» vis summa fuit, Briareus et Centimanus à Romanis ap-
pellatus : quamobrem admiratione perculsum Marcelhim licet hosteni
ab eo tôt damnis afTectum ei tamen inimicum esse noluisse Livius tra-
dit, sed propinquis inquisitis bonori pra^sidioque nomen, ac memoriam
tanti viri fuisse. Mathematicas deinde disciplinas ansas Pbilosopbiie

.{.)() ŒUVUES l)K FEUMAT. - M'I'ENDICI'.

videri (|iiis (linUcatur? mim Philosophus quainvis al)iinclè Logice vcr-
sutijs olargulijs iiislnielus, si lux malhematica non aiïulgeat in Phy-
sica comparari possit Polypliemo in spcliinca occsecato, et nuinoris,
(liio tVui poluit, nsuni ncsciciUi, vini scilicct, cui praM'larus non ita
prideni Philosopluis Gcometriam siniilcm dici posse arbitralus est,
<]uo(l rocens inflat, votiis oblectat et vires anget. At non istoram ope-
runi Antliorem inflavit nnquam Mathesis, et tôt demonstrationes, dnm
ab ipso non snnt ediUc, quibuslibet argumentis meliîis demonsfrant
euni ab ostentationc laudisque cupidine alienum fuisse. Qubd autem
de illarum sorte sollicitus non fuit, ferè semper autograpba nullo ser-
vato responsorum exempiari niittere solitus, pai'uin al)fuit quin bsec,
(|n;o forlè non inleritura credcs, onininb extincta fuerinl, anteciuani in
publicain liirem prodirent. Hinc fit ut quia haîc sparsim disjecta coUi-
gere facile non fuit, fato posthumorum operum seri), paueiora, et minus
culta typis edantur. Hinc etiani contingere poterit ut omnia quse hîc
occurrent tibi non videantur nova : sed quamvis alij de quibusdam
rébus, quas bîc invenies, sci'ipserint et lucubrationes suas priùsvulga-
verint, non ideb minus hsec inventa istorum operum Autbori debentur,
(]ui adeb fastùs, et invidise expers fuit, ut aliéna suis sat aliunde notis
imniiscuisse credi non possit, qui sua vix sibi tribuebat. Ab eo, exempli
causa, libri duo Apollonij Pergaei de locis planis procul dubio restituti
sunt, lieet Franciscus Schooten Academiaî Lugduno Batava^ Professer
illosàse restitutosasserat; nam sua typis mandavit Franciscus Schooten
anno 16)7. sed libres duos, qui bic extant, Apollonij Perg;ei do locis
planis se vidissc Lutetise manuscriptos, nec non ad locos pianos et
solides Isagegen, leslis omni exceptione major Herigonius asserit
tomo G. cursLis Matliematici editi anno iG34 (')• Credere tamen, vt
dix], maliin Batavum Prefessorem eàdem de re scripsisse, quàm ab co,
vel à quovis alio aliquid perpetratum esse suspicari ((uod ingcnuuni
animum dedeceat, vel inverecundiam plagij prebare possit. Veruni in

(^j Foir la note 1 de la page 171, où est rétablie la véritable date de la mention faite
par Hérigone.

PRÉFACE DES VARIA. 337

istis, ni fallor, operibus, de quibus te non ex parva mole judicaturuni
sat scio, occurret tibi non injucunda varietas, ut et in epistolis, quto
vel ab Authore, vel ad ipsuni à plerisque doctissimis viris scriptse fue-
runt. Has inter sunt nonnullse Pascalij in quibus ingenij non miniis
tersi quàm perspicacis radios agnosces, quos ejusdem alia' lucubra-
tiones, et ipsse satis exhibent Pascalij cogitationum reliquia; : ilUul
cnim opus in qno pende/it opéra inlerrupla, niultis exiniium Matheseos
circa res sacras spécimen videtur, œqualaque machina cœlo. Quis autem
ignorât qualis quantusque Geometra et quam insignis in Acadcmia
Parisiens! Professer fuerit Robervallius, cujus hic aiiquot epistolas
légère poteris, et perlegisse gaudebis? Eduntur hic quoque nonniilhe
Gallicè vel Italicc scriptœ h Keneimo Digbaîo, qui praeter generis nobi-
litatem et honores gestos, non soHim ingénie doctrinàque, sed ctiam
pietate conspicuus fnit, ac verse Religionis cultu, quam ut gladio, sic
et calamo tueri conatus est, ut fidem facit aureus illius liber de veritate
Catholicae Religionis Anglicè scriptus. lUis epistolis additur una aut
altéra Frcnicli, cujns niiram Arilhmetica problemata solvendi facili-
tatem à multis pra?dicatam, et ejusdem responsis confirmatam Ana-
lystse norunt. Quas vero non adjecimus circà Cartesianam Dioplricam
epistolas légère poteris in tertio volumine epistolarum Cartesij cujus
stupendae sagacitatis circà Geometriam admiratione se captum f'atetur
is etiam qui nonnunquam ab co dissentit. Ut autem in varijs istis ope-
ribus, sic et in epistolis multa reperies quae ad Geometriam, vel Ana-
lyticen pertinent aut numerorum arcana, de quibus si plura videre
cupias, habes observationes ad Diophantum, cujus opéra typis niandaii
curavi anno 1G70. et Doctrinœ Analyticœ inventum novum coUecluni !•
variis epistolis D. Pétri de Fermât ab insigni Geometra R. P. Jacobo de
Billy S. J. Sacerdote. Est hic prsetereà nonnihil circa Mecbanicam et
Geostaticam, nec non Dioptricam ac Physicam, circà quàm v. g. non
contemnendam fore confido epistolam de proportione quâ gravia deci-
dentia accelerantur, ad Gassendum, quœ ipsi Gassendo viro exquisita'
eruditionis, et candore ac moribus qui Christianum Philosophum dé-
cent, pra?dito non displicnit, ut ejus responso, licet brevi, satis patet.

358 ŒUVRES DE FEUMAT. - APPENDICE.

Sic eliam oelehris llali (u'oinolno Abbatis Bencd. (lastelli cpistola
probal ci non displicuissc qufe hic scripla siinl. circà inotum gravium
aiil ((Milfiiiii gravitatis. Civterùm in liis Pareiilis mei oporilius et epis-
titlis qu.x' limitas dispiilationcs circà quaestiones arduas continent, et
(|uilnis diias addidiinus criticis observationihus non spernendis ref'ei'-
(as. nuUani voceni qnx sit acerbior, nulinni pervicacis controversia"
vol amarnUMila» contentionis occiirrorc vestigium, poteris observare.
Id innatani niansuetudinein Authoris argnit, (]ui nuUà contradicendi
iii)idine veritalem qusei'cns, iilani ab aiijs inveniri gaudebat et gratn-
iabatnr : qui secùs agunt eani ut juvenes proci colère videntur, dum
sil)i dumtaxat alFulgere vellent quod dilignnt; sed qui veritalem divino,
ut par est, ainore pi'osequuntur, ipsam omnibus innotescere cupiunt,
suamque felicitatem augeri putant, cuni ejusdem plurimi fiunt parti-
cipes. Epistolas verô ad Authorem scriptas, quœ hîc extant, ut nactus
sum, edendas ingénue existimavi, nullomodô minuere sed augere cu-
piens tantorum virorum famam, quorum alia responsa, nondum prsplo
commissa, si mibi suppeterent, ut harum disputationum seriem edere
non pigeret. Ex istis autem operibus, Erudite Lector, fructiis, ni fallor,
<'t voluptatis non parùm percipere poteris et si quid incurià Typogra-
pborum erratum sit, iliud suppléas aut ignoscas quaiso.

S(li(Mii;il;i suis locis in loto opère, ul in illins iiarte, rcperircnlur, »isi dc-
fuissel sculptor ligni notis Gconiclricis incideiidi pcrilus; sed figurpe (') f|na>
(ùm textu édita non fuerunt, ad libri calcem sunt rejecta, luimoris paginarinn,
ad quas rel'erunlur, apposilis, quod semel monuisse sufliciat.

I ' ) Ce mot figurœ, qui rond la plirase incorrecte, doit y avoir été ajouté après coup.—
Dans l'édition des Varia opéra, les figures sont insérées dans le loxle jusqu'à la page io3.
Il y a à la fin du Volume cinq Planches contenant les figures des pages 104 à 167, plus une
(]ui man(|ue à la page 91. Pages 201 el aoî, reparaissent dans le texte trois autres figures
lelalivenient simples.

ELOGE DE FERMAT. 359

V.

ÉLOGE DE MONSIEYR DE FERMAT,

Con.ieillcr au Parlement de Tolose.

Du lournal des Sçavans, du Luudy g. Kevriei' iGlJj.

On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermât
Conseiller au Parlement de Tolose. C'estoit un des plus beaux esprits
de ce siècle, et un génie si universel et d'une estenduë si vaste, que si
tous les sçavans n'avoient rendu témoignage de son mérite extraordi-
naire, on auroit de la peine à croire toutes les choses qu'on en doit
dire, pour ne rien retrancher de ses louanges.

H avoit toujours entretenu une correspondance tres-particuliere avec
Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc.
et avec la pluspart des grands Géomètres d'Angleterre et d'Italie. Mais
il avoit lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils
estoient confrères dans le Parlement de Tolose, que comme il a esté le
confident de ses estudes, il est encore aujourd'liuy le dépositaire de
tous ses beaux écrits.

Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoître
par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues célèbres dans la
republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des
écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de luy faire un
éloge plus ample et plus pompeux.

11 excelloit dans toutes les parties de la Mathématique; mais princi-
palement dans la science des nombres et dans la belle Géométrie. On

MO (i:i VUES 1)E FERMAT. - APPENDICE.

a (le hiv iiiio luctlioilo pour la qnadralui'c des paraboles do tons les
dogrcz.

1 110 autre r/e maxir/iis cl tiiinimis, (|ui sort non sculonient à la déter-
mination des problèmes plans et solides; mais encore à l'invention des
toucbantes et(' ) des lignes courbes, des centres de gravité des solides,
et aux questions numériques.

Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traité ana-
Ivtique concernant la solution des problèmes plans et solides; qui
avoit esté veu devant ([ue M. Descartes eut rien publié sur ce sujet.

In traité de coiilactibus sphœricis, où il a demonstré dans les solides
ce que M. Viet Maitrc des Requesles, n'avoit demonstré (jue dans les
plans.

l'u autre traité dans lequel il rétablit et demonstré les deux livres
d'Apollonius Pergauis, des lieux plans.

Kt une melbode générale pour la dimension des lignes courbes, etc.

De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'anti-
(juité, et qu'il ostoit consulté do toutes parts sur les difficultez qui se
presentoienl; il a éclaircy une intinité de lieux obscurs qui se rencon-
trent dans les anciiMis. On a imprimé depuis peu quelques-unes de ses
observations sur Athénée; et celuy qui a traduit le Bonedetto Castelli
de la mesure des eaux courantes, en a inséré dans son ouvrage une
trcs-belle sur une Epîstrc de Synesius, qui estoit si difficile, que le
Père Petau qui a commenté cet autheur, a advoiié qu'il ne l'avoit peu
entendre. 11 a encore fait beaucoup d'observations sur le Tlieon do
Smyrne et sur d'autres Aullieurs anciens. Mais la pluspart ne se trou-
veront qu'éparses dans ses Epitres; parce qu'il n'écrivoit gueros sur
ces sortes de sujets, (juo pour satisfaire à la curiosité de ses amis.

Tous ces ouvrages de Mathématique, et toutes ces recherches cu-
rieuses de l'anliquilé, n'empéchoient pas que M. de Fermât ne lit sa
charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a
passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.

( ' ) Lire des toiicliaiUes des li.L'ncs courbes.

ÉLOdE DE FERMAT. 301

Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la (brce d'es-
prit qui estoit nécessaire pour soutenir les rares qualitez dont nous
venons de parler, il avoit encore une si grande délicatesse d'esprit,
qu'il faisoit des vers l.atins, François et Espagnols avec la même élé-
gance, que s'il eût vécu du temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus
grande partie de sa vie à la Cour de France et h celle de Madrid.

On parlera plus particulièrement des ouvrages de ce grand homme,
lors qu'on aura recouvert ce qui en a esté publié, et qu'on aura obtenu
de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore esté.

Fermât. — I. 46

3&2 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.

VI.

OlîSEUVVTION DE MONSIEUR DE EERMVT

SUR SYNESIUS.

Rapportée ù la fin de lu Innliiclion du Lk'rc de la inesurc des eau.v couranics,
de BciiedcUo Vastclli (').

Les pages qui restent vuides dans ce cayer m'ont donné la pensée de
les remplir de la belle observation que j'ay apprise ces jours passez,
de l'incomparable Monsieur de (-) Fermât, qui me fait l'bonneur de
m'aimer, et de me souflVir souvent dans sa conversation. C'est sur la
quinzième Lettre de Synesius Evéque de Cyrene, qui traite d'une ma-
tière qui n'a esté entendue par aucun des interprètes, non pas mêmes
par le sçavant Perc Petau, ainsi qu'il l'adrouë luy-méme dans les Notes
qu'il a faites sur cet Autbcur; Et je donne d'autant plus volontiers
cette observation, qu'elle a beaucoup de rapport avec les traitez qui
sont cy-devant.

Cet Evéque écrit à la sçavante Hypatia, qui estoit la merveille de son
siècle, et laquelle enseignoit publiquement la Philosophie, avec l'ad-
miration de tous les sçavans, dans la célèbre Ville d'Alexandrie. J'ay

( ' ) Traduction publiée par Saporta sous le titre : Traictc de la mexiire des eaux eourantes
de Bcnnisl CastelU religieux du Mont-Cnssin et Matlieinalicien du Pape Urbain VIIl.
Traduit d'Italien en François avec un discours de la jonction de\- Mers, adresse' à Mes-
seigneurs les Comhdssaires députez par sa Majesté. Ensemble un Traicté du mouvement
des eaïuc d'Evaiigeliste Torrieelli, Mathématicien du Grand Duc de Toscane. Traduit du
Latin eu François. — A Castres, par Bernard Barcoudu. Iui|)riuiour du Itoy, do la Chambre
de l'Edict, de la dite Ville et Diocèse, i6G 1. — Le texte reproduit |)ar Samuel se trouve
pages 84-87, sous le titre : Observation sur Synesius.

(2) Monsieur Vcrmixl Saporta.

OBSERVATION SUR SYNESIUS. 363

traduit cette Lettre du Grec en cette manière. Je me trouve si mal, que
j'ay besoin d'un hydroscope. Je vous prie d'en faire faire un de cuivre,
et de me l'acheter. C'est un tuyau en forme de Cylindre, qui a la figure
et la grandeur d'une fleute; sur sa longueur il porte une ligne droite,
([ui est coupée en travers par de petites lignes, par lesquelles nous
jugeons du poids des eaux. L'un des bouts est couvert d'un cône, qui
est posé également dessus, en telle sorte que le tuyau et le cône oui
une même base. L'on appelle cet instrument Baryilion. Si on le met
dans l'eau par la pointe il y demeurera debout, et l'on peut aisément
compter les sections qui coupent la ligne droite, et par là l'on connoit
le poids de l'eau.

Comme nous avons perdu la figure et l'usage de cet instrument, de
même qu'une infinité d'autres belles choses, que les Anciens avoienl
inventées, et dont ils se servoient, les sçavans de ce temps icy se sont
donnez beaucoup de peine pour comprendre quel estoit cet instrument
dont parle Synesius. Il y en a qui ont crû que c'estoit une Clepsydre,
mais le Père Pctau a rejette avec raison cette opinion. Pour luy, il
advouë, qu'il ne le comprend pas, il soupçonne pourtant que c'estoit
un instrument qui servoit à niveler les eaux, et qui avoit du rappoit
avec celuy dont Vitruve tait mention au livre 8. ch. 6. de son Archi-
tecture, qu'il appelle Chorobates, mais il est aisé de juger par la lec-
ture de Vitruve, et de Synesius, que ce sont deux instrumens fort dif-
ferens, et en figure, et en usage, et que si tous deux ont des sections,
comme remarque le Père Petau, celles du Chorobates sont perpendi-
culaires sur l'horizon, et celles de l'hydroscope luy sont parallèles, .le
passe sous silence plusieurs autres différences, que je pourrois remar-
quer, pour rapporter le sentiment de Monsieur de (') Fermât, qui est
sans doute le véritable sens de Synesius. Cet instrument servoit pour
examiner le poids des différentes eaux pour l'usage des malades; car
les Médecins sont d'accqrd qiie les plus légères sont les meilleures; le
terme (^) pour], dontsesertSynesius,lemonstreclairenient. Il nesignitie

(') Monsieur Fermai Saporta.
(2) Terme de '^trA^ Saporta.

:KiV

(E u \ i{ i: S I) i: l' E H M vr. - a i> p e n d i c e.

pas iov lihrameuHtm le nivolement, comme a crû le Père Petau, mais
en matière île ^lacliines. il signifie le poids, (|ue les Latins appellent
momentiun. et do la le traité des equiponderafls d'Arcliimede a pour
titre 'l(Toppoi:txcîiv ('). Mais dautant que la balance, ny aucun autre in-
strument artificiel, ne pouvoit pas donner exactement la diti'erence du
poids des eaux, à cause qu'elle est (-) petite entre elles, les Mathémati-
ciens inventèrent sur les principes du traité d'Arcliimede de his quœ
l'chiinlurin aqua, celuy dont parle Synesius, qui monstre par la nature
des eaux mêmes, la différence du poids qu'elles ont entr'elles, la fîgui'e
en est telle {fig- i5o); AF est un Cylindre de cuivre, AB est le bout

Fig. i.în.

V

d'en haut, qui est toujours ouvert, EF est le bout d'embas, qui est
couvert du cône EIF, qui a la même base que le bout d'embas. AE, BF,
sont deux lignes droites coupées par diverses petites lignes, tant plus
il y en aura, tant plus exact sera l'instrument. Si on le met, par la
pointe du cône dans l'eau, et qu'on l'ajuste en telle sorte qu'il se tienne
debout, il n'y enfoncera pas entièrement; car le vuide qu'il a au dedans
l'en empêchera; mais il y enfoncera jusques à une certaine mesure, qui
sera marquée par les petites lignes; et il y enfoncera diversement,
suivant que l'eau sera plus ou moins pesante; car plus l'eau sera
légère, plus il y enfoncera; et moins, plus elle sera pesante, comme
il nous seroit aisé de le demonstrer, s'il en estoit question icy. Voila
la figure et l'usage de cet instrument, et la raison de cet usage. La
lettre de Synesius s'y rapporte si exactement dans toutes ses circon-

( ' ) îiof pô-'-za Saporla.
( ') est fort petite Soporta.

OBSERVATION SUR SYNESIUS. 365

stances, que feu Monsieur de ÎMonchal, Archevêque de Tolose, ayant
envoyé cette explication au Père Petau, il advoùa que Monsieur de ( ' )
Fermât estoit le seul qui avoit compris quel estoit l'instrument, et il
avoit écrit que dans une seconde impression il la mettroit dans ses
notes. Mais parce que cela n'a pas esté fait, j'ay crû que le Lecteur sça-
vant et curieux ne sera pas marry que je luy en aye fait part.

( ' ) Monsieur Fcrniiit Sapurla.

366 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.

VII.

YIRO TLARISSIMO DOM. DE RANCHIN,

SF.N. TIIOL.,

PETRUS DE FERMAT S. P. D.

Polysenum (' ) fihi tiuim, Vir Clarissinie, mitto, sed observaiula in
co qiueihuii suppeditat codex manusci'iptus optimae notse auctorum rei
militaris hactenus ineditorum quem pencs me habeo (-); apiid eiim
collcctionem qiiamdam prsceptorum et monitoriim militarium inveiii
sul) nomine napî-/.6oXcôv, cujus auctorem licet manuscriptus non dete-
gat, colligo tamen ex glossario Grœcobarbaro Meursij ('), eum esse
Heionem, non illumquidem Alexandrinum cujus spiritalia etalia quœ-
dam opuscula extant, et qui antiquo, lioc est, optimo sevo, Grœcè scrip-
sit, sed alium posterions sévi, quod pleraque ipsius vocabula Grseco-
barbara satis innunnt; utrumque, setatem nempe et nomen auctoris,
confirmât Meursius in voce xovTouSépviov, ubi citantur sequentia Hero-
nis verba in •ûapExÇoXatç, y.TziGZ^ikt ^[oùv Tq^ vuxtoç dç Ta ôl.7:A.rf/.':c.
aOTôiv -/.al Ta •/.ovTO'j'ÎÉpvia, hœc enim verba cum in meo manuscripto
desint ('), supplondum in eo nomen auctoris ex manuscripto Meursii;
tenipus vero quo haec scribebantur et quo voces ocuXyjxtov et xovtou-

(') Les observations critiques qui suivent se rapportent à l'éditiou priiicep.f du texte grec
de Polyen, donnée par Casaubon (Lugduni, i58(), apud lo. Tomtcsium, in-ia). Elles ont
été recueillies par Samuel Mursinnc dans la préface de son édition, Berlin, 1756.

(*) On ignore ce qu'est devenu ce manuscrit grec.

(») Imprimé à Leyilc en iSSj, réimprimé en 161 { et iO,!o.

(♦) Il faut sans doute lire adslni.

OBSERVATIONS SUR POLYEN. 367

Sip-'Aov in usu erant, ultra septingentos plus minus annos non videtur
excurrere; in hoc autem •napsxSoXwv tractatu, pleraque Polyseni strata-
geniata suppresso authoris nomine alijs stepe verbis referuntur, quan-
cloque et ijsclem, unde ampla eniorgit emendationum et notarum criti-
carumpenus; celebriores aliquot tibi, vel si mavis doctis omnibus tno
nomine jure reprœsentationis libenter exhibeo.

Cleomenis stratagema narratur lib. 1 Polyseni pag. 20 editionis Tor-
nœsians sequentibus verbis : K\io[kvr/]ç, Aaxcoai[jtovtwv ^aaihiùç ('),
'Ap-fiioiç èTroX£[jt.£i /.al àvTso'TpaTo-ÉOEua-Ev. -^v toïç 'Apydoiç àxpi6-r]ç
çuXax-^ Twv opco[j.£vcov Torç uoÀ£[j:(otç' xal -àvTa oo-a KX£0[ji.£vy]Ç ^oûï-ono,
ù-KO y.'l]p\)y.oç iTf]i).y.ivz z~q ŒTpaTia, xal aÙTol Ta taa Spav iu-izoùooi'Cov . b-Ai-
Co[j.£vtov, àvOcoTrXt^ovTO. è^iov-rcov, àvT£7C£^ΣTav àvauauoiJiévcov àv-OLvz-
-TiauovTO. KX£0[X£v/]ç \'yS)py. r^^piooi^Atv ÔTav-àpto-TO-otErtrOat x-/]pij^-/j, ô-nXi-
cao-Oai- Ci [j.£v £x-r;p'j^£v, oi oà 'ApyEîoi Tipôç apiaTov ÈTpà-novro. KX£0(ji.£vr,c;
d)-Xia'[j.£VO'Jç iTrayaycov £Ù[xapojç àvouXouç xai yuavoù; Toùç 'ApY£(ouç
à-£XT£iv£, hoc loco post vcrba è^iovTwv, àv':£7r£^t£a-av, addcndum ex
manuscripto àpta-TOJVTtov, vipbTcov, quod finis ipsius stratagematis ple-
nissimè confirmât.

Themistoclis stratagema, eodem libro pag. 44» refertur hoc modo :

0£[J.ta-TOxX"?lÇ 'IcôvtOV SépHï] (7U[Jl.[i.a'/_0'Jv-COV, ivÀXvJIZ 'ZOXZ "¥Sk'k-r\'J\, •/sj.~rj,-
YpàO£lV È-l ^ZOÙ Tcî/^OU;, "AvOp£Ç "Ia)V£Ç, où Otxaia '!TOl£tT£ C7-:paT£U0VT£Ç

£t:'. toÙ; -y.T^pa?. Toûtcov àvaYtvw(Txco[7.£va)v, ^aiCkiitç ùt.6~~ouç aÙTO'jç
£-otrjcraTo, corrigendum ex manuscripto éAoyto-aTo, quam esse vcram
lectionem innuit scnsus.

Agesilai stratagema occurrit lib. 2'' (-), pag. 86. 'AyqiiAy.oz, ait
ille, £v Kopcoviîa 'AOvjvaîouç hi'A-q'Jzv -qy^iiki t'.ç, oL Tio^lpiioi c&£uyoua'iv
£i; TÔv v£cov T-?i; 'AOïjvâç- 6 Se -poG-£Ta^£v, âav aÙTOÙç oî xal pouXoivTO
àuiévar coç apa £i'-/] a-cpaA£pov a-U[XTTX£X£a-Oai Torç £^ àuovoîaç [xayopiivot;,
ibi loco vocis 'AOYjvatouç reponendum ex manuscripto 0r]6atouç.

(>) Les f-'aria omeltonl Aazsoa'.ixoviMv pacjiXsù;, que donne le Diophante (Je 1^70. Pour
tout le reste du détail des passages cités (grec et traduction latine), on a suivi le texte de
l'édition de Polyen do 1J89.

(-) Samuel a imprimé lib. 20.

;JG8 ŒUVRES DE FEllMAÏ. - APPENDICE.

Aliiid Agesilai stratagenia rcfert PolyaMius eodem lihro pag. h)3.

Toùç zia-îcjOai "poç aÙTÔv, oîç oiaXé^YjTai ~tp\ tcov xotVY] auuL'^Epovtcov

TO'J'TOIÇ £~t -^viîCTTOV <7UYY£v6[Jl£VOÇ Xal XOIVCOVCÔV ÉaTiaÇ 7.al C7-0V0WV, Taîç

-sXetTiv g-Ôlivj b^iTMti oià xà; tcov tioXXwv O-o'j/îaç. Vulteius Iioc modo
interpretatur : Agesilaus in legationibus pctehat ab linstihus, ut maxime
poternes od se mitterent ; ctim qitihus de communi utilitatc sermones coii-
ferrcl. Cum liis phirimum habens consuetiulinis , et coimminicans focitm
et cineres, seditiones in urbes excitabat, propter imlgi suspiciones. Videtur
interpres loco vei'bi a-ovowv quod est in textii Grseco, legissc cttioocôv
ciiiii vertat cineres, sed nihil niutanduni ox manuscripto evincitur uhi
leguntur hsec verba /.al ô'pxouç -po? kùtoùç ~oio6li.evoç.

Clearclii stratagema narratur libroeod. pag. i lo, bis verbis : KXéap-
■/oç r,v âv GpâxTj' vuxTïpivol (poëot 10 (7-p7.T£U[ji.a xaT£7.dcp.6avov, 6 ok -a-
p"r,YY£iA£v, £l yévoiTO vûxTwp 06pu6oç, [j."/jO£va opOov àvîaTaaôaf ô oà r/.vy-G-
-àç àvaipstaOcj. to ■iiapàYY£)v[J.a toûto £Sîoa^£ toùç iTTpaciojTaç, xaTa'ipo-
v£îv tgO vuxTEpivoO (p66ou. Verba quidem hic supplenda ex manuscripto,
quœ tamen videtur in suo codicc vidisse interpres Latinus, licet desint
in editione grsecâ Tornaesij, sunt autem sequentia, xal oûtwç àv£7:aô-
TKVTO àva7:Y]0wvT£ç xal ':apa(T(TO[i.£vot. Atque ila desierunt exilire ac per-
turbari.

Perdiccae stratagema sequens legitur libro 4, pag. 3i4 (') • nspôixaç
'IaX'js'.wv "/.al Ma7.£G6va)v tioXeij.o'jv'Ucov, £U£toï] iioXXol Max£S6v£ç t^'it-
xovro uojYpct'v, xal ot Xomol Max£S6v£(; XuTpcov èXîcioi upôç Tàç [J-â//-;
Ti^av àToAa6':£poi, £7r£x-/]pux£ijaa':o Tr£pl XuTpcov, £V':£i}^â[A£voç tô x-Zjpuxi,
£-av£AOcvT'. àYY'fXai, w; àpa XÙTpa 'IXXupiol iji.-/] Ttpoatoivxo, àAXà 'lïjcpr;-
<7£'.£v TO'j; ar/jj-aXtoTOUç xtivvueiv. oi §•/] Max£ô6v£ç àiiOYvovTE; Tfjç otà

TÔJV A'JTpOJV TCOT'/JpîaÇ, EÙToXfXOTEpOl TipÔÇ Tàç [^ây^KÇ ÈY^'^^^''"'^' ^'^î ^''' ^•^'■'W

Toj vixâv r/ovTcç TÔ c7(6"C£o-0a',, quod sic interpretatur Vulteius. Perdiccas,
/llvriis et Macedonibus bellum gerentibus, cùm multi Macedones caperen-
tur vivi. reliqui etiam redemptionis spe ad pugnam minus alacres erant,

(') Les yaria indiquciil ptig. 114.

OBSERVATION SUR l'OLYEN. 309

quibus legalioneni inter se de redemptoriis muneribus mitlentibus, prœcepit
legato, ut reversas nuntiaret, se redemploria mimera Illyriorum non accep-
liiriim, sed condemnatos captivas morte affecturum. Macedoncs, desperatâ
sainte redemptivâ. audaciores ad pugnandum reddebantur, quippe quibus
in solâ Victoria salus posita essei. In hoc stratagemate vocem 'IXÀupiol
mutandam in 'lAAupiôv indicatnota marginalis editionis Tornsesianjv;
si vera esset explicatio Vulteii, non soUim vera sed et necessaria essct
illa emendatio, sed frigidissimum esset stratagema, si sequeremur sen-
sum interpretis : Polyœnus quippe vult Perdiccani prœcepisse legato,
ut reversas nuntiaret Illyrios redemptoria munera non accepturos, et hit-
est verus scnsus stratagematis, quem Hero aliis verbis, secundùm hanc
qua; est vera et germana interpretatio, expressit in manuscripto his
verbis, tT.tzrpvj'jt toioOtov, -oL^ii'Av'jix'jt Tivà coç ■ûpoaçuya èXôovra à-o
Twv TToXîL/.îtov v.-zlv o'i ot — oA£ij.tot iêouXEUTavTO xaî à-£X'jp()j(7av ïvy.
o(70uç xpaTTjO-ouatv aty^pLaXcoTouç àTroxTEÎvcoo-i.

Alexandri stratagema refertur etiam lib. 4, pag. 24^^, verbis sequen-
tibus, 'AAÉ^avopoç Aapstw •ûapaTàaas^Oai ixiÀXcov, T.y.pi-'[ytkjj.7. toiç Ma-
xsâocnv ïoMy-vr -i-v à^yùç yévYja-OE twv ïlzpaôJv, si; yévo xÀivav-rsç Tat.;

yipalv otaTptêe'TETYjv yr]V. t^v Se-/] aiXiriy^ OTcoa'Y][jLYjVY] tÔte Sr^ Maxsoé-

v£ç oCÎTOJç èTroÎYjtjav ot Se nÉpaai T/f^u.y. zpOTX'jv/jtiscoç tôovTîç, ty;v ~po; tôv
TtéXeuLov ôp[/.Y]v è^ÉXuaav xal -aîç Yvcô[Aaiç i-^ivciy.o uiaXaxaiTEpot. Aapîtoç
Se ixuopio'jTo, xal (paiopoç -fjV, wç ^[J'-a'/.t xpaTwv ot oi Maxsoovcç ô-ô tw
(Juv6"r][ji.aTi'UT)Ç CTàXTrtyyoç àvaTc-/)ô"/](TavT£ç, pu[xy]Oov Èu.6â}^Aou(7t Tofç ttoT^î-
[jLÎotç, xai TTjV cpàXa^ya pTj^avTEÇ, èç cpuyrjV È-rpÉ'j'avTO.

Hoc loco desunt quanlam verba post vocem tote, qute snpplenda ex
manuscripto ubi narratio est intégra et elegans; lacuna itaque ex eo
sic replenda, tote [XETà Ôup-oCi xal âvopEiaç toîç TioX£[j.totç TipocyêàXXsTE.

Pammenis stratagema taie proponitur libro 5, pag. 385. HaLtaiv-rj;
oXiY"/]v £'/_wv O'jvapitv ÛTio -Àstovcov à7ioX.Y]cpÔ£tç, £-cij.'];£v aOT6[xoXov £Ç tÔ
TÛv TToXEp.îoJv aTpaTOUsèov b 0£ auvO^/jU-a èxuLaOdjv i-av£XOcov rjyyEtAE Ttjj
Hap-ptÉvEi. ô 0£ vuxTÔç ÈTitôÉij^Evoç Totç 7:oA£|j.tot;, TtoXXoùç aÙTÛv cpÔEtpaç
ôiEHnTîiâaaTO aÙTÔ? (JUvÔY]iJi.a" toîç OÈ ■/jt' à-opta, yvcoptî^Etv £v axoTto Toù?
otxEÎo'jç jjir, S'Jva[jL£votç Sià toO c7ijvG-iî(j.a':o;.

Fermât. — f. 47

nTO ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.

Hic addoiula ox manuscripto post verbum aù-o^ scqucntia, aÙToç [xèv

àTiocîa fjV £v TCO a-x6~£i TfjÇ v'j-/.tôç y''"'^?^'Cï'-''' '^^'^? iSîou? ■}] Toùç -rtoXejjiîo'Jç,

TÛV -OXSUIÎOJV 70 (7ÛvOY]U.a à';îOXpiVO[Jt.£VCOV.

Poinpisci stralagema refertur lib. 5, pag. /|02. lIojjL-îa-xoç, Tiepio-rpa-
TozsoE'Jcov roXiv, £"1 [xèv T^jv TroXX-rjv TTjÇ '/(ôpot.^ È^tÉvai Toùç ttoXeulîouç
âxcôX'JUîv £-1 Se ~6t:ov iva (7UV£y^cô;... xal toîç Àrji;1^0[j.£vot; àrAyirjfjy.i '■o'j
Tszo'j to'jTou -poCT£-:aH£v. oi âè i/. t?)? -oXewç àoîà); ivraCiOa -poû^av o
oi -apà Tcôv axo-côv ôj; £[i.aO£v to'j^ '/î/.ovTa^ ûoAXo'jç, £-iO£[j.îvoç toÙç
—XîîaTO'jç aÙTwv Èycipcôo-aTO.

Vox Trjv/Giç,, qii;i' liic vulgo legitiir, corrigenda ex manuscripto et
loco illius roponendum o-uvr/wpEi quod ex conjectura viderai Casaubo-
nus ut patet ex ipsius notis.

Alexandri Pherensis stratagema refertur lib. 6, pag. l\i^. 'Aàé^xv-
ozrjz nàvop[xov -âoXtopxoOvTo; ÂEWîrOévouç Tipôç a-iiada? Tàç 'ATTtxàç vaOç
oavcpô; va'jfxayEîv où Oappwv, oi£-£u.'.j/£v £-1 àxaTtov vùxTwp, etc. legen-
dum esse, âitl àxaTÎo'j, ut vult Casaubonus in notis, confirmât codex
manuscriptus ubi Icgitur oià ijLixpoO -Àoiaptou, quœ verba idem so-
nant.

Cyri stratagema narrât Polyœnus lil). 7" (-), pag. 477- bis verbis,
KOpoç Mrjooiç uapaTaHàiAîvo; Tplç •rjT-ïjO-/]. â-îl oi tûv IlEpa-ojv at y-jv^rxiç
xal Ta TÉxva -^Tav èv ■ûa^apyàoai;, t'^v TExàpT'/iv p-o'.'/y/jv âvraOOa .(jUvrj'j/E*
TTàXtv £0>'JY^''' *^i lIÉpo"»'., (b; 0£ loov Ta T£xva xal Ta? y'jvafxaç, 7:a06vT£ç
£-' a-jTor?, àvéTTprj'av, xal toùç ]\Iï;oou; à-âxTco; otcôxovTa; Tp£'|â(j.£-
voi, vtxTjV Ty]X',xa'jT-^v iv(x-/)7av, w; [xrç/.i-'. KOpov ~pc-ç aÙToùç iWr^ç
O£y]0?iva'. aâ/TjÇ.

Hic loco vocis TiaOovTï; corrigendum ex manuscripto a-uixiraOôvTEç.
quœ vox itidem restituenda in stratagemate Apollodori pag. 435. ma-
nuscriptus noster ex quo coniicimus vocem za06vT£; mutandam in
G-jixzaOsvT£i; verbis sequentibus rem narrât et stratagema Polytcni ex-
primit, oi 0£ T'ja-aOEÎa to'jtcov vixwu.£vo'., etc. vox autem ilhi melius

(') Samuel a imprimé li/j. 70.

OBSERVATION SUR POLYEN. 371

authorisscnsiii respondetquam ti TraOévTEç vt legendiim censuil Casau-
bonus.

Darii stratagema narratur lib. 7, pag. 489, hoc modo. Aapsro; è-oAé-
[jL£i l'/xx-atç Tpiy?i âi-(]pY][J(.£votç- [jLtaç ÈxpàTY]a-£ [JLOÎpaç- tcov oè Zaxxàiv
î'CovTWv Taç èaGfj-aç, xal tov xoa-u-ov, xal Ta ô'-Aa -tpiKi-qy.z TOtç Ilio-
(7aiç, etc. hîc loco vocis iÇov-rcov qu* est corriipta in editiono Tornaesii,
legendurn ex manuscripto àvaipEÛÉvicov.

Autophradatis (') stratagema legitur lib. 7. pag. 5iG et taie est,
AùToapaoaTTjÇ iu-SvÀiiv Oiaî^aiç PouX6[i.£voç t^jV duSok-qv (jtevo-osov
xal (puÀà.-:TO[j.£V/]v ôpwv, -poGri-^ayi [xèv to o"cpaT6'iï£i5ov, irâXiv oè àTrrjya-

Y£V OTTÎtO), p.£/_pi O-raOÎcOV ç'- vÙi £7l-?jX0£V, Ot [X£V 'yuXàT-OVT£Ç TWV ni(7'.-

oàiv àn'tfkAy.yqija.'j, oiSixzvA Toùç 7:oX£[ji(ouç ài:£Xy]AuO£var ô oà Tûv '.{/tXcôv
xai ô-XtTwv Toùç èXaçjpoTc/.TO'jç AaÇcùv, -oXXïj (j-ouo-?) opaiJLcôv StïiX6£ Ta
c7-:£và xal ty^v Ukj'.o&v ycôpav £-6p0/]a£v.

In hoc stratagemate loco verbomm [f-i'/pi i-y.ouov ç' reponendum
procni dubio i-îo-yjtxov xoTt-a, quod Vulteius arithmeticarum apud Grœ-
cos notarum parum callens non intellexit, similitudinc inter ç' quod
significat 6, et {' quod signilicat 90, delusus, legendum igitur [J-i'/ji
(Ttaotojv 4', quam esse veram lectionem, ratio ipsa primum confirmât,
si enim Autophradates ad sex tantum stadia recessisset, hostes suspi-
cione, et mctu non liberasset, deinde in manuscripto legitur £vv£vr]-
xovTa absque notis arithmeticis.

Scipionis continentife exemplum laude dignissimum refertui' lib. 8,
pag. 5G8, sequentibus verbis, Sxyj-jïIcov oopuâAcoTov AaSwv âv 'iS-^pta
"TïoXiv ^oîvio-Tav, cbç oi çu-j'àycoyol TcapOévov YJyayov xàXXouç ÛTiEpcpucùç
lyouioLV, Tov -OL-ApoL aÙTT]:, àva'Cy]-:Y;craç, r/aplcraTO aÙTW -:y;v Ouya-Épa.
ToO bà owpa -poo-xouLto-avTOÇ, 6 oà xal -raO^a aKiw/OLpiacnzo, Tipofxa oi^aa.^
£-ioiâ6vat Tr, xopr|, etc. ibi vulgo legitur ouyaycoYol quod interpres
\QVi\i captùoriini ductores, sed legendnm ex manuscripto vui^-^aycoyol.

(■') Cet alinôii uL le suivant sont dans le Diopluiuto de 1670, mais manquenl dans les
T'aria.

:ni (i:rvi{i:s dk feumvt. - vi' pendue.

hoc ost rirginiir/i diictorcs. qii;p correclio et vorissima et elei;aiitissinia,
lit niillus supersit diibilandi locus.

l'Iiira adjuiigerem, sod l'oriis jam ilcsiiicutibus i|uai'iiiii hcneiicio
otiiim siippetol)al, tincin iiiioque huic -ap£x6oXcôv -apsxêoXï) iniponi-
iiiiis. \ ail- et me ama.

LETTRE DE S. FERMAT A PELLISSON. 373

Mil.

YIRO CLARISSIMO D. DE PELLISSON,

LIBELLORUM SUPPLICUM MAUISIR",

SAMUEL DE FERMAT S. P. D.

Criticas observationes quas mihi nupei' misisli, vir clarissinie,
saepius legi non sine voluptato et admiratione; in illis enim ingenii,
jndicii, et doctringe dotes quas in te jampridem suspicinius iil)ique
elucent : nihil autem invenire possini quod tanti niuneris vice tibi
referam, nisi comniodùni egestati ineœ succurrerent variœ lectiones
quas vir tibi singulari conjunclus amicitià, cujus miiii jucunda semper
est recoi'datio, margini apposuit quorumdam librorum quos sedulo
pervoluebat, et quorum pleraque loca, sed ôooO -nàpEpyov, emendavit;
sois enim quàm prsecoci ille ubertate floruni amœnitatem fructuum
maturitati junxerit, nec nie latet quanta ipse fiducià suas exercita-
tiones solitus sit in tunm sinum effundere; licet autem omnes ista'
quas excerpsi eniendationes, vel parentis mei conjecturae ('), tibi novi-
tatis gratià non commendentur, iUas lamen, qua' tua est comitas, te
benignà manu suscepturum non dubito.

Theonem Smyrnanim, ne te diutius morer, vir clarissime, nosti, auc-
torem operis illius cui titulus icov xaTà ^oi.fj-qu.7.-:v/.T^v y_p-/]!7Ûj.cDv sîç rr^v
Toû nXàTcovoç àvà^vcDo-iv, quod prodromi instar est aut isagoges Pbilo-

(') Les mois vci parentif iitcl cnnjccturœ sonl omis dans le Diophante de 1670.

3-'i ŒUVRES DE FEU MAT. - APPENDICE.

sopliiio Pl;iloiiir;i\ qu<T neniini Geomctriâ non initiato palobat : illud
opus oïlidit Lnletia» anno i6'i4 Isniacl Bnllialilns vir doclissimus e(
Latinitatc donatuni clegantibns notis illustravit; sed non omnibus illud
niendis purgassc videtur, ut aliquot, ni fallor, exemplis, quse sequun-
lur. planuni fiet.

Primuni occurrit pag. 78 illiusoperis obi ~zp\ àp[i.oviaç et aujxçwvta;
agit : locuni iliuni exsci'ibere non piget, ipsa enini séries cmëndationis
procul dubio necessitatem et veritatem ostendet; Ta (' ) Ypàp.[ji.aTa, ait
ille, çwval —pcoTai dil xal G~oiyvMOv.^ (-), xai oiaipsToi, xal tky.yi'j-
Tai etc. (•''), et inferiiis, là oà oiy.r^-'r^iJ.cf.za. iv. twv oOoYywv, omvt;, -âXiv
otoval ûgX TipcoTat y.al biaipsTixal, xai (7T0iy£iojb£iç, huic voci oiaipsTixal
asteriscus in margine (^) respondet cum voce oiaipsTal, at bîc repo-
nenda bis videtur vox àâiaipsTol loco tou oiaipETol et âiaipsTtxal, legen-
duni nenipe Ypàu.[jLaTa cpcovat sta-l àotaipsTol, idque confirmât Manuel
Bryennius (''), cap. t, lib. 2 'Apfjiovixwv : legendum prsetereà cpOcyycov,
o'iTtvEç T.yXvj owvy.\ d'sl -pojTa'. xal âotaips'jol, et hsec quoque lectio con-
firmatur verbis ejusdcm Bryennii lib. 1, cap. 3, ubi (Jicit tpOoyYoç èïttI
àpyv; âpiJLOvîa; cbç fj piovàç toO àpiôpioO, to a-^ij.£fov T"?]? YpajJL[ji.-?iç, xal to
vOv ToOypovou, punctum vero et instans sunt àoiaipsTà et consequonter
oOôyYoç àotaipsTÔç, non dmdendi vim habens, ut vult interpres Lati-
nus (") : nec immérité Baccliius Senior in introductione artis mu-
sicse (') qusestioni illi tî o'jv èttiv âXâytcTTC/v ccôv [jLEXwSoutxÉvwv, res-
pondet, cpOÔYY^?' quem non tantum ikiyia-.ov, sed etiam aToaov esse

(') Le texte de Boulliau porte -i S:.

(') Les mots xa\ STOiyeidiSôt; sont omis dans les Varia.

(') Les faWrt omettent e<c.

(*; La leçon 5'.*!p;-:ai est également indiquée en marge, par Boulliau, pour oiaips-o'; dans
le premier passage.

(') Le texte grec de Manuel Bryenno n'a été publié que par Wallis, dans le Tome III de
ses Œuvres (Oxford, 1099). Samuel de Fermât cite donc cet auteur d'ajjrès un manu-
scrit, que M. H. Omont a retrouvé à la Bibliothèque Nationale. Il contient, de la main de
Fermai, des annotations critiques que nous publions comme dernière pièce de cet appen-
dice.

(') Boulliau traduit comme suit le second passage grec donné plus luiut : inten-alla vero
sortis [constaiil^, quœ noces rursum sunt priiiuc, vim divulondi luibcntcs, et eleincntarcs,

(' ) Antiqua; musicce nuctores septein, éd. Meibomius (Amsterdam, i^'r?.), I, page ■?.;,■

LETTRE DE S. FERMAT A PELLISSON. 375

docet antiquse miisicae celeberrinius auctor Aristides Quintiliaiuis
lib. 1 de Musicà ('), atque ita authoritas seque ac ratio suffragatiii-
liuic cmendationi, quae fit unius tantum litterae mutatione. JMinimà
quoque mutatione alia fit eodem capite licet minoris momeiiti correc-
tio, uhi vulgô maie legitur, ^vjcri xal -oùç nuOayoptxo'jç, legendum scili-
cet, oaal, ut apiul Bryennium XïY&ucrt (-). Paulo inferiîis ubi legitur
iT.o^e'Kiï'za.i b cpOéyyoç ppaoEiaç oè [3apùç, xal (7Cpoopaç ixkv [xeCCcov rf/oç,
vipÉixou oè [xvApoç, legendum videtur Vipsaaiaç, et Bryennii autboritate
confirma tur ( ').

Hactenus de sono de que agitur in cap. illo 6. In cap. vero 8, agitur
de semitonio, et ita vuIgo legitur xaOà (* ) xal to ir]ixt!pa)vov yp!i[xp.a oùy
côç -J^uLta-u ^WYqç xaXo'juLcv, aAA' coç ij./] tw aÙTOTî^îf XKTà zch'j'o oto^nîv,
legendum vero videtur xaOo non xaOâ (') : legendum prœtereà àXX' wç
[iq aÙTOTsXïi xaG' aO-rô •pcovr// à-o-rsAo'jv, quse lectio ejusdem Bryennii
autboritate nixa veriorcm vuliratà sensum efficit.

Atque barum probatio lectionum dcsumi potest, èx twv Ttapà 'zciiç
u-oijo-ixotç 'JTTOTtOîjjLÉvwv xal £x TTcov Tiapà Torç [j^aO-ziixatixorç Xa[/.êavo[ji.£-
vwv, ut Porphyrii verbis utar, qu;e in commcntariis clarissimi inter-
prctis referuntur pag. 276, sed non sine mendo, malè enim ibi legitur,

ix TCÔV -apà (^) TTjÇ aouT?]? ÙTiOTiOspLÉvcov.

Nec silentio prsetermittenda est elegantissima, et audactcr dicam.
certissima alterius loci ejusdem Theonis emendatio pagina 164, ubi de
octonario loquitur : refertur ibi vêtus inscriptio quam in columna
.'Egyptiaca reperiri tradidit Evander boc modo, npîo-S'j-raToç lïâvTwv
"Oaip'-î, Oîofç àOavâTOi?, -vî'JaaT',, xal oOpavco, •r]Àt(o xal ijzkr^'rq, xal y?].

( ') Antiqtue musicœ auctores scptcm, éd. Meibomius, II, page 33.

(-) Dans son édition Tlieonis- Smyrnœi E.vpnsiiio rerum inatliematicarwn, Teubner,
1878, Ed. Hiller n'a pas adopté cette correction, comme il a fait pour les précédentes; et,
en effet, Théon continue à citer ici le péripatéticien Adrasie. L'erreur do Fermât a été au
reste occasionnée par Boulliau, qui a traduit aiunt.

(3) lliller lit r,oîiji;a;, qui est moins bon.

y'*) za-ri Samuel. Mais Boulliau donne zaOi, qui n'a nullement besoin d'être corrigé en
•/.aOo. Samuel a dû faire quelque méprise. — lliller suit, dans ce passage, la leçon de Fermât,
en supprimant le dernier mot àr:oT;XQ3v, (jui est surabondant.

(} ) j-rj Samuel.

376 ŒUVRES DE l'EUMAT. - APPENDICE.

xat vuxTi, xai Yjaépa ('), xal TiaTpl ':tôv ovttov xal [-') èaopiÉvcov EPiîTK
u.vï;ui.£îa Tfj? aÙToO àpETfjÇ jîîou cruvrà^stoç, ici est, ut vortit Bullialdiis,
anliqiiissimus omnium Rcx Osiris diis immortaUbus Spintiii, cl Cœlo, Soli,
ri Liinœ. et Tcrrœ. et Noctt, et Diei, et patri eorum quœ siinl (juœqite
futura siint. prœdicaho memoriam magni/icentiœ ordinis vilœ ejits : men-
flosum procal dubio iii hac inscriptiono illud EPiîTE, et liane lec-
lionom si rcfineas quis indc sensus eiici potcrit? legcndum igitur
KPQTI, atqiie ita parvâ unius scilicet litterœ mutatione iiuic loco sua
lux, et «won sua laus facile restituitur; nec aliéna est ab hoc loco sa-
pientissimi Platonis, cujus velut interpres SmyrnaHis ille, sententia,
dum ait in convivio ( ') xal [j.àv Oï] t/jv yî ^^^^^' ^ojcûv rMi]<jiv tAv-.lov tÎ;
èvxvTioj!7£-:a'. ar^ oùyl (') spcoxoç elvai crooîav -(j Yr,'V£Tai (') xal oùtza.'.
-âvTaTàîIciia, elenimanimaliumoTAnium effeclionem, ut vertit Serranus,
ex amoris sapientiâ existere, id est gignialque nasci, ecquis negaverit,

Per quem genus omne aniniaïUum
Concipilur, visitque exorUim lumina Solis (").

Apud Iulium Frontinuni (') de aquaeductibus Romse pag. loG edi-
tionis Plantiniauae, vulgô sic legitur : in vicenariâ fislulâ, quœ in confi-
nio iitrmsque rationis posita est, iitrique ralionipenè congruit. Nam hahcl
secundùm eam computalionem, quœ interjacentihus mndulis seivanda est
in diametro quadrantes viginti : càm diametri ejusdem digili quinque sint
et secundùm eorum modulorum rationem qui sequuntur ad eam, hahet
digitorum quadratorum ex gnomoniis viginti. Hic procul duhio legen-
dum non ad eam, sed aream : cujus emendationis ratio ex supputatione
geometrica ducitui*.

(') /.x: f,|j.£pa OUI. Saiiiiœl.

(') xai Tôiv Samuel.

(') Pi.yTOS, Jiaiiqiiet, 197 a. — Samuel emploie l'édition de Platon d'Henri Estienne.
15-8, qui renferme la traduction latine de Jean de Serres.

(*) ojzi Semmcl.

(') La vulgatc ajoute -i.

(') Lucrèce, De Rerum natura, I, v. 4-5 : Per te quoniam genus etc. — Ililler a adopté
la leçon éptuTi proposée [)ar Fermât.

(') Voir ci-après, sous le numéro X. la Lettre de Format à Ismael limilliau du r>.\ no-
vembre l6:j5.

LETTRE DE S. FERMAT A PELLISSON. 377

Eàdem eiiim pagina legitur, cenlenaria autem et cenlenum vicenum,
quibiis assidue accipiunl, non minuuntur, sed augenlur, Nec usufrequens
est : videtur legendum Cen. id est centenaria, loco vocis illius \ec, lit-
teris SL'ilicot ordine inverso accipiendis, cum fortasse in manuscripto
repertum fueritCen. hoc &&i centenaria. quod Iranscriptor transposuit
et legendum Nec, particulâ sensui magis, ut videbatur, accommodatà
perperam existimavit.

His emendationibus unam aut alleram duorum insisnium locoiuni
addani, quorum prinius est apud Sextuni Eaipyricum, aller apud Atlic-
naeum : Sextus ille (') lib. 1. Pyrrbonianum hypotyposeon pag. 12,
ostendere conatur quam varia; sint pro diversitate aetatum Phantasias
■ûapà 0£ ':àç f^Aixtaç, inquit, oti b aÙToç àY;p toi; [xïv ylpouTt '^uypo;
îîvat ooxîî- 'TGîç 01 àx[Ay.^ouCTtv, vj-AÇ.y.-':,^. xal <; ':ô > aÙTO Spcôpia tgîç
u.àv •ûpEaSoTaTotç à[;.aupàv çaiv£Tai, toiç oè àx[xâvOU(Ti xaTaxopèç, xal
ocDvr; <[ &p.otti)ç ^ ï] aùrrj Tof? ixèv à[jLaKpà coxe? Toyy^âvEiv , ':ofç oè
£^àxoiK7Toç, id est, ut vertit Henricas Sfephanus, Ex œtatibiis autem
quoniam idem àër senihus quidem frigidus esse lidetur, aliis qui in œtalis
flore (■) sunl, hene temperalus, et idem cibus, senibus quidem tenais vi-
detur, at iis qui jlorent œtate crassus; eodem modo et vox eadem, aliis
quidem depressa esse videtur, aliis autem (') alla; at bujus loci eleiian-
lior spusus erit si legatur non ppwaa sed ypojua, alioquin de sensu
visus qui facile maximam mutationem patitur, nullus lue foret sermo :
prœtereà to àaaupôv mcliùs colori convenit quam cibo, et œquè de
colore ac de cibo dici potest ~.o xKTaxopà;, sic apud Virgilium leginuis,
saturai as murice vestes (^) et hyali saturo fucata colore (^).

Nunc ad Athenaei locum transeo; quis autem urbanissimi illius

(') Fermai s'est servi de l'édition gréco-laline des Clioiiet, Orléans. 1621. 11 faut Wvv
pour la référence pag. l'i, au lieu de page 12.

La correction qu'il propose a été adoptée par Fabricius dans sou édition gréco-latine des
(Euvres de Sextus Empiricus, page 28, note Z. Elle avait été également proposée par Sau-
maise.

(2) llore constituti sunt Sumuel.

( •" ) ^ ero Samuel.

(') Cette expression est de Martial, VIII, 48-

f^) Géorgiques, IV, S'ih.

Fermât. — I. /JS

;n8 ŒUVRES ])E FERMAT.- APPENDICE.

seriptores sales varia conditos oruditione ignorât? Et si quid in eo fri-
gidum ;uit iniicetum occurrat, quis ihi nienduin subesse non suspicc-
liir? Suspecta igitur crit Icctio ioci illius in quo hic auctor lil). I"2.
loquituf de depravalis Alcibiadis moribus, qui locus si vulgatam Icc-
tionem retineas ipso forsan Alcibiade depravatior crit : Athenœi (')
vorba haec sunt, Auo-îaç oè b pyjTcop jztpl iriç Tpucp-?)ç aùxoû ÀÉywv ^yjo-Iv
ix-AEutravTE? yàp xoiv?) 'A^toy^o; xal 'A)^xiSiàoy]ç £Îç 'EXk'rid-KQVTOv EyYjpLav
iv 'AÇ'jSco (Sûo ovT£, IVkoovTiâoa t-^v 'AStj§Y]VY]V, xal Huvcox£iTry]v. suïiTa
aÙTorv yi^^'^^^ Ouyàiyjp, "rjv où/. IcpavTO ouvaaOai yvwvai, ôiroTÉpou sr/].
i~z\ oè fjV àvopô? cbpara, ^uv£xot|j^côv-:o xal TaÛTY], xal si [jlèv ypwTO xal
i;/_oi 'AXxiêiâ^ï];, 'A^(oy__ou £!|)aa-x£v £{vai OuyaTÉppc" si 8ï 'A^ioyoç, 'AXxi-
Çiioou : errer hic procul dubio in voce illa ^uva)X£(ir-/]v et legendum
ç'jvojxEbYjv (^) hoc est concubuerunt, atque ita si falsa Xynoceipe delea-
tur, et sola supersit illa duobus nupta Medontias, portentosae istorum
iuvenum libidinis novitati nihil dotrabetur; veritas autem istius cmen-
dationis satis per se patct, et ex ipsâ Ioci série elici potest, in quo illud
o'jo m-t alioqui supervacaneum foret, nec jam aniplius ambigua
proies; ratio igitur illius correctionis in promptu est, cui ejusdeni
Atbenaîi accedit autboritas, is (^) enim lib. 13. iterum de Alcibiade
loquitur hoc modo, M£Oovt(ûoç yoOv v?]? 'ASuSy]v?iç i\ âxo-?iç £paa-0£l!; (*)
£«7T£p^£, xal ~\vjny.z ûz 'EXkr^ar^ovzov aùv 'A^i6yjx>, ôç ■^v aùxoO ty]? œpa;
èpacTT^ç, ojç cpY]!7i Aucrtaç o pr;Tœp £v tw xax' aÙToO )^6yw, xal Ta'JxrjÇ

(') Pages 534-53i de l'édition de Lyon, 1657. — Page 704 do cotte môme édition, après
certains Collectanea in aliquot /ttheiiœi loca, Autlwre Viro Illustri L. I.S. T., on dit :

« AlIA in ATHEN.EUM ANIMADVEnSlO SINOUI.AHIS, AUCTORE VIIIO II.I.USTRI P. F'. S. T. »

Page 533 A. MîOovT'.âoa tJjv 'A6u5/Jvr)v xx'i S'jv>o/.£;'nr|V.

'( Mirum viros doclos non animaduortissc liîc inendum subcsse, cùni si ponas Axiocluiiii
» et Alcibiadein duas vxorcs duxisse, Medonliadem et Xynoocipen, tota periit lepidœ nar-
» rationis gralia. Legendum verô pro EuvojzEfeTjv, ctuvioxe^ttiv, à vcrbo ouvoixÉw, numéro duaii
0 prœteriti actiui imperfecti, id est concumbobaiit, Axiochus nempo et Alcibiades vni tan-
» tùm Medonliadi, quac cùm fdiam popcrisspt, dubium quidem erat ex vtrius seniine nata
" essel : ideoque cùm puber essel facta, vterque in illius aniplexus ruobat, co praîtextu.
« quôd non ex se, sed ex altcro siisccptam dicerot. »

(') Ou plutôt Çuvo)X£^T7)v. La leçon auvwxEitriv (voir la note précédente), qui ne conserve
pas la forme alliqiie, ne peut guère être attribuée à Fermât.

(') Page 574 de l'édition de 1657.

(') Ce mot ÈpaoOs'i? est omis par Samuel.

LETTHE DE S. FERMAT A PELLLSSON. 379

i/,oivajvrj(7îv a'JTw, id est ut intei'pretatur Dalechampius, Medontidem
Abydenam auditione tantùm ille amare cœpit, et imprimis charam habuit.
eam tamen cii/u Ile/lespontum navibus adiisset, Axiocho nmigationis co-
nùll. el pulchriludinis ipsius arnaturi, ut inquit Lysias in oralione quam
contra eiim scripsit, utendam dédit : ibi autem fictitiœ Xynoceipes iiiilla
mentio, et illud £xotvc6v/]c7£v œque ac ^uvœxsÎTrjv communes Alcibiadis,
et Axiochi amores fuisse satis arguit.

Sed ab istorum juvenum voluptate oculos avertamus, et eam qua^ ox
studiorum societate percipitur, puriorem et diutuniiorcm, summum-
que adversorum solatium litteras esse fateamur; cum tu bis mirum in
moduni oblecteris, non iniucundas tibi fore confido observationes in
quibusamici manumagnosces; ipsius ego lucubrationum sparsas varijs
in locis reliquias è tenebris quibus abditse jampridem erant ('), eruere
conatus sum, neque haec contemnenda duxi, ut ex hoc spicilegio rorum
quae diligentissimos (-), ut ita loquar, messores latuerunt, patcat,
quantam earum auctor in liberiori et conjecturisaperto critices campo
segetem fuerit colleclurus, si saepius in illo spatiari voluisset : Vab- e(
me ama.

( ' ) (|uibus illas parontis modestia abdideral Samuel dans sou ùdiliou de Diophante.
(2) perspicacissimos Samuel dans son édition do Diophaiile.

380 ŒUVRES ])!•: FERMAT. - APPENDICE.

IX.

ISMAELI BULIALDO V. C.

p. F. S. D. P. (').

Duas potissimum inodiiloruin seu fîstularum, quilnis aqua orogatur
aut accipitiir, species constituit Frontimis in Traclaiii de Acjua'clucli-
hiis, quarum una sccunduin diametros foraminis seu aperturse aut lu-
iiiinis, utloquitui'ipse Frontimis, consideratur; altéra secundum areani
ipsam, hoc est spatium planum ipsius foraminis, quod in n( roque casn
rotundum et circulare supponitur.

Prioris listularum speciei séries ila procedit, ut earum dianietri per
(|uadrantom unius digiti juxta progressionem arithmeticam conlinno
augeantur (-).

Primus istius terminus est circulus cujus diameter est quadrans
digiti; secundus, cujus diameter habet duos quadrantes digiti; tcrliiis
très, quartus quatuor, et sic do cœteris usque ad vicenariam, centenii-
riani, et ulterioris gradûs fistulam.

In liac série vicenaria fistula, verhi gratia (^), ea est cujus apertiira
Vfl lumen habet diametrum 20 ([uadrantiuni (') unius digiti.

(') Publiù |)ar Camusal (Histoire critique des journaux, Amstordain, .l.-F. lienuinl,
i7'54) ()• 'Qo-igî) avec l'adrcsso fautive Paulus Fermatus Ismaeli Bulialdo V. ('. S. D. P.
— Reproduit par M. Ch. Henry (Recherches sur les Manuscrits de Pierre de Fermât,
].. 16-17).

(^) augcatur Cam.

P) V. C. Cam.

(') quadraloruni Cam.

OBSERVATIONS SUR FRONTIN. 381

Posterioris fistularum speciei séries non secundum diametros, sed
secundum aream ipsam luniinis progreditur.

Prima nempe hujus speciei ea est quse habeat aream << uniiis digiti
quadrati, sccunda quœ aream >• duorum digitorum quadratorum, ([iii-
naria quse quinque.

His positis, intelligis.Vir Clarissime, prions speciei fistulas difl'crre
omnino a fistulis speciei posterioris. Nam, cùm prima posterioris spe-
ciei habeat pro area ipsius aperturae unum digitum quadratuni, ])rima
prioris speciei pro area aperturse non habet vigesimam dumtaxat par-
lera unius digiti quadrati, quod facile colligitur ex supputatione arith-
metica juxta rationem Archimedeam ('), quam si sequaris, semper
prioris speciei tistulas minores fistulis speciei posterioris invenies
usque ad vicenariam; post vicenariam vero semper prioris speciei fis-
tulas majores fistulis speciei posterioris invenies. Ipsa vero viccnaria,
quae in confinio, utrobique fere aequalis existit : lumen enim vicenaria'
prioris speciei est ad lumen vicenarise speciei posterioris ut 55 ad .)(>,
et sic differentia est unius tantuni quinquagesimse quint;«.

Ex supradictis patet omendandum textum Frontini in libro de Aqiiœ-
ductihus, p. loG Slewec/ua/iœ edilionis (-) apud Raphelengium 1G08, et
ita concipiendum :

Invicenanâ fisuda, qiiœ in confinio utriusque rationis posita est, unique
ralioni {^) pêne congruit. Nam habet, secundum eam. computationem ( ' )
quœ interjacenlibus Ç^) modulis serifunda est (([usd qmdem est prior tis-

( ' ) Archimecteam Cam.

(^) Stewersiaiiœ eclit. Cam. Il s'agit du Volume intitulé : r. Inl. FI. f'cgclii Ile/ia/i
Coiniti.t aliorumque aliquot veterum De lia Militari libri. Acccdunt Frontini xtralagema-
tibu.i eiusdem auctoris alia opuscula. Oinnia einendatiiis quœdatn niinc primurn édita a
Petro Scriverio ciim commentariis aut notiv God. Stewechii et Fr. Modii. Ex olficina
Plantiniana Raplieleiigii MDCVII.

(') Dans son édition criti([ue hdii Frontini de aquis urbi.i Ronue libri 11 ( Loipsig,
Toubncr, t858), Fr. BUclieler corrige utraque ratio d'après le manuscrit Cnssinensis,
unique source du texte de Frontin. Le passage reproduit par Fermât se trouve dans cette
édition, page i5, I.ai à page 16, l.'i.

(*) comparationem Cam.

(5) Polenus a corrigé in antecedentibus, ce qui concorde avec la leçon du Cnssinensis,
in tecedentibiLi .

:S82 ŒUVRES DK FERMAT. - APPENDICE.

tiilni'Uiii species), in diametro quadrantes viginli; càm diamelri ejusde?n
disfili quinque sinf, et secunduin eorii/n inodtdorum rationem quiseqimn-
iitr. aream (') (ita confidentei" cori'igiiniis, cùin vulgo inalo Icgatur ad
cam : luecestenim posterior listulai'uni species qua?) /lahe/ digitontm
quadratonim ex gnomoniis (-) viginti.

Cùm enim vicenaria prions speciei habeat in diametro quadrantes
viginti nniusdigiti, hoc est quinque digitos.critC) quadratuni diamelri
2.) digitoruni. I^st autem proximo ut r/j ad ti, ita quadratum diamelri
ad circulum, ex Archimede, et est proxime pariter ut i4 ad ii, i(a
23 ad 20. Ergo vicenaria prioris speciei, quse habet viginti quadrantes
in diametro, habet etiam ferc viginti digitos quadratos areae, ut pêne
H^qualis sit fistulœ vicenarise speciei posterioris : quod probandum crat
■m\ sensuni Fionlini planius aperiendum.

It autem perfectius innoteseat vicenarias utriusque speciei omnium
proximas inter se esse ('), exponatur tabula sequens

I 11 224 6 66 224 II ru lai 10 176 224 21 23i 224

i ■>:>. 224 7 77 22 1 \t 1)2 224 17 1^7 224 22 242 224

;i 33 224 8 88 22', l;i 143 224 18 198 224 23 253 224

4 44 224 9 99 224 li i54 224 19 209 224 2i 264 224

.') 55 224 10 110 22 1 IS iG5 224 20 220 224 2S 273 224

Primus ordo est numerorum ab unitatc in progressione naturali.
Secundus est a 11; progreditur per additionem ipsius 1 1 .
Tertius est ejusdem semper numeri 224.

Palet autem ex supputationibus geometricis fistulam prioris speciei
ad fistulam posterioris esse ut numerns coUateralis secundse columna-

(') Bucheler a fait la mémo correction que Fermât, mais comme il mut plus haut le
^oint-virgule après sint et non après viginti, il considère le texte comme en désordre et
propose de le remanier, ce qui est inutile, car le sens est bien celui qu'indique Fermât :
" Dans le tuyau du module 20, qui se trouve à la rencontre des deux façons de compter,
celles-ci se irouvonl sensiblement d'accord. Car, selon le système adopté pour les modules
inférieurs, il a 20 quarts de doigt en diamètre; cela faisant 5 doigts de diamètre, il aura
aussi, si on le rapporte au système des modules supérieurs, une section de presque
20 doigts carres », au lieu de 20 doigts carrés exactement, qu'il devrait avoir d'après ce
système.

f ') ex gnomoniis Scriv. et gnomonum Cam. exiguo minus Biichclcr.

(») edil Cam.

C) intcrsesse Cam.

OBSERVATIONS SUR FRONTIN. 383

ad numerum 224 tertiae. Exenipli gratia, iistula (|uinta (') prima'
speciei est ad fistulam quintam secundae ut 55, qui est numéros colla-
teralis 5, est ad 224. Etc.

Unde apparat, cùni numeri 220 et 224 sint omnibus secunda' et
tertiae columnae inter se proximiores, vicenariam, quae est ipsis colla-
teralis, esse ejus naturae et proprietatis quam innuit Frontinus. Undf
evidens est non solum correctionem nostram esse verani, sed eliani
necessariam, imo et demonstratam.

In eadem pagina emendandus est etiam textus, ut sensus restituatur
Frontino, ubi etiam legitur :

Cenlenaria autem et cent en uni viceniim, (/i/ibtis assidue accipiuni , non
minuuntur, sed augentur.

Post hœc autem verba, inquam, sigillatim exponit Frontinus qua
proportione aquarii bas duas fistulas fraudulenter auxerint; sequitur
itaque nec usu frequens est : legendum loco vocis nec, cen lioc est cen-
tenaria, quae haud dubie bac ratione tribus primis characteribus in
MSS. designabatur. Quod cùm exscriptores non caperent, inverso
vocabulo, voci cen substituerunt nec, decepti fortasse simili, quaui
aliquot ante linois, cùm de duodenaria loquitur Frontinus, viderant,
expressione (^).

Si banc emendationem non admiltas, erunt bœc omnia scopse disso-
lutae. Sensus integer Frontini idpraecipue vult, aquarios quatuor fistu-
larum modum mutavisse, quod ita exprimit :

Sed aquarii, cùmrnanifestœrationiin (^^ ) pluribiis consentiant, in qua-
tuor modulis nominaverunt ( ' ) duodenaria {^) et vicenaria et centenaria

(') quintœ Cain.

{}) La conjeclui'c de Fermât est plus ingénieuse que solide; mais, de fait, les mots nec
usu fréquent est ne se trouvent pas dans le Cassinensis. Biicheler (p. 16, 1. 16-17) 'es a
donc supprimés purement et simplement.

(') Fermât ajoute ici in au texte do l'édition qui no porte quo pturibuv, avec l'indica-
tion de la variante plurimùm. Biiclieler fait la même addition, d'après Polcnus (p. 16, 1. 9).

I *) D'après le Cassinensis, pour ce mot qui a torturé Fermât, il faut partout lire noirc-
l'cruiit.

(5) duodenariam et vicenariam et centenariam Cam.

:WV ŒUVHES DE FEIIMAÏ. - VI'PENDICE.

(7 cenlenurn i^icenum. iihi (|in(l \wv vocabiilum /lorninavcni/il iiitrl-
ligat, (|U0 iiloin Fronliiuis diiohus aliis locis pagina' se(|ii('iitis (') 107
iilitur, ainpliiis quœi'Ciuluiu et coiisulendi t'orsan codices MSS.

Ueliqua seqiuiiitiii' in qiiiltiis siispicaremur ali(iuid traiisponcndum,
siScaligcrianam audaciam aiidcrcMiuis imilari, ot ita omnino legenduni
post vi'iba superiora (-) :

Vicenariam exiguioremfaciunt diametro digiti semisse (■'), capacilalc
(juinariis tribus (') et semuncia, quo inodido plcnimque erogalur. Rcli-

■ (' ) pag. seq. Cnm.

( ') L'ordre du texte édité est le suivant : Et diwdenmiœ quidem, qtiod itcc iiia^/iiix eri'or
liée U.1U frcqueiix est, diametro adjeccriiiit dii^iti seinuiiciam siciliciim, capacitati qiiiiiariir
cl be.txcm. Reliqids autciii IrU/ux nwdiili.f plus deprelieiiditnr. Vicenariam cxigidurcm
faciunt diametro digiti semisse, capacitate qiiinariis tribus et semuncia, quo modulo plc-
rnmque erogatur. Centenaria auteni et centenunwicenum etc. L'interversion proposée par
Fermai est inutile. Voici le sens général du passage (éd. Biicheler, p. 16, 1. 8 à 18) :

« Les distributeurs d'eau se conforment, en général, pour les modules des tuyaux, aux
exigences de la raison; toutefois ils ont innové pour quatre modules, n°' 12, 20, 100 etiâO,
Pour le module 12, l'errourn'est pas grande et d'ailleurs l'usage de ce module n'est pas fré-

(luent: ils augmentent lo diamètre de — : de doigt, la capacité de ^- de quinaire («).

' • ^ l() ■- /|00

Pour les trois autres modules, la différence est plus grande. Le module 20, le plus
employé pour les concessions, est diminué par eux de - doigt, ce qui réduit la capacité de

■J quinaires — (exactement — )• Au contraire, les modules 100 et 120, qui servent con-

slamment pour les prises, ne sont pas diminués, mais augmentés, etc. »

(5) Biiclieler ajoute et semuncia, contre l'autorité des manuscrits, parce (pic, dans le

Tableau qui suit un jieu plus loin (p. 19, 1. i3), Fronlin donne 5 doigts— — pour le

diamètre du raodido 20, ce qui correspond à la section de 20 doigts carrés (système des
modules supérieurs). Mais il est clair qu'ici Fronlin compte le module 20. suivant le sys-
tème des modules inférieurs, à 20 quarts do doigt ou à 5 doigts de diamètre.
(■•) Biicheler ajoute et quadrantc, pour lo motif indiqué dans la note précédente. Comme

le prend ici Frontin, lo module 20 vaut évidemment iG ipiinaircs, et non iC quinaires - —1

comme il est indique au Tableau suivant (p. 19, 1. 14)- Quant au module effectif des

aquarii, sa valeur en quinaire^ est (/i - j x ( t ) = 12 ^- La différence avec iG est 3 —

ou 3 — ) à moins d'un scruiiulo ( -73 ) près.
a^ \2»8/

/ .s Ït7

I «( Le qninaii-e e>t le luyau ilc uioiluin s ^tiiaDi»>lre - ik' duiirl ), [iri^ piiiir uiiitft tiv cjpai-iu-. I,a fratfiou — csl ccUe

ijue rloiine le calcul, mai» ne cyrrcspontl |tas exaricinem au lc\le tli- Irontîn.

OBSERVATIONS SUR FRONTIN. 385

quis ( ' ) auleni tribus inodulis plus depreliendilur : duodenanœ quidem,
quod (■) nec magnus crror nec usu frequens est. diametro adjecerunl
digiti semunciam sicilicum. capacitati quinanœ (J' ) et bessem. Centenaria
autent et eentcniim ne. etc.

Sed de voce nomif/dve/unl (juid statiieimis? (juid statues, ini l}ii-
lialde? quid statuent docti? Sensuin (juidein rapinuis, sed expressio-
nem Frontini aut sensum ipsius expressionis desideraimis.

Non difficile est quaecumque in liac pagina et in paginis lo- et io8
de capacitatibus fistularuni, earuin dianietris et perimetris enuncian-
tur, quîc mire corrupta sunt apud Frontinum, ex geomeiricis suppu-
tationibus emendare. Quas si forte desideres, non gravabiinur aggredi
atque firmiter probare, ut, si ea, qu;e dixerat ipse Fronlinus, non fue-
rimus plane assecuti. ea saltem. qute dieere debuerat. siipplere non
dubiteinus.

Interea vale, Bulialde doctissime el ainicissime.

Dabam Tolosa; ïectosaguni ad diem xxiv novembris ('') anni à
C. N. MDCLV.

(') Biicheler ajoute //; devatU rclù/uif, ce qui semble inutile.

( -) Bucheler supprime qiwd, d'après le Cassinerisis, el ajoute plus loin cii/iit avant dia-
metro.

(*) quin et bessem Cani., quiiinri;r quaiJrantciii Bucheler. Le Cassinensis donne qui-
nariœ ebesem. \ji texte est évidemment corrompu, mais la correction de Biiclieler. faite
d'après Polenus, est peu admissible. En fait, comme je l'ai dit plus haut, l'augmentation

en quinaires est exactement ( 3 — 7 ) — 3- x ( ^ ) =^ ^r^' ^e qui correspond en scru-
pules à Cl), 84. La correction de Polenus suppose que Krontiii aurait, par approximation,
pris -■!. scrupules. Mais, comme ici la dilTérenco est très petite, elle aura dû être calculée
encore plus exactement que la précédente ( w«r page SS i, note .( ). Il est donc probable que

Frontin aura admis 6y scrupules r, (comme l'indi(|ue la leçon et bessem ; ciunp. éd. Biiclie-
ler, p. ij, I. ?.4-2J, et besse seripuli). L'indication des scrupules, faite suivant la notation
romaine des fractions de l'as, aura été laissée de côté par le copiste.
( *) nov. Cain.

FEiia.iT. — I. 49

386 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.

X.

(M

LETTRE DE IIUET \

Petro ht Sa>il'i;[.i Feioiaiiis, i'atiu et fimo, Tolosam.

Cùni omnibus officijs amorom erga me siium Segrsesius noster et jam
mine vestei' signifieauerit, (um illud longe milii gratissimum est (jnod,
(jnorumeum(|iie liominum aliqua laiule tlorentium sibi conciliauit be-
neuolenliam, ejusdem me statim fecit participeni. Quod sic interpre-
tor, existimasse ipsum non certiorem propensi in me animi testitica-
tionem dare se posse, quani si (juod in vi(a carissimiini babet, amicos
nempe, eos mecum communes esse veliet. Qiio benelicii gener(>, si
unquani alias, nunc certe me cumulare pergit, cùm (b)ctiina;, ingenij
et vi'l)anitatis egregia specimina vt ad me mitteretis, operà siià et
aliquà (brtasse nostri apiid vos commendatione perfecit. Parum equi-
dem inunere isto eâque quam de me suscepisse videmini opinione
dignnm me prœbeain, nisi maximas vobis debere me gratias palam
protitear et praîclaras vtriusque vestrùm dotes apud omnes decanleni.
Quod autem tuas vcterum scriptorum castigationes et conjectanea,
necnon et poematia, tu Fermati pater, puncto meoapprobare velle pra-
te fers, sic accipio le indnstria? tuse testem et plausorcm, non judicem
quaerere. Sic ergo babeto uibil mibi magis consentaneum videri (|iiani
quod ^jvaj-/.£(-r,v vocem nibili et a vero Atbentei (-) sensu alienam

('; Lettre publiée par M. (^li. IlcMiry Hieihcrchex .mr lc\ inaniisrrils de Pierre de
Fermât, p. 73-76) d'après le manuscrit n"997 de la Bibliotlièijue de l'Université do Leydc,
pages iSg et i4o. et la copie dans le manuscrit de la Bihliollièquo nalioualL', Fonds- latin
w" \\V.\% où elle est numérotée I.XXVI.

(2; Voir ci-dessus, page 37S, note ■>..

LETTRE DE HUET AUX FERMAT. 387

expungis, H'JvwxîtTrjv autem acute et légitime subslituis. Pi'ofecto, ut
in emaculando eriulito hoc scriptore nuiltum desudarint Dalecanipius
nostras et Casaubotiiis, non exiguam tamen, post amplani mcsscni.
spicilegio materiem reliquerunt. Quid item certius quîim ypwuia non
Ppcôaa legendum apiid Sextiiiii piiilosopluim (')'l Hsec Theonis (-)
qiiam profers emendatio sese ipsa vel minimum attendent! lucnlenter
l)robat. Quod autem in Claudiani ( ') epigrammate paler lu puer relor-
niandum statuis, xpiTixtoTaTov est et vulgaris xal -atoaYtoYr/t?;? piviç
olfactum prieterit. Puer porro in ohscœnis esse qui nescit, quid sint
■nraiôixâ, quid TratâspacTTcîv, ignorât, nec catamitôs nouit dictos esse
pullos, nec IMartialis Ç) sententiani asscquitur, cùm ait :

Sit riobis iiMale puer, non |uimiee. h'pvi.s.
ProptiM- iiiieiu placcat imila p\iella milii.

Atque utinam eiusniodi amœnitatihus, tuisque etiam elegantissiniis
epigramniatis ac tiiis item, Fermati tili, quœ niirifice sane noi)is sa-
piunt, par referre posseni! Sed quod ah exigna nostra et paupertiua
facullate non suppetit, id deuoto erga vos animo, omnibusque obse-
quijs repnesentare conabor. Valete, Viri Eximij. Cadomi III non.
dec. MDCLIX.

Si lucuhrationibus luis geometricis, in cjuibus diceris obtinere prin-
cipatum. Fermai i pater, me impertieris, optinie de me fueris prome-
ritus.

(') /^w> ci-dessus, page 3-7.

(2) A'wV ci-dessus, page 376.

(3) il s'agit de l'épigramme LXXVI ilc Claiidien (éd. Heiiisius, Ui5n ), vers "> cl (i. où
l'on lit :

yuod turponi pnteris cano jam poilicc nnirliiiui.
rcniinois siKnis Luria VoDUStjiit' lulil.

Fermai proposait de lire pucrix au lieu do pateris; cette conjecture, ingénieuse mais inu-
tile, n'a pas été prise en considération par les éditeurs sui)Soquents de Claudien.
(*) Martial, XIV, épigramme 205.

;»S8 ŒIVRES DE FERMAT.— APPENDICE.

XI.

LETTRE DE FERMAT.

I'kth. Dan. llrKiio s. p. d. Peiiî. Fermatiis. ("adomim (').

Vix legerani tuam cpistolam, cùm efTœtam janidiu et inarcescentcm
lalini scrmonis f'aciillatem rouocare statim sum aggrcssus, vt grati
saltciii aiiiiiii oFlicium qiiocldani rependerem, et elegantiani tuam qua-
damtoniis adiimbrareiii. Sed non succurrerunl verba, et in mcdijs cona-
tibusîeger jam deficiebani, aiit si niauis aliud quoque Virgilianum (^),
inceplus clanior friislnihalitr Itianlcrn. cîini ecce commodum superuenit
vrbanissinuis Segresius, et amicum serio meditabundum, et jam pêne
eum vngnibns conflictantem, ac securn nescio quid obimirinmanteni
intiiiliis : « Ain vcm'o. inqait, credisne Huetium a te aliquid elabora-
» tum et quod demorsos sapiat vngues cxspectare? Sincerum tantum
11 cordis affectuni expostulat, et in pignus amicitia; nascentis ali(|uot
1' aul versicnlos aut criticas obsei'uationes exposait. » — « Sed iliud
11 nnilto, inquam, difticilius euadet. Carmina enim paucissima pênes
■1 me liabeo, qua; fanto et lam cebdiri viro ausim communicare; ani-
1' maduersiones aiilern criticas muito adbuc pauciores valeam exhi-
" bere; nain is certe snm qui notas bujusmodi censorias, nisi ipsarum
'1 Veritas luce ipsâ chirior sit, omnino rejiciam; imo in ipsis àTïio£tEiv
)i à-'.c7Tr,;;.ov'./,r|V, more geometrico. existimem requirendam. Quod

( ') Lellre piilillée par M. Cli. Henry ( liachcrchcs mr Ic.t ma/iutcrie.r de Pierre de Fer-
mât, p. 77; d'après le manuscrit n° 997 de la Bibliothèque de l'Université de Leyde,
pages i4i et 1 12, et la copie dans le miiniiscrit do la Biblioihcciiic nationale, Fonds j'mn-
eaif Nom: Àcq. n" 3280, f°' 108 et 10;).

('» Comparez ^«m/e, VI, 49'i.

LETTRE DE FERMAT A IIUET. 389

» exenipla, qiiae jam ad clarissimum Huetium tuà operà peruenerunt,
» satis probant. Velim tamen in siipplementum probationis ailjiiiigere
)> (loctissimi et eriiditissimi illius viri approbationem vicom accuratis-
» simae demonstralionis apiid nio obtinere, nec vlluiii ainplius de voro
» Athenœi, Sexti, Theonis et Claudiani sensu dubitandi locuni relin-
» quere. « — « Quà crgo, inquit, rationc, amice, et epistokc et exspec-
» tationi respondebis? » — « (]enseo, inquam, nil aliiid mihi facien-
>i dam, quam tbrtuituni lioc et familiare inter nos coiloquinm in
» speciem epistolse efTormandum, et Cadomum quamprimuni transniit-
» tendum. » — Annuit Segresius, ego vero vsus sum consilio inopise
inese perquam accommodato, et aniicitiam tnam, Vir Clarissiine, si non
facundiâ, saltem obsequio obseruantissimo, in posteruni lenlalx) pro-
inereri. Vale. rolosa\ VI Kal. .lannar. anni MDCLX.

390 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.

XII.

CEDi: DEO, SEli CimiSTLlS MORIENS.

I). I'etri de Fkumat caiuiex amoeii.elm ad I>. Iîalzaci ji.

Obstupuit toticsque elusum mentis aciimcn
Dedidicit vanos veris praîfciTC colores
Luminibus. Qiiid bella nioves, delelaqiie prideni
Niimiiia pr?estigiis lingiue solertis adumbras
Infelix ratio? Nuni te simiilacbra tôt amiis
Desita, et imbelies Uivùm sub imagine form»
Fallaei cinxere metu? Num te ostia Ditis
Ant stvgiaî remorantur aqua?, Eiysiive recessus,
Kt (jni(bnrKl cicdi volnit Dijs ;eqna potestas?
Perge tamen qui) te seciiro (l'amile diicunt
Balzaco prseeunte via', nec inertia diidiim
Fatidica; responsa De», quercusve silentes
Dodonse, aut taciti venerare oracnla Pb(ebi;
Cède Dec. Cessit veterum numerosa pi-opago
Cœlicolùm : Dans ecce Dcus, qiiem prona parenlem
Agnoscit natura suum, cui terra, salumque
Paret, et edomitse fatalia flabra procellse,
Submittuntque ipssejam non sua murnniia nui)es.
Ilir piiro l'ul^orc micans, de liimine lumen
Dum tiabeiet, Deus uniis erat, natus(|U(ï supremi
iflternà aeternùm nianans de mente parentis
Assnmpsit veros moritnne carnis amictus.

CHRISTUS MORIENS. 391

Si qua forte queat mortalia flectere corda,

Tantillumqiie animis extundere possit amorem.

At postquam sumnii tandem mandata parentis

Horrendo sacrum caput objecere furori,

Humanas mœrenti animo depromere voces

Cœpit, et insolito succussus membra fragore,
, Omnipotens, si nondùm orbem mala nostra piarunt,

Et placet intandum pœnje genus, en, ait, adsuni

Victima, lelhiferoquc libens succedo dolori.

Cerne tamen sudore madens et sanguine corpus.

Et si nuUa super nostra; tibi cura salutis,

At saltem solare animum non digna ferentem.

Dixitet humentes oculos ad sydera tollens,

Quas non ille preces, quae non suspiria fudit

Anxius icrumnisque gravis, tua, rector Olympi,

Dum satagit, mentemque futurœ accingere pugna (')

Sponte parât? Cœlo intereà demissus ab alto

Aliger, ut varios animi componeret a'stus,
Improvisus adest, ceciditque repente fragorum
Turba minax, auctaeque superno robore vires
Despectant longé pœnas, nondumque paratae
Incubuere Gruci : nani cur, suprême, moraris
Rector, ait, cur me per tanta pericula vectum
Sistis, incxpletoque obices opponis amori?
Dixerat, bumanisquc iterum succumbere curis
Visa caro, tristes agitant prœcordia motus,
Necdum securo gressu vestigia ponit.
Hœc inter dubiœ mentis certamina totam
Noctem orat, socios altus sopor urget inertes,
Quos decuit vigiles oranti impendere curas.
Heu pavidse mentes, si nec cœlestia fangunt.

( ' ) Lixcz pugnfe.

39-2 ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.

Ni'c vora' virtulis honos, hoc inuiiere saltein

notungi juiala lidos, jiissiiin(|ii(' inagistri

Dehiiit una sequi; sed jam sti'epit uiidique rmii'iinir,

Kt segni tenebras abrumpunt luinine tsedsc;

Qui) se cuinque fcret, jain vis iniiiiica propinquat,

Fictaquc adoraiilis species, vcrique dolores

Non pi'ocul. Infausti tandem sub pondère ligni

Déficit, affixusque cruci, jam verbera passus,

Jam spinas, laceros spargens tormenta per artiis

Nenipe urgcibat anior, nostraeque cupide salutis,

Hiimanam egressus sortem, mortique tremendus

Dum fieret moi'ti propior, (■|'('uiitiis(|ue, minasque,

Et conjuratae spernens convicia turbse,

Degeneri vitam populo pacemque precatur,

Nec, quas ipse tulit pœnas, tortoribus optât.

Et jam finis erat, violataque pectora puri

Muricis undantes spargebant undique rivos.

Nec tamen imbelli subiit fata ultima mente;

Quin magis assurgens, divinaque lumina, Cœlo

Sic propior, vocemque sonoram ad sydera toUens,

Summe Deus, quid me moribundum deseris, et jam

Semianimem, populique tuoque furore fatigas?

Sat tibi, sat mundo dedimus, finitaque dudum

Siiigula prœscriptas habuere oracula metas.

Sic l'atur moriens, elataque lùmina rursùm

Figitbumi, necjamCœlum spectare facultas

Ulbi datur, cecidere animi, marcentiaque ora

T^ithcreo vocem extremam (uderc parenli :

Hanc tibi, summe parens, animam commendo, nec ultra

Prosiliit, vitamque simul cum voce reliquit.

Haud secùs cxtremo videas spiramine lychnum

Ingentem nisu valido producere lucem,

Et sursùm elatas, iterum subsiderc flammas,

CHRISTUS MORIENS. 393

Donec anhelanti similem circumfluus liunior
Deserit, et densae subeunt fuliginis undœ.
Debilis intereà visa est scintilla per iinibras
Semianiines atris miscere vaporibus ignés,
Deficiunt tandem et vano conamine sursùm
Evecti, aeternis noctis conduntiir in umbris.
Nec tamen œternse claudent tua liimina noctes,
Nate Deo, veram referet lux tertia lucem,
Et majora dabit renovato luniina mundo.

Quo me, quo, Balzace, rapis? juvat ire per altum
Exemple quocùnque tuo me musa vocarit,
Exiguo sine te vix suffectura labori;
Scilicet optati veulent tanto Auspice versus.
Et quo Pierij frueris super ardua montis
Editus, hoc olim forsan potietur honore
Balzaco proies non inficianda parenti.

Fermai — I.

:î<)V (EUVRES de FERMAT.- APPENDICE.

XIII.

NOTES CRITIQUES

Sin LES

HARMONIQUES DE MANUEL BRYENNE o.

I.

NOTATA Ql«DAM AD MaNUELEM BrYEXNIUM.

In libro primo, capite -rrEpl auazr^it.a'zoq, loco horum verborum : tôv
-ptv TE y.oà O'jo X£i(/.[xà"7cov, logendiim : t6vcov t.vj-.z xat cùo 'knu.y.à-
Tcov (- ) .

In lii)i'o 2", pag. i" : xal i'JZioopô'ïrf.iz, Icgcndiim : xal ai cjooopo-

(') Manuscrit grec 21G0 de la Bibliolhèquo nationale. Copié au xvi° siècle, sur papier,
de 218 feuillets, in-folio, et relié en veau fauve. Ce volume, après avoir appartenu à
l'archevêque de Toulouse, Charles de Montchal (f i65i), dans la bibliothèque duquel il
portait le n° xliv, puis sans doute au surintendant Foucquet et à Ant. Faure, passa dans
la collection de l'archevêque do Reims, Le Tcllier, qui le donna au Roi avec ses autres
manuscrits en 1700. On y trouve le recueil suivant des auteurs grecs qui ont trailé do
la Musique :

Aljrpii isagoge musica (fol. i'"); — Gnudentii isagoge harmonica (fol. i4'^); -- Anonjmi
vpusculum de re musica : 'i'uOixoç (7*jvI<t"Tixsv . . . (fol. 2^); — lîacc/ii seniuris isagoge musica
(fol. 32): — Anonymi isagoge musica : Tfi ij.ou<tixï) liyyq. . . (fol. -iG); — Euclidis isagoge har-
monica et sectio rnusici canonis (fol. 4^); — Theonis Plaionici summa et conspectus iotius musicœ
(fol. 5o); — Pappi excerpia de re musica (fol. 52"°); — Aristoxeni harmoriicorum elementorum
libri III (fol. 68); — T^icomachi Geraseni harmonices enchiridion, libri II (fol. 82) ; — Aristi-
dis Quintiliani de musica libri III (fol. 97); — Manuelis Br^ennii harmonicorum lilii'i I et II
(fol. 145 à 202 ).

Les notes autographes de Fermât, dont nous devons la découverte à M. Henri Omont.
sous-bibliothécaire au département des Manuscrits, forment un petit cahier de papier, in-4°
I fol. 2o3 à 218), relié à la fin du manuscrit; seuls les fol. 206, 208 à 214 et 216 à 218 sont
écrils.

(î) Ms., ch. VI. fol. i')8, 1. 18; édition Wallis (Oxford, iGyy, f'), p. 383. I. ult.

(') .Ms., ch. I, fol lO-;!", 1. 10; éd. p. 3oi, 1. i3.

NOTES SUR MANUEL BRYENNE. 395

Ihid. : c7U[j.'iùJV0'jTi oï '^Oo^Y'-'' "p^? àAÀrjAouç, cov OaTlpou xpouGrOÉvToç
i~[ Tivo; opY^vou Tcôv ivTauTôJv, y.at 6 Aot-ôç xaTi tivk or/.EtoTYjTa xal g-'jij.-
-âxOô'.av C7uvy]-/£t' (' ). Hsec verba videntur ad veHnim desci'ipta ex frai,'-
mento Thconis, pag. 3^ (-). Ibi, loco horum verborum : op^âvou twv
ÊvTauTûv, legitur in manuscripto : tojv âv tou-oiç, sed nianifestum in
utroque est niendum; legenduni i&v Èv-raTwv. Esse enini tria instni-
nientorum gênera apud veteres musicos notum, qua? Nichomachus in
Enchii'idio -veui^aTixà àvra-rà et xcoua-~à appellat. 'EvraTôv vero, sivc
quse chordis tensis constant, hsec est proprietas quarn hoc loco indicat
Bryennius, ut unà ex duabus chordis consonantibiis pulsatà, altéra
statim occulta quâdam sympathià rosonet.

Pag. 4" : 'T^- Y^-p ^'■''''^^- ^'^7 ^'^^^^ "-^ o',aip£Of,vai ûq, i'aa (' ). Tonuni biiariain
dividi non posse utprobet, hanc rationem subdit. Maie. Non enim quia
nuinerus 9 in duas «quales partes dividi non potest, ideo tonus seu
proportio scsquioctava bifariam dividi non potest. Aut igitur erravit
Bryennius, aut (quod probabilius est) sunt htec verba glossenia scioli
cujusdani, quœ e margine in textum irrepserunt. Vera enim ratio hujus
impossibilitatis tam in ratione sesquioctavâ quani in reliquis superpar-
licularibus hsec est, quoniani inter duos numéros unitate distantes non
cadit médius proportionalis neque in integris, quod pcr se patet,
neque in fractis, cujus propositionis dcmonstratio est in proclivi.

Pag. 5*, lin. 5-', fin.: xal àiîoySoov xal ÈTiiuEvrexaioéxaTov, legenduni :
iiz6''[Oiioy xal SûiévvaTOv ('').

Pag. 7", in fig. v\ loco ultimi numeri \o, legendum ^y (^), hoc est
03, non 64.

Pag. 8*, in i^fig. ("). Omnes numeri tetrachordum constituentessunt
corrupti, aut maie hue ex 2" fig. ejusdem pagina* translati. Ita autem

C ') Ms., ibid., 1. 17; éd. p. 3g4, 1. 23 {éd. xai supprimé avant au|j.7:«0;c«v).

{"-) Ms., fol. 5i, 1. C; éd. Bouillaii, i6,i4, in-.i", p. 80, 1. 12.

(3) Ms., fol. i63", 1. 21; éd. p. 396, I. i3.

(') Ms., fol. 164, 1. j du bas; éd. p. Sg;. 1. 18 du bas.

(5) Ms., fol. i65; éd. p. 399.

(«) Ms., fol. iGS'o; éd. p. 400.

;5!)(i (EUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.

se habeni : -rrr,, t;. -ar,, cro;. quorum loco substitui debcnt sequentcs :
7-, To. t/^, g-'., boc ost : 280, lîjo, aS?., 210.

Corrigendi et numeri proportionum constitulivi , qiios iii verticc
tigui'jv it;i scriptos viih's : £-1 [xC, im 10, eut C. legendum liorum loco :
ir.i 7,^, c-t 10. iT.i z {').

!n 2' figura tertius numerus tinalis débet corrigi, et loco T[xri, legen-
dum TU.Î.

Pag. 10", ubi scribitur acptuvoi -q-oi •/.oLy..6z>(x>voi xal £(^.[jL£X£rç, legendum
i/.u.ikzîq, aut àaîXsî'ç (-), ut constet sensus.

Pag. 12''. 'AXa' o'jTot §•?] [j.6voi oi irEVTE/.atSsxa i~iij.6pi.oi Xoyot £ta-lv È^
a-avTTOç TOû twv è-i[jLopîcov Xoyœv TrA-rjOouç' ol crûv-peiç ucoç àXX'/^Xoiç
(7'jva~TO[jt.£vo',, oyvavTai 'uèv èirÎTpiTov àTroTsXav Xoyov, xal oùSÉveç aXkoi
Tzapà toÛtouç èv oùô£[i.ta [i.'/]-y(_avYi toOto -oisrv ouvavTai ('). Non possum
hoc loco dissimulare Bryennii errorem audacter niniis et confidenter
asserentis nullas alias in omni superparticularium multitudine inve-
nii'i rationes prœter quindccim ab eo superius assignatas, quarum très
simul sumptse sesquitertiam componant. Ab co supra allatae pag. 3"
hujus libri sunt sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta, sesqui-
septima, scsquioctava, sesquinona, sesquidecima, sesquinudecima,
sesquidecima quarta, sesquidecima quinta, sesquivigesima, sesquivi-
gesima prima, sesquivigesima tertia, sesquivigesima septima, et ses-
quiquadragesima quinta, quas proposito dumtaxat satisfacere affirmât.
Contrarium facillime probamus. Ecce enim sesquiducentesimam quin-
quagesimam quintam, quae hos quatuor termines dabit

206 255 2^0 192.

Ex quibus tiunt très proportiortes superparliculares, nempe sesqui-
ducentesima quinquagesima quinta, sesquidecima sexta et sesqui-
quarta, quae simul junctae sesquitertiœ sequantur contra mentem au-
tboris, imij et infra terminos ab eo allâtes alise inveniuntur. Nam ex

(') Dans ces expressions, le mot ir.: ne devrait pas porter l'accent grave.
(2) Ms., fol. iCC", 1. 10 du bas; 6d. p. 402, 1. 16 {È/.fji.£X£îç).
(') Ms., ch. Il, fol. iC;"", 1. 16; éd. p. 4o3, 1. 8 du bas.

NOTES SUR MANUEL BRYENNE. 397

sesquidecimà tertià, sesquiduodecimâ et sesquiseptimâ simul junctis
conflatur sesquitertia; item ex sesquidecimà nonâ, sesquidecimà oc-
tavà et sesquiquintà etc. Cui speculationi pulcherrimum problema
subjungeremus, si per otium liceret : Nempe data qualibet proportione
superparticulari invenire quot modis in très proportiones superparti-
culares dividi possit, aut generalius, quot modis in datum proportio-
num superparticularium numerum dividi possit, verbi gratiâ, quot
modis proportio sesquioctava in decem proportiones superparticulares
dividi possit. Proponatur, si placet, hoc problema solvendum omnibus
hujus œvi mathematicis. Ejus certe notitiam veteres et musicos et ma-
thematicos latuisse verisimile est, cum Bryennium alioquin peritissi-
mum et exactissimum fugerit.

In cap. lo", pag. 2*, in numeris versus figurse verticem atramento
depictis. loco x, legendum y], hoc est 8, non 20 ('). Hi enim numeri
sunt differentise numerorum qui proportiones constituunl et qui or-
dine restitui debent versus figurœ finem, nempe gxo, giç, p-nÔ, pHv].

Pag. 4^, deest quartus numerus in verticc figurse, nempe post très

,aT[i.§, ,a(7^ç, ,ap'Xo, ponendus quarto loco ,a-/], hoc est 1008.

Media proportio malè exprimitur in vertice, nam non i-t x'( legen-
dum, sed i-izl 'C simpliciter, hoc est sesquiseptimâ, non sesquivigesima
septima.

In numeris atramento depictis loco primi numeri tiS, legendum et
reponendum ut in reliquîs pijî (-).

In eadem pagina, ubi legitur : •/] Sa -irapuTràT"/] iiàXiv toijtou oia^ovou
ôfxaXoO yivouç «jUviovcoTÉpa iail 'zffi -apuTcàTYiç toO [xaXaxoO èvtovou
èTTi£txoa-':£S56[ji.to Xoyco lyytcr-a, legendum i-Ki èwaTco xat osxaTco Xoyto
iyYia-Ta (^).

In numeris proportionum differentias exprimentibus qui a vertice

(•) Ms., ch. X, fol. 183'°; éd. p. /jji.
(2) Ms., fol. 184'"'; éd. p. 433.

(') Ms., ibid., ]. 12 («w. Toîî StaTo'vou); éd. p. 433, 1. g du bas (toû oiatovou. . . . ivtdvou
Ye'vouç). Wallis a d'ailleurs corrigé ÈTûtswca/.aiSsxâTw.

:10S ŒUVUES DE FERMAT.— APPENDICE.

tlixui'io versas tinem sivc /.xTà (Tiiyou;, utGraH-i loquunlur, proleiulun-
tiir. loco i~\ 0, legeiuluin ir.l tO, lioc est u), non 9 (').

In sequeiile figura desunt dno nuincri parhypalen cL lichanon syn-
loni (liatoni cxprimentes, qni sunt ,ao-; et 7.py,, hoc est 12G0 et
I 120 {-).

Ivuleni pagina .v', lin. G", ubi legitui" ètuI zp\.a.Y.oi7-:to Xoycii lyyi'y-oi.,
(lelenda vox £YY'.a-a, hic et infcrius eàdem pagina ('), nhi de eâdeni
proportione fît nientio. Accurata enim est proportio 3(j. ad 35. ad
iliU'ci'cntiani parhypates prioris et posterioris tetrachordi exprimen-
ihun.

Hue usque provecti, ouines fere figuras corruptas cum cernerenuis
usque ad finem libri, proclivius duximus crrores ob oculos ponere
coinmunis figurae beneficio, ne aliter obscnrior esset glossa quam
lextus.

Quae iteratâ lectione visa sunt emendanda hic apposuimus.

Libro i", cap. i", pag. :|■^ Hneâ ultinià, ubi in rnanuscripto legitur
y.al Ta T,7J}r^ twv o^jgv/mv lU wv ■^^'iyvovzy.i, legenduni : slôàJv ytyvov-
TatC).

Pag. 5% lin. 21^, toO [xàv 7.710 toO -rjUio^ao-j, legendum : toO
■i]>do<J (^).

(]ap. 2", lin. 8", r.tpl toO r]paoa-[jL£vou o-açTjV a, legendum : o-açr,-
vsiav («).

Cap. 3°, pag. a', lin. 11'', xal -ûâvrEç cov toû-cov çaiv6[jL£vov iioist'v,
oùxÉTi AÉyEtv çaat, àXX' à'oîiv, corrige : xaî -âvue; toùç toOto ç-aivo[i.£-
vo'j:; -oisrv (' ).

( ' ) ruir nolc 2, p. 897.

(») Ms., fol. i85; éd. p. 43i.

(') >ls., i7«V/., 1. 6 (m.f. Tpta/.05Tw -£|j.--M): éd. p. /l'il, 1. 19 ( ■:s!!x/.rjaTrj;:£p.7:Tt;i ); cf. ins.,
ibid., I. 6 du bas, et éd. 1. 3 du bas. — L'omission do -i[j.--M, dans le texte do l'crmal,
est duc à une simple inadvertance.

C-) Ms., ch. I, fol. 147, 1. ult.; éd. p. 363, I. il.

(') Ms.. fol. 147'°, I- 21; éd. p. 364, 1. :>.

^«) Ms., cli.II,fol. 149'°, 1. i5; éd. p. 367, 1. '> du bas. l.ems. porto ; ai-jrlv:'.''' ('=009^3!»).

(') Ms., ch. 111, fol. i5.^, 1. Il dus. et cil. 'jact\v;; éd. p. 376, 1. 3 ( -ov toutq (»aivo|j.£vov).

NOTES SUR MANUEL BRYENNE.

399

Cap. 4". pag- ult., lin. l!^^, oiâcpcovoi aiv zirjiv où [xr^v oï xal Eaij.cAE.rc,
legendum vA]x{kt~.ç, (').

II.

RESTITlTiO FIGUBARL'M LIBRI 2' APUD MaNUELEM BllYEKNlL'M.

Figurœ letrachonlorum sunt aut simpliccs aut composita» (-). Sim-
plicium constructio aut restitutio est in promptu; compositas ita rosti-
tiios, adhibità construclione et ad eam reliquis accommodatis. Eslo

l'ig. i5i (Figura ultima, cap. g).

igitur tigura ultima capitis 9', quse per characteres grsecos et latinos
denotatui', et /.otvoO otaYpâi/.txa'roç vicem gerit.

( ' ) Ms., ch. IV, M. i56", 1. i4 ; éd. p. 38o, 1. 4 du bas.

(2) Les tétrachordcs grecs comprennent quatre cordes désignées ici, dans l'ordre de
longueur décroissant, par les noms d'/npnte, parhypate, lirhanos, riele. Les extrêmes sont,
toujours dans le rapport de ,{ à 3, mais les rapports intermédiaires varientsuivant les genres

Manuel Bryenne connaît huit genres, pour lesquels les trois rapports intermédiaires

•,00 ŒUVRES DE FERMAT.— APPENDICE.

lia neiupe eiiieiulari et rcclo constiui débet.

Supra semicirculum ABC hiec verba poiii tloberit : xoivôv TSTpàyop-
oov ToO ô'.aTOvou bii.ix.'koù y.oà -oO auvTovou SiaTovou yivouç.
In reclà r^t : i~l te.
In reelà tf: i~l r,.
In vccVk/g : ir.l 0.
In rectâ op : i-\ la.
In vec[-À pq : i~\ i.
In rectà qy : i~\ 0.
In Z : iç.
In R : 4.
In M : -.
In A" : r/^.
hiT : ç.
In u : i.
In o : r,.

successifs, en allant do Y/ijpate à la /leie (rapporls dont le produit doit faire f ), sont
consianés dans le Tableau ci-dessous :

I. Ditonien ( oiToviaîov ) -|f| x | x 1

2 5 r,

^ s ^

II. Syntone dialone ((jJvTOvov oiatcvov) tI ^ ï ^ ^

III. Diatone égal (Sioctovov ôjxaXôv) ff xfjX^

IV. Mol tendu (|j.aXazov Ëvtqvov) 1? X 7 X f '

V. Mol diatone ( |i«Xa-/.rJv oiâ-rovov ) -f^ x "- X f

VI. Cliromatiquc syntone (/po)|j.a cjvTcivov) îf x {-f- x f

VII. Chromatique mol {■/jmij.x ^cô.av.ov) îf x ff- x -|

VIII. Enliarnionique ( £vap[j.rJv'.ov ) ji xffx f

Les figures simples donnent en nombres entiers les longueurs des cordes de chaque
genre; l'crmat a déjà plus haut indiqué des corrections pour les figures simples sui-
vantes :

Fol. iG3. Mol diatone. — Fol. i6J"°, y%. 1. Chromatique mol. — Ihicf., fï^. x. Kuhai-
monique. — Fol. 183"°. Mol tendu.

Les figures composées donnent en nombres entiers les longueurs des cordes de deux
itenres compares l'un à l'autre. Fermât a déjà touché plus haut (fol. iS^'") la comparaison
du mol tendu et du diatone égal et (fol. i85) celle du mol tendu et du sjnlone diatone.
Il reprend maintenant rcx[)osô du système de ses corrections sur la première figure coni-
()Osée de Manuel Bryenno {syntonc diatone et diatone égal) et sur la suivante (mol tendu
cl diatone égal), qu'il avait déjà corrigée.

NOTES SLH MANUEL BRYENNE. 401

In // : -rj.
In/:-.
In - : Tj.
In p : Tj.
In T : Tj.

In i'ec[à ov : i~\ ao.

Inrectâyp nihil in hâc figura poni débet quia lidianos dialoni ;e<|iia-
lis et iichanos diatoni syntoni sunt anjuales.

Figura 3" capitis lo' (' ).

Supra seniicircuhun ABC, xotvôv Tï-pâ/opSov -.oO iiaT^axoO èvtsvo'j
l'Évo'jç xal ToO ûiaTOVou c.ii.aAoO.
In rectâ yj£ : Èirl x'(.
In rcctà if : i~\ 'C.
In l'cclâ /|ij' : è-l Tj.
In rcctà oj) : i~À ly..
In rcclà pq : ivÀ i.
In rectâ (// : irÀ 0.
In Z : ,aT[J.iS.
\[\ /t : ,a(7:^ç.
In 3/ : ,ap>iâ.
In K : 0.-I].
In T : [j-r,.
In-. :f^^.
In !p : pxç.
In//: ,acrXp.
In / : ,o'-px.
In - : ptji.
In p : ptp.
In (7 : pt^.
In rectâ ov : â-l lO.
In rectâ yp : i~\ iz.

(') Foj> plus haut, page 3y7, iiole i.

riiRMAT. — I. 3 '

U)2 (Kll\Hi:S UK KKHMVT. - MM'KNDICE.

KiultMH iiiolliodd iii i('li(|iiis |H()c('(l('imis, scd. ne tii;iir;uii iiitogram
oonslnicrc oogaiiiiii'. (Iciiiccps cri'alii huiliiii) iiidicaltiiniis et ri'slidic-
miis, aiit (|iia' (Icsiinl siipijlfhimiis. Oiiod iil ((iiiimodins tiat, scicii-
iliini |i(M'|ii'tiià cl iiiiiloi'ini inctliodo (jiiid valcaiil aiil indiceiit singiil!
cliaractcres.

Hccta' y;£, î/", /i,'- dciiotant pn)|)oi'tion<'s cliordai'uiii imiiis ex lotra-
iliordis.

Cliaraelores /. //, .)/, A dciiotanl (criniiios liaïutn pcoporlioniiiii.

(«haracteres -, 'j, o dill'crontias lidi'iini (crniiiioriiiii.

Wi'vliv (>/>, pq, (/y [iropDi'tioncs cliordariiiii altciiiis ex (clracliordis.

CharactoiTS /, //, /, A' tfrtniiios lianiin |)r()pi)rtioiuiin ; priiiuim
qnippc t'( iillimiiiii liM'ininum diin Iclracdiorda coiiiiniinciii liahcnt.

(jliaractoiTs -, p, t dillcrcnfias lioriun Icriiiinoriini.

Dcnique recta ov indical |)r()|)oilionerii parliypalcs prinris cl pnste-
rioi'is tc.trachordi.

Kl recta Yr' pi'oporliones hypates (') prioris cl posicrioris tclra-
clioi'di.

In 4" figura ejusdem capitis (-) desiint duo luitneri ila siipplondi :

In // : v.'j'c..

In/:,ap/-.

In V tignrà cap. i i', ita corrige (") :
In rectà r^t : ira x.

In /|' tigurà ejusdem capitis, ila corrige ( ') :

Nunierus A': (7v[i.

Dcsuut numeri //et 7, ita supplendi :

In H: -Al.

In / : 7-.

(') Lire: licliani au lieu de hypales.

C) Mol Icndu et syntonc diatone. f'oir [iliis liaiil, p. iijS. iiuto 'i.

(•■') Mol dlalQiie cl dialniw égal.

(') Mitl diatniic ot syntonc diatone.

NOTES SL!H MAM KL IJUVENNK. 403

Figura i" ita restitui débet, curruptissima onini est in manu-
scripto ( ' ) :

In rectà vjc : Itii x.

In rectà if :

i-l 0.

In rectà fs^

: iT.i L.

In rectà op :

In rectà /?(7 :

i-\L

In rectà (//

: è-ly;.

In Z : /.o?.

In // : yu..

In M : ç>oç.

In A': 00.

In /f : -/ij.r|.

In / : ?k.

In T : X^.

In u : ^S.

In 0 : o;5.

In - : y.o.

In p : za.

In 7: ^Y.

In l'ectà ov :

£-1 -.

In rectà y^ :

t:l Ht-

In figura 3" cap. 12', desunt aut corrupti sunt terniini proportionum
ita supplendi (-) :

In Z : 'j^zo.
In // : crv^.
In 3/ : (7Àa.

( ') Moi diatoiie et innl tendu.

(-) Chromatique sjntone et diatonc égai. Dans celle figure et dans la siihaiite, iManuel
Bryenne avait pris, pour les cordes du genre cliromatiqtie s/nlone, les longueurs : 288,
•>-'}, 25>, 216, dont la seconde est seulement approchée, et prise au lieu de •>.74 ff, lon-
gueur théorique.

VOV ŒUVRES DE KEHMAT. ~ UM'KMUCE.

In //: 'ju.'^.
In / : ^x.

Kniendanda' cliani lioriini dilIcriMitia' :

In - : i'^.
In 'j : xa.
In 9 : Ay.

In - : p : (•( 7 : reponenduin x[i; suni cniin lur très difïerentia;
arquai os.

In figura V ejusdeiu capitis (' ) eàdeni opus est emondalione :

In Z : ^xTj.
In fi : 90.

In .1/ : Uîî.
In A": -4;.
In H: 'jU.
In / : 'ja.

Siniiliter :

In T : xo.

In 'j : u.'^.
In o : ?;.
In - : /.y.
In 0 : v£.
In c7 : ao.

lu figura 5" ejusdem cap. ita corrigendum osl {' ) ■

In Z : ,'i'j^c.
In /f : ,|'iTv,3.

C ' ) Chromatique tj-iitniii; ot syntoiic dlotonc.

f) ChnmmtUjua syiitonc et /«o/ tendu. .Manuel Bryemic avait pris pour les cordes du
mot tendu les longueurs : 70Î, (179, ■>()!. v'S. La seconde n'esl (|u'a()pro(liée, au lieu de
678 ?.

NOTES SUR MANUEL BIHENNE. Wo

In .1/: ,pcv:.

In A' : y.(x)u.r^. 18 '[8.

In//: ,fJTO?.

In / : /^oO.

In T : pt^.

In 'j : p4î.

In cp : TTi-

In TT : -yrrj.

In p : ^rC

In 7 : TAa.

In rectà ov : i~l ^rj. Seil et in tcxtu. eàdem pagina, lin. 5'', loco èti'.-
cvvEVTjXOTToÉxTw, l'cponendum È-'.£vv£v/;/.o7TooYoéco. Eadeni emendatio
in lin. 22" ejiisdem paginse fieri débet.

In figura G^ ejusdeni capitis, corrige (') :

In /f : ,a|^o.
In A' : ,aTT:;.
In fl' : a^Z-
In z : Ti/j.

In figura 3^ cap. 1 i (- ) :
In rectà op : i-izvoi'Ay-oç.

In figura 4' ejusdeni enp. ila corrigenduni P ) :

In Z : a/TT.
In ^ : ,a/x.
In J/ : ,açtp.
In K : y.<7^.
In // : y'^oz.
In / : ,au.

( ' ) C/iromatique sjntone et /«(</ diatonc.
(2) Chromatique mol et diatonc égal.

(') Chromatique mol et .lyntoiie diatonc. Manuel Bryoïme a\ail pris, poiii' les cordes
du chromatique mol, les longueurs : 4^0, iOî (au lieu do ifia f), 4''-. 36o.

',0(> (EUVHKS l)K KEHMAT. ^ A PI* EN 1)1 TE.

\n-.:l

In 'j : py).

In ^ : 7v^.

In - : o£.

in : :poi.

In (7 : pu..

Kàdem paginn, lin. (f. dclenda vox ^yY'-'^"''' '*' «'tiani in lin. ponnU.

In fis;. T)' ojusdom cap. ( ' ) :

In A': ,ay~.

In ç> : TAç.

In fig. 6" ejusdein rap. ('■) :

In K:-ii.
In//: u.

In fig. 7''' ejusdom cap. (' ) :

In rectâ /]£ : i~\ vZ-
In o : awaï).

In figura 3" cap. l'j (*) :

In//:,aip.
In T : y.o.

In fig. 4" ejusdem cap. (^) :

In rectâ op : i~i u.
In recl'd pq : à-l tj.
In Z : ,apS.
In A' : co/.-/] .

(') Chromatique miil et /«o/ Iciidii.

(') Clirnmatiquc mol et /«o/ diritoitc.

(■■•) Chromatique mol cl chromatique syitloiic.

(*) Enharmonique cl diatone C'^al. .

(•) EnliarinniiKfue ol svntoiie diatone.

NOTES SLK MANUEL BRYENNE. 407

In //: ;j'Ki.
In / : ■;^x.
In T : xo.
In-r^O.
In G : Cit.

In figura 5" ejusdem cap., ita corrige (') :

\n n : za.
In .1/ : ,ocoA.
In K : ,7w;o.
In //: r,'7i:;'çr^.
In / : ,i~\i^Ç.
In T : pip.
In 'j : (7',.
In 9 : TîEç.
In - : p-o.
In p : /xa.
In 0- : u-y.

In figura (l-^ cjusdein cap. (-) :

In T : fçr\.
In 'j : TU.
In o : ^a'juO.
In 7ï : T^Tj.

In figura 7-'' cjusdeni cap. (') :
In rectà qy : â-nîcXTOç.

In /? : 'Ctî)-/..

( ' ) Eiihannoniqiie et /«o/ tendu. NoiiibriiS lie Bi'veiuii' pour les tordos de X'ciilmrino-
iiiqiie : lyg'i, lyâî (tj négligé), iliSo. liH.
r-) EiilKirmoiiique pt ;«"/ dintoiic.
( ■* ) Enhnrmnniqnc et cliromatiqui: syntiiiif.

.08 (EUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.

In.l/:r94.

In - : -Ir,

;•
lu tîjïiii'a iiltiina ojusflfni cnp. ita corriiTcndiiiii (') :

In Z : a,pco-.

\n II: 7,?-/.

In .1/: a,;io£.

liiA'i/Jy;.

In // : y.f^'jy..

In /:a,ao4[ii.

In --.7-.

In -j : o/.£.

In o : ,(ïui£.

Ini:'.^

In s : w/.T,.

In -7 : ,a7^jX|ïl.

Fallitnr Brvenniiis lineâ i" luijus pagina*; nbi onini scrihit. i-uèoo-
(j-r^xoTTcô AÔyco, omcndandum iT.itbr^y.od-oivvâi'ZM. Kadeni eniendatio et
in lineâ antepenultimà ejusdcm capitis fieri débet (-). Idecxjue in
rectâ

ov : reponendum im ^9.

Proportio enim composita ex sesquivigesimà tertiâ et sesquiquartà
superat compositani ex sesquidecimâ qnartâ et sesquiquintâ, non pro-
portione sesquiseptuagesimà, nt vnlt iiic autlior, sed sesqnisexagesimà
nonà.

In figura 3'', cap. ult. (') :

ln//:}o.

In rectâ yf} : È-ioyoorjXoaToç.

(') £/i/uiriiici/iirjue cl c/ir(iiiifilit//if mol. Les iiomlircs di^ Brycniin soiil Lri[)Ies ilo itii\
de Fermai.

{^) Ms., fol. 107", I- ' f'i- "j; •'f'- P' 15;, 1- ■i\, el p. 4')8, 1. >.
(') Dilonien et cliatoiic égal.

NOTES SUR MANUEL BHYENNE. 'lOO

In figura /i^ejusdeni c;ip. ( ' ) :
In rectà qj : è-iÉvvaToç.
In rectà ov : è-oyooïjxotts?.

In - : LX7].

In p : \..

In T : ço.

In figura 5" c

jusdoni cap. (-)

In rectà fg :

iT.i6-'[0'-jOÇ.

In Z : Th:'^.

\n f{ : y.'\'y-'q.

In il/ : y.oi''^.

In A': ^ocTiv-o.

In//: ,aia.

In y : /y/^i'i.

In^r^i.

In u : (Jiç.

In 9 : p^-q.

In - : ia.

In p : prJi.
In cr : p^/].

In figura 6" ejusdem cap. (') :
lu /; : ,Epx.

lu T. : G-oy.

In textu liujus paginte, lin. 12, loco verbi â-ûtTpiaxoTTcî), legenduni :
âiiiTp ta/.o^TiocjTco ( '' ) .

In figura 7" ejusdem cap. (') :
InA-:,pp-?.

( ') Ditonien et sjntoiie diatoiie.

( -) i)/o/ tendu et ditonien. Les nombres de Bryenne soiil sextuples.

I ') y)/o/ dialnne et ditonien.

(*) Ms., fol. 200'°, 1. 12; éd. |). /(G(, I. «.

(5) Chromatique syntone et ditonien.

FriîMAT. — I. Sa

410 ŒUVRES DE FEUHJAT. - APPENDICE.

In- : pxr,.
In j : Txo.
In o : -v;^.
In p : <74r.

In tiiiui'à 8'' cjiisdt'Mi cap. {'):

\un:-riot.

In / : ,^cp;.

In T : TX.

In 7 : wpi.

In hâc pagina, lin. i-', loco verbi èztstxocïTOTpÎTco, legendum iriiihq-

XOO-'TOTpiTCO (-).

In tigni'à iiltimà cjusdoni capitis (') :

In //: ,£^t:0.

In / : ,o'75^r,.

Possunt in his oiniiihus tigiiris nutari etiani (liH'cri'nlia' leiniinoinin
R et H, et tcrminorum il/ et /ex altéra videlicet parte recfarum i/) et
fq. Quod in quibusdani figuris t'ecit author, inio vidctnr in omnilnis
l'ecisse, quia intégra^ ad nos non pervcncrunt. Hoc antcni in lignris ad-
jicere est in promptu.

Vidctnr otiam antlior snmniain nnnici'onini c, 'j, '^, et siimmani nu-
nierorum t., p, a, extra figuram e regionc ipsorum collocasse, (inod
etiani in omnibus figuris restituere facillimuni est.

Figura; simplices liorum capitum ex restitutis et eniendatis superius
capitis primi tiguris facillime restituentur, eanleni enim sunt, quas
initio horum capitum autbor repetit.

{' ) Chromatique mol et dito/iien.

('-) Ms., fol. 2or°, 1. i; éd. p. 405, 1. 14.

(') Enharmonique et ditonien.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES,

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

( Leçons des l'aria r= î'ay pages ij à 4'5')

P. 3. ligne 3 AppoUoiiium («tt.v.vj y ) * 10 AppoUoniis

P. 4. 5 à 11 = Co (Commandin) fol. 162 recto, ligne 8 en remonliuU, à loi. 1G2 verso,
ligne i. La ponctualion de Co a élc conservée. >♦- 7/8 spacium Co. î(- 17 | Propositio I. en
vedette {Va, i3). * 22. Les figures dos Varia ne sont pas niimcrntécs: les renvois aux
figures ont été ajoutés au texte entre parentlièses.

P. 5. S ipianicunquc

P. 6. () eum (au\ù i:i, liet 23) * 1,'i | 11. Propositio. e/i vcdette^Va, \\) -k 23 rec-

tang.

P. 7. Fig. 3. La figure comporte une seconde droite marquée BAD ot menée par le
point A de l'autre coté de CE; de même, la ligne DE est double, -k 3 cuni * directum]
ajoutez comprehendoiites spatium datum {cf. p. 9, 8). * 9 | acquale (/«, 1 j)

P. 8. (i eundem -k 10 cum * 27 VU] VI

P. 9. 7 cum {atit.fi -2'1) * 1 1 111. Puopositio. c/i vedette

P. 10. (i 1 liabet {f'a, iG) * 7 Cum

P. 11. 2 priorc] le renvoi ext fait à la prop. i,fig. >■■ >t- secunda]-*. * 7 tum après-
sensusjtam )«- 9 IV. Propositio. e« yec/e«e st- 15 | describatur (^V/, 17) * 21 GE]GD

* proposilionis] positiouis

P. 12. 3 vel E\ sub AB )♦■ 7 cum rk- 10 priorc] prima {le renvoi est fait à prop. 2,
fig. 4 ) ir 18 011 voudrait ajouter sed ul BA ad AC, ita HA ad GA ; eril igitur ut HA ad GA.
ita AD ad Al,

P. 13. 2 secundo]), -a- secund.-p]?-. * posueramus]persevcramus *• (5 Propositio V.
en vedette * 1 1 | punclum(^'.r7, 18) i^ FEGJEFG >♦- 13/1(> similcs ergo triangiili >*- 17 (Uini

* 21 occurrente

P. 14. 5 Propositio VI. en vedette -ir 9 | cui {l'a, 19)

P. 15. 3 cum * G secundo]2. {aussi 13) * 13 Vil. Propositio. en vedette

P. 16. 7 I aie {fa, v.o ) it- 8 cum {aussi 10 et Cum 12) ^r^ 11 synthesim )♦• 20/21 pro-
cucatur if 21 Centre D] «/o«;e3, intervalle DE,

P. 17. 3 cum )t i Vni. Propositio. en vedette *■ 9 ductae !«- 10 j et {Va, ii)

ilV VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

1\ 18. 3 dcmonstralis * i A et R (« airriger) * 11) ut Iljinll * Il Apiiolldnii

* 30 sec»nda]2-. * ^1 inlenkim etc.] vair p. A, !)/10 * 'i-l prima] i.

r. 19. l similitcr etc.] iw> p. 4, !l/IO * 11/12= Co. j&i"", 1. 4 à 6 * IG cuin

* 18 I rnoTOSiTio. 111. {ra. i9.) * 19/:21 = Co. i6i^°, 1. (> à 8 * 23 Eudide, 111, 33

* 23/27 = Co. i6'2'°, 1. 8 à lo * 23 spacii Co. * positione et magnitudinc basis

1'. 20. 1 ElemciU. = Eudide. \, \o * -i/G = Co. 162", I. 1 1 à i i * 22 Su| pcr ( P'a,
li ) * 21 cum

P. 21. 2 cum (aussi 4) * Fig. 18. Les droites CN, FO ne sont pas tracées.

* 11;' 13 = Co. i62'°, 1. \'\ à 19 *• 11 quodam omis

W 22. 1 spc|cie {f^a, -l'y) * 3 cum * 3 dimissis.

1'. 23. 19 ra|tionem (/«, i5)

1'. 24. 4/8= Co. iG'i"", 1. 19 à 25 * i quolcumque Co. * 7 ducra Co. ■*■ reliquis
Co. rullquâ f'ti. * 10 VI ] sextip * Voir, pour le renvoi à VIsagoge dans la Note, la
page 93.

1'. 25. 4 -VU, XC] .4C, AB ■*■ Fig. 22. Les Faria donnent deux figures; dans la se-
conde, qui n'a pas été reproduite, toutes les ligues sont à l'intérieur du triangle ABC, sur
les côtés duquel l'ordre des points est le suivant : ADBLBKOVZIEA. * 18 cum {aussi 19)

* 19/20 VE, MO] MO, VE

P. 26. 9 cum * 11 |VE (fV/. 26) * 20 perallelas * 24 porrigendas

P. 27. 4/8 = Co. 162*°, 1. 25 à 3o * 0 spacium Co. * 7 aîqualis sit Co. sit œqualis
Va. -k 8 spacio Co. * 21 cùm •*• Foir. pour le renvoi à VIsagoge dans la Note, la
page 102.

P. 28. 4|ot (fa. ■>.-)') * Fig. 23. Les Varia donnent deux figures différant seulement
par l'ordre des points : AB et GCDEF dans la première (supprimée); BA et DCEGF dans la
seconde. * 8 e< 20 cùm

P. 29. (Va, 28) -k 3/3 = Co. 1G2", 1. 32 à dernière * 3 sunt Co. *• 4 spacio Co.

P. 30. 3 cùm * 12 1 Nam (Va, 29) -k 16 per quartam secundi (Eudide, II, 4)
■*■ Foir. pour le renvoi à VIsagoge dans la Note 2, la page 99.

P. 31. 3 Al) quadrat. * 3/4 quartam propositionem 2' (Eudide, II, 4) * 9 datam]
datum * 19 1 NC (f fi, 3o) * 23/24 Co. (162"°, 1. dernière à i63, 1. i) a seulement : si siitt
in proportione data vel rectœ li/teœ vel dreumferentiœ ;

P. 32. 3 rectos * 7 ut R, quadratum ad S, et ita * 9 OVZ]NOZ

P. 33. 3 id est R, quadratum ad S, quadratum, ita AN, quad. adVB, Quad. * 9 (Va,
3i) * 10/11 = Co. i63, 1. I à 7. * 12 fit Co sit Va. * 13 et om. Va. -k 14 contingere Co.

P. 34. 7 latitudineni rectani AP (« rorz-ioe/-) * 17 | rectangulum (Va, 32) *• 21 AB
inliOlAB, inAO * 22 ieqnalur

P. 35. 4 rerectangulum *■ deficiens in figura * 10/12 = Co. i63, 1. 7 à 10 k 11 ma-
jor Co. * 12 datam Co. datum Va. k 13 BI|IB (à corriger)

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 4-15

P. 36. Sitajut * 7 VND (la première fois)] tiYB * \Sed {Fa, 33) * 8 cum
*• 11 sint * 13 utiinque * 21 datum

P. 37. 9/10 = Co. i63, 1. 10 à i3 * 9 quotcumque Co. quolcunque T'a. * 10 spacio
Co. -^ U\dico (ra. 34) * 20 cum

P. 38. 2 utrinquc {aussi 12 et 17) * S Conlro CJcentro E {sur la Jî^iirc des Varia,
le centre est effectivement E) * 6 CA]EA * 7/8 eandem * 10 eM2 cura

P. 39. 4 CE]AE * 81Si (r«, 35) * 12 in i. 2. et 3. (rfe Wmt-, i. 2. 3. .?«/• fe.c
figures 37 e< 38)

P. 40. 3 in I. * 4 in 2. *• 5 in 3 * 6 in I. et in 3. figura -k 1 et 14 et 16 utrinque

* 7 illinc]illi * 14 In 2. * 16 in i. *• 20 quacunque * 21 (Fo-, 36) * in 1 . figura

P. 41. 1/2 secunda et tertia * 3 In 1. * CNJEN * 6 AD {la première fois)\ .\B

* 31 primaJI.

P. 42. S spa|tio (Fa, 37) * 8 jEquetur] Arguetur * 23 At] ut

P. 43. 14|etad(rrt, 38) *• l.n DM]p. e. OM, DM * 19 NM]Di\.M * Fig. 4 1 . Les T^/w/
donnent ici trois figures : la première a élc reproduite plus loin {fig- 42); elle est accom-
pagnée de la légende <i AD4. pars AB2.-1-E. » c. a. d. AD = i(2AB -t- AE); la seconde
a pour légende « AD4. pars AB -f- E. » {Usez encore AE au lieu de E) et no diffère de la
troisième ( fig. 40 qu'en ce que le point B est entre le point E et le point N de droite; la
légende de la troisième est « AD4. pars AB -\- AE. » * 21 aequentur

P. 44. 8 BMJEM * 12 Q]Z {sur la figure 43. la lettre Z est inscrite en dehors pour
représenter le plan donné Z) * l.'J UI]Z1

P. 45. 1 QR]ZR * 4 00]ZO -k ORJZK * 6|p]ano {Va, 39) * 13 cum * 23
utrinque * 28 secundo] 2. *- 31 DV 1 1)1

P. 46. 2 quadrata ta * 6 VIJQI * 10 probaudum k 14|et {Va, \o) * K! ipujd-
libet]quOllibet {à corriger)

P. 47. 2 sextics * 3 D]B * 9 rcctâ assignata * Fig. 45. La lettre O mampie.

* 16 conditionata * 18|sexlans (/'«. 4')

P. 48. 2/6= Co. i63, 1. i3 à 18.

P. 49. 6 hypotesi * Fig. 47. La lettre 0 manque. * 12|LA(F«, 42) * 13/14 pro-
positionem tertiam Appollonii triangulum EOB *• 1.3 utrinque (m(.y.«'21, 23, 26) ■*• 22 au-
ferelur *• 23sivo]sine

P. 50. 1 lAOJlOA * quadrati3]quadrato * 3 Ccasus * 3/10= Co.i63, 1. 18 à 24

* 12 propos. 157. libri .soptimi (<;/'. Pappus. éd. Hultsch, p. 9T0-913) * 13 jusqu'à P. 51,
13 = Co. 260"° à 261 * 17 quodcunque

P. 51. 4/3 sunt... proptorea] Co. disait : et angulus ad A utrisque communis, erit et
reliquus rcliquo œqualis et triangulum triangulo simile : quare, cùm sit ut FA ad AL ita
EA ad AB, eril * 7 ex {après quadratis) Co. om. Va. k 10 qua|drato {Va, 43)

* 11 EALJCo. ajoute ut demonstravimus * 13 FG Co. EG Va. * 17/19= Co. i63,
I. 24 à 27 * 19 eandem

•d(i VARIANTES ET iNOTES CRITIQUES.

CONTACTS SPHÉRIQUES.

( Leçons dos farta = l'a., pages -j'i à 88.)

P. 52. 7 exlilil * 10 qiia * 17 clcmentis = £■//(■/«/(■. XI, 2 • IS pers | picuuiii (/"«,
r5) * 20dat]dato -k 21 cum

P. 53. (i .\CD]{'.Al) * Fi'^. _)(). Le iriaiiglo NOM n'est pas figuré; le poinl N est mar-
qué entre A et 0. * 13 et 13 cum

P. 54. IIMEON'INEOM * li igil tur ( A7/. 7G ) * 18 cum

P. 55. "l cum

P. 56. S cum * 12 Appollonio * 10 {Fa, 77) * Fi^. 'n : ne vient qu'après la
/^i,'. 5i el au bas de la page ra, 77.

P. 57. 10 incli|nationom (ru. 7S)

P. 58. i cum * Flg. J4. Les points I. H no si>ul i)as marciucs. * 14 {Fû, 79)

* 19 ERCAJERCIUm/.v.v/^O)

P. 59. 3 cum (fiiixsi l, 5, 14, 19) * G etiam pcrpeiuK ad

P. 60. 1 ( rci, 80) ■*• 7 c'HO cum

P. 61. l Lemma I. cil vcdciic * 3 Er,A]ECB *• démentis = Eurlidc 111, 36 * Flg. J7.
Des perpendiculaires AN, CM sont abaissées des points A, C sur l'axe BD. * S | converti
( Va. Si) * 9 cum * 12 Lem.m.\ II. en vcdcllc * 10 0, L, E, D]OELD

P. 62. Fig. 58. Des perpendiculaires ON, LI, EF, DB sont abaissées des points O, L, E,
l) sur l'axe AP. * 6|Le.mm.v III en vedette {Va. Sa)

P. 63. 7 spliipricam semble .superflu * 1.") cum {au.s.'ii 17, 31) * 20 Lem.ma \\ en
vcdcite *■ 30 nam sccetur sphœra ad planum * 32|planum {fa, S3 )

P. 64. I Habomus]habens * 7 Le.mma V en vedette * 9 piano Jpuncto * FGI11|FI11

* Fig. Ci. La lettre M n'est pas inscrite. * 13 B | Bl * 10 superfilcicm {Va. 84)

P. 65. 6M]I1 * 8IFIIJDFH *• 9 PFM (/« fto/.t- ./!<»■ )|PF1I * Il FM | Fil * 22 exe-
quemur * 30/31 per a. pro|blema {Fa, 85)

P. 66. 3 cum

P. 67. 8 ex 3. lemmatc * 9 (/'«, 86) * U (ici

P. 68. 3 VIIl|octavum * 6 V] quint! * III] tertio * 8 {Fa, 87) * 12 III] 3. * etow.

* 17 Une figure, (|ui a été supprimée, représente un cercle inscrit dans un angle ABC et
•renfermant deux cercles 1), E ipii sont tangents intérieurement au premier.

P. 69. 1 iFa, 88) *• 4 sexto] VI. * 8 Une figure représente cpialro cercles A, B, C,
D tangents intérieurement à un cinquième * 13 spli;pricus| lire splia'ricis (?)

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 417

SOLUTION DU PROBLÈME D'ETIENNE PASCAL.

P = Texte d'après Bossut, OEiwres de Pascal, 1779, Tome IV, pages 45o à !\'j\.

V
F =^ Autograiilio do Fermât, Biljl, Nat. Imprimes, Réserve 848.

P. 70. 2 dfio de Paschal /•'(/'fl/'o«/cfTO z/</'e .• codera aulore Fermât). * li do l'asclial /•'

* lloc \fVtA\&mdi P,om. F (à supprimer) * Fig. 65. Les figures jointes à Vautograplie ne.
sont pas de la main de Fermât; dans le texte, les lettres désignant les points sont m
minnscule (saiifB et H) et surmontées d'un trait liorizontal.

P. 71. 1 AF]fa Fiaus.si 2) * IF]fi F (aussiS) * 9 cum /" cùm P * 12 Ili|15i /■

* Ki diiplum ] diniidiuiii FP (peut-être faut-il lire utriusquo dimidium Iriangidiiiin

* 21 l'.OJnc/'' * 2i [rianiiulo AVC,\ ajoutez ai'ec F : isoseeli

P. 72. 3 cum F * i rcclcX F reela J' * |)rinia]6 P, cm. F * ri ED]dc /•' * 6 ii;itur
est ut rectangiikimHIE ad F i( 7 ad idem rectangulumAC/' * 10 EU]l\e F * 18 iion]nec/''

* 19 facillumè /^ * 20 secundaja" /•'septimâ P * autem est en interligne et scd raye'
avant triangulum F -k Fig. 66. La droite FM est tracée sur la figure de Bossut.
•k 22 ulriiuiue F/J * el]Iicel /•' * 23 variabit] variet F

P. 73. I ibitjei'it F k t dejex F *• 3 concludel F * 9 cum F cùm P -k l.'i varians
proportionem si P * 20 placet]/-' ajoute à|xo'.pa;'trj; •*• Domino [les deux fois)\(\î\o de /■'

* 22 Ualiani P Galikei /•' *• 23 Dominus Idnus de F k 2S expectamus P k 29 ac dilf'e-
reiUia' /■'

P. 74. 8 Baliani /' Galilaei F k 11 cum F

DEUX PORISMES.

/' = Texte de Bossut des OEuvres de Pascal, 1779, Tome IV, p. 4'i9 à 4Jo.

V
F = Autographe de Fermât. Bibl. Xat. Imprimés. Réserve 848.

Nota. — Les figures jointes à l'autographe sont de la main de Fermât et scnd)lables à
colles ([u'a reproduites Bossut : au nombre de trois correspondant à notre yîg-. 67 et avec-
la légende : Ad porisma i"'"; au nombre de deux (lour noUe.Jîg. 68 avec la légende : Id
porisina ■?.'"" et avec la note : circulos non adimpleviinus, licet propositio totà circun/J'c-
rentid locum liabeat. (Dans la figure non reproduite pour le second porismo, \oà points V
et 0 sont sur les prolongements du diamètre AC.) Les lettres des figures sont en minus-
cule, sauf A, B et H ; dans le texte, elles sont surmontées d'un trait horizontal ; au lieu de
V, que nous avons adopté d'après l'usage des Varia, il faudrait partout lire U. comme a
fait Bossut; au contraire, la lettre V correspond à un v minuscule de Fermât.

P. 74. l'.î F/(e/)ort('/)<7.çf/e W/-pg™(V'rt/, 7^)- (7/o((/e autore Petro Fermai, k 11 ('""po-
risma /', POiiis.MA PitiMiM p k la .\BE]ABd /•" * (piœrantur /'

Fermât. — I. 5>>

•lis VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

1'. 75. !) 0)p F iptir erreur) H: \'i NHJiii F { pur erreur) * li rcprpcsenUiliil F
* AB in n|.\H(l F (sii/ipriiiu'z donc sub après roclangulo) *• irj u'"" porisma F. porisma
sKClNDUl/^ * \\\V.\)\X\\i;\i F {cil (hsaecord <nec la fii^ure) * 2:2 quadrupla /"/'

1'. 76. I I" tijoule cl m'iiiit îiuiiiplà. * Ti N1)]U1' P nd /•'

PORISMES D'EUCLIDE.

( Lo(;ons des Varia r= J'a^ pages ii'i à iig.)

P. 76. li. EucLiD.EOiu.M -k U) Pappus (yo;V' 6d. Hullscli, p. G36, 1. i8 à 3o) -k 17 cùm

* 20 edax abolere veluslas {hémistiche d'Ovide, Métain. XV, 872 * 24 Willebrordus

P. 77. 3/i Euclidtvorum * 3 Pappus, p. 648, 1. 19 à 20; iraducLion do Comniandin,
t" i(')o. 1. 10 à II * 11/10 l'irgile, Enéide, II, SSg-Sgo * 13 sydus * li abscondamus

* II) dumlaxal * 17 quandocunque

!'. 78. i {J'(i, 1 17) Videatur figura porismalis i . est njoiuc au-dessous de Poris.ma I'RI-
MiM ( les figures do col opuscule so:it gravées sur les Planches à la fin du Volume des
l'ariti). * Fig. 69. La mômo figure comporlo trois positions du point V, entre N et O,
entre 0 cl E, cl entre E et F; comparez la Jîg. 70 et le texte, p. 79, 6 à 11. * Ligne 4
de la Note. Bouillau a écrit Cavallerio.

P. 79. a Videatur figura porismatis 2. ajouté au-dessous; la incnie addition, sauf les
<tii[frcs respectifs 3., 4-, 5., est faite avant les énoncés des porisines suivants. 79, 12; 80.
•S: 81. 0. ■*• i;{/li utcunquo

P. 80. 3 AO]AN * 8 {T'a, 118) * Fig. 72. Une lettre 0 est inscrite au môme point
([uc la lettre H.

P. 81. 10 utcunque * 11 juncta AZ (ai \ peut-être juncta> AZ fiât -k Vi 11N|11('.

* 20 Pappus, p. 65o, 1. 10 à 11.

P. 82. i IIN]HC * EHN]EIIC * 9 Pappus. p. CSa, 1. 2 * Il Cum * li> cum

* 1 i)| Pappus C/^rt, ii9).;^o/>6d.IIultsch,p. 6i->,, 1. 3à4 * 20 qHinti]5' * 21 RAC]RA!{

P. 83. :! (piinli 1 J' *■ G Cum -k ipsijipsa * Ijd = Commandin, f" iGo, 1. 10 à i3.

* 10 cl 17 cum *• 10/11 aulliorem k 12 Pappus, p. OîS, I. 18 à 21 : r-oahii-azi èïtiv

PROPOSITION SUR LA PARABOLE.

(Leçons des tarin = t'a, pages l'i'i à i4').)

1'. 84. 3(|uatuorJ4. k G urlique k 7 in i.fig.

P. 85. i (;M]C.N * 12 ex 52. I. Apoll. * 13 in 2. fig. * 1 1 ipiatuor | J. * 18 cum
(aussi iO et 23; * 20 dcnlMr)detur k 23 In 2. casu k 21 In 3. fig.

P. 86. I qiiatuor]4. {aussi 16) ■*• 9 et 1S cum k 12 pcr iG. 3. Apoli.

I'. 87. 2 cum (aussi")) k lautcm (J'a, 1 \'j) * G ex 29. 2. Apull. * Il M|N

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 419

LIEU A TROIS DROITES.

■ (Leçons de la copie ancienne, dans le manuscrit de la Nationale, fonds latin,

nouv. acq. n° 2339, f° i5.)

P. 87. 21 Sur lu figure, les Icllrc.s désigiuint les points sont en minuscule : cltins le
te.itc, la minuscule domine cwec des variations irrcgulièrcs.

V. 88. (3 datur]ilant\ir * S cnm( aussi l~) •*• 9 îpqualcs * 10 recLing"'" ■*• l'i se-
eeliirjferliir

P. 89. 2 cum * cùni •*■ 5 propoono 3' .\po]l. * (i rcctang"™ {aussi 1) -k \) ciini
* 10 rcela O.XJrcctBB ox * 11 reliquacjroftit? ■* 12 dcmonstraoïiem

LIEUX PLANS ET SOLIDES.

(Texte établi d'après la copie ancienne dans le ÎIS., fonds latin, nouv. acq. n» '2339 = L,
i" I à 9, 12 à i4. Leçons des Varia; pages i à ii = /'</.)*

P. 91. -i scplimijj. L l'a. * Appolloniura * 9 ad locos generalis A * ■12 curva
infinita * li ignotiE]/^«. ajoute (lineaj rcclic. reponciidum) * 13 circularem ■* para-
bolcm * 16 liyperbolem * cUipsim

1'. 92. i possunl instiUii * 3 ad aiiguliim datum L * 9|Kecta {Fa, 2) * Fig. 78.
La droite IM, mcntioiinéo dans le texte (93. 7) n'o.5t tracée ni dans L ni dans Va. En
regard de la figure de Fa, est inscrit « D.\ j BE » (l'accolade correspond au signe d'éga-
lité). Enfin aucune des sources ne distingue entre les lettres algébriques et les letres géu-
mctriques. * 22 Zi' — D.\ * rcquctur] œqu. L. j Fa

P. 93. 2 Z'' * (■) Z1]EI L (en marge forsan Zl) * sod angulus ad Z datur * 10 adli-
cienlur L *■ 12/13 7. prup. lib. 1. Appollonii -k 15 nos om. itr 17 quodcuuquo /. * recta'
om. *■ 19 c'flicictur * 21 Appullouianis * 23 œquatur /,, /« ajoute e/i marge : AE j Z''
* 24 hypcrbolcm *■ 23 quodiibet L quodvis Fa * 20 roctang. * 27 Z piano L

P. 94. I cùui Fa, cum L ( n^.v.v/ 19, 20 ) * reclang. {aussi 9, 13) * Fig. 79. La courba
n'est pas tracée, L Fa. * i aut E]vel E * adl'ccta L * 5|Ponatur {Fa, 3) ■* 6 D'' Fa
(aussi 8, li, 13), D planum L * toquari L, xq. entre parenthèses Fa, (jid a en vedette
D""-!- AE 3cRA -I- SE sur trois lignes. * 8 D piano Z * 9 duob. laterib. H: 11 repe-
riantur] Fa ajoute a Uno verbo AS (lisez .4 — S) ;cquctur O et R — E ;ùquetur /;
igitur O/-J0 {à savoir =) D' {ajoutez — RS), quod proponitur, et lirec crit constructio :
i)'' {ajoutez — AS) œijuetur AEI5; rectang. {lisez rectangulum ) igilur ACE erit O in /. >-
A ce texte se rapporte une Jïgure représentant deux a.res rectangulaires asymptotes d'une
branche d'hyperbole équilatèrc dont AC, AE sont des abscisses; CF, EB les ordonnées
correspondantes. * 17 parall. (2 fois) * Dans L, la lettre V est toujours un U minus-
cule. * 20 ZP]ZI L {en marge forsan ZP)

(') Les leçons sans indication appartiennent seulement an texte dos Varia. Dans L, les lettres
algébriques et géométriques sont généralement en majuscule; il y a quelques exceptions irrégulières.

V:ÎO VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

I'. 95. I 1)'' l'a (aussi 3), D piano L * "2 liypcrbolein * /7^'-. So. La courbe u'csL pas
iracoe. L l'a. * l parall. 5t RocLang. * 7 / n a en marge sur 6 lignes confuses :
'< A'x F* 1) 0 A- ad E* in ratione data » « .V-h- AE ad E- in rationo » * 7 cùin l'a, cum L

* Aq.J^rt emploie constamment la notation A^; de même E^ pour Eq. etc. -k 7/8 a^qua-
lur)a\i. * Il qiiad. E * rectang. -k ailficinntur L * li|Sil (Fa, 4) *• Zl (pia-
(Iraluni L * /•>^. 8i. Dans l'a. les /îg'. 8i et 8>, sont confondues et les courbes ne sont
pas tracées sur cette dernière; dans /,, la /?i;. ^i n'olTrc (pi^ino droite de N à 1.

P. 96. -i adficicnlur /, * 5 porquirero * 8 evadit * 10 /'a a en marge : A-xDE

* Il .Tq. ^'rt, a?quctur A [corrigez) k 12 parabolem /"'«, qui ajoute : constltiiantur NZ
01 ZI ad qucmcuMKiue angulum Z * 13 circa] ou voudrait auparavant : \'ertice N

* li datsc * 14/13 parallellœ * 15 NZ]NP L * parabolem * 17 IZ]1P L * NZ]NÉ /..
.-/« lieu de cette ligne, Va donne : hoc est, si PI intelligatur esse A et NP intelligatur
esse E

P. 97. ^ l'a a en marge : E-'x: I)A * 6 parallela L l'a k 9 aequ. l'a. qui a en marge
n B- — A'» DE j) « B^ — DEooA^ » .mr trois lignes. * IS Les parenl/icses n'e.tisic/il pas,
L l'a. *■ Fig. 83. La courbe n'est pas tracée, L l'a. * 20 8e<|ualur NZJaequabit'jr NE

* quadralo /- (ym.M/ 21) * 22 rectum Jdextrum * |NZ (Va, .')) * 23 aequ. l'a, feque-
lur L.

P. 98. 1 supr. * ab £ et Aq. oni. k i l'a a en marge : B-— A^coE^. * Fig. 8.j.
Le cercle n'est pas tracé; les lettres ^ et ^ ne sont pas inscrites, L l'a ; un point 0 est
marqué à l'extrémité gauche de la droite MN. * 8 quodcunque Z * 9 ZI] on voudrait
ajouter : (siv^Fq.) * 9/10 quad. NM * 10 le signe — est omis. * quad. NZ * 13 D in
A liis)D in X"L, ^D in A l'a {chacune des sources conservant par la suite sa notation
propre) * l'a a en marge : B- — -DA — A-coU^-i-iRE. ic 17 œqu. -k 19 ErgoJ l'a
ajoute : auferendo scilicel D^, quod utrinniue l'uerat additum,

P. 99. 1 E q: R * 3 a?q. -k 6 Appollonii * 8 Appollonio * 11 Q\\\\>s,m\ L Fa {nus.ii
la, 22); l'a a en marge : B^— A^adE'^ rali. * 12 MN]NM L k NJZ * 16 quad NZ

* 22 commisceanlur * 23|Si {Fa, 6) * 26 in ratione dalA L * l'a a en marge :
A2-(- B^ ad E- ratio hyperbol. ■*• 27 liyperbolem ■*■ 28/29 (piad.

P. 100. 1 hyperbolae * 2 U)U)]lisez tota * 2/3 unù cniii RO quadrato om. • 4/S uni
cum quadrato NR om. k 6 rectang. * NR quad. l'a, NR quad'" L k Big. 85. Les
lettres ^ et £ ne sont pas marquées. Dans la figure de L, il n'y a de courbe tracée qu'à
l'intérieur du rectangle. * l'a a en marge : 01 sit A. ON, seu ZI, sit E. * 7 NOq L, NO
quadrat. Fa * ZI quadr. * quadrat. 01 >^ 9 NR quadratum L -k 12 1]Z k hyper-
bolem ■*■ 13 aequationem * Il adficiuntur L k 16 adfcctionis L k 19 adficiantur /.
jf 21 \q. his par e.cception L k a3quatur frt * £n marge de Fa : U^ — 'X^xy.AE -h^
( li.<:ez -+- E2 )

P. 101. 1 utrinque L k 3 + Eq. om. k 6 MN q. L k NZ quadrato L k 1 quad.
abs * 8|liac (Va, 7) * F(]°-. 86. Les lettres ^ et £ no sont pas marquées. * Il paral-

N /.

lella * 12 Cùmrrt:,cum L k 13 tota]toti * 13 quad. MN — quad. NZ k 17 NZJUZ/.

* 19 NR|l'K L k NO]RO

P. 102. 2 quad.NZ * 3 NR quadrali /, (mieux) k NO quad. ad (juad. OV * 4 supe-
rioribus * 3 eliipsim L Fa k 6 dissimili Z, * 13 propos. * 13/14 lib. i. AppoU-

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 421

* IS qiiotciiiique Z * 21 practiceii L, praxim l'a * 23 habcanl datam L -k 2i/2o E,
tormiiius NZ, L Fa it 2!> Ici, L écrit bis en toutes lettres, après Aq. et Eq.

P. 103. il'a, 8) * 1 perpend. * 2 datcT * NM]Z.M -k "i L avait d'abord écrit : ipsi
OZ œqiialis ZM, puis corrigé une première fois : ipsi ZM a?qualis ZO -k Fig. 87. Le point I
se trouve marqué au pied d'une perpendiculaire abaissée de 0 sur VZ; RM se confond
avec notre ligne MI; l'arc OM n'est pas tracé ^a. Dans L, la figure, tout à fait incorrecte,
comporte un cercle complet UOI, les droites UIZ, ZO. NM, RN et RM, cette dernière pas-
sant au-dessous de I. *• 7/U Cet alinéa est omis da/is L. Jf 15 (fa, 9) * Isagogem
La copie de L, pour /'Appendice, est d'une autre écriture que celle de /'Isagoge; elle a
subi diverses corrections, de la main de Roberval (?); notamment parabolen a systémati-
quement été changé en parabolam, hyperbolen en hyporbolam, paraboles et hyperboles en
paraboles et hyperbolae, parabole et hyperbole en parabola et hyperbola.

I'. 104. S sécant] corrigé de intersecant Z * 6 sectionis] corrige' de inlerseclionis L

* 9 A cubus + B in A quadratum L, A^+B in A^ J'a, qui continue l'emploi des expa-
■sants. * Z piano L, 1P Ta {et de même ensuite) * 13 cum L Va * li A cnbus -i- B in A
quad. L * 17 parabolem (aussi. 2.'5) * 23 liyperbolem * 26 synthcsim * 28 adfec-
lis A * 31 exempl. * quadratoquadraticisjquad. quad. l'a. quadraloquadratorum L

* 32 Aqq.]A' * BsolZ, B' l'a * Zq.]Zpl.Z., Z^ fa * Dppl. Z, I)''"' Ta

V. 105. 2 Dppl. Z (au.tsi 10, 12) * Bsol. Z (de même 12; au contraire 10, B solid.)

* 2 Z omet le second signe — * i (Uini (et 9, cum) Z T'a * 8 parabolem (ausfi 14,
18) * 10 le premier signe — est omis L T'a * 12 Dans T'a, la barre de division
s'étend jusqu'au-dessous de œquabilur; dans Z. la fraction est divisée en deux. * 141 et
ad (Va. 10) * 16/17|emcnd. Z T'a ■*• 19 hyporbolem * 22/23 proport. * 2i A cubus Z
k 23 Dans L, si est raturé et remplacé par posito ncmpo quod , de l'écriture de
Hoberval (?)

P. 106. 2 B in DE * .'i interseclionemjseclionom * 12 ;pq. * 13 tamquam * para-
bolem * 14 et AO applicatœ * 13 parallelœ est bien dans Z; les crocliets sont donc à
.supprimer, k hœ * 16 secundaja. * 19 rectang. OVZ

P. 107. 1 dabiturjdatur Z * 4 proportion. *• 7 quadrat.quad. *• 9 sequab. * 12 ;cq.
(les deu.v fois)] el L Fa k JÎJB^ * 13 parabolem (c?e/He/«e 23) * 17 climacticae]/«ra«e
de 3™ dans L, om. Ka; ce mot devrait être entre crochets, if 26 — ]-!- * Z sol Z *
Dppl. Z * 27|Ergo (Va, 11)

P. 108. 3 — ]-^ * 7 — om. L * 7/8 œquale Bqq. — Bq. in Aq. bis -(-]fiet

Aqq. -H Bqq — Bq. in Aq. bis œquale Bqq. — Bq. in Aq. — Z, sequale B' — B^ in A'''

œqiiale B'-— B^ in A--t- r» * 8 Z sol. Z * Dppl. Z (aussi 16) * 10 Bq. bisJ^B^ — P'a

,, 1 1 i<j Zs.inA"! Zsol. . . , — Z'inA ,. ,„,-. , .

1 i parabolem * 16 -h- — ^^ h — rj — inAZ, ^^ Ta * 19/20 quadrato-

quadrat. * 22 quad. quadralae * 2o cùm T'a, Cum Z *• adfeclione Z 5t 27 quadrato-
quadrata * 29 est curandum

P. 109. 4 Z sol. Z (a!{,m 11, 17) * 7 Bq. in Aq. bisJU^ in B^ (aussi 11 la 1" fois)

* 9 Bq. in .Vq. bisJ^B^ in B^ a- 11 Zpl.]ZP (de même 13, 18, 21) • 12 secunda]2.A
•k 13 verbi gralia] (V. G) * 17 Zs.]Z • 19 hyperbolem Va * 21 Z pi. Z * 22 H-]
corrigé de plus Z * 24 — ] corrigé de minus Z it 26 œquale Z, aequ. T'a k 28 aeq.

P. 110. 1 utrinque Z k bis]Z prend la notation cdjrégée " :*: 2 Bq in Aq. bis (la
2''° /b(,«)]-.4- in B2 *• 7 parabolem -k fiet istinc.

*

.V22 \\iUANTi:s i:ï notes critiques.

LIEUX EN SURI ACE.

(Levons du iiiaiinsiTit Arliog,ist-lioiico;nji;igni, fui. fit à Sj.)

IV 111. 2 eu rciH'oi. lu note : d'après uno copir. * "i z-;'.'ji:'^,[; * l.'i [ coiiicis ( f" "jT")
1'. 112. i Lct numcro.i des leinines ne sont pas l/iscrils * 1:2 eriljcsl * 15 1 Si

P. Il5. o I sint (f° 52^°) * parabola atit hypcrbohi * 11! .\rcliinicda:'a * 21 cir-
ciiiiiirercnliam (f" 53) * 27NIP)NM1' * 28 C uni

r. lU. 3|NIP (.fSS"") *• l Cum (aussi 9, io, 17, It)) * 1!) (lunUa.\al * 20 | salis-
faeiat ( f° "j-i )

P. 115. li| loconim (f° 54"") -^ 15 dumtaxat * 18 ci 2() ciim

P. 116. 1 I superficies {f° 5i ) * Ui qLiibiiscuiiqiio * 20 | major (f° 55")

P. 117. 8 mabis (?) * Il jaii. *• Ju-dessous Finis.

DISSERTATION TRIPARTIE.

(Lef'ons des J'arla, pages iio à ii5.)

P. 118. 12 execuluros -k 13 euni

P. 119. 20 sive acqualio | nem (/'«, i ii )

P. 120. i verbi gralia] v.g. * 24 cubocubiis -k planosolidum * sulidosolido * 2(J qua-
dralociibus * planoplanum -k planosolido

P. 121. 3 quadratocubocubus -k planoplanosolidiim -k planosolidosolido k .''i cpiadralo-
qnadralocubus * solidosolido k planoplanosolido k 1 cnm (de nicmc 11)

P. 122. 3 parabolam * paraboiae fa {corriger paraboles) * F'ig. go. Non reprodiiilo
dans les /^«/-(V?. * 11 cnm

P. 123. ilconlinent (/■«, 112) * 13 cum * 21 3". * 4'- 5". k 22 G". ;'. •*• 8'. 9'.

* lo'. * 21 •'.'. * 2ri 3'. * 28 1°.

1'. 124. 1 cx]ox una parte, ex * 8/0 qiiadralij A>e/;ira/-cV;-6'quadratici *■ li Z[)laii.
in A quad.quad. * 1,'i D solid. * M plan. plan, in A quad. k 27 ulrinquo

P. 125. 2 Z plamim * S 3'. * 8 poste | riori (Fa, ii3j k 9 quadratij lire pciil-
(-■/rt-quadralici * 9/10 quadraticum|quadratum * 12 prioris * liintcrsol.N k 20 pe-
ractojpaclo * 23 qMadratuni]latns (juadrati * irquandumlirquandi-Pw^-rî/'e finil-il
conserver ces deux leçons en siipprinuiitt les mots a lalcrc (23/20).

P. 126. 2 i'. (aussi 8) k 11 i)roblcmatibus (cmssi li) k 13 homogena k 18 li:fc

* forma * 23 Cum k 2i ad pi-imain | [lura k 2(i cùin * 27 (fiiadrataî k 33 8'. k 7'.

1'. 127. I 10'. * ()'. k 5'. * 12'. * 2 II'. * 0". k 3 Cum * 8". * 7'. k 4.')'.
k <■)'. *io'. * 9'. • 3 -', k 8". k 12". k 11'. * 0 9'. k 10'. ■* Il alienis] Un

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 423

n'(t pu rcirouvcr à qui, en parlicuUer, Fermât inirnit emprunté cette formule d'une
pensée qui a été e.rprlnice de dlfcrset mcinlère.i soit sur Platon, soit sur Arhtoie.
•k 13 (T'a, ii4) ir 21 expatiari

r. 128. I 5' (aussi 21, 2r), 2λ ) * 2 G' * 4' (aussi-li, 30, 33) * 4 3' (mm/ 8, 11.
13, 28, 29) iç 7/8 manebit D œquatio * 17 Cartesius solvi tantùm *• ii' * la'
* 19/20 7'

P. 129. 2 4'. (aussi 2, 28) * i lriginta]trigesima *■ ,"> 7'. {aussi 8/9) * 6 (i".
(rt«f«10) * 7.\'etB^D * 11 9'. * licum * 16 | immutandam (F«, ii5) * 21 verl).
grat.

P. 130. 1 3'. (rraf.tt 2, 24, 31 ) * decem]io. ■*■ 2 4'- * 3 excciili * (i cum (aussi
23) * 12 duodecim]i2. * 20 octo]8 («mv/ 27) * 29 quatuordecim] 14. * 31 J'.

P. 131. I Ciini * 11 Dom. -k 13 17' * U 257 -k 19/20 expecto

MAXIMA ET MINIMA.

I. — L = copie ancienne ibuds Liliri (nouv. aeq. lat. 233y), f°' lo/ii.
Va = y aria, pages 63 ù 64 .

^, = copie d'Arbogast (nouv. acq. i'r. SîSo, f" i43 à i45).

/ A = copie au net d'Arbogast (manuscrit \

De la page i33, ligne 7, ' Boncompagni) r pour la seconde rédaction

à la page i34, ligne 7. I .-/' = brouillon d'.Vrbogast (nouv. acq. fr. 1 ( -yo/r page i33, note i).

\ 3_>8o) en tant qu'il dilTère de A ]

Cf. D = Lettres de Descartes, dd. Clerselier, III. 56 et j-j.

P. 133. Au-dessus du titra : Copie d'un cscril envoyé par le R. Perc Mercenne
a|nionsieiir en rature} dos Cartes L; Ex Ferniatio A^ )f 6 in notis]ignotis T'a L A ^^
leçon qu'il fallait peut-être conserver : cp. page 186, 28 et 30, où toutefois le sens est
différent; pour la leçon proposée, voir p. 140, 7 * 10 piius esse terminus Fa A,
Hr 11/12 gradibus oui. A' aj. ^ * IS adficluntur LA.

P. 134. 1 adfoclionc LA * deindejdehinc A * utrinque Z * 4 adfirmatis L Fa A
■k 7 subjecimus^, * 8 realan^. F'a A , {aussiH) -k 9 pars]par Fa * ipsiuso«i. f'« L
■k 10 .\q.].\- Fa y/, (qid conservent ensuite la notation exponentielle) -k 13 — A in
Kbis]-E in .4 P'a, — ^E in A ^, -k Eq.]E T'a -k 14 reclang. f^a -k 13 A^ ajoute :

B X A — A2+Bx E — 2AxE —E^= B x A — .\2

17 E bis]E" T'a -k Au lieu de cette ligne, A, écrit : erit B x E = 2A x E -(- E-
•k 19 et 21 \ bis] -A T'a it A, écrit pour la ligne 19 : eril B = 2 A H- E. pour la ligne 21 :
eril B = 2 A.

P. 135. I (Fa, 64) * 4 punctumJOI aJ. T'a, 0 aJ. A, et (en interligne) L : peut-être
faut-il ajouter ut 0 * 9 quad. (4 fois) T'a A^ -k 11 quam CE quad. ad lE quad. A,
•k quad. lE T'a -k 12 Cum L Ka A, -k 13 Î)]L a B et en marge : il a icy nommé B ce
qu'il nomme d par après • 16 adjaul Fa -k proporlionem DL, rationem T'a A, -k 17 bis
om. A, T'a (de même 19, 22 et p. 136, 2, 4, 8); Z « partout la notation E" * 19 Aq.
{la .feco/(cfc/oi.v)]Aquadr. Z • 21 .^, ajoute : D x \^ erit

i2i VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

P. 136. (i A bisJ.V- /'«. * 1,'i ]ii'oporlionibiis Ifiropoilioiie .^, r<i *• IG Doniiiiu] Dno /.
■* L porte cil marge dons le xeiix verlical : W des (larlos, 1. 3.J7.

II. — ■ Loi^'ons des J'ariUf p:igcs G5 à 66 {oit la Jiolatioii cxponetUiellc a ctc mloptve).

r. 137. S» pai-;\licila * 1:2 basis

1'. 138. 1 Idiii. * pet. 9 * !2 Arcliimod. do ;)Rqiii[)ond. cuni * 3 cavas * ."! eiim

(aiis.fi 10) * 7 Archimed.TO :*• 9 E bis]E" (notation qui continue ensuite) * 12 ad

Bq.-^- K<i.— om. -k l(i ut B in E-!— adB2H-E2H-E2EBinE"ila * 17 aequabitur]appli-

,0 B- in A iii E"-H A iiiE'— B in A in -E2

cabitur * 18 ,,, . „,, — ,, . „,. * 20 recta (/«, 66)

B2 in t"— B ni 2B \ > .

1'. 139. 2 £(/. bisJ-E- -k i h\i\ La notation est désormais le coefficient en c.rposnnl à
l'tii'ant. * -^] — * 6 Le second terme est -\- E^ it S ab E, adfecta * U)/20 indicarejjii-
dicare * 21 5]5i.

Iir. — Lorons dos farta, pages 66 à 69 (oit la notation exponcnticllv a été adoptêt'),

1'. 140. 7 Algebricis * 8 Ar.JA * 10 quad. * 11 ex BEA * 12 E bisj^E [mnnc
nolnlinu ensuite pour les coefficients) -k 13 — Ec.ont * 14 primo * 16 tailiquam
• 20 B- in A — A' * 22 le troisième terme est : — A- in ^E-

I'. 141. '■'> Eq.]Ii * li oportet|iEquationes «y. * 17 tTqualo * 2i linea C

I'. 142. (/'(/.G;) * 2 refTerl •* i nliil k II pr(iporti<nieni |qiHrstionem * 20 crit
(tni .

I'. 143. I .\IM crit * l BiiiAJB * 22 Le Iroisièmc terme est répète.

r. 144. 7 rosidniun {corrigez) -k 20 punct. N * 23 OMD]OND k 26 1 L't 1/". 08)

P. 145. 2 Ellipsim {aussi 7, 0, 10 1 k 3 Algebricis •*■ 'i conlentani]intor puncluni V
sumplum ad libitum, ajouté k il DM]DN * 12 quad. EO ad quad. IV * 14 quad.
i-z/ois) k 16 reclang. (2_/w.v) * 18 quad. (4/»"') * 20 rectang. (2 /om") * 21 quad.
{ifois) k 23 eZ 24 rectang. * 2.j t? 20 quad. * 26 orit o/«.

1'. 146. IG lioinog. k 17 in G oiu. k 21 oani | dem {T'a. Gg ) k 2.") O.MJON

r. 147. 2 iiumqiiaiM * ."i asymptoltun k G Domino] D.

IV. — Leçons d'.Vrljogast.

A = copie au net (MS. Boiioonipagni, f"' 78 à 81).
^1= brouillon (nouv. acq. franc., n° 3280, f"' i33 à i36).

^j= leçons de A, dciitcs après coup d'une autre encre en corrections ou dans des lacunes
priinitivenient laissées.

I'. 147. 3 Titre d'après .1 qui a en note : D'après la copie de Mcrsenne. -/j a pour
litre Méthode de maxima et minima de Fermât et en marge. D'après une copie écrite par
•Mersenne et peu li-ibie * 0 syncriscus] en rencoi Vict. pag. i(i4 .l\ k anastropliesJf«
/y;«iv)( Viet. pag. i3 3 -/i * 10 lorrelatarun) o/». ./, k 10/11 constitutione ./o, conslrnc-

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 4-25

lione .-Il * 13/14 quœ veteri el novae molestiam exhibuereGeometrise ^2 * 16 licetjsed .:/,
licel

A. 148. 1 ;iovr/o;]nionaclios * 2 conslilutivi -/.2 * 3 utrinque * "> secla]/irc pliiiûi
secanda * 10 eâ conditione .V,, ita quidem Ji * 11 supponiLur -^2. endum c'crii au-
dessus de la finale de supponilur ./ -k 13 iutercipiuntur A,^ * li alicujus Jt *
17 igilur J, * correllata // * 2i loco .4^ * 26 accedunt J * 27 semperque auclis A-i

* 28 differentia corr. de distantia A, distantia .-/i

P. 149. 1 ultimain .r/2 * divisionem J^ * 1/2 |j,ovayr, \e\\c/i lacune Ai, ut A
•k 2 unica A.^ * contingit ./j * qiuim A. niin ou lum (?) --/i * qiianlitates «m. .^i

* 4 Cum .:/], * igitur (corr. rfe jam) A^ * correllalis A, * TJ melliodum Vielream A.,

* œquelur ipsi .:/2 * 6 semper Ai, * 14 quadr. * l.") correllata A * 1(> qiiadr. A
■k 17 Comparantur -/[ * 18 quadr. (2/ow) * cubo (a/ù/,») * 20 A quadr. -:/ * K(piadr.
*■ 21 constitutio A, en lacune Ai -k 23 quadr. A

P. 150. 1 practice A, praxis A, * correllatarum Ai k 2 per ipsorum ditïereiuiam
compararijseu ipsorum differentias (corr. de dislanlias) comparari A, seu ipsorum (corr.
de sumraani) distantias parari A, en re/ivoi au bas de la page; A, a corrigé le dernier
mot en comparari * ut eâ ratioue A^, ul...ratione corr. de constitutione Ai * 3 unica
corr. de misera (?) A, k dilTereutiam corr. de dislantiam A, distauliam -/, * .'i Ac.]A
cub. (même abrév. 7, 10, 12, 16) * 7 B quad. Ai k 11 unajprima Ai * 24 Cum Ai
k inventa A.^ k 24/2o constitutione A.>

P. 151. 3 libro]!. * 4 L.j-Zilib. "A k 11 -l-J — -/j (même faute poursui^-ic dans
le ca'cul, 13, 17, 20, 23 et p. 152, 10, 16) * 18 parte o7«. -^1 k 21 communilius .^.>,
iPqualibus Ai

P. 152. 0 U iii A in Eq.]D inA — Eq../i k 8 luijusmodi for;\ r/c lias div. ^/o * 14 con-
stitutione] constr. ./j k l.S io;iturfo/'7'.rfcsive-/sive-:/i * 20 quippese vel.-/^ *■ 21 non
décrit -/o * 21 crcbras Ao k 2,") Recurrcndum .t/o *• posteriorem co/t. r/e positioncs -^-2

* 26 tamen licet ,/» * 26/27 facilicitatem A k 27 al)undo om. A, * 20 id gcnus A.,

P. 153. 1 pronunciamus * semper et -</2 * 2 autem ./, * 3contineriA2 * 8 Tout
le vers est de X% k 10 tribus] 3 *• reperire corr. de invenire A-i k si ducantur 1res
corr. de ducantur duae et très A^ {en sorte qu'il reste si ducantur très du;e et très )

y. — Leçons de la copie d'Arliogast (MS. Boncompagni, f"' 56 à 5y).

P. 153. 1 i asymetri;p * 22 pas de parenthèses (non plus que p. 154, 2, 8, 10, 20;
p. 155, 10, H, 16: p. 156, 4) k quadr. (même abréviation ensuite)

P. 154. 17 0 quadrato k 18 Cum ■*• 21 asymetrià

P. 155. 10 quadrati * U Cum * Met 16 latcri * 16 dim. B

P. 156. 8 0 plan. * 11 resolvitur k 17 Bq. — A quadr. k 18 AB (|iiadr. y-?, fois)
k .41) quadr. •>*• 21 ad quœjquaî ad k A quadr.

P. 157. 4 Aq. quad. * S minimajmaxiraa * 7 Aqquad. * 8 maxima] minini.i
* 10 B cubus * 12 B quadrato ■*• 16 asymetrias * 26 hyperbola * 27 hyporliolio

Fermât. — 1. Oa

',îl\ VARIANTES ET NOTES CIUTIQUES.

* i!) t'i r. 158. I I asymptolis AK, FC ) explication de siib ungiilo AFC, n'est pciil-èire
pns tir /'ernidl.

V. 158. l In |>eil)()laiii * ."i liypurbolà ■* !) MB|in B * \-l niinoris | iiimis

VI. — O'apri'S roi'ij;ii\al do Fonnal.

F = mamisi'rit oi'iginal ( iioiiv. acq. fr., n" 3280. f"' ni h 117).
fa =: l'nria, pages O9 à ^5.

-/ =: copie d'Ai-bogast ( MS. Boncompagni, ^' 68 à 73 ). F ai A ne portent, point de titre;
A a en note ; (D'aprùs une copie. Ccl opuscule est inipiimé dans lus Qpern
l'aria de Kerinal, Tolosa?, «679).
(Dans le manuscrit ui-iginal F, les lettres des figures et colles qui, dans le texte, en dési-
gnent les points, .sont en minuscule, sauf A, B et II, et surmontées d'un trait horizontal;
les lettres algébriiiues sont au contraire en m.ajuseule.)

r. 159. :2 Prii'f. f'd * VII I 7' /•'. 7. f(i * l suas corr. de ipsarum F * .'i liiicas roctas
tantùm fa * 8 tamcn a/n. / * Icgilimum oi/i. F, sufTieiens l-'a .-/ * 1 i ada;quali-
lalcinjiequalilalem la * 50|Eslo(/7/, 70) * soclis /'«

P. 160. I Cum l'a F * H et 17 pas de parent lièsci ; l'a suit la notation exponen-
tielle, -k \'.\ Ciiin F.l, Cùm T'a * Fig. 101. La lis^ne AU n'est pas tracée dans l'a.

P. 161. -1 V. I)is|-E l'a {même notation ensuite) * '.i l'a omet — N in E liis et siip-
jiriinc dcsorniais m dans les monômes. * i .\c|uadratmii J.\2 /^V( * \0 CK]X.l a * U|po\ir
cette lellre, /rt et -t/ ont toujours V. * .VC]rccl;c aj. l'a * Il latiludino -/ *• juiiclu
recta FH Va * 13 ei !,'> Nicomcdaea F l'a * 14 proii.\ior]proclivior /^/« * |(i | Poliis
(l'a. ~i) -k 17 cui'va l'a * 18 est otn. A -k NBA]B\ F l'a

P. 162. 3 BIJBG l'a -k () procédât] prodoal l'a * 7 recta (de\.<ant CD et EH) ont. l'a
■k vocetur ((TJmv CD i?< EIDJsit /rt * EU] EN (peu lisible dans F) .'/ /^a * 12iis]liis/''/

* li DominusJDÎiîûs ./, D. l'a -k "ii. œqualilas /'-^ Aa * 23 curva] Cycloide aj. Va
-k DominiJDm /•', Dmî ./, D. l'a -k 24 H corrigé de A dans F {■>.'' main) * CF]EF l'a
■k -2<i est diicenda l'a -k 2i) C.MJ.V.M T'a

P. 163. 7 1 RlJvocclurZi datao»/.) /'rt(p. 7-2 ) *■ 8 vocetur]sil /^ «(««.»■« 9)' * i) ul-
cunquc FA * 13 MUOEluioue /•', MOVE / « *• 1 i et 17 ad;rqnari];uquari l'a k Hi ei
17 minus] — l'a -k 18 Iros om. /•' Va * 19 e\]ot ./ k supcriorc l'a

1'. 164. (i triangulorum simililudinem l'a -k 7 ip^i om. l'a -k 8/9 aequalilas la
k 1 lin B Jiii in B F * consistcl adiecpudilas intcr om. l'a -k 12 cl U in B in X] \ BBI'] / «

* 13 Cum F l'a -k 14 œquetur] ) l'a k Ki ex una parte iPquatur] } l'a -k ex altéra
om. Fa -k 18 nempe ZBE cum Fa * 20 -Equetur oin. Fa -k 21 cum] j Fa -k 22 fiiM
igiturjet fiet Fa -k 2i Conslructio]Const. (écrit au-dessus de Ad) F, om. l'a

P. 165. 3 ideo] corr. de igitur /'' * i B1)]DB Fa * î> sive cl eleganlior cvadcl ./

* 9 vero om. .-f -k II ] Sit (Fa, y'i) ie 14/15 La correction indiquée dans la note :i
peut être réellement de la main de Fermât; le te.clc primitif, remplacé par les mots :
fiât. ... ad rectam NO, semble ai.'uir été, autant (pi on peut le discerner sous la rature :
porlioni quadrantis .MD reclam NO constiluimus ujiiualcm. En fait, c'est la projection ilr
10 sur la perpendiculaire au rayon Ml qui doit être e'ffale à l'arc iMD,

!'. 166. 1 Nicomcdiua /■'./ Fa * 2 Domini ] Oui /■' k ii pertinent /'' (à corriger!

VARIANTES 1:T NOTES CltlTIO T i:S. 427

* 8 iii seqiienli figura oui. FI -k 1( applicalo -/ -k l'J ciiin /■'-/ I ti ic l'oniia' |^(ll■-
lllal•llm l'a

V. 167. 2 LilcuiMiiie F-/ ■* "i slaliimej raliono /> * 8/9 D.jiiiiiio (k^ Itoherval o///. /'«f.
DiKi de lîobcrval /•\

VII. — Texte d'après le MS. Vicn-d'Azyr-Boiiciiinpagni, I'"" i7'°-i8 = II.
^ ^ copie d'Arhogast (5IS. Boneonipagni, f"" 28-:>ij).
U = Nalionale, fonds latin 1111)7, i" 17-18.
Titre .^t'itlcntriit dans II avec î'fihrcviatfon AD lî. V . ^[,

I'. 167. 20 semicirclo // * 21 et J plus ^-/// * -•//)mf cyliiidri, // (//(w/c- .■ 1 Similis est
rectangulo DEA plus dimidio quadrati ex DE cl omiiilius duplalis). h^'it la noir imn-i^i-
iiale : (Juod inclusum est hoc addidi ad cxplicationem.

P. 168. 3 œquaturjapquale //(Vm.v.ï/ 4) * (> ailplieatis // *■ i) satislacit // ■* i:i (Uiiii
IBfl t aussi 25 ) * 18 auteiii om. IH

I'. 169. 1 lit iiiajus|majus uL fi -^ i sectïpj divisa- H * raiiuisj Vide in aiLcfà pagiiii'i
a/. H *■ 7 delerminationc |dirnniisli'alioiie // * S qiia'SlioniJ pi'oposilo ./ * (|uau-
doquc Iquandoquidem H -k Kl t'.uin JBH * 12 (iiia^slioiiemjprnposituiu //

\ III et IX. — C = copie d'après CIcrselicr ( nonv. ae(|. l'r., n" .3'280, 1°" 87 suiv. et 78 suiv.j.

D = Lettres de Descartc'S, (i. Clerselier, III, 5i. Dans ces deux sources, pour li^
morceau VIII, la notation cartésienne a dto complètement adoptée (exposants,
simple juxtaposition des lettres dans chaque ntonômc, coefficient nunièri([ue en
avant du terme), mais avec des lettres majuscules.

1>. 170. ;i AFDBJADFB f, ADIJ J) * 9. et \.\ ciiiu * 12 rectani «m. O

1'. 172. 1 et .^J 10 C\ 01 D ■*: i et (i lalus (|uad.J radix quadrata * i /.a parciilhc.u;
n'est j)a\ fermée D\ pas de pareiitliè.ies C. * G Pas de parenthèses, i^ Kl fict * l.'i abi'up-
lis|cl l'iiplis *■ 22 vergiL B *• 21 inverilo et tlioorcmati C

V. 173. 8 luiiiiiiis oni. C * 12 à.-(t^xAcj-^(<jo>; I)

1'. 174. 3 duo illa /> * 6 Cum («jwvi 21) * !l ad ralioneiii leuipoiis iiioUis * 2(1 iil
siimniaJTOr/-. de ut siinimara C, ul suiiimam D

P. 175. 12 in medio denso C\ in superficie iiiedii dcnsi J) * l."> pure Ji, [)ciic C
■k Hi C place ici la fg. 109 avec les mots : In ligura avant Esto. -k 2,') (' a en marge :
in f (Ig.

\'. 176. i niinor est D * NVJNR C k ."> ciim {anssi 7, li, 20 1 * Il rectan-
gulo oni- C * 12 MN]NM C * 15 qiiadralum /), quadraloi|iiadratum C ■* 3t) ri
om. L>

1'. 177. .5 cum * 7 \\\. om. C * il NS]SN C * 14/13 rectangulo IINV l,is [i>eitl-
l'tre inieitx; aussi 17/18) C * 21 C a en marge : V. in v' fig.

P. 178. S œqualur * 11 1N]C ajoute ita et nn/cl les lignes 12 et i:i >*- 13 IN J)
*r 2i NR]M C

Ï2S VARIANTES KT NOTKS CRITIQUES.

METHODE D'ÉLIMINATION.

l'a — \'ai'ia Opcia, piiges 58 à Cn.

P = JIS. Nationale, fonds latin 11196, f" /|6 à 53.

L = JIS., nouv. acq. latin sSSg, 1'»* 17 à 20.

(Cette dernière copie emploie constaminL-iit la notation cartésienne complète,
à partir de la pa.tji^ iS], ligne i5.)

P. 181. t /. (ijnuic : \ Omiiiiio de Kcniiut ad Domiiuiiii de Carcavi die 20» .\|irilis
anno 16 )o missus * îi Rcdductio i * (J Algebricis * 12 lîq. * N qdto /, * 1 i (|ii,t-
cuiiquc /. * l.'j et 1!) ciim j*- 16 Z sol. t'a P, Z™ Z, * 18 Z, S fa, Z soi P; (de mcmv
ciimitc) * 215 abs E 7- * ab secunda fa L

P. 182. 1 liiijii.siiiodi /' * li Ciiin * i lanquani et A 5*- 8 fa marque -H devant le
premier terme. * 10 loties o/«. /. * 1 1 omnirio|e()iiliniio /. * l() aiïici T'a P -k ITabsE/V;
*• E qdtiim L * 22 ut /,, ol /« /' * quoinodoctin(iiie /> * affecla * 21! | Ei'it (Ta. 59)

* 27 lit dixiiniis ow. L

P. 183. .*) Ciiin {de mémo 17, 22) :*- 6 tamquam Fa P, ni tanquam L i^ S P a de.mr-
mnit l'abre'fiation Zs. * 9 Nq. iii B]Nq, — in B, P'a * 1 1 in A — in E Va * 23 Pour
le troisième terme du dénominateur, La: — BAN^

P. 184. •'! l'uiu -k sccundiim f. ■*: 12 et cset. /' *• 13 il'a, Co) * 11) Algebricis

* symcti-ica PL * cHmati.sMuis /V L * 1.")/I6 Viœtea /' * 17 sufficiens]siiporflciens /.

* est om. L -k 19 latiis ctibicum (Bin Aqii. — A ciib. ) l'a P k L a latus ciibicum.
latus qua(b'aluni *• ZJa Va (de même ensuite) * 20 latus (■>. fois) Va P * latus (|ua-
dratoquadratum A * latus quadratum X * D cub. /« * A qu. qii. /'« /'.

P. 185. 7 A qn. Ta P (de même E qu. 20, B (iii. 22) * A cul), [la i'\fois) Va P (de
même 10, 14,28; ainsi E cub. 28) * — Ac. 0///. A * -^\al.\ -+- L, T'a L * 15 hœc
eniiti una L * 20 1) cubus T'a P (de même E ciibus 22, A cube 22) >(r| 21 sed et
ex A * 2i/2.5 coiijieiundi /' * 28 B- T'a * 29 radiée T'a.

P. 186. l iiuitilia ] mutila A * (i tcrtius, quartus I. -k et c;et. P k 1 tamquam se | cuii-
àam ( Va, &\) * 10 fuerint ^n *■ reductae fueriul A * rcdiicos o/«. A k 11 deniqiie |
deinde A * 1.3 exularc * 1 i innumerosa /^Vc * 1.'") resolutione. . . . asymiuolriap om. I.

* enim oin. P * 18 ciiin if 19 quandiu T'a A * 20 constituendum A k 28 num-
quam L T'a

P. 187. I dumtaxat T'a A * 3 et cœt. P * 3 data om. P -k 13 exposcal |expnsuit L
It eaque|ne(iuc /' *- 19 B qu T'a P (de même 23) -k Z qu. P 2 qu. V» k 20 eum

* 21 dcfficientes P * 23 A qq. />/ P. k 2i cxjdc A

P. 188. 1 Patebil corrigé de lia eril ]' k 3 cubiciP, <iuadratoquadi'aticœ om. Ta k et
cœt. P ( de mc'me 'H)) k cujus]ejus /. * 12 in\eniunt. . . . solidum ( 13) oin. L k 13 cum
k 14 sumatur A * 17 qiKecun<|ue A

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 429

PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN.

Lec;ons de l'original (Ms. Ilnygons 3o do l'Université de Leyde) : collation de M. Bicrens de llaan.
La distinclion des u et v, i cl j n'existe pas dans l'original.

P. 189. 7 ccpi A- 190, 13 (|iiiiiliseclionem * 192, .3 -h ( poi/r et?) niilici ciiljicir
* 13 -h radici quadralociibicœ ît 22 h- radici quadraloquadratoc.iibic;p *- 194, 2 pri-
mogeniam it 5 Jdresse : pour Monsieur

Huggens.

QUESTIONS DE CAVALIERI.

Leçons de J =. MS. Arbogast Boncompagni, fol. 25 à 26.
/i = MS. Vioq-d'Azyr-Boncompagni, fui. iS.

P. 195. i primi 1 -k ."i D° ./ diïô 11 * G D"" -/ diuim B -k % faelieissimum II

P. 196. 2 fa'liciter />' * 0 (;iirn /j' ( ««.v,v/ 23 ) *■ 8 pronuncianuis * Hji:) .1 i/iic/vertit
les ileii.v nienilircs de lu phrase. * 10 suiiimam *■ 20 v. g. 11

P. 197. 3 iiempejitemque -^ * i cum 7^ * 7 parabolam ( «««y 8 ) * liaplicatis
{■j.fois)Ji * 27 ambiens -■//? e; jWw.«e/(/(e ( !Jo//' p. 195, note I ) * 20 Domino] D° ,/, I). Il
•k oxequemur.

P. 198, 1 parabolam *• 2 propri claies *• 'i \m^oi'i\\n\Q] J a écrii ciimite, puis rmc :
vei'iun est -k i ellypses II

PROPOSITIONS A LALOUVÈRE.

Leçons de Lalonvère ( do Crcloidc, pages 391 à Sgo ) ,

Les lettres des figures sur celles-ci et dans le texte sont minuscules. Les renvois aux
figures sont faits dans le texte, les figures 112 à 119 de notre édition étant d'ailleurs
mimorotécs io5 à 112 par Lalouvère. ■

P. 199. 5 hyperbola -k 0 parabokc (aussi 205, 10/11, 206, 22, 207, •», 209, 1.3 1

* (I hyporbolœ {aussi 200, 7, 1.3 1 * 202, 6/7 v. g. * 203, S quartajio;. * 8 quinta]ioS.

* U q»arta]io8. * 204, .3 quinta |iO(j. k 8A.M]em * ISsextajiio. * 20tcrUa|io7.
■*• 21 hac]hoc -k 22 eundom * 205, 2 A('.]de * ii AN]au * 1.3 AB]ub -k liU|zu

* 18 Le numéro VI est reporté 206, 1 * 206, 1 sextajiio * i parabola (aussi 7,
207, 20, 208, i, 2i, 28, 209, 4) -k 206, 12 septima]iii. k 207, l ciijuscunquc

* Ii ti'quelur * 19 quoounque * 208, 12 œquoLur * 26 trienbus * 209. H dimi-
nulœ.

V30 VAIIIAN l'i:S 1-:T NOTKS CKITIQIES.

DISSERTATION M. T. 1-:. A. S

(l.rc.'iins lies l'aria, [uigus Sij h n»}. )

1'. 211. ;f J'ii parle cil mtirfic : ll;pc DisserUUio lypis ciiilii l'iiil iiniui iTiGo. occulto An -
loris iininine.

1'. 212. l ciiiii * 1:! I. |!Mtl.M.\. * I,') cavci |ciir\a * l!l purlio | iicm ( />/. 90 )

1*. 213. 1 c'iiiii * ;! bascm * i B1|K1 * 7 i|iiaiii rcda ali 11 ad I{ ilucla|qu:p rcc-
liim al) IIK ad 1< (hictain * 10 eandcm

P. 214. 3 Demonsiralionoin {corrigez) * 10 1 Ii\|ionaliir 1 / «. gi) * seeuiidaja.

* 11 .VGJ.\F *• iniodli!)cl * "lO tei'lia]3. {en murgc : Doost luic loro fiLiiira 3. iiuani ad
{•alocni libri leclor inveniet.) * 21 emidcm

I'. 215. i) ci\m (tic mciiic \l. \','>) * 10 uLriii(|uc * basis ( ««.v.v; i(j, 2(i (/(v/.v /b/.v)

* \-2 j. ol 3. Figura; (de même 18, 20, 21, 22, 24, 25, 2. /jom/- secuiida ou scciiikI.t, 3.
/loiir torlia, ae, am ) * 23 squales * 26 | iBqtiales ( fa. ly^. )

V. 216. 2 secnuidal'A. * 3 basis (««.v.v/ 10) * ipsiii.s )ipsi * (i cuni ( c/c inc'inc l(i,
22 I * Il basi

I'. 217. ,") qiiai-la 14. * 1 1 paralicilip

1'. 218. 2l| ul (/V/. f/i) * 2() rcclaniinjrccur * 2!)IF|II':

P. 219. 12 qiiinla|-). * |iarabola ■*• Fit;, i). [. /.a Icllres ("i vi 0 sont en majuscule
iirecquc.

r. 220. :i dirt'fUi * reola * i:i KI]1K * 19 el sil Jol fil *• parabola * 21 parabolcT
(««.v.ï/28) * 22 FXJiiX * 2G| sod (/>^ 94 ) * 27 IK iii KLjlK in KLS * :») nini

* 32 V]U (de mcinc dans la page 221, mais non plus loin 1

P. 221. 0 cnm

P. 222- \ parabolam * 12 Les lettres grecques [3, 0 et pins loin ■■, 0, À, o de la
figure 12) cl du texte seul en majuscule : dans l'cdilion anonyme, toutes les lettres ro-
maines ou grecques, soni en minuscule. * 17 piissil * 2.") ciiiii * 20 iiiinoi-i * oaiulLMii

P. 223. 9 paral)C)]a' >t | iicrpendicidarcs ( /V^ <).') 1 * 1()yK|(-)E

P. 224. it minorjmiiioruni * 12 ciiin

P. 225. 1 cum (de même 12, 18 et ciini 2.'») * (i paralioiam iau.ssi'î.ï) -k 17|ii'qiialc
iJ'a, 9G) * 26 paraboles (au.ssi'i't)

P. 226. 3 paraboles * "1 rrliipia * rcda' *: (i a'ipialis seu a|iplit'ala' sciuiliasi

* 17 ad ( fa, 97)

I'. 227. fiseplima];. -k 8 h.\l. M., KK, 111 * 0 bac |^(/""/r.- pj'iorc -k Id ipiarla, a | |. à

P. 228. ,") cuiii -k i;i(/>^<)8) k 10 in Fil,'. 8.

P. 229. 1 1 recta Jcnrva -k 27 cum >^ lî(;||{K

P. 230. :j|aulem (/«. 9<)i k 'i.l P0|OP

!'. 231. 1 in f). Fi}.'. * :j .VCJ.VG

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. Wl

1*. 232. (j CLim enim caelera lalera •* 8 | FI ( l'a, looi * :2G in 3. v. g. *■ ([nod {cor-

P. 233. 0 in Fig. lo.

P. 234. 1 paraliola sini | picx (Vu. loi) * â parabbla * ."> cum i^ Vi paral)ol,i'

* 2(ï in i.

P. 235. 0 parabolae (aussi 1 i. l.'l i * Il in 4- * '16 quolcT jqnul -k 18 g. sit in ii.
Fig. >*• 21 I in {Va, \oi)

P. 236. o parabola * 7 qnarl:pl4. * 9 est J. -k 22 rcclœ dalcR * 33 cvini

P. 237.' 7 r>. * 9 iiasis (mm/ 17) * 12/13 | sccunila (/Vf, io3)

I". 238. ()(/«. io4) * Les fi^'iircx de /'.\\){)cn(]\\ soiil à /njîu du l'ii/unif. * 10 Plil.M.\

* l.'i 4 l. 5-2, * recl£pj recta

P. 239. lit* 12AIFJAF * loMJiit * 31 [G; (/-'«, i<)-5) * cùm

P. 240. 7 fum I aussi 1."), 19) -k 29 £ii marge : Figura 2.

1'. 241. :; VXJIX

P. 242. 19 cum * 2()|sit(/'«, loG)

P. 243. (iterlia]i. * £11 marge : ¥ii;ui-n i.

P. 244. 1(1 cùm * 23quarta]4. * /;'/' '"'"'^'c .■ Figui'a 4-

I'. 245. 9 llljtertiee * 20 cum

P. 246. I I crgo (P^a, 107) * 1 i quinla].). -àt Eu marge : Figura 5. * 22 basis

P. 247. o En marge : Figura t'i. Da/is l'édilioii de 1(560, la figure est numérotée ^i.
comme in précédents. * 8 construatur paralxilc *- 9/l(^ parabolam (aussi 10. Ili
■*■ 13 cum

P. 248. .■; biseca * 12 Vljsexla

P. 249. 10 I langons (l'a, 108) * Les /eltrcs greci/ucs qui suife/it dans les figures cl
le te.rle sont en majuscule.

P. 250. I cùm * i a\i 9S >t l."i cnm

P. 251. :{/i somil)asis * l(iVI|se\ta

P. 252. 10 cum (rtw.v.v/ 23 I * iO con | sLi'Uctionc ( />/, 109) *: M et \>\. l'tn- e.rcep-
lion S), est eu miiniscule. -k 20 parabola * 21 paralîolre

P. 253. 1 parabolae (aussi 2, i, ."i ) * 2 basis * 3 parabola (.au.isi i. (>) *■ ll|>;c-
cunda ^ i cum {aussi 10 i

P. 254. Lettres grcct/nes en minuscule .• 1 0, 2 Ot:^, 3 Oo, 9 fiiTO, 12 ol. * 0 basis

* parabola (««j.K 13, '14) * 7 cum * Il basimjbasein *■ 14 parabolae

l^cs jigures à la fin du vohunc (première planclie) ne sont pas numérotées, mais indi-
quées comme .mit : Fig. Pag. gt. pour notre Fig. 122 (3); *• Fig. Pag. lo^. pour 134 (i):

* Fig. Pag. io5. pour 133 (a); * Fig. Pag. i où. pour 136 (3); * Fig. Pag. 106. pour 137
(4); * Fig. Pag. 107. pour 138 (5); * Fig. Pag. 107. pour 139 (5^; * Fig. Pag. 108.
pour 140 i'i) ot lil (^i). .S'w celte dernière, la lettre y est minuscule, ptiur n ou lit 0, et
le chiffre 12 n'est pas marqué.

Vil VARIANTES ET NOTES CIUTIQUES.

.MÉTHODES DE QUADUATURE.

{ Levons dos /'aria, pa^cs !^f^ ii 5-^. )

r. 255. 11 (luiiita\;il * 1 i parabolam

P. 256. 7 asyniptottoli * 11 so | lum (/V, 45) * 12 3. el 4. * l~ hyperlinla

* Kig. i42- ^-cs lignes poiictuccs tic .\oiit pas iracéci et le point W n'est ptis cotiK

P. 257. S .ViTliimedaBam ■*• 9 GHIlîlGUE * 10 Jpi-ès as.qucluv.. à in ligne GE. 'w
(iH. jniis Item commence un nouvel «liiiéd. -k V,i AiTliimechTa * 16 riiiu * 17 AH ad
A0].\11. XO * 2.-> cùm * iiarallelogralcmi * parallogrammiuii

P. 258. 1 i I crgo (rn. 4G ) * 22 parallelogivinimos *■ 23 Arcliiiiit-dnia * 2i ciii'va
in I.M)

P. 259. i Archimcdaea * 6 hyperlmla3 (aussi 10) * 22 Entée GE et ad est intei-calé :
ad parallelogrammiiin siib GE, in GIl, ila parallelograniiniim siib GE, in GE -k GA]GII

P. 260. 2 liypci'bdla [aussi fi, 1 1 ) * 8 ciim •*- 1.3 cinn * 19 paraboia * 22 1 Sil
il'n. il) -k AGRCJ.iGKE * 2() CEJEG

P. 261. \ cuni -A: Fig. 143. Zc.f Iclti-es V, Y «e .90//; p(«- insceitcs. ikr 20 EN]EV

P. 262. G VC|liC * 27 ARCBJAROB

P. 263. 2 iiuodlipii-B ■*■ 2/3 repreesentates * 3 ad | ?. (Ta. 48) * ,'i Archimed;eo

* 15 .\1GCJAICB * Fig. l44- L^^" lignes AD, DC, ne sont pas tracées.

P. 264. 3 cura (aussi 9, 21) * 4 CE]EC

P. 265. li parailelogrammunijut ajouté devant, -k 20 | nempo ( / «. 49) * 22 païa-
lellogrammum * 27 3;]B. * 28 2;] 3.

P. 266. 4 hyporbola -k 11 potcstalisjqiiantitalis

P. 267. ■> q.]quad. (trois fois; même abréviation par In suite) k 10 U|V ule même
ensuite) -k 11 CÙm * li — Aq.]A — quad. k 18 — oni. kr 28 Aq.]AG

P. 268. 2/3 E, quad. k G c.]cub. (même abréviation par la suite) k 10 œquale
k Kl (|uad.

P. 269. l|loeo (fa, ïo) * 3 quad. * li cc.jcuh. euh. (clen.v fols; même abrévia-
tion par la suite) k qc.JQ(j * qq.Jquad. quadr. (aussi 19; mais QQ 21, qu. qu. 22, 23,
qu. ipia. 2.Ï ) * œqualis]» k 19 qc.]QV. cub. (mais ([uad. cub. 2,"i)

P. 270. 3 qc.]QC /« 1" fois; q\l. euh la seconde et par la .mile k qq.Jqu. qu. { auisi
7, mais qua. qua. 10) * 8 hypei'boI;n * 10 q.] L'abréviation ordinaire est désormais
qu.: toutefois qua. la 1'° fois, 2o) * li [larabola; * 20 correlatis ■*■ 2o — | -h

,_ . B qu. eu. ,

* 2 / sive — —TT — œqualo

i'. 271. 1 (Fa. il) k 2 a'qualo * 3 ex 1 de ■* "i B, cub. icquari — ~~, —

' ' 'A cul).

* 7 B qu. qu. *• Fig. l4'J- f-a courbe IlOPN n'est pas tracée et la lettre 0 n'est pas
inscrite

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 433

P. 272. TpotestatibusJprc-esLantibus * 'J ignolarum |ignoratum *• 13FC]FG * ^2 sta-
tam * :2,j applicalo * 28 B, qiiad. — A qu. œqualeE, quad. * 3Ûcùm * 32 ad basim UN,
sive ad D applicalis est intercalé 31 après applicata

P. 273. 1 ad B applicala est rejeté après sequalia * datojcurvo * ," | eriml (Fa. i>. )
•k 9 cuni |V«M.« 17, 23) *• \i'\V (de même ensuite) * 17 autem] ergo * q:] ahréi'ia-
tions : qu. ici et 23, /a seconde fois, pour Jiq.. 18, 21 et 23 ponr Ef/.: (juad. aillctirs et
par la suite jusqu'à indication contraire. * 21 qq.Jquad. quad. (mais qu. (]U. 23)

P. 274. 3 nmnnium * 7 ;['(iiialur];E([iialis * 11 exsequamurjsequamur * 12 B,
quad. cub, * E, cub. cub. ciib. -k li eùm * B, qu. ■*■ 13 B, quadratum * 21 | sit (l'a.
5'3) * 23 his\m]M\ ajoute.

P. 275. :!cum * bMV].MN

P. 276. 3 qc.Jquad. cub. * seqiialc E, oubo -k G q.] désormais l'cdircviatiou esti\u..
sauf indications contraires, k 7 valore k 10 cTquale k 12 curva .VKOGDCH * lii aii-
Ihorem * 13 ox] do

P. 277. I quarla]-). k ','> B, (piad. * E,(iaad. * 3 E qu. quad. * V(|uad. k 10 qua-
dratuiU' k priori * 21) ex]dc * 24 B (|ui | in E, qu. — E qu. qu. ( f'a, J4 ) * 30 E,
quad. quad.

P. 278. I abs ■*• 12 B, qu. culi. in V, (|uad. ■*• lii iuterjin ■*• 23 bypcrbolœ

P. 279. 2 quad. cubi * 3 praxim * i lam ([uam * pr;Ecedentes * (I curva? Jeune

* 9 A, quad. * B, qua. k 14 0 quad. (aussi 20) ;*• 17 B, qu. qu. * A, Qu. * 20 B, ij.
qu. *• V, quad. * 27 B, ipiad. * 28 Uq.]A, quad.

P. 280. i idijuejid quiP * (i | H;cc (Fa, 5')) k 9 ADBJA, B, G. * 11 ipsi injipsi sic

* 24 B, quad.

P. 281. 7 cum (aussi 23) * 22 E cub. | cub (Fa. 56)

P. 282. 4 et G V, ([uad. * (i E, ([. k 7 onincs E quadrati ■*• 10 E. quad. * 12 V. (piad.

* 13 ciim k omnes E, qu. * 13 cum k 24 synthesiui k 27 expaliaudiim

P. 283. 3 ciiin k i onines B in .\ * 3 omnes * G et 13 Oq. * 7 a;quatioJ;cqu.

* 8 E, q. *- 10 onines (• quadrall *- 13 V. ((uadr. •* Il Icrliajipiarta *• 18 V, ([uadralo

P. 284. 2 e< 9 quad. * 3 ol omis, k o quartajquinla * omnes Y quadr. * G illo
■*• 10 quintajsexta ¥ V]l * IG a?qua | le (^rt, "i;) k 17 sextajseptima k 20 1, quadra-
lum *- 21 scptima]ocla\a

P. 285. 4 \q. k Bq. in Oq. * 3 A: qu. ■*■ ûclava|nona k 7 cum k 11 V quad.
k 12 nonam]decimam * 18 novemjdeceni

FRAGMENT SUK LA CI SSCI DE.

, [Leçons île M. Ch. Henry (Pierre de Carcavj-, pages 3S-4o).|

P. 285. 21 yssois * 22 porpendiculus ■*• 23 yssoidis * 24 yssoide * asymplo
P. 286. 7 yssoidi ■*• 10 M et DJMBD k 13 yssoidale *• 17 Kl | KL

KeBMAT. — I. 'l'I

V.W VARIANTES KT NOTKS <:1HTI(J H l-:S.

1'. 287. 1 xssoidcin ■*• appliciUis * cx](io * "1 yssoidis * l 111 1 LU * 7/S ad simi-
mam rectariimlll. lIV.itarocUiNO /■(y)rt(\ * 8, 10. 12, tîlî, 2(1, 2.S VO JNO * liîxssoidiï:
* 10 roc Ut * 22 eu m * ll(i]HC * 2.1 oandom

I'. 288. 1. i. SNOIVO ■* ."i umia * II yssoidalu

OBSKRVATIONS SUR DIOPHANTE.

(Levons lin l'ciditioii ilc S;iimifl Fm-iiial ; ili^o = 5.)

Ou a reproduit en caraclèi'e.s |iliis yiolhi les Icxles de Bacliet (Iradiiclion ou (•(uiiiiK'ii-
taircs), aux(iiiols se rapporlent les observations de l'crmat. Les leçons de Uacliot sont don-
nées d'après l'édition de Diopliante par Bachet, iG>.i = AV/.

Le numérotage dos observations do Fermât et les ren\ois entre pareiUhè.ses sont
ajoutés.

Dans le Diopliante do Samuel Format, les notes de son père sont imprimées en itali(pie.
cl précédées chacune de la mention : OliSFUVATIO D. P. F. (DO.MLNi PETlil DE FKK.MAT
pour 11). — Les indications de pagination (S avec le n°) ne se rapportent qu'au texte de
Fermai.

V. 291. l i|uili\iscuni|ue * cùm >ir 17ihias|duos *- 22 duns AV/. <(//; .V

P. 292. 2 lib. 4. Ht Se/ 17 (iualuorJ.i * 10 3oJ3 * 16 ir""] lertiam * 2:i Extat

* VJcpiiuto •* 21 5)i|uiiila

P. 293. 1 tres|3. * 2 eorundem *- 7 Priiiuis|i. * Secundusla. * Tcrtius|3.

* 8 Diopliantipam * 11 quatuor] 1 * Ef 5""Jj >v lib. '>. -k 19 (.V, 1191 * 22 Vl|sexti

P. 294. 2terJ!. • i|ualer]4 * 7|otiam(.S'. 128) * Ei v. g.

P. 295. 1 loco|loci * V. g. * 12 (]uoti-unque

P. 296. .') datus|duetus ■*: 1 cl omix. jt 18 tres|i. * 18/1!) (|ui ncm|io unilatc .i/f-
//iTi/iil (juaternarium ciilrc jua-cinlicscs. * 1!) v. g. * 2.''i/2G ncmpc quatcrnariuin iinilnle
superanlos l'iitrc parcnllicscs. * 27 productus.

P. 297. I lres|i. * 11 \ . g. * l!l prescribitur

P. 298. 7 cuni * 17 | dilTcrenliam 1 .S'. i34 )

P. 299. 10 ilcralioni'ui |operationcm

P. 300. (i sequentis * lli duo (piadratoquadrata -k 16 quadraloquadrala

P. 301. 3 operalionem |aM]uatiouem * 10 niultiplus * 22 V. (i.

P. 302. 2 eundem * 4 quatuor) j. * 12 superiori -k 2:t \ . g.

P. 303. i '.— ^r- „, *■ 6 vigesima' Isocunda' * 8 cum * E") v. i,'. * 17|condi-
lione (.V, 16a) * 2:) VI |6.
P. 305. li|essoi.V. 1811 * K) |)oligonis
P. 306. .") ulcuncpie * 5/6 v. g. * 8tcrtia|3. * 1.'; cùm
P. 307. I fV 2 V. g. * Ej/li conficianl Icoiibliluaiit ( « for/v'i'tvi -k l(i (V tO cùm

VARIANTES ET NOTES CRITIQIES. V35

1'. 308. ;i cl 7 fiini !*• 17 (i | N -+- 3 (S. aïo) * 20 ciim i>r 28 i|iialiicir | j. ^ ym-
(liiciliir ( corr/nez )

I'. 309. I 24. ■* -2 lili. r,. * l lili. il. * pum * Il quatuor] f.

I'. 310. 1 V. i;. * 18 li\|U)l.ho. * 2(1 porpenilic. ■* 21 eiuidpiii * (|iinUiorJ \

I'. 311. 2 DinpIiîintcTOS

1'. 312. 9 il. (|ii,pslioiic lili. 4.

P. 313. 7 possuiit S * lli ciiiii * 21 Ver 11 ni amen

I'. 314. 1 ce 2i ciun * S ([uanilipii'i 1^ l:f tnindem * lî) aulliore * 'M quadru-
pl;c]qiiadrali * iinilalcji.

P. 315. :i|Deiiide(.9. ^33; * iri quarto Ij.

P. 316. 29 Diophanla>ani

P. 317. 2 V. fr. * 12 diintaxal * 17 puni * 2! Diopliaiitipis

P. 318. 1 IV]4. * 2 f;elipitor * 19 mimlpui

P. 319. .T (0 Fatic.) est la leçon indii[nép dans lo comnientaire de Ba * 4 Lex mots
entre parenthèses sont tirés ilc lu nuir'^e de S cl dcdnits du coninicntairc de lia *• 1.") pi'o-
diipliiin

P. 320. Ii|primnm 1 .S'. iSoi * 22 v. j;.

P. 321. '(■ quadrupla * 2'(.— .V

P. 322. i (o-'o; Jiii i^ 27 ----'jx^^wm'i lia * ',V\ prodnpliini

P. 323. :! vere]\ero

P. 324. 1 (.V. 2V21 * 9 cuni -k i:! A. quadralnni (/i/-c/«,'(Vc' /»/.v) * KiD.C. — li bis (j.

19. 2:i et 2S minus] - * 20 minus onùs.

P. 325. I -i-'jCJ — 2(: * (i iNpIusJA - * p\ppssus

P. 326. 12 9]2.') uwssi 1 i. Pi) * i;i —\''- -k li et lo ()]i(i -k 18 prnposilis
*• 2H PU m

P. 327. 2/;! vi^'esimani (piartam libri sp\ti. * 18 (]uadratoquadrata

P. 328. .'i r)ioplianla\T ■* Kl et 22 cuiii

P. 329. 3 V. g.

P. 330. -i qua^situs trian£;ulu.s .V. lisez (piasitniii triarigiduni * If (.V. 2911 -k qua-
tuor] '\.

P. 331. .3 triang. reetang.

P. 332. 7 Diopliantipo -k 10 c/ 1 1 eorundeni k 17 puni

1>. 334. l supetnnt -k 20 -'^r^TX<,•.m'^.^,'.'>■■,

i3G

r. 335

P. 336

r. 337

r. 338

I'. 339

r. 340

r. 341

p. 342

VAUIANTES ET NOTES CHITIOUES.

-J\.i;. * i;! mimeiiis * H accediiiit * 18 lili. 5.

1 1 Forma m s

I i\ (.prcinicrc fois) omis. * (î 3<j]i().

I \ \ ij;osiinaiii ijiiarlnm ■*■ 15 scxli * 18 cxoiiui

r; Dioplianlueam * S iitrinque

7 I lahoriosA (.V, 'îSg ) • 1 1 (|ua(lratO!!|i|iia(ira(a

-T\ niullali

1 et ^1 niultaii

ERRATA

(')

Pago 80, ligne 4 : Supprimer la virgule après RD.

>i 109 » 9 : Mettre point-virgule après his.

n i54 » S : La lettre 0 devrait être en italique.

Il 167 » i lie la note 2. — Au lieu de 20 «ir//, lire 2(3 avril.

u 211 » "> de la note 2. — La découverte do Neil a été publiée par Wallis des
i()5g, dans la seconde Partie du Volume intitulé : Joliannis Wntiisit
S. S. Th. D., Geometriœ Profc.tsori.t Saviliani Oxoniiv, Tractntiis
duo. Prier de Cfcloide et corporibus iiide fjcidtis. Posterior cpixto-
Uiri.i, in qiio ngitur de cissoide et corporilnii inde genitis et de cur-
varum liim linearum sÙOjvo;'., tum superficieruin -Xa-jrs\xCi. (),i:o/Hie.
tjpis Academicis Liclifildiaiiis, Aiin. Doin. CO.IOC.LIX. — Cette
seconde partie est d'ailleurs une réponse à une lettre d'Huygens du
9 juin i(jJ9 et, lorsqu'il l'écrivit, Wallis avait déjà pris connaissance
do l'édition latine de la Géométrie de Descartes par Schooten.

» 218 » 17, mettre une virgule après fforrt/(/r.

» îiG » 4, mettre une virgule après «'jTwv.

1) 338 1) 7. de la note 2 en remontant . Au lieu de dchit, lire dédit.

n 377 » m. Au lieu de Pyrrlioniaimin, lire Pj rrlioiiiariuti.

r 388, note 1. Vcrificati<in faite, la pièce du Ms. fr. n. a. 3280 est l'original. L'adresse
en est : Clarissimo viro Petro Daiiieli Huetio Pctrus Fermai S. T.

( ' ) Consulter les Variantes qui précèdent, notamment pour les pages 70 à 76, la déronverlu dus
originaux ayant util postérieure à l'impression.

TABLE DE CONCORDANCE

ENTRE L'EDITION DES OEUVRES DIî FERMAT DE 1679

ET LA Pnr.SENTE EDITION.

Pagination

de

l'édition

de 1679.

l'olins

I non numcrolL'.

2

3 rocto.

i verso, ligne i.

3 verso, ligne i3.

4

5 recto.

5 verso, ligne 8.
G recto, ligne -25.

6 verso.

G verso, ligne 8.
G verso, ligne 28.

G verso, ligne 34-

Renvois

à

la présente

édition ( > ).

l'apcs
TITRE IV

CELSISSIMO S. R. I. PUINCIPI FERDIN.VNDO ETC 35o

De celsissimo principe etc 352

De principis ojusdcm elc 353

De eodem principe elc 354

(Préface) : erudito lectori 355

Éloge (le Monsieur do Format elc in)

Observation de Monsieur de Fermai sur Synésius etc. 3G2
Lettre de Monsieur Descaries à Monsieur de Fermai,

p. 347, loin. 3 des Lettres de Monsieur Descartes. XXXK
P. Ilerigonius, toni. G. Cursus xMathemalici p. 68.

De Maximis et Mliiiinis i - 1

D. Ismael BuUialdus Exercitalione do Porismalibus. 77
R. P. Mersennus Ordinis Minimoruin, Roflexionum

_,.,,. . l Avertissement,

Phvsico-malhematicai'um pag. 2i5

•■ ^ "- j p. X, note 4-

Samuel Sorbcrius in prœfatione operum Gassendi. . LXII note.

Varia Opéra Matlieinatica D. Pctri de Fermât Seiiatori.t Tolosani.

Ad locos pianos et solidos Isagoge 91

Appendix àd Isagogem topicara etc io3

Apollonii Pergœi Libri duo de Locis planis restituti . 3

(') Les' chiffres modernes indiquent les pages du présent Volume; les cliiffros romains en grandes
capitales les numéros des pièces de la Correspondance qui seront publiées dans les Volumes suivants.

V38 TABLK DK CONCORDANCE.

Pajrinatioii Renvois

dp à
IVililion la proscntfi

lie il>7ij. l'dition.

l'ascs

2** Apollonii Porgiri Proposilionos de Locis planis reslituli».

Libor II 29

i4 r)c ioqiuUioiium iiu'uliiim Iransiimlatioiie elc '/î')

58 Novus sccumlariini el ullerioris onliiiis radiciim olc. . . iSi

tjo Appondix ad snperioroin mcllioduin 1 8 J

63 Melliodus ad disqinreiidam maximam et minimam ri3

ti'i I. 3 (Ml iiMii. De langeiitihiis liiicariiin ciir\ai'uni 1 34

•J") (^.entriini graNilalis. |iaraliolioi conoidis, ex cadom inc-

Ihodo 1 3(i

()<> Ad caiiiileui iiiclluidiiiii. — Vulo etc 1 io

lii) Ad canidem nieliiodiiin. — Dneiriiiain elc 1 58

70 De contactilnis sphirricis Vi

89 De lineanim ('Mr\ariini euin liiieis redis ete jh

104 Appendix ail (iisserlalioiicm de linearuin elc a38

III De soliilionc proliloinaluin elc 118

I II) Porismaliini iMii'Iiihi'oriiiii reno\ata doctrina elc 7(1

i'2i l.citrc lie Monsieur de Fcrimil. tn'cc qiwlqiw.i-uiies tic

vellc.i (jiii lur ont este' écrilcs par plusieurs personnes
de f;rnnd set/voir sur divers sujets de Malhénifiliques

ou de Pin siijue \-

l.oliro de -M. de Fermai au R. Père Mersenno .Minime.

Du 3 Juin 1030 III

i?.}: Au I!. p. MiMSCMue Minime. Du 2 J juiu i030 IV

iu3 .Ui R. P. Mersemie Minime. Du 2 sepLonibro i03e X

iv).4 Lettre de Messieurs de Pascal et de Roberval à .M. de

Fermât. A Paris, le lO aoust i030 VIII

i3o Lettre de M. de Fermât à Messieurs de Pascal el de Ro-

l)er\al. Du -^'i aoust iC3G I.X.

i35 .\ Monsieur de Roberval Professeur aux Mathémniiques

à Paris VII

i3| .\ .Monsieur de Roberval Professeur aux Malhrniati(|ues

à Paris. Du lO septembre i635 XI

i30 .V Monsieur do Roberval Professeur aux .Malhcmaticpies

à Paris. Du n se|)lendn'e r030 .\lll

i38 Loltrc de .Monsieur de Rolicrval à .Monsieur do Format.

Du 1 1 octobre i03G XIV

I ir Objecla à 1). de Fermai, ad\ersùs pro|)ositionem Meclia-

nicam D. de Roberv al XVI

i4> Nova in .Meclianicis Tlieoreniata D. de Fermât V et II

Pagiiiatiun

de

l'édition

de ifi;;].

Pages

'4i
"45

.46

■47
i48
i5i

132

i53

i54'

i5C.
1)8
lOi

lO.
ili5

i60

169

.73

lyC,

178, l.i

178, 1.4 rn rom.

179

i83
■84

TABLE DE CONCORDANCE. 139

Ueiivois
à
■ la présente

édition.

Proposilio Geoslalica D. de Fermât II

Propnsilio D. de Feniiat ciren parabolen 8 i

Lettre de M. de Fermât au U. Péro Merseiine de l'Ordre

des Minimes VI

Lettre de .Monsieur de Fermât à .Monsieur do Uoberval à

Paris. Du \ nci\ embre iG3G .W

.4 Monsieur de UobcrvaL Du 7 décendjre i63G XVII

A Monsieur de Roberval à Paris. Du 16 décembre iG3(i. XVIII

A Monsieur de Uoberval XIX

Lettre de .Monsieur do Rober\al à Monsieur de Fermât.

Du 4 avril 1GJ7 X.\.

Lettre de .Monsieur de Fermât à .Monsieur de Uoberval à

Paris. Du 20 avril 1637 X.\I

Lettre de Jlonsieur de Kobcr\al à Monsieur de Fermai.
Du i"juin i638 XXIX

Lettre de .Monsieur de Format à Monsieur de **** (l.KVI

Démonstration dont il est parle dans la lettre précédente. CXVII

Lettre de Monsieur de Fermât à Monsieur de Roberval à
Paris XLII

A Monsieur de ****. Du iS octobre iCjo XLIV

Lettre de .Monsieur de Roberval à .Monsieur de Fermai.
Du 4 aoust I G.40 XLI

Lettre de Monsieur de Frcuicle à Monsieur de Fermât.

Du 2 aoust I G î I XLIX

Lettre de M. do Frenicle à .M. de Fermât. Du G sep-
tembre 1 64 1 L

Lettre de .M. de Fermât au Révérend Père Mersenne de
l'Ordre des .Minimes. A Paris XXXVIIl

Lettre de .Monsieur de Format au Révérend Pore Mer-
senne de l'Ordre des Minimes. A Paris .XI,

Lettre de Monsieur de Fermât à Monsieur de ('.arca\i
Conseiller au Grand Conseil. .\ Paris LUI

Lettre de Monsieur de Format à .Monsieur de Carcavi

Conseiller au Grand Conseil. .\ Paris LXI

Lettre de Monsieur Pascal à .Monsieur de Fermât. Le

29 juillet 1GJ4 LXX

Table dont il est fait mention dans la Lettre précédente. LXXa

Lettre de .Monsieur Pascal à Monsieur de Fermai. Du
24 aoust iG34 LXXII

kkO TABLE l)E CONCOIIDANCE.

Pagination . Hciiv(jiï:

ilo à

rdilition • la iirdsoiitc

lie i<>7t). édition.

i88 LettPO <lo Monsioiir Pascal à .Monsieur de Fermât. Du

■i.y octobre iGJj LXXV

188 Problemata proposita à U. lio Fermai LXXIX

189 Lettre de Monsieur do Format à Monsieur le Clioxalier

Kenelmc Digby. Du 20 avril iGj; LXXXII

igo Prolilema propositum à D. do Formai LXXXI

191 Lettre do Monsieur do Fermai à Monsieur le Chevalier

Kenelme Uigby. Du 20 juin iGSy LXX.XIll

191 Lettre do Monsieur de Format à Monsieur le ('.hc\alier

Kenelme Dit;by. Du 1 5 aoust iCSy LXXXIV

193 Remarques do M. do Fermât sur l'Arillimolique des In-
finis de Monsieur Wallis Professeur de Géométrie en
.Vni,'lelcrro dans l'Université d'Oxford I-XXXV

196 Leilro de Monsieur le Cliovalier Dii,'by à M. tle Fermât.

Du ') décembre 1637 LXXXVII

197 Lettre de Monsieur le Clievalior Digby à M. do Fermai.

Du 12 décembre i()57 LX.XXVIIl

197 Leltro do Monsieur le Chevalier Digby à M. de Fermai.

Du i3 février iG58 LXXXIX

198 Leitera do! Signor Digby al Signer di Fermai. Di

1 I maggio i658 XCII

200 Lettre de Monsieur Pascal à M. de Format. De Bionassis

le 10 aousl 1G60 CVIII

201 Viro Clarissimo Dom. Gassendo Petrus de Fermai. S. P.

Do proporlioue quâ gravia decidentia accelerantur. . . . LXII

Lettre de Monsieur Gassendi à Monsieur do *"** LXH„

Louera de! Signor Bonedello Castelli Abbate di Verona,

al Signor di '**' V„

Viro Clarissimo Dom. do Ranchiu, sen. Thol. Petrus de

Format S. P 36(i

Viro Clarissimo D. de Pollissou, Libellorum supplicum

inagislro. Samuel de Format, S. P S;:-!

Cedc Deo sou Christns nioricns. D. Pétri de Fermât Car-

ioen ama'ba'uui ad. D. Balzacum 390

Cini| planches do figures géométriques.
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